Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью
.
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.
Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).
1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.
2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.
1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.
В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.
Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:
1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).
2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения
Тема: « Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда».
Предмет : геометрия
Класс: 10
Используемые педагогические технологии:
технология проектного обучения, информационные технологии .
Тема урока : Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда
Тип урока : урок закрепления и развития знаний.
Формы работы на уроке : фронтальная, индивидуальная
Список используемых источников и программно-педагогических средств:
1. . Геометрия. 10-11 классы,- М: Просвещение, 2006г.
2. . Задачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1991.
3. Г. Прокопенко. Методы решения задач на построение сечений многогранников. 10 класс . ЧПГУ, г. Челябинск. Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" 31/2001.
4. А. Мордкович. Семинар девятый. Тема: Построение сечений многогранников (позиционные задачи). Еженедельное приложение к газете "Первое сентября". Математика. 3/94.
5. Мультимедийный интерактивный курс "Открытая математика. Стереометрия." Физикон
6. «Живая геометрия»
Образовательные:
Проверить знание теоретического материала о многогранниках (тетраэдр, параллелепипед).
Продолжить формирование умения анализировать чертеж, выделять главные элементы при работе с моделью многогранника, намечать ход решения задачи, предвидеть конечный результат.
Отработать навыки решения задач на построение сечений многогранников.
Развивать графическую культуру и математическую речь.
Формировать навыки использования компьютерных технологий на уроках геометрии.
Развивающие:
Развивать познавательный интерес учащихся.
Формировать и развивать у учащихся пространственное воображение.
Воспитательные:
Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие.
Воспитывать умения работать индивидуально над задачей.
Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.
Техническое обеспечение:
Компьютер с установленными программами «Живая геометрия», Power Point, мультимедиапроектор.
Раздаточный материал:
Бланки-карточки с заданиями для практической работы, бланки-карточки с ответами для взаимопроверки, опоры – памятки, презентация по теме «Аксиомы стереометрии, следствия из них», презентация ученика «Построение сечений параллелепипеда», цветные карандаши.
Структура урока.
Приветствие. Организационный момент. | ||
Постановка цели и задачи урока. | ||
Повторение изученного материала с использованием презентации. | ||
Актуализация опорных знаний. | ||
Практическая работа на построение сечений. | ||
Взаимопроверка. | ||
Домашнее задание | ||
Рефлексия. | ||
Ход урока:
1)Приветствие. Организационный момент.
2) Постановка цели и задачи урока.
Задачи на построение сечений в многогранниках занимают заметное место в курсе стереометрии. Их роль обусловлена тем, что решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, следствий из них, развитию пространственных представлений и конструктивных навыков. Умение решать задачи на построение сечений является основой изучения почти всех тем курса стереометрии. При решении многих стереометрических задач используют сечения многогранников плоскостью.
На предыдущих уроках мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии, следствиями из аксиом и с теоремами о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. Мы рассмотрели алгоритмы построения несложных сечений куба, тетраэдра и параллелепипеда. Эти сечения, как правило, задавались точками, расположенными на ребрах или гранях многогранника. Сегодня на уроке мы с вами повторим геометрические утверждения, позволяющие сформулировать правила построения сечений. А также научимся применять эти знания при решении задачи на построение сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью, проходящей через три данные точки, такие, что никакие три из этих точек не лежат в одной грани.
3) Повторение изученного материала с использованием презентации.
Давайте повторим некоторые вопросы теории.
- Что такое секущая плоскость? Как можно задать секущую плоскость? Что такое сечение тетраэдра (параллелепипеда)? Какие многоугольники мы получали при построении сечений тетраэдра? А какие многоугольники мы можем получить при построении сечений параллелепипеда? Давайте повторим аксиомы стереометрии, следствия из них и способы задания плоскости (презентация 1, слайды 1-10)
4) Актуализация опорных знаний.
Презентация ученика «Построение сечений параллелепипеда».
Теперь давайте вспомним алгоритм построения сечения тетраэдра на примере двух задач (презентация 1, слайды 11-12). (построение комментируется пошагово учителем).
Пащенко Алексей с помощью своей презентации напомнит нам об алгоритмах построения сечений параллелепипеда (презентация 2, слайды 1-5) (ученик демонстрирует слайды, комментируя последовательность построения)
https://pandia.ru/text/78/168/images/image002_167.gif" width="327" height="244">
Практическая работа по построению сечений параллелепипеда. Приложение 1
Приложение 2
Опора-памятка
- Аксиома
1
. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и причем только одна. Аксиома
2
. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Аксиома
3
. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Следствия из аксиом:
Разработка урока
по теме «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда» в 10 «А» классе
Цель урока:
научить строить сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью;
формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
развивать навыки самостоятельной деятельности у обучающихся, умения работать в группе.
Оборудование: проектор, интерактивная доска, раздаточный материал.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Методы и приемы, используемые на уроке: наглядный, практический, проблемно-поисковый, групповой, элементы исследовательской деятельности.
I . Организационный момент.
Учитель сообщает тему и цель урока (слайд №1 ).
II . Актуализация знаний.
Учитель: Выполняя домашнее задание вам нужно было найти точки встречи прямых и плоскостей, след секущей плоскости на плоскости грани многогранника. Прокомментируйте, что для этого необходимо сделать.
(Обучающиеся комментируют домашнее задание (слайды №2-3 ).
Учитель: Чтобы перейти к изучению новой темы, давайте повторим теоретический материал, ответив на вопросы:
Что называется секущей плоскостью (слайд №4 )? (Обучающиеся дают определение.)
Что называется сечением многогранника (слайд №5 )?(Формулируется определение.)
Что необходимо сделать для того, чтобы построить сечение многогранника плоскостью?
Построение сечения сводится к построению линий пересечения секущей плоскости и плоскостей граней многогранника.)
Обязательно ли секущая плоскость должна пересечь плоскости всех граней многогранника?
Учитель: Давайте проведем небольшое исследование и ответим на вопрос: «Какая фигура может получиться в сечении тетраэдра или параллелепипеда плоскостью?»
(Обучающиеся, работая в группах, ищут ответ на поставленный вопрос.)
(Через несколько минут они формулируют свои предположения, и идет демонстрация слайдов 6 – 7 .)
Учитель: Давайте повторим правила, о которых необходимо помнить при построении сечений многогранника (обучающиеся вспоминают и формулируют нужные аксиомы, теоремы, свойства):
Если две точки принадлежат секущей плоскости и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через данные точки, будет являться следом секущей плоскости на плоскости грани.
Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.
При пересечении двух параллельных плоскостей секущей плоскостью получаются параллельные прямые.
Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекают третью плоскость по прямым, параллельным между собой.
Если у секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней есть общая точка, то она лежит на прямой, содержащей общее ребро данных граней.
Учитель: Найдите ошибки на данных чертежах, обоснуйте свое утверждение (слайды8-9 ).
Учитель: Итак, ребята, мы подготовили теоретическую базу, чтобы научиться строить сечения многогранников плоскостью, в частности сечения тетраэдра и параллелепипеда. Большую часть заданий вы будете выполнять самостоятельно, работая в группах, поэтому у каждого из вас есть рабочие листы с заготовками чертежей многогранников, на которых вы будете строить сечения. При необходимости, вы можете обращаться за консультацией к учителю или старшему в группе.
Итак, вашему вниманию предлагается первое задание : ( слайд №10 ) постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M , N , K . (В сечении получается треугольник, проверка - слайд №11 .)
Учитель: Рассмотрим вторую задачу : Дан тетраэдр DABC . Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK , если M DC , N AD , K AB . ( Слайд №12 )
(Провести решение задачи вместе с классом, комментируя построение.)
( Задача №3 – самостоятельная работа в группах (слайд №14 ). Проверка - слайд № 15 .)
Задача №4 : Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK , где M и N – середины ребер AB и BC ( слайд № 16 ). (Проверка на слайде №17 .)
Учитель : Переходим к следующей части урока. Рассмотрим задачи на построение сечений параллелепипеда плоскостью. Мы выяснили, что в сечении параллелепипеда плоскостью может получиться треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник. Правила построения сечений те же. Предлагаю перейти к следующей задаче, которую вы решите самостоятельно.
(Демонстрируется слайд №18 )
Задача №5
Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью MNK , если M AA 1 , N BB 1 , K CC 1 . (Проверка на слайде № 19 ).
Задача № 6 : ( Слайд № 20 ) Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью PTO , если P , T , O принадлежат соответственно ребрам АА 1 , ВВ 1 , СС 1 .
(Решение обсуждается, учащиеся строят сечение на индивидуальных листах и записывают ход построения (слайд № 21 ).)
TO ∩ BC = M
TP ∩ AB = N
NM ∩ AD = L
NM ∩ CD = F
PL, FO
PTOFL – искомое сечение.
Задача №7: (слайд № 22) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью KMN , если K A 1 D 1 , N , M AB .
Решение: ( слайд № 23)
MN ∩ AD=Q;
QK∩AA 1 =P;
PM;
NE II PK; KF II MN;
FE.
MPKFEN – искомое сечение.
Творческие задания (карточки по вариантам):
В правильной треугольной пирамиде S АВС через вершину С и середину ребра S А проведите сечение пирамиды, параллельное SB . На ребре АВ взята точка F так, что А F : F В=3:1. Через точку F и середину ребра S С проведена прямая. Будет ли эта прямая параллельна плоскости сечения?
АВ 1 С - сечение прямоугольного параллелепипеда АВС D А 1 В 1 С 1 D 1. Через точки Е, F , К, которые являются соответственно серединами ребер DD 1 , А 1 D 1 , D 1 C 1 проведено второе сечение. Докажите, что треугольники Е F К и АВ 1 C подобны, и установите какие углы этих треугольников равны между собой.
Итог урока: Итак, мы познакомились с правилами построения сечений тетраэдра и параллелепипеда, рассмотрели виды сечений, решали простейшие задачи на построение сечений. На следующем уроке мы продолжим изучение темы, рассмотрим более сложные задачи.
А теперь подведем итог урока, ответив на наши традиционные вопросы (слайд № 24 ):
«Мне понравился (не понравился) урок, потому что….»
«Сегодня на уроке я научился….»
«Мне хочется, чтобы….»
(Выставление оценок за урок.)
Задание на дом: п.14 №105, 106. ( слайд № 25 )
Дополнительное задание к №105 : Найдите отношение, в котором плоскость MNK делит ребро AB , если CN : ND = 2:1, BM = MD и точка K – середина медианы AL треугольника ABC .
(Закончить выполнение творческого задания.)
Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Содержание: 1. Цели и задачи. 2. Введение. 3. Понятие секущей плоскости. 4. Определение сечения. 5. Правила построения сечений. 6. Виды сечений тетраэдра. 7. Виды сечений параллелепипеда. 8. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. 9. Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением. 10. Задача на построение сечения тетраэдра по наводящим вопросам. 11. Второй вариант решения предыдущей задачи. 12. Задача на построение сечения параллелепипеда. 13. Задача на построение сечения параллелепипеда. 14. Пожелание учащимся. Цель работы: Развитие пространственных представлений у учащихся. Задачи: Познакомить с правилами построения сечений. Выработать навыки построения сечений тетраэдра и параллелепипеда при различных случаях задания секущей плоскости. Сформировать умение применять правила построения сечений при решении задач по темам «Многогранники». Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями. Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра). L Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. L Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда). Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях. Какие многоугольники могут получиться в сечении? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Треугольники Четырехугольники Параллелепипед имеет 6 граней Треугольники Пятиугольники В его сечениях могут получиться: Четырехугольники Шестиугольники Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K D M AA 1. Проведем прямую через точки М и К, т.к. они лежат в одной грани (АDC). N K BB C C 2. Проведем прямую через точки К и N, т.к. они лежат в одной грани (СDB). 3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN. 4. MNK – искомое сечение. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. 1. Проводим КF. 2. Проводим FE. 3. Продолжим EF, продолжим AC. D F 4. EF AC =М 5. Проводим MK. E M C 6. MK AB=L A L K Правила B 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. С какойпрямые точкой, лежащей в Какие можно Соедините получившиеся Какие сразу той жеточки граниможно можно продолжить, чтобы получить точки, лежащие в одной соединить? соединить полученную дополнительную точку? грани, назовите сечение. дополнительную точку? D иЕ АС ЕLFK FСЕК иточкой K, и FК F L C M A E K B Правила Второй способ Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. D F L C A E K B Правила Первый способ О Способ №1. Способ №2. Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В1, М, N Правила В1 D1 С1 A1 P К В D А Е N С O M 1. MN 3.MN ∩ BA=O 2.Продолжим 4. В1О MN,ВА 5. В1О ∩ А1А=К 6. КМ 7. Продолжим MN и BD. 8. MN ∩ BD=E 9. В1E 10. B1Е ∩ D1D=P , PN Параллелепипед и тетраэдр, сечения Диктант по теме «Тетраэдр, параллелепипед» Вариант I Вариант II 1. Какую поверхность мы называем тетраэдром? параллелепипедом? 2. Что такое грани, ребра, вершины параллелепипеда? тетраэдра? 3. Сформулируйте свойство параллелепипеда о диагоналях. о гранях. Диктант по теме «Тетраэдр, параллелепипед» Вариант I 4. Какие ребра тетраэдра называются противоположными? Вариант II 4. Какие грани параллелепипеда называются смежными? 5. Начертите изображение параллелепипеда. тетраэдра. Перечислите все элементы, укажите их количество. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M,A,D. В1 D1 E A1 С1 В А М D С 1. AD 2. MD 3. ME AD, т.к. (ABC) (A1B1C1) 4. AE AEMD – сечение. Построение сечений тетраэдра Решим задачу D M B A C Решим задачу K M L A N Решим задачу D AC BD B A M C Решим задачу D M К АВС B A K N Какой другой вариант возможен? C Решим задачу D M B A K N C Решим задачу D M ABC K N ACD B N A M C Решим задачу D M ABC K N ACD N B A M C Домашнее задание повторить п. 1 – 14, подготовиться к зачету № 74, 75(б), 107, 79 Построение сечений параллелепипеда Решим задачу B1 C1 М АА1В1В A1 D1 M (BDD1) B A C D Решим задачу С1 B1 A1 D1 B A С D Решим задачу B1 A1 C1 D1 B A C D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 A1 C1 D1 M B N A C K D Решим задачу B1 C1 A1 D1 M B N A C K D 1.Все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника. 2.Все стороны сечения лежат в гранях многогранника. 3.В каждой грани лежит не более одной стороны сечения. 10 10 10 10 ВЫ МНОГОЕ УЗНАЛИ И МНОГОЕ УВИДЕЛИ! ТАК ВПЕРЕД, РЕБЯТА: ДЕРЗАЙТЕ И ТВОРИТЕ! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ.
