Mucha gente piensa que las desigualdades exponenciales son algo complejo e incomprensible. Y que aprender a resolverlos es casi un gran arte, que sólo los Elegidos son capaces de comprender...
¡Una completa tontería! Las desigualdades exponenciales son fáciles. Y siempre se resuelven de forma sencilla. Bueno, casi siempre. :)
Hoy veremos este tema por dentro y por fuera. Esta lección será de gran utilidad para quienes recién comienzan a comprender esta sección de las matemáticas escolares. Comencemos con problemas simples y pasemos a temas más complejos. No habrá mucho trabajo hoy, pero lo que leas ahora será suficiente para resolver la mayoría de las desigualdades en todo tipo de pruebas y trabajo independiente. Y en este examen tuyo también.
Como siempre, comencemos con la definición. Una desigualdad exponencial es cualquier desigualdad que contiene una función exponencial. En otras palabras, siempre se puede reducir a una desigualdad de la forma
\[((a)^(x)) \gt b\]
Donde el papel de $b$ puede ser un número ordinario, o tal vez algo más complicado. ¿Ejemplos? Sí, por favor:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ cuádruple ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(alinear)\]
Creo que el significado es claro: hay una función exponencial $((a)^(x))$, se compara con algo y luego se le pide que encuentre $x$. En casos particularmente clínicos, en lugar de la variable $x$, pueden poner alguna función $f\left(x \right)$ y así complicar un poco la desigualdad. :)
Por supuesto, en algunos casos la desigualdad puede parecer más grave. Por ejemplo:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
O incluso esto:
En general, la complejidad de tales desigualdades puede ser muy diferente, pero al final aún se reducen a la construcción simple $((a)^(x)) \gt b$. Y de alguna manera descubriremos tal construcción (en casos especialmente clínicos, cuando no se nos ocurre nada, los logaritmos nos ayudarán). Por eso, ahora te enseñaremos a resolver construcciones tan sencillas.
Resolver desigualdades exponenciales simples
Consideremos algo muy simple. Por ejemplo, esto:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Obviamente, el número de la derecha se puede reescribir como una potencia de dos: $4=((2)^(2))$. Por tanto, la desigualdad original se puede reescribir de una forma muy conveniente:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Y ahora mis manos están ansiosas por “tachar” los dos en las bases de potencias para obtener la respuesta $x \gt 2$. Pero antes de tachar nada, recordemos las potencias de dos:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Como puede ver, cuanto mayor sea el número en el exponente, mayor será el número de salida. "¡Gracias, Capitán!" - exclamará uno de los alumnos. ¿Es diferente? Desafortunadamente, sucede. Por ejemplo:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ derecha))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Aquí también todo es lógico: cuanto mayor es el grado, más veces se multiplica el número 0,5 por sí mismo (es decir, se divide por la mitad). Por lo tanto, la secuencia de números resultante es decreciente y la diferencia entre la primera y la segunda secuencia es solo en la base:
- Si la base de grado $a \gt 1$, entonces a medida que aumenta el exponente $n$, el número $((a)^(n))$ también aumentará;
- Y viceversa, si $0 \lt a \lt 1$, entonces a medida que el exponente $n$ aumenta, el número $((a)^(n))$ disminuirá.
Resumiendo estos hechos, obtenemos el enunciado más importante en el que se basa toda la solución de desigualdades exponenciales:
Si $a \gt 1$, entonces la desigualdad $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $x \gt n$. Si $0 \lt a \lt 1$, entonces la desigualdad $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $x \lt n$.
En otras palabras, si la base es mayor que uno, simplemente puedes eliminarla; el signo de desigualdad no cambiará. Y si la base es menor que uno, también se puede quitar, pero al mismo tiempo tendrás que cambiar el signo de desigualdad.
Tenga en cuenta que no hemos considerado las opciones $a=1$ y $a\le 0$. Porque en estos casos surge la incertidumbre. Digamos cómo resolver una desigualdad de la forma $((1)^(x)) \gt 3$. Uno a cualquier potencia volverá a dar uno; nunca obtendremos tres o más. Aquellos. no hay soluciones.
Con razones negativas todo es aún más interesante. Por ejemplo, considere esta desigualdad:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
A primera vista, todo es sencillo:
¿Bien? ¡Pero no! Es suficiente sustituir un par de números pares y un par de números impares en lugar de $x$ para asegurarse de que la solución sea incorrecta. Echar un vistazo:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Como puede ver, los signos se alternan. Pero también hay potencias fraccionarias y otras tonterías. ¿Cómo, por ejemplo, ordenarías calcular $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (menos dos elevado a siete)? ¡De ninguna manera!
Por lo tanto, para ser más precisos, asumimos que en todas las desigualdades exponenciales (y, por cierto, también en las ecuaciones) $1\ne a \gt 0$. Y luego todo se soluciona de forma muy sencilla:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]
En general, recuerde una vez más la regla principal: si la base en una ecuación exponencial es mayor que uno, simplemente puede eliminarla; y si la base es menor que uno, también se puede quitar, pero el signo de la desigualdad cambiará.
Ejemplos de soluciones
Entonces, veamos algunas desigualdades exponenciales simples:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(alinear)\]
La tarea principal en todos los casos es la misma: reducir las desigualdades a la forma más simple $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Esto es exactamente lo que haremos ahora con cada desigualdad y al mismo tiempo repetiremos las propiedades de los grados y las funciones exponenciales. ¡Entonces vamos!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
¿Qué puedes hacer aquí? Bueno, a la izquierda ya tenemos una expresión indicativa: no es necesario cambiar nada. Pero a la derecha hay una especie de basura: una fracción, ¡e incluso una raíz en el denominador!
Sin embargo, recordemos las reglas para trabajar con fracciones y potencias:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(alinear)\]
¿Qué significa? Primero, podemos deshacernos fácilmente de la fracción convirtiéndola en una potencia con un exponente negativo. Y en segundo lugar, dado que el denominador tiene raíz, sería bueno convertirlo en una potencia, esta vez con un exponente fraccionario.
Apliquemos estas acciones secuencialmente al lado derecho de la desigualdad y veamos qué sucede:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
No olvides que al elevar un grado a una potencia, los exponentes de esos grados suman. Y en general, cuando se trabaja con ecuaciones y desigualdades exponenciales, es absolutamente necesario conocer al menos las reglas más simples para trabajar con potencias:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(alinear)\]
En realidad, acabamos de aplicar la última regla. Por lo tanto, nuestra desigualdad original se reescribirá de la siguiente manera:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Ahora nos deshacemos de los dos de la base. Como 2 > 1, el signo de desigualdad seguirá siendo el mismo:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
¡Esa es la solución! La principal dificultad no está en absoluto en la función exponencial, sino en la transformación competente de la expresión original: es necesario llevarla con cuidado y rapidez a su forma más simple.
Considere la segunda desigualdad:
\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]
Más o menos. Aquí nos esperan fracciones decimales. Como he dicho muchas veces, en cualquier expresión con potencias debes eliminar los decimales; esta suele ser la única forma de encontrar una solución rápida y sencilla. Aquí nos desharemos de:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(alinear)\]
Aquí nuevamente tenemos la desigualdad más simple, e incluso con base 1/10, es decir menos que uno. Bueno, quitamos las bases, cambiando simultáneamente el signo de “menos” a “más”, y obtenemos:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(alinear)\]
Recibimos la respuesta final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Tenga en cuenta: la respuesta es precisamente un conjunto, y en ningún caso una construcción de la forma $x \lt -1$. Porque formalmente, tal construcción no es un conjunto en absoluto, sino una desigualdad con respecto a la variable $x$. Sí, es muy simple, ¡pero no es la respuesta!
Nota IMPORTANTE. Esta desigualdad podría resolverse de otra manera: reduciendo ambos lados a una potencia con una base mayor que uno. Echar un vistazo:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Después de tal transformación, obtendremos nuevamente una desigualdad exponencial, pero con una base 10 > 1. Esto significa que simplemente podemos tachar la decena; el signo de la desigualdad no cambiará. Obtenemos:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(alinear)\]
Como puedes ver, la respuesta fue exactamente la misma. Al mismo tiempo, nos salvamos de la necesidad de cambiar el letrero y, en general, recordar las reglas. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Sin embargo, no dejes que esto te asuste. No importa lo que contengan los indicadores, la tecnología para resolver la desigualdad sigue siendo la misma. Por lo tanto, observemos primero que 16 = 2 4. Reescribamos la desigualdad original teniendo en cuenta este hecho:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
¡Hurra! ¡Obtuvimos la desigualdad cuadrática habitual! El signo no ha cambiado en ninguna parte, ya que la base es dos, un número mayor que uno.
Ceros de una función en la recta numérica.
Ordenamos los signos de la función $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - obviamente, su gráfica será una parábola con ramas hacia arriba, por lo que habrá “ventajas” " en los lados. Nos interesa la región donde la función es menor que cero, es decir $x\in \left(2;5 \right)$ es la respuesta al problema original.
Finalmente, considere otra desigualdad:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Nuevamente vemos una función exponencial con una fracción decimal en la base. Convirtamos esta fracción a una fracción común:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
En este caso, utilizamos la observación dada anteriormente: reducimos la base al número 5 > 1 para simplificar nuestra solución adicional. Hagamos lo mismo con el lado derecho:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ derecha))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Reescribamos la desigualdad original teniendo en cuenta ambas transformaciones:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]
Las bases de ambos lados son iguales y exceden uno. No hay otros términos a derecha e izquierda, por lo que simplemente "tachamos" los cinco y obtenemos una expresión muy simple:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Aquí es donde debes tener más cuidado. A muchos estudiantes les gusta simplemente tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad y escribir algo como $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Bajo ninguna circunstancia se debe hacer esto , ya que la raíz de un cuadrado exacto es un módulo, y en ningún caso una variable original:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\izquierda| x\derecha|\]
Sin embargo, trabajar con módulos no es la experiencia más placentera, ¿verdad? Entonces no trabajaremos. En lugar de eso, simplemente movemos todos los términos hacia la izquierda y resolvemos la desigualdad habitual usando el método del intervalo:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(alinear)$
Nuevamente marcamos los puntos obtenidos en la recta numérica y miramos los signos:
Tenga en cuenta: los puntos están sombreados Como estábamos resolviendo una desigualdad no estricta, todos los puntos del gráfico están sombreados. Por lo tanto, la respuesta será: $x\in \left[ -1;1 \right]$ no es un intervalo, sino un segmento.
En general, me gustaría señalar que las desigualdades exponenciales no tienen nada de complicado. El significado de todas las transformaciones que realizamos hoy se reduce a un algoritmo simple:
- Encuentre la base a la que reduciremos todos los grados;
- Realice cuidadosamente las transformaciones para obtener una desigualdad de la forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Por supuesto, en lugar de las variables $x$ y $n$ pueden haber funciones mucho más complejas, pero el significado no cambiará;
- Tacha las bases de los grados. En este caso, el signo de la desigualdad puede cambiar si la base $a \lt 1$.
De hecho, este es un algoritmo universal para resolver todas esas desigualdades. Y todo lo demás que te dirán sobre este tema son solo técnicas y trucos específicos que simplificarán y acelerarán la transformación. Hablaremos de una de estas técnicas ahora. :)
Método de racionalización
Consideremos otro conjunto de desigualdades:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \derecha))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Entonces, ¿qué tienen de especial? Son ligeros. Aunque ¡para! ¿El número π está elevado a alguna potencia? ¿Qué absurdo?
¿Cómo elevar el número $2\sqrt(3)-3$ a una potencia? ¿O $3-2\sqrt(2)$? Los redactores del problema obviamente bebieron demasiado Hawthorn antes de sentarse a trabajar. :)
De hecho, estas tareas no tienen nada de aterrador. Déjame recordarte: una función exponencial es una expresión de la forma $((a)^(x))$, donde la base $a$ es cualquier número positivo excepto uno. El número π es positivo, eso ya lo sabemos. Los números $2\sqrt(3)-3$ y $3-2\sqrt(2)$ también son positivos; esto es fácil de ver si los comparas con cero.
¿Resulta que todas estas desigualdades "aterradoras" no se resuelven de manera diferente a las simples discutidas anteriormente? ¿Y se resuelven de la misma manera? Sí, eso es absolutamente correcto. Sin embargo, usando su ejemplo, me gustaría considerar una técnica que ahorra mucho tiempo en trabajos y exámenes independientes. Hablaremos del método de racionalización. Entonces, atención:
Cualquier desigualdad exponencial de la forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ es equivalente a la desigualdad $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ derecha) \gt 0 $.
Ese es el método completo :) ¿Pensaste que habría algún tipo de juego diferente? ¡Nada como esto! Pero este simple hecho, escrito literalmente en una línea, simplificará enormemente nuestro trabajo. Echar un vistazo:
\[\begin(matriz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
¡Así que ya no hay funciones exponenciales! Y no es necesario recordar si el signo cambia o no. Pero surge un nuevo problema: ¿qué hacer con el maldito multiplicador \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? No sabemos cuál es el valor exacto del número π. Sin embargo, el capitán parece insinuar lo obvio:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\aprox 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
En general, el valor exacto de π realmente no nos concierne; solo es importante que entendamos que en cualquier caso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. esta es una constante positiva y podemos dividir ambos lados de la desigualdad por ella:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Como puede ver, en un momento determinado tuvimos que dividir por menos uno y el signo de la desigualdad cambió. Al final, expandí el trinomio cuadrático usando el teorema de Vieta: es obvio que las raíces son iguales a $((x)_(1))=5$ y $((x)_(2))=-1$ . Luego todo se resuelve utilizando el método de intervalo clásico:
Resolver desigualdades usando el método del intervalo. Se eliminan todos los puntos porque la desigualdad original es estricta. Estamos interesados en la región con valores negativos, por lo que la respuesta es $x\in \left(-1;5 \right)$. Esa es la solución. :)
Pasemos a la siguiente tarea:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
En general, aquí todo es simple, porque hay una unidad a la derecha. Y recordemos que uno es cualquier número elevado a la potencia cero. Incluso si este número es una expresión irracional en la base de la izquierda:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \derecha))^(0)); \\\end(alinear)\]
Bueno, racionalicemos:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Todo lo que queda es descubrir las señales. El factor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ no contiene la variable $x$; es solo una constante y necesitamos encontrar su signo. Para hacer esto, tenga en cuenta lo siguiente:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matriz)\]
¡Resulta que el segundo factor no es sólo una constante, sino una constante negativa! Y al dividir por ella, el signo de la desigualdad original cambia al contrario:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Ahora todo se vuelve completamente obvio. Las raíces del trinomio cuadrado de la derecha son: $((x)_(1))=0$ y $((x)_(2))=2$. Los marcamos en la recta numérica y miramos los signos de la función $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
El caso en el que nos interesan los intervalos laterales. Nos interesan los intervalos marcados con un signo más. Sólo queda escribir la respuesta:
Pasemos al siguiente ejemplo:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ derecha))^(16-x))\]
Bueno, aquí todo es completamente obvio: las bases contienen potencias del mismo número. Por eso, escribiré todo brevemente:
\[\begin(matriz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matriz)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ izquierda(16-x \derecha))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Como puedes ver, durante el proceso de transformación tuvimos que multiplicar por un número negativo, por lo que el signo de desigualdad cambió. Al final, apliqué nuevamente el teorema de Vieta para factorizar el trinomio cuadrático. Como resultado, la respuesta será la siguiente: $x\in \left(-8;4 \right)$ - cualquiera puede verificar esto dibujando una recta numérica, marcando los puntos y contando los signos. Mientras tanto, pasemos a la última desigualdad de nuestro “conjunto”:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Como puede ver, en la base nuevamente hay un número irracional, y a la derecha nuevamente hay una unidad. Por lo tanto, reescribimos nuestra desigualdad exponencial de la siguiente manera:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ derecha))^(0))\]
Aplicamos la racionalización:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Sin embargo, es bastante obvio que $1-\sqrt(2) \lt 0$, ya que $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Por lo tanto, el segundo factor es nuevamente una constante negativa, por la cual se pueden dividir ambos lados de la desigualdad:
\[\begin(matriz) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matriz)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Mover a otra base
Un problema aparte a la hora de resolver desigualdades exponenciales es la búsqueda de la base "correcta". Desafortunadamente, no siempre es obvio a primera vista de una tarea qué tomar como base y qué hacer según el grado de esta base.
Pero no te preocupes: aquí no hay magia ni tecnología “secreta”. En matemáticas, cualquier habilidad que no pueda ser algorítmica puede desarrollarse fácilmente mediante la práctica. Pero para ello tendrás que resolver problemas de diferentes niveles de complejidad. Por ejemplo, así:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fin(alinear)\]
¿Difícil? ¿Aterrador? ¡Es más fácil que golpear a un pollo en el asfalto! Intentemos. Primera desigualdad:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Bueno, creo que aquí todo está claro:
Reescribimos la desigualdad original, reduciendo todo a base dos:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Sí, sí, escuchaste bien: acabo de aplicar el método de racionalización descrito anteriormente. Ahora tenemos que trabajar con cuidado: tenemos una desigualdad fraccionaria-racional (esta es aquella que tiene una variable en el denominador), por lo que antes de igualar algo a cero, debemos llevar todo a un denominador común y deshacernos del factor constante. .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Ahora usamos el método de intervalo estándar. Ceros del numerador: $x=\pm 4$. El denominador llega a cero sólo cuando $x=0$. Hay tres puntos en total que deben marcarse en la recta numérica (todos los puntos están señalados porque el signo de desigualdad es estricto). Obtenemos:
Caso más complejo: tres raíces Como puedes adivinar, el sombreado marca aquellos intervalos en los que la expresión de la izquierda toma valores negativos. Por tanto, la respuesta final incluirá dos intervalos a la vez:
Los extremos de los intervalos no se incluyen en la respuesta porque la desigualdad original era estricta. No se requiere verificación adicional de esta respuesta. En este sentido, las desigualdades exponenciales son mucho más simples que las logarítmicas: sin ODZ, sin restricciones, etc.
Pasemos a la siguiente tarea:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Aquí tampoco hay problemas, ya que ya sabemos que $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, por lo que toda la desigualdad se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\izquierda(-2 \derecha) \derecha. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Tenga en cuenta: en la tercera línea decidí no perder el tiempo en nimiedades e inmediatamente dividir todo por (−2). Minul entró en el primer grupo (ahora hay ventajas en todas partes) y dos se redujeron con un factor constante. Esto es exactamente lo que debe hacer al preparar cálculos reales para trabajos independientes y de prueba; no es necesario describir cada acción y transformación directamente.
A continuación entra en juego el conocido método de los intervalos. Ceros del numerador: pero no hay ninguno. Porque el discriminante será negativo. A su vez, el denominador se restablece sólo cuando $x=0$, como la última vez. Bueno, está claro que a la derecha de $x=0$ la fracción tomará valores positivos y a la izquierda, negativos. Como estamos interesados en valores negativos, la respuesta final es: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]
¿Qué deberías hacer con fracciones decimales en desigualdades exponenciales? Así es: deshazte de ellos, convirtiéndolos en comunes. Aquí traduciremos:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ izquierda(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\derecha))^(x)). \\\end(alinear)\]
Entonces, ¿qué obtuvimos en los fundamentos de las funciones exponenciales? Y obtuvimos dos números mutuamente inversos:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ derecha))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ izquierda(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]
Por tanto, la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \derecha))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(alinear)\]
Eso sí, al multiplicar potencias con la misma base, sus exponentes suman, que es lo que ocurrió en la segunda línea. Además, representamos la unidad de la derecha, también como potencia en base 4/25. Sólo queda racionalizar:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Tenga en cuenta que $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, es decir el segundo factor es una constante negativa, y al dividirlo por él, el signo de desigualdad cambiará:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Finalmente, la última desigualdad del “conjunto” actual:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
En principio, la idea de la solución aquí también es clara: todas las funciones exponenciales incluidas en la desigualdad deben reducirse a base “3”. Pero para ello tendrás que trastear un poco con raíces y poderes:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(alinear)\]
Teniendo en cuenta estos hechos, la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(alinear)\]
Preste atención a la segunda y tercera línea de los cálculos: antes de hacer algo con la desigualdad, asegúrese de llevarla a la forma de la que hablamos desde el principio de la lección: $((a)^(x)) \ Es ((a)^(n))$. Siempre que tenga algunos factores para zurdos, constantes adicionales, etc. a la izquierda o a la derecha, no se podrá realizar ninguna racionalización o “tacha” de motivos! Innumerables tareas se han completado incorrectamente debido a que no se ha entendido este simple hecho. Yo mismo observo constantemente este problema con mis alumnos cuando recién comenzamos a analizar desigualdades exponenciales y logarítmicas.
Pero volvamos a nuestra tarea. Intentemos esta vez prescindir de la racionalización. Recordemos: la base del grado es mayor que uno, por lo que los triples simplemente se pueden tachar; el signo de desigualdad no cambiará. Obtenemos:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
Eso es todo. Respuesta final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Aislar una expresión estable y reemplazar una variable
En conclusión, propongo resolver cuatro desigualdades exponenciales más, que ya son bastante difíciles para estudiantes no preparados. Para afrontarlos, es necesario recordar las reglas para trabajar con títulos. En particular, poner los factores comunes entre paréntesis.
Pero lo más importante es aprender a comprender qué se puede sacar exactamente entre paréntesis. Esta expresión se llama estable: se puede denotar mediante una nueva variable y así deshacerse de la función exponencial. Entonces, veamos las tareas:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Empecemos desde la primera línea. Escribamos esta desigualdad por separado:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Tenga en cuenta que $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, por lo que la mano derecha El lado se puede reescribir:
Tenga en cuenta que no hay otras funciones exponenciales excepto $((5)^(x+1))$ en la desigualdad. Y en general, la variable $x$ no aparece en ningún otro lugar, así que introduzcamos una nueva variable: $((5)^(x+1))=t$. Obtenemos la siguiente construcción:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Volvemos a la variable original ($t=((5)^(x+1))$), y al mismo tiempo recordamos que 1=5 0 . Tenemos:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(alinear)\]
¡Esa es la solución! Respuesta: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pasemos a la segunda desigualdad:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Todo es lo mismo aquí. Tenga en cuenta que $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Entonces el lado izquierdo se puede reescribir:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \derecha. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(alinear)\]
Así es aproximadamente como es necesario elaborar una solución para pruebas reales y trabajo independiente.
Bueno, intentemos algo más complicado. Por ejemplo, aquí está la desigualdad:
\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
¿Cuál es el problema aquí? En primer lugar, las bases de las funciones exponenciales de la izquierda son diferentes: 5 y 25. Sin embargo, 25 = 5 2, por lo que el primer término se puede transformar:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Como puede ver, al principio llevamos todo a la misma base y luego notamos que el primer término se puede reducir fácilmente al segundo; solo necesita expandir el exponente. Ahora puedes introducir con seguridad una nueva variable: $((5)^(2x+2))=t$, y toda la desigualdad se reescribirá de la siguiente manera:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
Y de nuevo, ¡sin dificultades! Respuesta final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Pasemos a la desigualdad final de la lección de hoy:
\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]
Lo primero a lo que debes prestar atención es, por supuesto, a la fracción decimal en la base de la primera potencia. Es necesario deshacerse de él y, al mismo tiempo, llevar todas las funciones exponenciales a la misma base: el número "2":
\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Flecha derecha ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Genial, hemos dado el primer paso, todo nos ha llevado a la misma base. Ahora necesitas seleccionar una expresión estable. Tenga en cuenta que $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Si introducimos una nueva variable $((2)^(4x+6))=t$, entonces la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(alinear)\]
Naturalmente, puede surgir la pregunta: ¿cómo descubrimos que 256 = 2 8? Desafortunadamente, aquí solo necesitas saber las potencias de dos (y al mismo tiempo las potencias de tres y cinco). Bueno, o dividimos 256 entre 2 (puedes dividir, ya que 256 es un número par) hasta obtener el resultado. Se verá algo como esto:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Lo mismo ocurre con el tres (los números 9, 27, 81 y 243 son sus grados), y con el siete (también sería bueno recordar los números 49 y 343). Bueno, el cinco también tiene grados “hermosos” que debes conocer:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(alinear)\]
Por supuesto, si lo deseas, todos estos números pueden recuperarse en tu mente simplemente multiplicándolos sucesivamente entre sí. Sin embargo, cuando tienes que resolver varias desigualdades exponenciales y cada una de ellas es más difícil que la anterior, lo último en lo que quieres pensar son en las potencias de algunos números. Y en este sentido, estos problemas son más complejos que las desigualdades “clásicas” que se resuelven mediante el método de intervalo.
Espero que esta lección te haya ayudado a dominar este tema. Si algo no queda claro, pregunta en los comentarios. Y nos vemos en las próximas lecciones. :)
Lugar de trabajo, puesto: - MOU-SOSH r.p. Púshkino, profesor
Región: — Región de Saratov
Características de la lección (sesión) Nivel de educación: - educación general secundaria (completa)
Público objetivo: — Alumno (estudiante)
Público objetivo: — Profesor (maestro)
Grado(s): – 10.º grado
Materia(s): – Álgebra
El propósito de la lección: - didáctico: mejorar las técnicas y métodos básicos para resolver desigualdades logarítmicas y exponenciales y garantizar que todos los estudiantes dominen las técnicas algorítmicas básicas para resolver desigualdades exponenciales y logarítmicas; de desarrollo: desarrollar el pensamiento lógico, la memoria, el interés cognitivo, continuar la formación del habla matemática, desarrollar la capacidad de analizar y comparar; educativo: enseñar el diseño estético de las notas en un cuaderno, la capacidad de escuchar a los demás y la capacidad de comunicarse, inculcar precisión y trabajo duro.
Tipo de lección: – Lección de generalización y sistematización del conocimiento.
Estudiantes en clase (público): - 25
Breve descripción: - La resolución de desigualdades exponenciales y logarítmicas se considera uno de los temas complejos de las matemáticas y requiere que los estudiantes tengan buenos conocimientos teóricos, la capacidad de aplicarlos en la práctica, requiere atención, trabajo duro e inteligencia. El tema tratado en la lección también se retoma para los exámenes de ingreso a las universidades y los exámenes finales. Este tipo de lección desarrolla el pensamiento lógico, la memoria, el interés cognitivo y ayuda a desarrollar la capacidad de analizar, comparar y escuchar a los demás.
Etapas de la lección y sus contenidos.
Tiempo
(minutos)
actividad
profesores
alumno
1.Etapa organizativa
organizativo
Se reportan los ausentes.
2. Establecimiento de objetivos
Hoy en la lección continuaremos practicando los métodos y métodos básicos aprendidos para resolver desigualdades exponenciales y logarítmicas, y también consideraremos otras formas de resolver desigualdades logarítmicas y exponenciales: esta es la transición a desigualdades racionales reemplazando lo desconocido, así como un método de dividir ambos lados de la desigualdad por un número positivo.
Informa el tema de la lección, la fecha de la lección, el propósito de la lección.
Anota en cuadernos
3.Revisar la tarea
Convoca a 3 personas a la pizarra a petición de los alumnos y al mismo tiempo mantiene una conversación frontal sobre cuestiones teóricas.
En el tablero trabajan cuatro personas, el resto participa en una encuesta teórica.
Como tarea, te pidieron que resolvieras desigualdades logarítmicas y exponenciales en dos niveles de complejidad. Veamos la solución a algunos de ellos en el tablero.
6.49a); 6.52(d), 6.56(b), 6.54(b).
4.Actualizar los conocimientos de los estudiantes
Recordemos qué métodos discutimos en la última lección.
Hoy veremos desigualdades que, tras introducir una nueva incógnita, se convierten en desigualdades racionales.
Para ello, recordemos ¿cuál es la solución de una desigualdad racional de la forma A(x) / B(x)>0? ¿Qué método se utiliza para resolver desigualdades racionales?
5.Mejorar los conocimientos y habilidades de los estudiantes
xx
Ejemplo1)2 - 9 / (2 -1)0
3 minutos
x +0,5xx +0,5
3). 25- 710+4>0
3 minutos
5) Consolidación de cosas nuevas.
Haciendo ejercicios en la tabla.
6.48(.g);6.58(b);6.59(b) -en el tablero 6.62(c)
Le guía a elegir un método de solución racional. supervisa la exactitud del razonamiento y el registro correcto de la solución a la desigualdad. Da una nota por el trabajo.
Un estudiante decide en la pizarra. El resto anota la solución en un cuaderno.
6) Trabajo independiente diferenciado (Tarea en pantalla)
Nivel 1:
Opción 12 opción
No.6.48(b);No.6.48(e);
N° 6.58(a); N° 6.58(c)
Nivel 2:
Opción 12 opción
No.6.61(b);No.6.61(d);
No. 6.62(c);No. 6.62(d).
5 minutos
2 personas trabajan individualmente en una mesa auxiliar. El resto realiza trabajos independientes de varios niveles en el campo.
7)Comprobación del trabajo independiente.
3 minutos
8) Tarea (en pantalla)
Cláusula de 1er nivel 6.6; No. 6.48 (a.); No. 6.57 (1º); No. 6.50 (a).
Nivel 2: cláusula 6.6, número 6.59(c); N° 6.62 (a); N° 158 (pág. 382); N° 168 (a, b) (pág. 383)
2 minutos
Explica la tarea, llamando la atención de los estudiantes sobre el hecho de que en clase se han cubierto tareas similares.
Las dos últimas tareas se ofrecieron al ingresar a la Universidad Estatal de Moscú y al MTITF.
Después de escuchar atentamente al profesor, escribe tu tarea. Tú mismo eliges el nivel de dificultad.
8) Resumiendo la lección: Resolver desigualdades exponenciales y logarítmicas se considera uno de los temas complejos del curso de matemáticas escolar y requiere que los estudiantes tengan buenos conocimientos teóricos, la capacidad de aplicarlos en la práctica, requiere atención, trabajo duro e inteligencia; es por esta razón que las desigualdades discutidas en la lección están incluidas en los exámenes de ingreso a las universidades y exámenes finales, hoy en clase todos trabajaron muy bien y obtuvieron las siguientes calificaciones
Gracias a todos.
2 minutos
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Tema 6. Ecuaciones y desigualdades exponenciales y logarítmicas (11 horas)
Tema de la lección. Desigualdades reducidas a lo más simple reemplazando lo desconocido.
Objetivo de la lección: Desarrollar habilidades para resolver desigualdades exponenciales y logarítmicas, reduciéndolas a lo más simple, reemplazando lo desconocido.
Tareas:
Educativo: repetir y consolidar conocimientos sobre el tema “resolver las desigualdades exponenciales y logarítmicas más simples”, aprender a resolver desigualdades logarítmicas y exponenciales mediante el método de sustitución.
De desarrollo: desarrollar la capacidad del estudiante para identificar dos tipos de desigualdad y determinar formas de resolverlas (pensamiento lógico e intuitivo, justificación de juicios, clasificación, comparación), desarrollar habilidades de autocontrol y autoexamen, la capacidad de moverse. según un algoritmo dado, evaluar y corregir el resultado obtenido.
Educativo: continuar desarrollando cualidades de los estudiantes como: la capacidad de escucharse unos a otros; la capacidad de ejercer control mutuo y autoestima.
Tipo de lección: combinada.
Libro de texto Álgebra grado 10 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin
durante las clases
Organizar el tiempo.
Revisando la tarea.
Actualización de conocimientos básicos.
Frontal:
1. ¿Qué desigualdades se llaman desigualdades exponenciales más simples?
2. Explica el significado de resolver desigualdades exponenciales simples.
3. ¿Qué desigualdades se llaman desigualdades logarítmicas más simples?
4. Explica el significado de resolver desigualdades logarítmicas simples.
Con escritura en la pizarra (1 estudiante cada uno):
Resolver desigualdades
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Explicación de nuevo material y su refuerzo paso a paso.
1.1. Explicación de material nuevo.
1. Resuelve la desigualdad:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2 toneladas<142t<2-2т. к. основание 2>1, entonces
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Nos interesa el signo "−−" y luego obtenemos
Respuesta:x∈(1;2)
2. Resuelve la desigualdad
1.2. Consolidación paso a paso.
Núm. 6.49(a, c).
N° 6.52(d).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Respuesta: -∞;1∪54;+∞в) (13)5х2-4х-3>95х2-4х-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Respuesta: -15;1d) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3
Respuesta: -2;-1∪3;42.1. Explicación de material nuevo.
3. Resuelve la desigualdad
Entonces 1 desigualdad tiene sentido para todo x, y la segunda
2.2. Consolidación paso a paso.
Resolver la desigualdad No. 6.56(c)
3.1. Explicación de material nuevo.
4. Resuelve la desigualdad
3.2. Consolidación paso a paso.
Resuelve la desigualdad No. 6.60(a)
Resumiendo la lección.
Reflexión.
Tarea.
Pág. 6.6
N° 6.49 (b, d)
N° 6.52 (a, b)
N° 6.56 (d)
N° 6.60 (b)
Archivos adjuntos
Profesora de matemáticas Institución educativa municipal - Escuela secundaria n. ° 2, sitio web de Stepnoe Trufyakova Galina Ivanovna
Diapositiva 2
Resumen de la lección
El tema Desigualdades exponenciales es un tema esencial en Matemáticas. Según el libro de texto de S. M. Nikolsky, se estudia en el décimo grado y se asignan 2 horas para su estudio en planificación: 1 hora - Las desigualdades exponenciales más simples; 1 hora – Desigualdades reducidas a lo más simple reemplazando lo desconocido. Durante este tiempo, es necesario familiarizar a los estudiantes con material nuevo y muy voluminoso, enseñarles a resolver todo tipo de desigualdades exponenciales y practicar bien estas habilidades y destrezas, por lo que se imparten lecciones sobre la formación de nuevos conocimientos en forma de conferencias utilizando información. y las tecnologías de la comunicación permiten resolver estos problemas con mayor rapidez y eficacia.
Diapositiva 3
Diapositiva 4
Albert Einstein
“Tengo que dividir mi tiempo entre la política y resolver ecuaciones y desigualdades. Sin embargo, resolver las ecuaciones y las desigualdades, en mi opinión, es mucho más importante, porque la política existe sólo para este momento, pero las ecuaciones y las desigualdades existirán para siempre”.
Diapositiva 5
Estructura de la lección
Momento organizativo Establecer metas y objetivos Plan de conferencia Actualizar los conocimientos de los estudiantes mediante la repetición de material previamente estudiado Introducción de nuevos conocimientos Consolidar conocimientos en forma de entrevista Resumiendo la lección Tarea
Diapositiva 6
Organizar el tiempo
Saludar a los estudiantes Marcar los nombres de los estudiantes ausentes de clase en el registro de clase.
Diapositiva 7
Establecer metas y objetivos
Anuncie a los estudiantes al comienzo de la lección sus metas y objetivos. Presénteles el plan de conferencia y anótelo en sus cuadernos.
Diapositiva 8
Objetivos de la lección
Educativo Formación del concepto de desigualdades exponenciales Familiarización de los estudiantes con los tipos de desigualdades exponenciales Formación de habilidades y destrezas para la resolución de desigualdades exponenciales.
Diapositiva 9
Educativo Cultivar el trabajo duro Cultivar la independencia para lograr objetivos Formar habilidades computacionales Formar habilidades estéticas al tomar notas
Diapositiva 10
Desarrollo Desarrollo de la actividad mental Desarrollo de la iniciativa creativa Desarrollo de la actividad cognitiva Desarrollo del habla y la memoria.
Diapositiva 11
Objetivos de la lección
Revisar las propiedades de la función exponencial Revisar las reglas para resolver desigualdades racionales cuadráticas y fraccionarias Calcular el algoritmo para resolver las desigualdades exponenciales más simples Enseñar a los estudiantes a distinguir entre tipos de desigualdades exponenciales Enseñar a los estudiantes a resolver desigualdades exponenciales
Diapositiva 12
tipo de lección
Lección en la formación de nuevos conocimientos.
Diapositiva 13
tipo de lección
Lección - conferencia
Diapositiva 14
Métodos de enseñanza
Problemática de búsqueda heurística explicativa e ilustrativa
Diapositiva 15
tecnología educativa
Tecnologías de la información y la comunicación basadas en el aprendizaje basado en problemas
Diapositiva 16
Esquema de la conferencia
Repetición de las propiedades de la función exponencial Las desigualdades exponenciales más simples Desigualdades exponenciales que se reducen a las más simples Desigualdades exponenciales que se reducen a desigualdades cuadráticas Desigualdades exponenciales homogéneas de primer grado Desigualdades exponenciales homogéneas de segundo grado Desigualdades exponenciales que se reducen a desigualdades racionales Exponenciales no desigualdades estándar
Diapositiva 17
Repetición de material previamente estudiado.
Resuelva en la pizarra y en cuadernos: a) desigualdades cuadráticas: x² – 2x – 1≥0 x² – 2x - 3 ≤0 b) desigualdad racional fraccionaria: (x – 5) \ (x - 2) ≤ 0
Diapositiva 18
Repetición de propiedades de función exponencial.
Diapositiva 19
disminuye monótonamente en R. El eje Ox es una asíntota horizontal que aumenta monótonamente en R 8. Para cualquier valor real de xey; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asíntota 6. Extremos 5. Monotonicidad 4. Par, impar 3. Intervalos para comparar los valores de una función con la unidad 2. Rango de valores de una función 1 Rango de definición de una función Propiedades de una función exponencial Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución La función exponencial no tiene extremos y no es par ni impar (una función de forma general).
Diapositiva 20
Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos para resolver Tarea No. 1 Encuentra el dominio de definición de la función
Diapositiva 21
Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos para resolver Tarea No. 2 Determinar los valores.
Diapositiva 22
Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos para resolver Tarea No. 3 Determinar el tipo de función creciente decreciente creciente decreciente
Diapositiva 23
Introducción de nuevos conocimientos.
Diapositiva 24
Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución DEFINICIÓN de las desigualdades exponenciales más simples: Sea a un número positivo distinto de uno y b un número real dado. Entonces las desigualdades ax>b (ax≥b) y ax
Diapositiva 25
Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de resolución ¿CÓMO SE LLAMA resolver una desigualdad? La solución a una desigualdad con x desconocida es el número x0, que, cuando se sustituye en la desigualdad, produce una desigualdad numérica verdadera.
Diapositiva 26
Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución ¿QUÉ SIGNIFICA resolver una desigualdad? Resolver una desigualdad significa encontrar todas sus soluciones o demostrar que no las hay.
Diapositiva 27
Consideremos la posición relativa de la gráfica de la función y=ax, a>0, a≠1 y la recta y=b. Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x0 x0
Diapositiva 28
Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución CONCLUSIÓN No. 1: Cuando b≤0, la recta y=b no corta a la gráfica de la función y=ax, porque se encuentra debajo de la curva y=ax, por lo tanto las desigualdades ax>b(ax≥b) se satisfacen para xR, y las desigualdades ax
Diapositiva 29
CONCLUSIÓN No. 2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución Si a>1 y b > 0, entonces para cada x1 x0- debajo de la recta y=b . 1 Para b > 0, la recta y = b corta a la gráfica de la función y = ax en un solo punto, cuya abscisa es x0 = logab
Diapositiva 30
CONCLUSIÓN No. 2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución Si a>1 y b > 0, entonces para cada x1 >x0 el punto correspondiente de la gráfica de la función y=ax se ubica encima de la recta y=b, y para cada x2 0 la recta y = b corta a la gráfica de la función y = ax en un solo punto, cuya abscisa es x0 = logab x2
Diapositiva 31
Las desigualdades exponenciales más simples Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución.
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Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución Ejemplo No. 1.1 Respuesta: aumenta en todo el dominio de definición, Solución:
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Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución Ejemplo No. 1.2 Solución: Respuesta: disminuye en todo el dominio de definición,
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Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución Ejemplo No. 1.3 Solución: Respuesta: aumenta en todo el dominio de definición,
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Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos para resolverlos Tipos de desigualdades exponenciales y métodos para resolverlas 1) Las desigualdades exponenciales, reducidas a las más simples, aumentan en todo el dominio de definición Ejemplo No. 1 Respuesta: Solución:
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Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución Ejemplo No. 1.4 Solución: aumenta en todo el dominio de definición, Respuesta:
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Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos para resolverlos Tipos de desigualdades exponenciales y métodos para resolverlas Desigualdades exponenciales, reducidas al más simple Ejemplo No. 2 aumenta en todo el dominio de definición Respuesta: Solución:
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Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos para resolverlos Tipos de desigualdades exponenciales y métodos para resolverlas 2) Desigualdades exponenciales, reducidas a desigualdades cuadráticas Ejemplo Volvamos a la variable x aumenta para todo x del dominio de definición Respuesta: Solución:
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Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de resolución Tipos de desigualdades exponenciales y métodos de resolución 3) Desigualdades exponenciales homogéneas de primer y segundo grado. Desigualdades exponenciales homogéneas de primer grado Ejemplo No. 1 aumenta en todo el dominio de definición Respuesta: Solución:
Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos para resolverlos Tipos de desigualdades exponenciales y métodos para resolverlas 4) Desigualdades exponenciales, reducidas a desigualdades racionales Ejemplo Volvamos a la variable x aumenta en todo el dominio de definición Respuesta: Solución:
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Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos para resolverlos Tipos de desigualdades exponenciales y métodos para resolverlas 5) Desigualdades exponenciales no estándar Ejemplo de solución: Resolvamos cada enunciado del conjunto por separado. Desigualdad es igual a agregado
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Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos para resolverlas Tipos de desigualdades exponenciales y métodos para resolverlas 5) Desigualdades exponenciales no estándar Ejemplo de respuesta: Solución: Verificar La verificación mostró que x=1, x=3, x=1.5 son soluciones de la ecuación, y x=2 no es una solución de la ecuación. Entonces,
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Consolidación de conocimientos
¿Qué desigualdades se llaman exponenciales? ¿Cuándo una desigualdad exponencial tiene solución para cualquier valor de x? ¿Cuándo una desigualdad exponencial no tiene soluciones? ¿Qué tipos de desigualdades aprendiste en esta lección? ¿Cómo se resuelven las desigualdades más simples? ¿Cómo se resuelven las desigualdades que se reducen a desigualdades cuadráticas? ¿Cómo se resuelven las desigualdades homogéneas? ¿Cómo se resuelven las desigualdades que pueden reducirse a racionales?
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Resumen de la lección
Descubra lo que los nuevos estudiantes aprendieron en esta lección. Califique a los estudiantes por su trabajo en la lección con comentarios detallados.
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Tarea
Libro de texto para el grado 10 "Álgebra y principios del análisis" autor S.M. Nikolsky Estudiar los párrafos 6.4 y 6.6, No. 6.31-6.35 y No. 6.45-6.50 resolver
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Desigualdades exponenciales, sus tipos y métodos de solución.
Álgebra e inicio del análisis matemático. Grado 10. Libro de texto. Nikolsky S.M. y etc.
Niveles básico y de perfil.
8ª ed. - M.: Educación, 2009. - 430 p.
El libro de texto corresponde a los componentes federales del estándar estatal de educación general en matemáticas y contiene material tanto para el nivel básico como para el especializado. Puede trabajar con él independientemente de los libros de texto que estudiaron los escolares en años anteriores.
El libro de texto tiene como objetivo preparar a los estudiantes para ingresar a las universidades.
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TABLA DE CONTENIDO
CAPÍTULO I. RAÍCES, POTENCIAS, LOGARITMOS
§ 1. Números reales 3
1.1. Concepto de número real 3
1.2. Muchos números. Propiedades de los números reales. ... 10
1,3*. Método de inducción matemática 16.
1.4. Permutaciones 22
1.5. Colocaciones 25
1.6. Combinaciones 27
1,7*. Prueba de desigualdades numéricas 30
1,8*. Divisibilidad de números enteros 35
1,9*. Comparaciones módulo t 38
1,10*. Problemas con números enteros desconocidos 40
§ 2. Ecuaciones y desigualdades racionales 44
2.1. Expresiones racionales 44
2.2. Fórmulas binomiales de Newton, sumas y diferencias de potencias. . 48
2,3*. División de polinomios con resto. Algoritmo euclidiano... 53
2,4*. Teorema de Bezout 57
2,5*. Raíz del polinomio 60
2.6. Ecuaciones racionales 65
2.7. Sistemas de ecuaciones racionales 70.
2.8. Método de intervalo para resolver desigualdades 75
2.9. Desigualdades racionales 79
2.10. Desigualdades no estrictas 84
2.11. Sistemas de desigualdades racionales 88.
§ 3. Raíz del grado n 93
3.1. El concepto de función y su gráfica 93.
3.2. Función y = x" 96
3.3. El concepto de raíz de grado n 100.
3.4. Raíces de grados pares e impares 102
3.5. Raíz aritmética 106
3.6. Propiedades de las raíces de grado l 111.
3,7*. Función y = nx (x > 0) 114
3,8*. Función y = nVx 117
3,9*. Raíz n del número natural 119
§ 4. Potencia del número positivo 122
4.1. Potencia con exponente racional 122
4.2. Propiedades de los grados con exponente racional 125
4.3. El concepto de límite de secuencia 131.
4,4*. Propiedades de los límites 134
4.5. Progresión geométrica infinitamente decreciente. . . 137
4.6. Número e 140
4.7. El concepto de grado con exponente irracional.... 142
4.8. Función exponencial 144
§ 5. Logaritmos 148
5.1. Concepto de logaritmo 148
5.2. Propiedades de los logaritmos 151
5.3. Función logarítmica 155
5,4*. Logaritmos decimales 157
5,5*. Funciones de potencia 159
§ 6. Ecuaciones y desigualdades exponenciales y logarítmicas. . 164
6.1. Las ecuaciones exponenciales más simples 164.
6.2. Ecuaciones logarítmicas simples 166
6.3. Ecuaciones reducidas a lo más simple reemplazando la incógnita 169
6.4. Las desigualdades exponenciales más simples 173.
6.5. Las desigualdades logarítmicas más simples 178.
6.6. Desigualdades reducidas a lo más simple reemplazando lo desconocido 182
Información histórica 187
CAPITULO DOS. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
§ 7. Seno y coseno de un ángulo 193
7.1. Concepto de ángulo 193
7.2. Medida en radianes del ángulo 200
7.3. Determinación del seno y coseno de un ángulo 203
7.4. Fórmulas básicas para sen a y cos a 211
7.5. Arcoseno 216
7.6. Arco coseno 221
7,7*. Ejemplos de uso de arcoseno y arcocoseno.... 225
7,8*. Fórmulas para arcoseno y arcocoseno 231
§ 8. Tangente y cotangente del ángulo 233
8.1. Determinación de tangente y cotangente de un ángulo 233
8.2. Fórmulas básicas para tg a y ctg a 239
8.3. Arctangente 243
8,4*. Arco tangente 246
8,5*. Ejemplos de uso de arcotangente y arcocotangente. . 249
8,6*. Fórmulas para arcotangente y arcocotangente 255
§ 9. Fórmulas de suma 258
9.1. Coseno de la diferencia y coseno de la suma de dos ángulos 258
9.2. Fórmulas para ángulos suplementarios 262
9.3. Seno de la suma y seno de la diferencia de dos ángulos 264
9.4. Suma y diferencia de senos y cosenos 266
9.5. Fórmulas para ángulos dobles y medios 268
9,6*. Producto de senos y cosenos 273
9,7*. Fórmulas para tangentes 275
§ 10. Funciones trigonométricas de un argumento numérico 280
10.1. Función y = sen x 281
10.2. Función y = cos x 285
10.3. Función y = tg * 288
10.4. Función y = ctg x 292
§ 11. Ecuaciones y desigualdades trigonométricas 295
11.1. Ecuaciones trigonométricas simples 295
11.2. Ecuaciones reducidas a lo más simple reemplazando la incógnita 299
11.3. Aplicar fórmulas trigonométricas básicas para resolver ecuaciones 303
11.4. Ecuaciones homogéneas 307
11,5*. Las desigualdades más simples para seno y coseno.... 310
11,6*. Las desigualdades más simples para tangente y cotangente. . . 315
11,7*. Desigualdades reducidas a lo más simple reemplazando la incógnita 319
11,8*. Introducción del ángulo auxiliar 322.
11,9*. Reemplazo de la incógnita t = sen x + cos x 327
Información histórica 330
CAPÍTULO III. ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
§ 12. Probabilidad del evento 333
12.1. El concepto de probabilidad de evento 333.
12.2. Propiedades de las probabilidades de eventos 338
Artículo 13*. Frecuencia. Probabilidad condicional 342
13,1*. Frecuencia relativa del evento 342
13,2*. La probabilidad condicional. Eventos independientes 344
Artículo 14*. Valor esperado. Ley de los Grandes Números 348
14,1*. Expectativa matemática 348
14,2*. Experiencia difícil 353
14,3*. La fórmula de Bernoulli. Ley de los Grandes Números 355
Información histórica 359
REVISAR TAREAS 362
Índice de materias 407
Respuestas 410
