"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.
Что такое теория вероятности?
Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.
Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.
Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.
Со страниц истории
Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.
Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.
Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.
Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.
Базовые понятия теории вероятностей. События
Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:
- Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
- Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
- Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.
Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:
- А = «студенты пришли на лекцию».
- Ā = «студенты не пришли на лекцию».
В практических заданиях события принято записывать словами.
Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.
Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:
- А = «студентка пришла на лекцию».
- В = «студент пришел на лекцию».
Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.
Действия над событиями
События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».
Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.
Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.
Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.
Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:
- А = «фирма получит первый контракт».
- А 1 = «фирма не получит первый контракт».
- В = «фирма получит второй контракт».
- В 1 = «фирма не получит второй контракт»
- С = «фирма получит третий контракт».
- С 1 = «фирма не получит третий контракт».
С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:
- К = «фирма получит все контракты».
В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.
- М = «фирма не получит ни одного контракта».
М = А 1 В 1 С 1 .
Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:
Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.
А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.
Собственно, вероятность
Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:
- классическое;
- статистическое;
- геометрическое.
Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:
- Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.
Формула выглядит так: Р(А)=m/n.
А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .
m - количество возможных благоприятных случаев.
n - все события, которые могут произойти.
Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:
Р(А)=9/36=0,25.
В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.
К высшей математике
Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.
Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.
Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:
Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.
Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?
А = «появление качественного товара».
W n (A)=97/100=0,97
Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.
Немного о комбинаторике
Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.
Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?
Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.
Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.
То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.
В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.
Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:
A n m =n!/(n-m)!
Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!
Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:
A n m =n!/m!(n-m)!
Формула Бернулли
В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.
Уравнение Бернулли:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .
Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.
Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.
Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.
Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?
Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.
А = «посетитель совершит покупку».
В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.
Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.
Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.
После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:
C n m = n! / m!(n-m)!
Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.
Формула Пуассона
Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.
Основная формула:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.
Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?
Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:
А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».
р = 0,0001 (согласно условию задания).
n = 100000 (количество деталей).
m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:
Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.
Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:
е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.
Теорема Муавра-Лапласа
Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
X m = m-np/√npq.
Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.
Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:
Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.
Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.
Формула Байеса
Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:
Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).
А и В являются определенными событиями.
Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.
Р (В|А) - условная вероятность события В.
Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.
Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.
А = «случайно взятый телефон».
В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).
В итоге получим:
Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.
Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:
Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;
Р(А/В 2) = 0,04;
Р (А/В 3) = 0,01.
Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:
Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.
В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.
Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем
на примере случайного процесса из задачи 15.1, граф которого изображен на рис. 15.1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния 5 в 5 происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями λ . (i, j = = 0, 1,2, 3); так, переход системы из состояния S 0 в 5, будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния в S 0 – под воздействием потока "окончаний ремонтов" первого узла и т.п.
Граф состояния системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 15.1). Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния. 5q, iSj, S 2, 5"->-
Вероятностью i-го состояния называется вероятность pit) того, что в момент t система будет находиться в состоянии 5(.. Очевидно, что для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице:
Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток At, найдем вероятность p 0(t + At) того, что система в момент (ί + Δί) будет находиться в состоянии 50. Это достигается разными способами.
1. Система в момент t с вероятностью p Q(t) находилась в состоянии 50, а за время At не вышла из него.
Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 15.1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью (λ01 + λ02), т.е. в соответствии с (15.7) с вероятностью, приближенно равной (λ01 + λ0.,)Δί. Л вероятность того, что система не выйдет из состояния 50, равна [ΐ-(λοι + λ0.,)Δί]. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии 50 по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии 50 и не выйдет из него за время Δί), равна по теореме умножения вероятностей
2. Система в момент t с вероятностью p^t) (или p 2(t)) находилась в состоянии 5) или S2 и за время At перешла в состояние 50.
Потоком интенсивностью λ10 (или λ20 – см. рис. 15.1) система перейдет в состояние 50 с вероятностью, приближенно
равной λ,0Δί (или λ20Δί) Вероятность того, что система будет находиться в состоянии 50 по этому способу, равна Ρι(ί)10Δί (или ρ2(ί)λ20Δί).
Применяя теорему сложения вероятностей, получим откуда
Переходя к пределу при At → 0 (приближенные равенства, связанные с применением формулы (15.7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную р" 0 (ί) (обозначим ее для простоты р "0):
Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.
Рассуждая аналогично для других состояний системы 5, можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
(15.9)
Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).
В системе (15.9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (15.8).
Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент t = 0. Так, например, систему уравнений (15.9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии 50, т.е. при начальных условиях р 0 (0) = 1, р х (о) = р 2 (О) = р 3 (О) = 0.
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы р-(!) в предельном, стационарном режиме, т.е. при t → ∞, которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.
В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.
Предельная вероятность состояния S j имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния 50, т.е. р 0 = 0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии 50.
Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы S с графом состояний, изображенном на рис. 15.1, такая система уравнений имеет вид:
(15.10)
Систему (15.10) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом, согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния р г умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного
состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.
15.2. Найти предельные вероятности для системы S из задачи 15.1, граф состояний которой приведен на рис. 15.1, при
Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (15.10) или
(15.11)
Здесь мы вместо одного "лишнего" уравнения системы (15.10) записали нормировочное условие (15.8).
Решив систему (15.11), получим р () = 0,40, p i = 0,20, р 2 = 0,27, р 3 = 0,13, т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии 5Н (оба узла исправны), 20% – в состоянии 5, (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% – в состоянии S 2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени – в состоянии 53 (оба узла ремонтируются).
15.3. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы 5 в условиях задач 15.1 и 15.2, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден. ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден. ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).
Решение. Из задачи 15.2 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную р {) + р 2 = = 0,40 + 0,27 = 0,67, а второй узел – р 0 + p = 0,40 + 0,20 = = 0,60. В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную р { + р3 = 0,20 + 0,13 = 0,33, а второй узел – р 2 + р 3 = 0,27 + 0,13 = 0,40. Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен
Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (15.6) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока "окончаний ремонтов" каждого узла, т.е. теперь, и система линейных алгебраических уравнений (15.10), описывающая стационарный режим системы У, вместе с нормировочным условием (15.8) примет вид :
Решив систему, получим р 0 = 0,60, р, = 0,15, р 2 = 0,20, р 3 = 0,05.
Учитывая, что р 0 + р 2 = 0,60 + 0,20 = 0,80, р 0 + р { = 0,60 + + 0,15 = 0,75, р { + р 3 = 0,15 + 0,05 = 0,20, р 2 + р 3 = 0,20 + + 0,05 = 0,25, а затраты на ремонт первого и второго узла составляют теперь соответственно 8 и 4 ден. ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:
Так как Д1 больше Д (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.
- При записи системы (15.10) одно "лишнее" уравнение мы исключили.
7 ГЛАВА
Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания
В главе рассматриваются:
определение случайного процесса и его характеристики, понятие марковского случайного процесса;
основные понятия теории массового обслуживания;
потоки событий;
уравнение Колмогорова;
СМО с отказами;
метод Монте-Карло.
Типовые задачи
Пример 7.1
Случайный процесс определяется формулой X (t ) = Xcoswt , где X – случайная величина. Найти основные характеристики этого процесса, если М(Х) = а, D (X ) = а 2 .
Решение
На основании свойств математического ожидания и дисперсии имеем:
Корреляционную функцию найдем по формуле (7.1):
Нормированную корреляционную функцию найдем по формуле (7.2):
Пример 7.2
Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.
Решение
Возможные состояния системы: S 0 – оба узла исправны; S 1 – первый узел ремонтируется, второй исправен; S 2 – второй узел ремонтируется, первый исправен; S 3 - оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис. 7.4.
Стрелка, направленная, например, из S 0 в S 1 , означает переход системы в момент отказа первого узла, из S 1 в S 0 – переход в момент окончания ремонта этого узла.
На графе отсутствуют стрелки из S 0 в S 3 и из S 1 в S 2 . Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из S 0 в S 3 ) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S 3 в S 0 ) можно пренебречь.
Пример 7.3
На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью альфа = 1,2 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за две минуты:
а) не придет ни одного вызова;
б) придет ровно один вызов;
в) придет хотя бы один вызов.
Решение
а) Случайная величина X – число вызовов за две минуты – распределена по закону Пуассона с параметром λτ = 1,2*2 = 2,4. Вероятность того, что вызовов не будет (m = 0), по формуле (7.5):
б) Вероятность одного вызова (m = 1):
в) Вероятность хотя бы одного вызова:
Пример 7.4
Найти предельные вероятности для системы S из примера 7.2, граф состояний которой приведен на рис. 7.4, при λ 01 = 1, λ 02 = 2, λ 10 = 2, λ 13 = 2, λ 20 = 3, λ 23 = 1, λ 31 = 3, λ 32 = 2.
Решение
Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (7.14) или
(7.15)
(Здесь вместо одного «лишнего»уравнения системы (7.14) записали нормировочное условие(7.12).)
Решив систему (7.15), получим p 0 = 0,40, p 1 = 0,20, p 2 = 0,27, p 3 = 0,13, т.е. в предельном стационарном режиме системе S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии S 0 (оба узла исправны), 20% - в состоянии S 1 (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии S 2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени – в состоянии S 3 (оба узла ремонтируются).
Пример 7.5
Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы S в условиях примеров 7.2 и 7.4, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден. ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден. ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).
Решение
Из примера 7.4 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную p 0 + р 2 = 0,40 + 0,27 = 0,67, а второй узел – p 0 + р 1 = 0,40 + 0,20 = 0,60. в то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную р 1 + р 3 = 0,20 + 0,13 = 0,33, а второй узел – р 2 +р 3 = =0,27+0,13=0,40. Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен
D = 0,67*10+0,60*6-0,33*4-0,40*2 = 8,18 ден. ед.
Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (7.10) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончаний ремонтов» каждого узла, т.е. теперь λ 10 = 4, λ 20 = 6, λ 31 = 6, λ 32 = 4 и система линейных алгебраических уравнений (7.14), описывающая стационарный режим системы S , вместе с нормировочным условием (7.12) примет вид:
Решив систему, получим р 0 = 0,60, р 1 = 0,15, р 2 = 0,20, р 3 = 0,05.
Учитывая, что р 0 + р 2 = 0,60 + 0,20 = 0,80, р 0 + р 1 = 0,60 + 0,15 = 0,75, р 1 + р 3 = 0,15 + 0,05 = 0,20, р 2 + р 3 = 0,20 + 0,05 = 0,25, а затраты на ремонт первого и второго узлов составляют теперь соответственно 8 и 4 ден. ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:
D 1 = 0,80*10+0,75*6-0,20*8-0,25*4 = 9,9 ден. ед.
Так как D 1 больше D (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.
Пример 7.6
Процесс гибели и размножения представлен графом (рис.7.8). Найти предельные вероятности состояний.
Решение
По формуле (7.20) найдем
,
,
,
т.е. в установившемся стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находится в состоянии S 0 , 17,6% - в состоянии S 1 и 11,8% - в состоянии S 2 .
Пример 7.7
Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью Я, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону t o 6 – 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.
Решения
Имеем λ = 90 (1/ч), t об = 2 мин. Интенсивность потока обслуживаний μ = 1/ t об = 1/2 = 0,5 (1/мин) = 30 (1/ч). По (7.24) относительная пропускная способность СМО Q = 30/(90+30) = 0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P ОТК =0,75 (см. (7.25)). Абсолютная пропускная способность СМО по (7.26) A=90*0,25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера
СМО будет плохо справляться с потоком заявок.
Пример 7.8
В условиях примера 7.7 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение из каждых 100 заявок на переговоры в среднем не менее 90 заявок.
Решение
Интенсивность нагрузки канала по формуле (7.28) р =90/30=3, т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора tоб = 2 мин поступает в среднем 3 заявки на переговоры.
Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) п = 2, 3, 4,... и определим по формулам (7.29), (7.32), (7.33) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при п = 2 p o =(1 + 3 + 3 2 /2!) -1 = 0,118 ≈ 0,12;
Q = 1-(3 2 /2!)*0,118 ≈ 0,471; А = 90*0,471 = 42,4.
Значение характеристик СМО сведем в табл. 7.1.
Таблица 7.1
|
Характеристика обслуживания |
Обозначение |
Число каналов (телефонных номеров) |
|||||
|
Относительная пропускная способность |
|||||||
|
Абсолютная пропускная способность |
|||||||
По
условию оптимальности Q
≥
0,9, следовательно, в телевизионном
ателье необходимо установить 5 телефонных
номеров (в этом случае Q
= 0,90 – см. табл. 7.1). При этом в час будут
обслуживаться в среднем 80 заявок (А =
80,1), а среднее число занятых телефонных
номеров (каналов) по формуле (7.34)
= 80, 1/30 = 2,67.
Пример 7.9
В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 1/ч. Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение
По условию п=3, λ =0,25 (1/ч), t o 6 =3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/ t o 6 =1/3=0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (7.28) р =0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний:
по формуле (7.29):
p 0 =(1+0,75+0,75 2 /2!+0,75 3 /3!) -1 =0,476;
по формуле (7.30):
p 1 = 0,75*0,476 = 0,357; p 2 = (0,75 2 /2!)*0,476 = 0,134; p 3 = (0,75 3 /3!)*0,476 = 0,033,
т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% – имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% – две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени – три заявки (заняты три ЭВМ).
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, Р 0ТК = р 3 = 0,033.
Согласно формуле (7.32) относительная пропускная способность центра Q = 1 – 0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
По формуле (7.33) абсолютная пропускная способность центра А = 0,250,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.
Согласно формуле (7.34) среднее число занятых ЭВМ к = = 0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 = 24,2%.
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, здесь высокая пропускная способность СМО, а с другой – значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.
Случайный процесс определяется формулой X(t)= Хе(- t ) (t > 0), где X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и а 2 . Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную и нормированную корреляционную функции случайного процесса.
Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух автоматов по продаже газированной воды, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.
Построить граф состояний системы S , представляющей собой электрическую лампочку, которая в случайный момент времени может быть либо включена, либо выключена, либо выведена из строя.
Среднее число заказов на такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за две минуты поступит:
а) 4 вызова;
б) хотя бы один;
в) ни одного вызова.
(Поток заявок простейший.)
Найти предельные вероятности для систем S , граф которых изображен на рис. 7.11 и 7.12.
Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний – простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.
Решить задачу 7.15 для случая п = 4 канала (групп проведения осмотра). Найти минимальное число каналов, при котором относительная пропускная способность пункта осмотра будет не менее 0,9.
Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию, на вход которой поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 0,4 вызовов/мин. Средняя продолжительность разговора 3 мин.; время разговора имеет показательное распределение. Найти предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания СМО. Сравнить пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если разговор длился в точности 3 мин., а заявки шли одна за другой регулярно, без перерывов.
Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью 4 заявки/ч. Среднее время обслуживания одной заявки 0,8 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход 4 ден. ед. Содержание каждого канала обходится 2 ден. ед./ч. Выяснить, выгодно или невыгодно в экономическом отношении увеличить число каналов до трех.
Задания по вариантам
|
Варианты |
Главы |
||||||
Пусть имеется техническая система с дискретными состояниями, в которой протекают марковские случайные процессы с непрерывным временем. Предположим, что все интенсивности потоков событий, переводящие систему из состояния в состояние постоянны , т.е. все потоки событий –– простейшие (стационарные пуассоновские).
Сформулируем следующую задачу: что будет происходить с системой при стремлении t ® ¥ ? Если функции P i (t) будут стремиться к каким-либо пределам, то будем их называть предельными вероятностями состояний .
Можно доказать следующее общее положение.
Если число состояний системы конечно и из каждого состояния за конечное число шагов можно перейти в любое другое (замкнутая система, рис.2.8а), то предельные вероятности состояний существуют и они не зависят ни от времени, ни от начального состояния системы.
При этом, естественно, сохраняется условие:
Рис. 2.7.8 а) –– граф замкнутой системы
Рис. 2.7.8 б) –– граф разомкнутой системы
Таким образом, при t ® ¥ в системе устанавливается некоторый предельный стационарный режим, который состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени: каждое из состояний реализуется с некоторой постоянной вероятностью P i .
При этом предельная вероятность P i представляет собой среднее относительное время пребывания системы в данном i-м состоянии, т.е. после перехода системы в установившийся режим работы она будет находиться в состоянии S i в течение времени, пропорциональном P i .
Например, если система имеет состояния S 0 , S 1 , S 2 и предельные вероятности равны 0.4, 0.1, 0.5, то после перехода в установившийся режим 40% времени система будет находиться в состоянии S 0 , 10% –– в состоянии S 1 и 50% –– в состоянии S 2 .
Для вычисления предельных вероятностей в системе дифференциальных уравнений Колмогорова необходимо левые части уравнений положить равными нулю (как производные от постоянных, поскольку теперь вероятности состояний не зависят от времени). Тогда исходная система дифференциальных уравнений трансформируется в систему линейных алгебраических уравнений, решение которых совместно с (2.85) дает возможность определить предельные вероятности P i .
Размеченный граф замкнутой системы имеет следующий вид.
Рис. 2.7.9. Размеченный граф замкнутой системы.
Система дифференциальных уравнений Колмогорова:
Соответствующая линейная система алгебраических уравнений:
Решением этой системы будут значения предельных вероятностей.
Пусть имеется физическая система S={S 1 ,S 2 ,…S n } , в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Предположим, что l ij =const , т.е. все потоки событий простейшие (стационарные пуассоновские). Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравненияпри заданных начальных условиях, мы получим p 1 (t), p 2 (t),… p n (t), при любом t . Поставим следующий вопрос, что будет происходить с системой S при t®¥. Будут ли функции p i (t ) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными вероятностями состояний. Можно доказать теорему: если число состояний S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. Предположим, что поставленное условие выполнено и предельные вероятности существуют (i=1,2,…n), .
Таким образом, при t®¥ в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим. Смысл этой вероятности: она представляет собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Для вычисления p i в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными 0. Систему получающихся линейных алгебраических уравнений надо решать совместно с уравнением .
Основные формулы для вычисления финальных вероятностей состояний СМО. Пример использования формул.
Что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний .
где - конечное число состояний системы.
Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что:
Финальная вероятность состояния – это по–существу среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.
Например, система S имеет три состояния S1, S2 и S3. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S1, 3/10 – в состоянии S2 и 5/10 – в состоянии S3.
Вопрос 8
p S - 1 λ S - 1, S + p S+1 λ S + 1, S - p S (λ S - 1, S + λ S + 1, S) = 0, s = 0, R
s = 0 – p 1 λ 10 – p 0 λ 01 = 0
s = 1 - p 0 λ 01 + p 2 λ 21 - p 1 (λ 10 + λ 12) = 0
s = 3 - p 1 λ 12 + p 3 λ 32 - p 2 (λ 21 + λ 23) = 0
Вопрос 9
Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди.
Система может находиться в одном из состояний S0, S1, S2,…, Sk,…, Sn,…, - нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S1 - занят один канал, остальные свободны; S2 - заняты два канала, остальные свободны;..., Sk - занято k каналов, остальные свободны;..., Sn - заняты все n каналов (очереди нет); Sn+1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., Sn+r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди.
Вопрос 10
λ - интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).
– интенсивность обслуживания, t об – среднее время обслуживания одного клиента
Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/μ
число каналов обслуживания n
Вероятности свободного состояния СМО:
Многоканальная с отказами
Или как давал препод: i=1,R
