Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколотых окрестностей, в которых были определены наши функции и которые возникали в процессе доказательств, кроме свойств указанных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделения следующего математического объекта.
а. База; определение и основные примеры
Определение 11. Совокупность В подмножеств множества X будем называть базой в множестве X, если выполнены два условия:
Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из той же совокупности.
Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы.
Если то вместо пишут и говорят, что х стремится к а справа или со стороны больших значений (соответственно, слева или со стороны меньших значений). При принята краткая запись вместо
Запись будет употребляться вместо Она означает, что а; стремится по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а.
то вместо пишут и говорят, что х стремится к плюс бесконечности (соответственно, к минус бесконечности).
Запись будет употребляться вместо
При вместо мы (если это не ведет к недоразумению) будем, как это принято в теории предела последовательности, писать
Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью, что пересечение любых двух элементов базы само является элементом этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой оси.
Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть краткое обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра», а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная для анализа часть созданного современным французским математиком А. Картаном понятия предела по фильтру
b. Предел функции по базе
Определение 12. Пусть - функция на множестве X; В - база в X. Число называется пределом функции по базе В, если для любой окрестности точки А найдется элемент базы, образ которого содержится в окрестности
Если А - предел функции по базе В, то пишут
Повторим определение предела по базе в логической символике:
Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значениями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного определения:
В этой формулировке вместо произвольной окрестности V (А) берется симметричная (относительно точки А) окрестность (е-окрестность). Эквивалентность этих определений для вещественнозначных функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрестности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же точки (проведите доказательство полностью!).
Мы дали общее определение предела функции по базе. Выше были рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В конкретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо уметь расшифровать общее определение и записать его для конкретной базы.
Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрестности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответствии с общим определением предела разумно принять следующие соглашения:
или, что то же самое,
Обычно под подразумевают малую величину. В приведенных определениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми соглашениями, например, можем записать
Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы доказали в пункте 2 для специальной базы , необходимо дать соответствующие определения: финально постоянной, финально ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций.
Определение 13. Функция называется финально постоянной при базе В, если существуют число и такой элемент базы, в любой точке которого
Определение 14. Функция называется ограниченной при базе В или финально ограниченной при базе В, если существуют число с и такой элемент базы, в любой точке которого
Определение 15. Функция называется бесконечно малой при базе В, если
После этих определений и основного наблюдения о том, что для доказательства теорем о пределах нужны только свойства базы, можно считать, что все свойства предела, установленные в пункте 2, справедливы для пределов по любой базе.
В частности, мы можем теперь говорить о пределе функции при или при или при
Кроме того, мы обеспечили себе возможность применения теории пределов и в том случае, когда функции будут определены не на числовых множествах; в дальнейшем это окажется особенно ценным. К примеру, длина кривой есть числовая функция, определенная на некотором классе кривых. Если мы знаем эту функцию на ломаных, то потом предельным переходом определяем ее для более сложных кривых, например для окружности.
В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они избавляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей нынешней терминологии, для каждого конкретного вида баз.
Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по произвольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции мы проведем в общем виде.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Понятие о неопределенностях. Раскрытие простейших неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы. Основные эквивалентности. Функции, эквивалентные функциям в окрестности .
Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ
Аналитический способ: функция задается с помощью
математической формулы.
Табличный способ: функция задается с помощью таблицы.
Описательный способ: функция задается словесным описанием
Графический способ: функция задается с помощью графика
Пределы на бесконечности
Пределы функции на бесконечности
Элементарные функции:
1) степенная функция y=x n
2) показательная функция y=a x
3) логарифмическая функция y=log a x
4) тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x
5) обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.
Пустьи
Тогда система множеств
является фильтром и обозначается или Пределназывается пределом функции f при x стремящемся к бесконечности.
Опр.1. (по Коши). Пусть задана функция y=f(x): X à Y и точка a является предельной для множества X. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a , если для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для всех xX, удовлетворяющим неравенствам 0 < |x-a | < δ, выполняется |f(x) – A | < ε.
Опр.2.(по Гейне). Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a , если для любой последовательности {x n }ε X, x n ≠a nN, сходящийся к a , последовательность значений функции {f(x n)} сходится к числу A .
Теорема . Определение предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.
Доказательство . Пусть A=lim f(x) – предел функции y=f(x) по Коши и {x n } X, x n a nN – последовательность, сходящаяся к a , x n à a .
По данному ε > 0 найдем δ > 0 такое, что при 0 < |x-a | < δ, xX имеем |f(x) – A | < ε, а по этому δ найдем номер n δ =n(δ) такой, что при n>n δ имеем 0 < |x n -a | < δ
Но тогда |f(x n) – A | < ε, т.е. доказано, что f(x n)à A .
Пусть теперь число A есть теперь предел функции по Гейне, но A не является пределом по Коши. Тогда найдется ε o > 0 такое, что для всех nN существуют x n X, 0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= ε o . Это означает, что найдена последовательность {x n } X, x n ≠a nN, x n à a такая, что последовательность {f(x n)} не сходится к A .
Геометрический смысл предела lim f (x ) функции в точке х 0 таков: если аргументы х будут взяты в ε-окрестности точки х 0 , то соответствующие значения останутся в ε-окрестности точки.
Функции могут быть заданы на интервалах, примыкающих к точке x0 разными формулами, либо не определены на одном из интервалов. Для исследования поведения таких функций удобным является понятие левосторонних и правосторонних пределов.
Пусть функция f определена на интервале (a, x0). Число A называется пределом функции f слева
в точке x0
если0
0
x
(a,
x0) , x0
-
x
x0: | f
(x) - A
|
Предел функции f справа в точке x0 определяется аналогично.
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
1) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.
2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.
3) Произведение бесконечно малой в некоторой точке функции на функцию ограниченную есть функция, бесконечно малая в той же точке.
Бесконечно малые в некоторой точке х0 функции a (x) и b (x) называются бесконечно малыми одного порядка ,
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям
Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:
сокращение на множитель, создающий неопределенность
деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при)
применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших
использование двух замечательных пределов:
Первый замечательный преде л
Второй замечательный предел
Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x→ a, если f(x): f(x) = f (x)g(x), где limx→ af (x) = 1.
Иначе говоря функции эквивалентны при x→ a, если предел их отношения при x→ a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами :
sin x ~ x, x → 0
tg x ~ x, x → 0, arcsin x ~ x, x ® 0, arctg x~ x, x ® 0
e x -1~ x, x→ 0
ln (1+x)~ x, x→ 0
m -1~ mx, x→ 0
Непрерывность функции. Непрерывность элементарных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Формулировка теорем Больцано-Коши и Вейерштрасса.
Разрывные функции. Классификация точек разрыва. Примеры.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если
" U(f(a)) $ U(a) (f(U(a))М U(f(a))).
Непрерывность сложной функции
Теорема 2. Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 59.
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их областей определения.
Теорема Вейерштрасса
Пусть f - непрерывная функция, определённая на отрезке . Тогда для любого существует такой многочлен p с вещественными коэффициентами, что для любого x из выполнено условие
Теорема Больцано - Коши
Пусть дана непрерывная
функция на отрезке
Пусть также
и без ограничения общности предположим,
чтоТогда для любогосуществуеттакое, что f(c) = C.
Точка разрыва - значение аргумента, при котором нарушается непрерывность функции (см. Непрерывная функция). В простейших случаях нарушение непрерывности в некоторой точке а происходит так, что существуют пределы
при стремлении x к а справа и слева, но хотя бы один из этих пределов отличен от f (a). В этом случае а называют Точкой разрыва 1-го рода . Если при этом f (a + 0) = f (a -0), то разрыв называется устранимым, так как функция f (x) становится непрерывной в точке а, если положить f (a)= f(a+0)=f(a-0).
Разрывные функции, функции, имеющие разрыв в некоторых точках (см. Разрыва точка). Обычно у функций, встречающихся в математике, точки разрыва изолированы, но существуют функции, для которых все точки являются точками разрыва, например функция Дирихле: f (x) = 0, если х рационально, и f (x) = 1, если х иррационально. Предел всюду сходящейся последовательности непрерывных функций может быть Р. ф. Такие Р. ф. называются функциями первого класса по Бэру.
Производная, ее геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования (производная суммы, произведения, частного двух функций; производная сложной функции).
Производная тригонометрических функций.
Производная обратной функции. Производная обратных тригонометрических функций.
Производная логарифмической функции.
Понятие о логарифмическом дифференцировании. Производная степенно-показательной функции. Производная степенной функции. Производная показательной функции. Производная гиперболических функций.
Производная функции, заданной параметрически.
Производная неявной функции.
Производной функции f(x) (f"(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.
Геометрический смысл производной . Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0:
Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
Логарифмическое дифференцирование
Если требуется найти из уравнения, то можно:
а) логарифмировать обе части уравнения
б) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от х,
.
в) заменить его выражением через х
Дифференцирование неявных функций
Пусть уравнение определяеткак неявную функцию от х.
а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно;
б) из полученного уравнения выразим .
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция задана параметрическими уравнениями ,
Тогда , или
Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Критерий дифференцируемости функции.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Дифференциал (от лат. differentia - разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) функции f (x) можно представить в виде Dy = f" (x0) Dx + R,
где член R бесконечно мал по сравнению с Dх. Первый член dy = f" (x0) Dх в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f"(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f"(x) , а dx=Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d 2 y: d(dy)=d 2 y.
Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому
d 2 y = d(dy) = d = "dx = f ""(x)dx·dx = f ""(x)(dx) 2 .
Принято записывать (dx) 2 = dx 2 . Итак, d 2 у= f""(x)dx 2 .
Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:
d 3 y=d(d 2 y)="dx=f """(x)dx 3 .
Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: d n (y)=d(d n -1y)d n y = f (n)(x)dx n
Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0" = f "(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy≈f"(x0)·Δx.
Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f"(x0)·Δx.
Откуда f(x) ≈ f(x0) + f"(x0)·Δx
Инвариантная форма первого дифференциала.
Доказательство:
1)
Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их следствия. Геометрический смысл теорем Ферма, Ролля и Лагранжа.
Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции , а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.
За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна . И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)
Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.
Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:
– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)
– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:
В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций , в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей , на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.
Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?
– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что» , в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;
– для всех «эн», бОльших чем ;
– знак модуля означает расстояние , т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.
Ну как, убийственно сложно? =)
После освоения практики жду вас в следующем параграфе:
И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия : «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».
Хорошо, распишем последовательность
:
Нетрудно уловить, что подпоследовательность
бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами 
– к «единице».
А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный .
Примечание : у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.
Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров) , но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.
Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного
количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности 
половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.
Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро , который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями , чем значительно продвинул теорию.
Рассмотрим некоторую точку и её произвольную
-окрестность:
Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно
. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все)
некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля
: .
Определение : число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:
Или короче: , если
Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.
Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой .
Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт » – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.
Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .
Закрепим материал практикой:
Пример 1
Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .
Примечание : у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .
Решение
: рассмотрим произвольную
найдётся ли
номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:
Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .
Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:
Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства
и Область определения функции
. При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:
Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:
Примечание : иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.
А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.
Вывод
: для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение 
. Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать
.
К слову, из полученного результата 
хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное
число членов.
Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.
Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:
Пример 2
Решение : по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух!!!) .
Рассмотрим произвольную
-окрестность точки и проверим, существует ли
натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:
Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:
Модуль уничтожает знак «минус»:
Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:
Перетасовка:
Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим
неравенство модулем:
Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону.
Извлекаем корень:
И округляем результат:
Вывод
: т.к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение 
, такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство 
. Таким образом, 
по определению. Что и требовалось доказать
.
Советую особо
разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство 
ни в коем случае нельзя ослаблять
, вычитая, скажем, единицу:
Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 3
Используя определение последовательности, доказать, что 
Краткое решение и ответ в конце урока.
Если последовательность бесконечно велика
, то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого
числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность»
:
Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.
Дежурный пример:
И сокращённая запись: , если
Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.
После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно) . Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.
Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!
Строгое определение предела функции
Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа) , соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж) . Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.
Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не
определена:
Такой выбор подчёркивает суть предела функции : «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение , при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.
Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.
Рассмотрим последовательность 
точек (на чертеже отсутствуют)
, принадлежащих промежутку
и отличных от
, которая сходится
к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.
Предел функции по Гейне
для любой
последовательности точек 
(принадлежащих
и отличных от )
, которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)
Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность) . По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.
Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз) . Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.
Предел функции по Коши : число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой) , существует -окрестность точки , ТАКАЯ , что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки) .
Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)
Короткая запись: , если
В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.
! Внимание : если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши , пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки » . Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.
Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!) , который также называют «предел на языке »:
Пример 4
Используя определение предела, доказать, что 
Решение : функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.
Примечание : величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение
Рассмотрим произвольную
-окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли
-окрестность, ТАКАЯ
, что из неравенства 
следует неравенство 
.
Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен
)
Рассмотрим функцию %%f(x)%%, определенную, по крайней мере, в некоторой проколотой окрестности %%\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)%% точки %%a \in \overline{\mathbb{R}}%% расширенной числовой прямой.
Понятие предела по Коши
Число %%A \in \mathbb{R}%% называют пределом функции %%f(x)%% в точке %%a \in \mathbb{R}%% (или при %%x%%, стремящемся к %%a \in \mathbb{R}%%), если, каково бы ни было положительное число %%\varepsilon%%, найдется положительное число %%\delta%%, такое, что для всех точек проколотой %%\delta%%-окрестности точки %%a%% значения функции принадлежат %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%, или
$$ A = \lim\limits_{x \to a}{f(x)} \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text{U}_\varepsilon (A) \big) $$
Это определение называется определением на языке %%\varepsilon%% и %%\delta%%, предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.
Комбинируя различные окрестности точки %%a%% вида %%\stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a), \text{U}_\delta (\infty), \text{U}_\delta (-\infty), \text{U}_\delta (+\infty), \text{U}_\delta^+ (a), \text{U}_\delta^- (a)%% с окрестностями %%\text{U}_\varepsilon (A), \text{U}_\varepsilon (\infty), \text{U}_\varepsilon (+\infty), \text{U}_\varepsilon (-\infty)%%, получим 24 определения предела по Коши.
Геометрический смысл
Геометрический смысл предела функции
Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции %%y = f(x)%% и отметим на нем точки %%x = a%% и %%y = A%%.
Предел функции %%y = f(x)%% в точке %%x \to a%% существует и равен A, если для любой %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%% можно указать такую %%\delta%%-окрестность точки %%a%%, что для любого %%x%% из этой %%\delta%%-окрестности значение %%f(x)%% будет находиться в %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%.
Отметим, что по определению предела функции по Коши для существования предела при %%x \to a%% не важно, какое значение принимает функция в самой точке %%a%%. Можно привести примеры, когда функция не определена при %%x = a%% или принимает значение, отличное от %%A%%. Тем не менее предел может быть равен %%A%%.
Определение предела по Гейне
Элемент %%A \in \overline{\mathbb{R}}%% называется пределом функции %%f(x)%% при %% x \to a, a \in \overline{\mathbb{R}}%%, если для любой последовательности %%\{x_n\} \to a%% из области определения, последовательность соответствующих значений %%\big\{f(x_n)\big\}%% стремится к %%A%%.
Определение предела по Гейне удобно использовать, когда возникают сомнения в существовании предела функции в данной точке. Если можно построить хотя бы одну последовательность %%\{x_n\}%% с пределом в точке %%a%% такую, что последовательность %%\big\{f(x_n)\big\}%% не имеет предела, то можно сделать вывод о том, что функция %%f(x)%% не имеет предела в этой точке. Если для двух различных последовательностей %%\{x"_n\}%% и %%\{x""_n\}%%, имеющих одинаковый предел %%a%%, последовательности %%\big\{f(x"_n)\big\}%% и %%\big\{f(x""_n)\big\}%% имеют различные пределы, то в этом случае также не существует предел функции %%f(x)%%.
Пример
Пусть %%f(x) = \sin(1/x)%%. Проверим, существует ли предел данной функции в точке %%a = 0%%.
Выберем сначала сходящуюся к этой точке последовательность $$ \{x_n\} = \left\{\frac{(-1)^n}{n\pi}\right\}. $$
Ясно, что %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb{N}%% и %%\lim {x_n} = 0%%. Тогда %%f(x_n) = \sin{\left((-1)^n n\pi\right)} \equiv 0%% и %%\lim\big\{f(x_n)\big\} = 0%%.
Затем возьмем сходящуюся к той же точке последовательность $$ x"_n = \left\{ \frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$
для которой %%\lim{x"_n} = +0%%, %%f(x"_n) = \sin{\big((4n + 1)\pi/2\big)} \equiv 1%% и %%\lim\big\{f(x"_n)\big\} = 1%%. Аналогично для последовательности $$ x""_n = \left\{-\frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$
также сходящейся к точке %%x = 0%%, %%\lim\big\{f(x""_n)\big\} = -1%%.
Все три последовательности дали разные результаты, что противоречит условию определения по Гейне, т.е. данная функция не имеет предела в точке %%x = 0%%.
Теорема
Определение предела по Коши и по Гейне эквивалентны.
Предел функции - число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .
Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .
График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :
Значение А
является пределом (предельным значением) функции
f (x)
в точке x 0
в случае, если для всякой последовательности точек 
, которая сходится к x 0
, но которая не содержит x 0
как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x 0
), последовательность значений функции 
сходится к A
.
Предел функции по Коши.
Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 < | x - x0 | < δ , будет выполнено неравенство | f (x) A | < ε .
Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:
Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.
Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.
Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:
x → 2, x → 0, x → ∞.
Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:
Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:
Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:
Необходимо вычислить предел функции 
Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя - это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:
Ответ 
Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2 x - 3 :
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √ D = √16 = 4
x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x 1 = -3; x 2 = 1.
Таким образом, числитель будет таким:
Ответ 
Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.
Чтобы решить пределы, следуйте правилам:
Разобравшись в сути и основных правилах решения предела , вы получите базовое понятие о том, как их решать.
