Первые историки нашей цивилизации - древние греки - упоминают Египет как место зарождения геометрии. Трудно с ними не согласиться, зная, с какой потрясающей точностью возведены гигантские усыпальницы фараонов. Взаимное расположение плоскостей пирамид, их пропорции, ориентация по сторонам света - достичь такого совершенства было бы немыслимо, не зная основ геометрии.
Само слово "геометрия" можно перевести как «измерение земли». Причём слово «земля» выступает не как планета - часть Солнечной системы, а как плоскость. Разметка площадей под ведение сельского хозяйства, скорее всего, и является самой изначальной основой науки о геометрических фигурах, их видах и свойствах.
Треугольник - самая простая пространственная фигура планиметрии, содержащая всего три точки - вершины (меньше не бывает). Основа основ, может быть, оттого и мерещится в нём нечто таинственное и древнее. Всевидящее око внутри треугольника - один из самых ранних из известных оккультных знаков, причём география его распространения и временные рамки просто поражают воображение. От древних египетской, шумерской, ацтекской и других цивилизаций до более современных сообществ любителей оккультизма, разбросанных по всему земному шару.
Какими бывают треугольники
Обычный разносторонний треугольник - это замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков разной длины и трёх углов, ни один из которых не является прямым. Кроме него, различают несколько особых видов.
Треугольник остроугольный имеет все углы величиной менее 90 градусов. Иными словами - все углы такого треугольника острые.
Прямоугольный треугольник, над которым во все времена плакали школьники из-за обилия теорем, имеет один угол с величиной 90 градусов или, как его ещё называют, прямой.
Тупоугольный треугольник отличается тем, что один из его углов тупой, то есть величина его - более 90 градусов.
Равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины. У такой фигуры равны также все углы.
И наконец, у равнобедренного треугольника из трёх сторон две равны между собой.
Отличительные особенности
Свойства равнобедренного треугольника определяют и его основное, главное, отличие - равенство двух сторон. Эти равные друг другу стороны принято называть бёдрами (или, чаще, боковыми сторонами), ну а третья сторона носит название «основание».
На рассматриваемом рисунке a = b.
Второй признак равнобедренного треугольника вытекает из теоремы синусов. Так как равны стороны a и b, равны и синусы их противолежащих углов:
a/sin γ = b/sin α, откуда имеем: sin γ = sin α.
Из равенства синусов следует равенство углов: γ = α.
Итак, вторым признаком равнобедренного треугольника является равенство двух углов, прилежащих к основанию.
Третий признак. В треугольнике различают такие элементы, как высота, биссектриса и медиана.
Если в процессе решения задачи выясняется, что в рассматриваемом треугольнике два любых из этих элементов совпадают: высота с биссектрисой; биссектриса с медианой; медиана с высотой - однозначно можно делать вывод, что треугольник равнобедренный.
Геометрические свойства фигуры
1. Свойства равнобедренного треугольника. Одним из отличительных качеств фигуры является равенство углов, прилежащих к основанию:
<ВАС = <ВСА.
2. Ещё одно свойство рассмотрено выше: медиана, биссектриса и высота в равнобедренном треугольнике совпадают, если они построены от его вершины к основанию.
3. Равенство биссектрис, проведённых из вершин при основании:
Если АЕ - биссектриса угла ВАС, а CD - биссектриса угла BCA, то: AE = DC.
4. Свойства равнобедренного треугольника предусматривают также равенство высот, которые проведены из вершин при основании.
Если построить высоты треугольника АВС (где АВ = ВС) из вершин А и С, то полученные отрезки CD и АЕ будут равны.
5. Равными также окажутся и медианы, проведённые из углов при основании.
Так, если АЕ и DC - медианы, то есть AD = DB, а BE = EC, то АЕ = DC.
Высота равнобедренного треугольника
Равенство боковых сторон и углов при них привносит некоторые особенности в вычисление длин элементов рассматриваемой фигуры.
Высота в равнобедренном треугольнике делит фигуру на 2 симметричных прямоугольных треугольника, гипотенузами у которых выступают боковые стороны. Высота в таком случае определяется согласно теореме Пифагора, как катет.
У треугольника могут быть равными все три стороны, тогда он будет называться равносторонним. Высота в равностороннем треугольнике определяется аналогично, только для расчётов достаточно знать всего одно значение - длину стороны этого треугольника.
Можно определить высоту и другим путём, например зная основание и прилегающий к нему угол.
Медиана равнобедренного треугольника
Рассматриваемый тип треугольника, благодаря геометрическим особенностям, решается довольно просто по минимальному набору исходных данных. Так как медиана в равнобедренном треугольнике равна и его высоте, и его биссектрисе, то алгоритм её определения ничем не отличается от порядка вычисления данных элементов.
К примеру, определить длину медианы можно по известной боковой стороне и величине угла при вершине.
Как определить периметр
Так как у рассматриваемой планиметрической фигуры две стороны всегда равны, то для определения периметра достаточно знать длину основания и длину одной из сторон.
Рассмотрим пример, когда нужно определить периметр треугольника по известным основанию и высоте.
Периметр равен сумме основания и удвоенной длины боковой стороны. Боковая сторона, в свою очередь, определяется с помощью теоремы Пифагора как гипотенуза прямоугольного треугольника. Длина её равна корню квадратному из суммы квадрата высоты и квадрата половины основания.
Площадь равнобедренного треугольника
Не вызывает, как правило, трудностей и вычисление площади равнобедренного треугольника. Универсальное правило определения площади треугольника как половины произведения основания на его высоту применимо, конечно же, и в нашем случае. Однако свойства равнобедренного треугольника вновь облегчают задачу.
Допустим, что известны высота и угол, прилежащий к основанию. Необходимо определить площадь фигуры. Сделать это можно таким способом.
Так как сумма углов любого треугольника равна 180°, то определить величину угла не составит труда. Далее, воспользовавшись пропорцией, составленной согласно теореме синусов, определяется длина основания треугольника. Все, основание и высота - достаточные данные для определения площади - имеются.
Другие свойства равнобедренного треугольника
Положение центра окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, зависит от величины угла вершины. Так, если равнобедренный треугольник остроугольный, центр круга располагается внутри фигуры.
Центр окружности, которая описана вокруг тупоугольного равнобедренного треугольника, лежит вне его. И, наконец, если величина угла при вершине равна 90°, центр лежит ровно на середине основания, а через само основание проходит диаметр окружности.
Для того чтобы определить радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, достаточно разделить длину боковой стороны на удвоенный косинус половины величины угла при вершине.
Вычисление высоты треугольника зависит от самой фигуры (равнобедренный, равносторонний, разносторонний, прямоугольный). В практической геометрии сложные формулы, как правило, не встречаются. Достаточно знать общий принцип вычислений для того, чтобы он мог быть универсально применим для всех треугольников. Сегодня мы познакомим вас с базовыми принципами вычисления высоты фигуры, расчетными формулами, основываясь на свойствах высот треугольников.
Что такое высота?
Высота имеет несколько отличительных свойств
- Точка, где все высоты соединяются, называется ортоцентром. Если треугольник остроконечный, то ортоцентр находится внутри фигуры, если один из углов тупой, то ортоцентр, как правило, находится снаружи.
- В треугольнике, где один угол равен 90°, ортоцентр и вершина совпадают.
- В зависимости от вида треугольника есть несколько формул, как найти высоту треугольника.
Традиционные вычисления
- Если р – это половина периметра, тогда a, b, c являются обозначением сторон требуемой фигуры, h – высота, то первая и самая простая формула будет выглядеть следующим образом: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
- В школьных учебниках часто можно найти задачи, в которых известно значение одной из сторон треугольника и величина угла между данной стороной и основанием. Тогда формула расчета высоты будет выглядеть так: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
- Когда дана площадь треугольника – S, а также длина основания – а, то вычисления будут максимально простыми. Высоту находят по формуле: h = 2S/a.
- Когда дан радиус окружности, описанной вокруг фигуры, вначале вычисляем длины его двух сторон, а затем приступаем к вычислению заданной высоты треугольника. Для этого используем формулу: h = b ∙ c/2R, где b и c – это две стороны треугольника, которые не являются основанием, а R – радиус.
Все стороны у данной фигуры равнозначны, их длины равны, поэтому и углы при основании тоже будут равными. Из этого следует, что высоты, которые проводим на основания, тоже будут равны, они же и медианы, и биссектрисы одновременно. Говоря простым языком, высота в равнобедренном треугольнике делит основание надвое. Треугольник с прямым углом, который получился после проведения высоты, будем рассматривать с помощью теоремы Пифагора. Обозначим боковую сторону как а, а основание как b, тогда высота h = ½ √4 a2 − b2.
Как найти высоту равностороннего треугольника?
Формула равностороннего треугольника (фигуры, где все стороны являются равновеликими), можно найти, исходя из предыдущих вычислений. Необходимо только измерить длину одной из сторон треугольника и обозначить её как а. Тогда высота выводится по формуле: h = √3/2 a.
Как найти высоту прямоугольного треугольника?
Как известно, угол в прямоугольном треугольнике равен 90°. Высота, опущенная на один катет, одновременно является и вторым катетом. На них и будут лежать высоты треугольника с прямым углом. Для получения данных о высоте, нужно немного преобразовать имеющуюся формулу Пифагора, обозначив катеты – а и b, а также измерив длину гипотенузы – с.
Найдем длину катета (сторона, которой будет перпендикулярна высота): a = √ (c2 − b2). Длина второго катета находится по точно такой же формуле: b =√ (c2 − b2). После чего можно приступать к вычислению высоты треугольника с прямым углом, предварительно сосчитав площадь фигуры – s. Значение высоты h = 2s/a.
Расчеты с разносторонним треугольником
Когда разносторонний треугольник имеет острые углы, то высота, опускаемая на основание, видна. Если же треугольник с тупым углом, то высота может находиться вне фигуры, и нужно мысленно её продолжить, чтобы получить точку соединения высоты и основания треугольника. Самым простым способом измерить высоту является вычисление её через одну из сторон и величины углов. Формула выглядит следующим образом: h = b sin y + c sin ß.
- Свойства равнобедренного треугольника.
- Признаки равнобедренного треугольника.
- Формулы равнобедренного треугольника:
- формулы длины стороны;
- формулы длины равных сторон;
- формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , а третья сторона - основанием .
АВ = ВС - боковые стороны
АС - основание
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем :
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС .
Боковые стороны равны АВ = ВС ,
Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA .
Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника
- Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
- Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
- Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Доказательство теоремы:
- Дан Δ ABC .
- Из точки В проведем высоту BD.
- Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны ().
- Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
- В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
- АВ = ВС - боковые стороны равны.
- Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
- Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
- Биссектриса, высота и медиана это один отрезок - BD
Вывод:
- Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
- Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
- Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
- Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство теоремы:
Дано два Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 . Стороны AB = A 1 B 1 ; BC = B 1 C 1 ; AC = A 1 C 1 .
Доказательство от противного.
- Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
- Пусть Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC, у которого вершина C 2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C 1 относительно прямой A 1 B 1 . По предположению вершины C 1 и C 2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C 1 C 2 . Δ A 1 C 1 C 2 и Δ B 1 C 1 C 2 – равнобедренные с общим основанием C 1 C 2 . Поэтому их медианы A 1 D и B 1 D являются высотами. Значит, прямые A 1 D и B 1 D перпендикулярны прямой C 1 C 2 . A 1 D и B 1 D имеют разные точки A 1 и B 1 , следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C 1 C 2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
- Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.
Признаки равнобедренного треугольника
- Если в треугольнике два угла равны.
- Сумма углов треугольника 180°.
- Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
- Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
- Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.
Формулы равнобедренного треугольника
- b - сторона (основание)
- а - равные стороны
- a - углы при основании
- b
Формулы длины стороны (основания - b ):
- b = 2a \sin(\beta /2)= a \sqrt { 2-2 \cos \beta }
- b = 2a \cos \alpha
Формулы длины равных сторон - (а):
- a=\frac { b } { 2 \sin(\beta /2) } = \frac { b } { \sqrt { 2-2 \cos \beta } }
- a=\frac { b } { 2 \cos\alpha }
- L - высота=биссектриса=медиана
- b - сторона (основание)
- а - равные стороны
- a - углы при основании
- b - угол образованный равными сторонами
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L ):
- L = a sina
- L = \frac { b } { 2 } *\tg\alpha
- L = a \sqrt { (1 + \cos \beta)/2 } =a \cos (\beta)/2)
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L ):
- L = \sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }
- b - сторона (основание)
- а - равные стороны
- h - высота
Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S ):
S=\frac { 1 } { 2 } *bh
Геометрия - это не только предмет в школе, по которому нужно получить отличную оценку. Это еще и знания, которые часто требуются в жизни. Например, при строительстве дома с высокой крышей необходимо рассчитать толщину бревен и их количество. Это несложно, если знать, как находить высоту в равнобедренном треугольнике. Архитектурные сооружения базируются на знании свойств геометрических фигур. Формы зданий зачастую визуально напоминают их. Египетские пирамиды, пакеты с молоком, художественная вышивка, северные росписи и даже пирожки - это все треугольники, окружающие человека. Как говорил Платон, весь мир базируется на треугольниках.
Равнобедренный треугольник
Треугольник является равнобедренным, если он имеет две равных стороны. Их всегда называют боковыми. Сторона, размеры которой отличаются, получила название основания.
Основные понятия
Как и любая наука, геометрия имеет свои основные правила и понятия. Их достаточно много. Рассмотрим лишь те, без которых наша тема будет несколько непонятна.
Высота - это прямая линия, проведенная перпендикулярно к противоположной стороне.
Медиана - это отрезок, направленный из любой вершины треугольника исключительно к середине противоположной стороны.
Биссектриса угла - это луч, разделяющий угол пополам.
Биссектриса треугольника - это прямая, вернее, отрезок соединяющий вершину с противоположной стороной.
Очень важно запомнить, что биссектриса угла - это обязательно луч, а биссектриса треугольника - это часть такого луча.
Углы при основании
Теорема гласит, что углы, расположенные при основании любого равнобедренного треугольника, всегда равны. Доказать эту теорему очень просто. Рассмотрим изображенный равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС. Из угла АВС необходимо провести биссектрису ВД. Теперь следует рассмотреть два полученных треугольника. По условию АВ=ВС, сторона ВД у треугольников общая, а углы АВД и СВД равны, ведь ВД - биссектриса. Вспомнив первый признак равенства, можно смело заключить, что рассматриваемые треугольники равны. А следовательно, равны все соответствующие углы. И, конечно, стороны, но к этому моменту вернемся позже.
Высота равнобедренного треугольника
Основная теорема, на которой базируется решение практически всех задач, звучит так: высота в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и медианой. Чтобы понять её практический смысл (или суть), следует сделать вспомогательное пособие. Для этого необходимо вырезать из бумаги равнобедренный треугольник. Легче всего это сделать из обычного тетрадного листка в клеточку.
Согните полученный треугольник пополам, совместив боковые стороны. Что получилось? Два равных треугольника. Теперь следует проверить догадки. Разверните полученное оригами. Прочертите линию сгиба. При помощи транспортира проверьте угол между прочерченной линией и основанием треугольника. О чем говорит угол в 90 градусов? О том, что прочерченная линия - перпендикуляр. По определению - высота. Как находить высоту в равнобедренном треугольнике, мы разобрались. Теперь займемся углами при вершине. При помощи того же транспортира проверьте углы, образованные теперь уже высотой. Они равны. Значит, высота одновременно является и биссектрисой. Вооружившись линейкой, измерьте отрезки, на которые разбивает высота основание. Они равны. Следовательно, высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам и является медианой.
Доказательство теоремы
Наглядное пособие ярко демонстрирует истинность теоремы. Но геометрия - наука достаточно точная, поэтому требует доказательств.
Во время рассмотрения равенства углов при основании было доказано равенство треугольников. Напомним, ВД - биссектриса, а треугольники АВД и СВД равны. Вывод был таков: соответствующие стороны треугольника и, естественно, углы равны. Значит, АД = СД. Следовательно, ВД - медиана. Осталось доказать, что ВД является высотой. Исходя из равенства рассматриваемых треугольников, получается, что угол АДВ равен углу СДВ. Но эти два угла являются смежными, и, как известно, дают в сумме 180 градусов. Следовательно, чему они равны? Конечно, 90 градусам. Таким образом, ВД - это высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию. Что и требовалось доказать.
Основные признаки
- Чтобы успешно решать задачи, следует запомнить основные признаки равнобедренных треугольников. Они как бы обратны теоремам.
- Если в ходе решения задачи обнаруживается равенство двух углов, значит, вы имеете дело с равнобедренным треугольником.
- Если удалось доказать, что медиана является одновременно и высотой треугольника, смело заключайте - треугольник равнобедренный.
- Если биссектриса является и высотой, то, опираясь на основные признаки, треугольник относят к равнобедренным.
- И, конечно, если медиана выступает и в роли высоты, то такой треугольник - равнобедренный.
Формула высоты 1
Однако для большинства задач требуется найти арифметическую величину высоты. Именно поэтому рассмотрим, как находить высоту в равнобедренном треугольнике.
Вернемся к представленной выше фигуре АВС, у которой а - боковые стороны, в - основание. ВД - высота этого треугольника, она имеет обозначение h.
Что представляет собой треугольник АВД? Так как ВД - высота, то треугольник АВД - прямоугольный, катет которого необходимо найти. Воспользовавшись формулой Пифагора, получаем:
АВ² = АД² + ВД²
Определив из выражения ВД и подставив принятые ранее обозначения, получим:
Н² = а² - (в/2)².
Необходимо извлечь корень:
Н = √а² - в²/4.
Если вынести из под знака корня ¼ , то формула будет иметь вид:
Н = ½ √4а² - в².
Так находится высота в равнобедренном треугольнике. Формула вытекает из теоремы Пифагора. Даже если забыть эту символическую запись, то, зная метод нахождения, всегда можно её вывести.
Формула высоты 2
Формула, описанная выше, является основной и чаще всего используется при решении большинства геометрических задач. Но она не единственная. Иногда в условии, вместо основания, дано значение угла. При таких данных как находить высоту в равнобедренном треугольнике? Для решения подобных задач целесообразно использовать другую формулу:
где Н - высота, направленная к основанию,
а - боковая сторона,
α - угол при основании.
Если в задаче дано значение угла при вершине, то высота в равнобедренном треугольнике находится следующим образом:
Н = а/cos (β/2),
где Н - высота, опущенная на основание,
β - угол при вершине,
а - боковая сторона.
Прямоугольный равнобедренный треугольник
Очень интересным свойством обладает треугольник, вершина которого равна 90 градусам. Рассмотрим АВС. Как и в предыдущих случаях, ВД - высота, направленная к основанию.
Углы при основании равны. Вычислить их большого труда не составит:
α = (180 - 90)/2.
Таким образом, углы, находящиеся при основании, всегда по 45 градусов. Теперь рассмотрим треугольник АДВ. Он также является прямоугольным. Найдем угол АВД. Путем несложных вычислений получаем 45 градусов. А, следовательно, этот треугольник не только прямоугольный, но и равнобедренный. Стороны АД и ВД являются боковыми сторонами и равны между собой.
Но сторона АД в то же время является половиной стороны АС. Получается, что высота в равнобедренном треугольнике равна половине основания, а если записать в виде формулы, то получим следующее выражение:
Следует не забывать, что данная формула является исключительно частным случаем, и может быть использована только для прямоугольных равнобедренных треугольников.
Золотые треугольники
Очень интересным является золотой треугольник. В этой фигуре отношение боковой стороны к основанию равняется величине, названной числом Фидия. Угол, расположенный при вершине - 36 градусов, при основании - 72 градуса. Этим треугольником восхищались пифагорейцы. Принципы золотого треугольника положены в основу множества бессмертных шедевров. Известная всем построена на пересечении равнобедренных треугольников. Для многих творений Леонардо да Винчи использовал принцип «золотого треугольника». Композиция «Джоконды» основана как раз на фигурах, которые создают собой правильный звездчатый пятиугольник.
Картина «Кубизм», одно из творений Пабло Пикассо, завораживает взгляд положенными в основу равнобедренными треугольниками.
Каждому иногда приходится освежить школьные знания, даже если, на первый взгляд, итоговая формула выглядит не сложной. Высоту равнобедренного треугольника легко вывести из теоремы знаменитого математика Пифагора, либо извлечь из формулы Герона.
Вычисление высоты равнобедренного треугольника онлайн
Самый простой способ, который не потребует от вас никаких умственных усилий – это нахождение искомой величины с использованием онлайн сервисов. Многие сайты предлагают вычислить высоту равнобедренного треугольника, пользователю лишь потребуется задать первоначальные величины – длины сторон (для равнобедренного – сторону и основание). К примеру, можно воспользоваться этой страницей совершенно бесплатно. Если вы хотите совершить вычисления самостоятельно, переходите к следующему пункту.
Формулы для высоты равнобедренного треугольника
Согласно вычислениям из указанных во вступлении теорем, формула для высоты такого треугольника равна корню из разности сторон, каждая из которых возведена в квадрат и поделена на 4. Визуально это выглядит так (где h – искомая высота, а – длина основания треугольника, b – длина его стороны):
Если у вас все еще остались вопросы, послушайте подробное и понятное видео, на котором учитель объясняет, как найти высоту треугольника с равными сторонами.
