Ինչի՞ն հավասար չէ շոշափողը: Ի՞նչ է սինուսը: Անկյուններ ավելացնելու եռանկյունաչափական բանաձևեր

Եռանկյունաչափության մեր ուսումնասիրությունը կսկսենք ուղղանկյուն եռանկյունով: Եկեք սահմանենք, թե ինչ են սինուսը և կոսինուսը, ինչպես նաև սուր անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը: Սա եռանկյունաչափության հիմունքներն են:

Հիշեցնենք, որ Աջ անկյունը-ին հավասար անկյուն է: Այսինքն՝ կես շրջված անկյուն։

Սուր անկյուն- ավելի փոքր:

Բութ անկյուն- ավելի մեծ: Նման անկյան առնչությամբ «բութը» վիրավորանք չէ, այլ մաթեմատիկական տերմին :-)

Եկեք գծենք ուղղանկյուն եռանկյուն: Ուղղակի անկյունը սովորաբար նշվում է . Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ անկյունին հակառակ կողմը նշվում է նույն տառով, միայն փոքր: Այսպիսով, նշանակված է անկյան հակառակ կողմը:

Անկյունը նշվում է համապատասխան հունարեն տառով։

ՀիպոթենուզաՈւղղանկյուն եռանկյան այն կողմն է, որը հակառակ անկյան կողմն է:

Ոտքեր- կողմերը, որոնք ընկած են հակառակ սուր անկյունների վրա:

Անկյունին հակառակ ընկած ոտքը կոչվում է հակառակը(անկյան համեմատ): Մյուս ոտքը, որը ընկած է անկյան կողմերից մեկի վրա, կոչվում է կից.

ՍինուսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հակառակ կողմի հարաբերությունն է հիպոթենուսին.

Կոսինուսսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունում - հարակից ոտքի հարաբերակցությունը հիպոթենուսին.

Շոշափողսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունում - հակառակ կողմի հարաբերակցությունը հարակից.

Մեկ այլ (համարժեք) սահմանում. Սուր անկյան շոշափողը անկյան սինուսի և նրա կոսինուսի հարաբերությունն է.

ԿոտանգենսՈւղղանկյուն եռանկյունու սուր անկյուն - հարակից կողմի հարաբերակցությունը հակառակին (կամ, որը նույնն է, կոսինուսի և սինուսի հարաբերակցությունը).

Նկատի ունեցեք սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հիմնական հարաբերությունները ստորև: Դրանք մեզ օգտակար կլինեն խնդիրներ լուծելիս։

Եկեք ապացուցենք դրանցից մի քանիսը.

1. Ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է . Նշանակում է, Ուղղանկյուն եռանկյան երկու սուր անկյունների գումարը հավասար է .

2. Մի կողմից, որպես հակառակ կողմի հարաբերակցությունը հիպոթենուսին: Մյուս կողմից, քանի որ անկյան համար ոտքը հարակից կլինի:

Մենք դա հասկանում ենք: Այլ կերպ ասած, .

3. Վերցրեք Պյութագորասի թեորեմը. Եկեք երկու մասերը բաժանենք հետևյալի.

Մենք ստացանք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը:

Այսպիսով, իմանալով անկյան սինուսը, մենք կարող ենք գտնել նրա կոսինուսը և հակառակը։

4. Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության երկու կողմերը բաժանելով -ի վրա՝ ստանում ենք.

Սա նշանակում է, որ եթե մեզ տրվի սուր անկյան շոշափողը, ապա մենք կարող ենք անմիջապես գտնել դրա կոսինուսը:

Նմանապես,

Լավ, մենք տվել ենք սահմանումներ և գրել բանաձևեր: Բայց ինչո՞ւ մեզ դեռ պետք են սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս:

Մենք դա գիտենք ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է.

Մենք գիտենք փոխհարաբերությունները կուսակցություններուղղանկյուն եռանկյուն. Սա Պյութագորասի թեորեմն է.

Ստացվում է, որ իմանալով եռանկյան երկու անկյուն, կարող ես գտնել երրորդը: Իմանալով ուղղանկյուն եռանկյան երկու կողմերը՝ կարող եք գտնել երրորդը: Սա նշանակում է, որ անկյուններն ունեն իրենց հարաբերակցությունը, իսկ կողմերը՝ իրենց։ Բայց ի՞նչ պետք է անեք, եթե ուղղանկյուն եռանկյունում գիտեք մեկ անկյուն (բացի ուղիղ անկյան տակ) և մի կողմ, բայց պետք է գտնել մյուս կողմերը:

Ահա թե ինչի են բախվել անցյալում մարդիկ՝ տարածքի և աստղազարդ երկնքի քարտեզներ կազմելիս։ Ի վերջո, միշտ չէ, որ հնարավոր է ուղղակիորեն չափել եռանկյան բոլոր կողմերը:

Սինուս, կոսինուս և շոշափող - դրանք նաև կոչվում են եռանկյունաչափական անկյան ֆունկցիաներ- փոխհարաբերություններ տալ կուսակցություններԵվ անկյուններըեռանկյուն. Իմանալով անկյունը՝ դուք կարող եք գտնել նրա բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝ օգտագործելով հատուկ աղյուսակներ: Իսկ իմանալով եռանկյան և նրա կողմերից մեկի անկյունների սինուսները, կոսինուսները և շոշափողները, կարող եք գտնել մնացածը:

Մենք նաև գծելու ենք սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքների աղյուսակը դեպի «լավ» անկյունները:

Խնդրում ենք ուշադրություն դարձնել աղյուսակի երկու կարմիր գծիկներին: Անկյունների համապատասխան արժեքներում շոշափող և կոտանգենս գոյություն չունեն:

Եկեք նայենք մի քանի եռանկյունաչափության խնդիրներ FIPI Task Bank-ից:

1. Եռանկյունում անկյունը , . Գտնել.

Խնդիրը լուծվում է չորս վայրկյանում։

Քանի որ մենք ունենք.

2. Եռանկյունում անկյունը , , . Գտնել. , հավասար է հիպոթենուզի կեսը.

Անկյուններով եռանկյուն, որը հավասարաչափ է: Դրանում հիպոթենուսը անգամ ավելի մեծ է, քան ոտքը:

Որոշ խնդիրներ լուծելու համար օգտակար կլինի եռանկյունաչափական ինքնությունների աղյուսակը, որը շատ ավելի հեշտ կդարձնի ֆունկցիաների փոխակերպումը.

Ամենապարզ եռանկյունաչափական ինքնությունները

Ալֆա անկյան սինուսը նույն անկյան կոսինուսի վրա բաժանելու գործակիցը հավասար է այս անկյան շոշափողին (բանաձև 1): Տես նաև պարզագույն եռանկյունաչափական ինքնությունների փոխակերպման ճիշտության ապացույցը։
Ալֆա անկյան կոսինուսը նույն անկյան սինուսի վրա բաժանելու գործակիցը հավասար է նույն անկյան կոտանգենսին (բանաձև 2)
Անկյան հատվածը հավասար է մեկին, որը բաժանվում է նույն անկյան կոսինուսի վրա (բանաձև 3)
Նույն անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը հավասար է մեկի (բանաձև 4): տե՛ս նաև կոսինուսի և սինուսի քառակուսիների գումարի ապացույցը։
Մեկի և անկյան շոշափողի գումարը հավասար է այս անկյան կոսինուսի քառակուսու հարաբերությանը (Բանաձև 5)
Մեկին գումարած անկյան կոտանգենսը հավասար է մեկի քանորդին, որը բաժանվում է այս անկյան սինուսի քառակուսու վրա (Բանաձև 6)
Նույն անկյան շոշափողի և կոտանգենսի արտադրյալը հավասար է մեկի (Բանաձև 7):

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բացասական անկյունների փոխակերպում (զույգ և կենտ)

Սինուսը, կոսինուսը կամ շոշափողը հաշվարկելիս անկյան աստիճանի չափման բացասական արժեքից ազատվելու համար կարող եք օգտագործել զույգ կամ կենտ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սկզբունքների հիման վրա հետևյալ եռանկյունաչափական փոխակերպումները (ինքնությունները):

Ինչպես երևում է, կոսինուսիսկ հատվածն է նույնիսկ գործառույթ, սինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը կենտ ֆունկցիաներ են.

Բացասական անկյան սինուսը հավասար է նույն դրական անկյան սինուսի բացասական արժեքին (մինուս սինուս ալֆա):
Կոսինուսը մինուս ալֆան կտա նույն արժեքը, ինչ ալֆա անկյան կոսինուսը:
Շոշափող մինուս ալֆան հավասար է մինուս շոշափող ալֆային:

Կրկնակի անկյունների կրճատման բանաձևեր (կրկնակի անկյունների սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս)

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է անկյունը կիսով չափ բաժանել, կամ հակառակը, կրկնակի անկյունից տեղափոխել մեկ անկյուն, կարող եք օգտագործել հետևյալ եռանկյունաչափական նույնականությունները.

Կրկնակի անկյան փոխարկում (Կրկնակի անկյան սինուս, կրկնակի անկյան կոսինուս և կրկնակի անկյան տանգենս) միայնակ տեղի է ունենում հետևյալ կանոնների համաձայն.

Կրկնակի անկյան սինուսհավասար է մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի արտադրյալին

Կրկնակի անկյան կոսինուսհավասար է մեկ անկյան կոսինուսի քառակուսու և այս անկյան սինուսի քառակուսու տարբերությանը

Կրկնակի անկյան կոսինուսհավասար է մեկ անկյան կոսինուսի քառակուսու կրկնապատիկին՝ հանած մեկ

Կրկնակի անկյան կոսինուսհավասար է մեկ մինուս կրկնակի սինուսի քառակուսի մեկ անկյան

Կրկնակի անկյան շոշափողհավասար է կոտորակի, որի համարիչը երկու անգամ մեծ է մեկ անկյան շոշափողից, իսկ հայտարարը հավասար է մեկին հանած մեկ անկյան շոշափող քառակուսին:

Կրկնակի անկյան կոտանգենսհավասար է կոտորակի, որի համարիչը հավասար է մեկ անկյան կոտանգենսի քառակուսին մինուս մեկ, իսկ հայտարարը հավասար է մեկ անկյան կոտանգենսի երկու անգամ

Համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինման բանաձևեր

Ստորև բերված փոխակերպման բանաձևերը կարող են օգտակար լինել, երբ անհրաժեշտ է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արգումենտը (sin α, cos α, tan α) բաժանել երկուի և կրճատել արտահայտությունը մինչև կես անկյան արժեք: α-ի արժեքից ստանում ենք α/2։

Այս բանաձեւերը կոչվում են համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինման բանաձևեր. Դրանց արժեքը կայանում է նրանում, որ նրանց օգնությամբ եռանկյունաչափական արտահայտությունը կրճատվում է մինչև արտահայտելու կես անկյան շոշափում, անկախ նրանից, թե եռանկյունաչափական ֆունկցիաները (sin cos tan ctg) ի սկզբանե եղել են արտահայտության մեջ։ Դրանից հետո կես անկյան շոշափողով հավասարումը շատ ավելի հեշտ է լուծել:

Եռանկյունաչափական նույնականություններ կիսանկյան փոխակերպումների համար

Ստորև բերված են կես անկյան ամբողջ արժեքին եռանկյունաչափական փոխակերպման բանաձևերը:
α/2 եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկի արժեքը նվազեցվում է α եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկի արժեքին։

Անկյուններ ավելացնելու եռանկյունաչափական բանաձևեր

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Անկյունների գումարի շոշափող և կոտանգենսալֆա և բետա կարող են փոխակերպվել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխակերպման հետևյալ կանոնները.

Անկյունների գումարի շոշափողհավասար է այն կոտորակի, որի համարիչը առաջին անկյան շոշափողի և երկրորդ անկյան շոշափողի գումարն է, իսկ հայտարարը՝ մեկ հանած առաջին անկյան շոշափողի և երկրորդ անկյան շոշափողի արտադրյալը։

Անկյունների տարբերության շոշափողհավասար է կոտորակի, որի համարիչը հավասար է կրճատվող անկյան շոշափողի և հանվող անկյան շոշափողի տարբերությանը, իսկ հայտարարը մեկ գումարած այս անկյունների շոշափումների արտադրյալն է։

Անկյունների գումարի կոտանգենսհավասար է կոտորակի, որի համարիչը հավասար է այս անկյունների կոտանգենսների արտադրյալին գումարած մեկ, իսկ հայտարարը հավասար է երկրորդ անկյան կոտանգենսի և առաջին անկյան կոտանգենսի տարբերությանը։

Անկյունների տարբերության կոտանգենսհավասար է կոտորակի, որի համարիչը այս անկյունների կոտանգենսների արտադրյալն է՝ հանած մեկ, իսկ հայտարարը հավասար է այս անկյունների կոտանգենսների գումարին։

Այս եռանկյունաչափական նույնականությունները հարմար են օգտագործել, երբ անհրաժեշտ է հաշվարկել, օրինակ, 105 աստիճանի շոշափողը (tg 105): Եթե ​​պատկերացնում եք tg (45 + 60), ապա կարող եք օգտագործել անկյունների գումարի շոշափողի տրված նույնական փոխակերպումները, այնուհետև պարզապես փոխարինել շոշափող 45 և շոշափող 60 աստիճանի աղյուսակային արժեքները:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը կամ տարբերությունը փոխակերպելու բանաձևեր

sin α + sin β ձևի գումարը ներկայացնող արտահայտությունները կարող են փոխակերպվել հետևյալ բանաձևերի միջոցով.

Եռակի անկյան բանաձևեր - sin3α cos3α tan3ա-ի փոխակերպում sinα cosα tanα-ի

Երբեմն անհրաժեշտ է փոխակերպել անկյան եռակի արժեքը, որպեսզի եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկը 3α-ի փոխարեն դառնա α անկյուն։
Այս դեպքում կարող եք օգտագործել եռակի անկյան փոխակերպման բանաձևերը (ինքնությունները).

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրանքների փոխակերպման բանաձևեր

Եթե ​​անհրաժեշտություն կա փոխակերպելու տարբեր անկյունների սինուսների, տարբեր անկյունների կոսինուսների արտադրյալը կամ նույնիսկ սինուսի և կոսինուսի արտադրյալը, ապա կարող եք օգտագործել հետևյալ եռանկյունաչափական նույնականությունները.


Այս դեպքում տարբեր անկյունների սինուսի, կոսինուսի կամ շոշափող ֆունկցիաների արտադրյալը կվերածվի գումարի կամ տարբերության։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կրճատման բանաձևեր

Դուք պետք է օգտագործեք կրճատման աղյուսակը հետևյալ կերպ. Տողում մենք ընտրում ենք մեզ հետաքրքրող ֆունկցիան։ Սյունակում կա անկյուն. Օրինակ, առաջին շարքի և առաջին սյունակի հատման կետում գտնվող անկյան (α+90) սինուսը պարզում ենք, որ sin (α+90) = cos α:

Հակառակ կողմի և հիպոթենուսի հարաբերությունը կոչվում է սուր անկյան սինուսուղղանկյուն եռանկյուն.

\sin \ալֆա = \frac(a)(c)

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս

Հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունը կոչվում է սուր անկյան կոսինուսուղղանկյուն եռանկյուն.

\cos \ալֆա = \frac(b)(c)

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան շոշափող

Հակառակ կողմի հարակից կողմի հարաբերությունը կոչվում է սուր անկյան շոշափողուղղանկյուն եռանկյուն.

tg \ալֆա = \frac(a)(b)

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոտանգենս

Հարակից կողմի և հակառակ կողմի հարաբերությունը կոչվում է սուր անկյան կոտանգենսուղղանկյուն եռանկյուն.

ctg \ալֆա = \frac(b)(a)

Կամայական անկյան սինուս

Այն միավոր շրջանագծի այն կետի օրդինատը, որին համապատասխանում է \ալֆա անկյունը, կոչվում է կամայական անկյան սինուսռոտացիա \ալֆա .

\sin \alpha=y

Կամայական անկյան կոսինուս

Կոչվում է այն կետի աբսցիսա այն միավոր շրջանագծի վրա, որին համապատասխանում է \ալֆա անկյունը կամայական անկյան կոսինուսռոտացիա \ալֆա .

\cos \alpha=x

Կամայական անկյան շոշափող

Կամայական \ալֆա պտտման անկյան սինուսի և նրա կոսինուսի հարաբերությունը կոչվում է կամայական անկյան շոշափողռոտացիա \ալֆա .

tan \ալֆա = y_(A)

tg \ալֆա = \frac(\sin \ալֆա)(\cos \ալֆա)

Կամայական անկյան կոտանգենս

Պտտման կամայական \ալֆա անկյան կոսինուսի և նրա սինուսի հարաբերությունը կոչվում է կամայական անկյան կոտանգենսռոտացիա \ալֆա .

ctg\ալֆա =x_(A)

ctg \ալֆա = \frac(\cos \ալֆա)(\sin \ալֆա)

Կամայական անկյուն գտնելու օրինակ

Եթե ​​\ալֆան AOM-ի ինչ-որ անկյուն է, որտեղ M-ը միավոր շրջանագծի կետն է, ապա

\sin \alpha=y_(M), \cos \alpha=x_(M) , tg \ալֆա=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \ալֆա=\frac(x_(M))(y_(M)).

Օրինակ, եթե \անկյուն AOM = -\frac(\pi)(4), ապա՝ M կետի օրդինատը հավասար է -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa հավասար է \frac(\sqrt(2))(2)և դրա համար

\sin \ձախ (-\frac(\pi)(4) \աջ)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \ձախ (\frac(\pi)(4) \աջ)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \ձախ (-\frac(\pi)(4) \աջ)=-1.

Կոտանգենսների տանգենսների կոսինուսների սինուսների արժեքների աղյուսակ

Հիմնական հաճախակի հանդիպող անկյունների արժեքները տրված են աղյուսակում.

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\ձախ(\frac(\pi)(6)\աջ)	45^(\circ)\ձախ(\frac(\pi)(4)\աջ)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\աջ)	90^(\circ)\ձախ(\frac(\pi)(2)\աջ)	180^(\circ)\ձախ (\pi\աջ)	270^(\circ)\ձախ(\frac(3\pi)(2)\աջ)	360^(\circ)\ձախ (2\pi\աջ)
\sin\ալֆա	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\ալֆա	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\ալֆա	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Ինչ է սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը, անկյան կոտանգենսը, կօգնի ձեզ հասկանալ ուղղանկյուն եռանկյունը:

Ինչպե՞ս են կոչվում ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը: Հիպոթենուսը և ոտքերը ճիշտ են. ոտքերը երկու մնացած կողմերն են \(AB\) և \(BC\) (որոնք հարում են աջ անկյունին), և եթե ոտքերը դիտարկենք \(BC\) անկյան համեմատ, ապա \(AB\) ոտքը հավասար է հարակից ոտքը, իսկ ոտքը \(BC\) հակառակն է։ Այսպիսով, հիմա պատասխանենք հարցին. որո՞նք են անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը:

Անկյունի սինուս– սա հակառակ (հեռավոր) ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է:

Մեր եռանկյունում.

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Անկյունի կոսինուս– սա հարակից (մոտ) ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է:

Մեր եռանկյունում.

\[ \cos \բետա =\dfrac(AB)(AC) \]

Անկյունի շոշափող- սա հակառակ (հեռավոր) կողմի հարաբերակցությունն է հարակից (մոտ) կողմի հարաբերակցությունը:

Մեր եռանկյունում.

\[tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Անկյունի կոտանգենս- սա հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունն է հակառակ (հեռու):

Մեր եռանկյունում.

\[ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Այս սահմանումները անհրաժեշտ են հիշիր! Որպեսզի ավելի հեշտ լինի հիշել, թե որ ոտքը ինչի բաժանել, դուք պետք է հստակ հասկանաք դա շոշափողԵվ կոտանգենսմիայն ոտքերը նստում են, իսկ հիպոթենուսը հայտնվում է միայն ներսում սինուսԵվ կոսինուս. Եվ հետո դուք կարող եք գալ ասոցիացիաների շղթա: Օրինակ, այս մեկը.

Կոսինուս→ հպում→ հպում→ հարակից;

Կոտանգենտ→ շոշափել→ շոշափել→ հարակից.

Նախ պետք է հիշել, որ սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը, քանի որ եռանկյան կողմերի հարաբերությունները կախված չեն այս կողմերի երկարություններից (նույն անկյան տակ): Չեն հավատում? Այնուհետև համոզվեք՝ նայելով նկարին.

Դիտարկենք, օրինակ, \(\beta \) անկյան կոսինուսը: Ըստ սահմանման, եռանկյունից \(ABC\) . \(\cos \բետա =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), բայց \(\beta \) անկյան կոսինուսը կարող ենք հաշվել \(AHI \) եռանկյունից. \(\cos \բետա =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Տեսեք, կողմերի երկարությունները տարբեր են, բայց մեկ անկյան կոսինուսի արժեքը նույնն է։ Այսպիսով, սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները կախված են բացառապես անկյան մեծությունից:

Եթե ​​հասկանում եք սահմանումները, ապա առաջ գնացեք և համախմբեք դրանք:

Ստորև նկարում ներկայացված \(ABC \) եռանկյունու համար մենք գտնում ենք \(\sin \\ալֆա,\ \cos \\ալֆա,\ tg\ \ալֆա,\ ctg\ \ալֆա \).

\(\սկիզբ(զանգված)(l)\sin \\ալֆա =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \ալֆա =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \ալֆա =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \ալֆա =\dfrac(3)(4)=0.75\վերջ (զանգված) \)

Դե, ստացե՞լ եք: Ապա փորձեք ինքներդ. նույնը հաշվարկեք \(\beta \) անկյան համար:

Պատասխանները: \(\sin \ \բետա =0.6;\ \cos \ \բետա =0.8;\ tg\ \բետա =0.75;\ ctg\ \բետա =\dfrac(4)(3) \).

Միավոր (եռանկյունաչափական) շրջան

Հասկանալով աստիճաններ և ռադիաններ հասկացությունները՝ մենք դիտարկեցինք \(1\)-ի շառավղով շրջան։ Նման շրջանակը կոչվում է միայնակ. Դա շատ օգտակար կլինի եռանկյունաչափություն ուսումնասիրելիս։ Հետեւաբար, եկեք նայենք դրան մի փոքր ավելի մանրամասն:

Ինչպես տեսնում եք, այս շրջանագիծը կառուցված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ Շրջանակի շառավիղը հավասար է մեկի, մինչդեռ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատների սկզբում, շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը ամրագրված է \(x\) առանցքի դրական ուղղության երկայնքով (մեր օրինակում՝ սա. \(AB\)) շառավիղն է։

Շրջանակի յուրաքանչյուր կետը համապատասխանում է երկու թվի՝ \(x\) առանցքի երկայնքով կոորդինատը և \(y\) առանցքի երկայնքով կոորդինատը։ Որո՞նք են այս կոորդինատային թվերը: Եվ ընդհանրապես, ի՞նչ կապ ունեն դրանք քննարկվող թեմայի հետ։ Դա անելու համար մենք պետք է հիշենք դիտարկված ուղղանկյուն եռանկյունու մասին: Վերևի նկարում դուք կարող եք տեսնել երկու ամբողջական ուղղանկյուն եռանկյուններ: Դիտարկենք \(ACG\) եռանկյունը: Այն ուղղանկյուն է, քանի որ \(CG\) ուղղահայաց է \(x\) առանցքին:

Որքա՞ն է \(\cos \\alpha \) եռանկյունից \(ACG \)-ը: Ճիշտ է \(\cos \\ալֆա =\dfrac(AG)(AC) \). Բացի այդ, մենք գիտենք, որ \(AC\)-ը միավոր շրջանագծի շառավիղն է, ինչը նշանակում է \(AC=1\) : Եկեք այս արժեքը փոխարինենք կոսինուսի մեր բանաձևով: Ահա թե ինչ է տեղի ունենում.

\(\cos \\ալֆա =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Ինչի՞ է հավասար \(\sin \\ալֆա \) \(ACG \) եռանկյունից: Դե իհարկե, \(\sin \ալֆա =\dfrac(CG)(AC)\)! Փոխարինեք \(AC\) շառավիղի արժեքը այս բանաձևով և ստացեք.

\(\sin \ալֆա =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Այսպիսով, կարո՞ղ եք ասել, թե ինչ կոորդինատներ ունի շրջանագծին պատկանող \(C\) կետը: Դե, ոչ մի կերպ: Իսկ եթե հասկանաք, որ \(\cos \\alpha \) և \(\sin \alpha \) պարզապես թվեր են: Ո՞ր կոորդինատին է համապատասխանում \(\cos \alpha \)-ը: Դե, իհարկե, կոորդինատը \(x\)! Իսկ ո՞ր կոորդինատին է համապատասխանում \(\sin \alpha \)ը։ Ճիշտ է, կոորդինացե՛ք \(y\)! Այսպիսով, կետը \(C(x;y)=C(\cos \ալֆա;\sin \ալֆա) \).

Այդ դեպքում ինչի՞ են հավասար \(tg \alpha \) և \(ctg \alpha \)-ը: Ճիշտ է, եկեք օգտագործենք շոշափողի և կոտանգենսի համապատասխան սահմանումները և ստանանք դա \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), Ա \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).

Իսկ եթե անկյունն ավելի մեծ է: Օրինակ, ինչպես այս նկարում.

Ի՞նչ է փոխվել այս օրինակում: Եկեք պարզենք այն: Դա անելու համար եկեք նորից շրջվենք դեպի ուղղանկյուն եռանկյունի: Դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյունը \(((A)_(1))(C)_(1))G \) : անկյունը (որպես \(\beta \) անկյան հարևանությամբ): Որքա՞ն է սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքը անկյան համար \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Ճիշտ է, մենք հավատարիմ ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համապատասխան սահմանումներին.

\(\սկիզբ(զանգված)(l)\sin \անկյուն ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \անկյուն ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\անկյուն ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\անկյուն ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\վերջ (զանգված) \)

Դե, ինչպես տեսնում եք, անկյան սինուսի արժեքը դեռևս համապատասխանում է \(y\) կոորդինատին; անկյան կոսինուսի արժեքը - կոորդինատ \(x\) ; և համապատասխան հարաբերակցություններին շոշափողի և կոտանգենսի արժեքները: Այսպիսով, այս հարաբերությունները վերաբերում են շառավիղի վեկտորի ցանկացած պտույտին:

Արդեն նշվեց, որ շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը \(x\) առանցքի դրական ուղղության երկայնքով է։ Մինչ այժմ մենք պտտել ենք այս վեկտորը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, բայց ի՞նչ կլինի, եթե այն պտտենք ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Ոչ մի արտառոց բան, դուք նույնպես որոշակի արժեքի անկյուն կստանաք, բայց միայն այն բացասական կլինի։ Այսպիսով, շառավիղի վեկտորը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտելիս ստանում ենք դրական անկյուններև ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտվելիս՝ բացասական.

Այսպիսով, մենք գիտենք, որ շրջանագծի շուրջ շառավղային վեկտորի ամբողջ պտույտը \(360()^\circ \) կամ \(2\pi \) է: Հնարավո՞ր է շառավիղի վեկտորը պտտել \(390()^\circ \) կամ \(-1140()^\circ \)-ով: Դե, իհարկե, կարող ես: Առաջին դեպքում, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)Այսպիսով, շառավիղի վեկտորը կկատարի մեկ ամբողջական պտույտ և կանգ կառնի \(30()^\circ \) կամ \(\dfrac(\pi )(6) \) դիրքում:

Երկրորդ դեպքում՝ \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), այսինքն՝ շառավիղի վեկտորը կկատարի երեք լրիվ պտույտ և կանգ կառնի \(-60()^\circ \) կամ \(-\dfrac(\pi )(3) \) դիրքում։

Այսպիսով, վերը նշված օրինակներից կարող ենք եզրակացնել, որ անկյունները, որոնք տարբերվում են \(360()^\circ \cdot m\) կամ \(2\pi \cdot m\)-ով (որտեղ \(m\)-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է), համապատասխանում են շառավիղի վեկտորի նույն դիրքին:

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս \(\beta =-60()^\circ \) անկյունը: Նույն պատկերը համապատասխանում է անկյունին \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)և այլն: Այս ցանկը կարելի է անվերջ շարունակել։ Այս բոլոր անկյունները կարելի է գրել ընդհանուր բանաձեւով \(\բետա +360()^\circ \cdot m\)կամ \(\beta +2\pi \cdot m \) (որտեղ \(m\) ցանկացած ամբողջ թիվ է)

\(\սկիզբ(զանգված)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\ 300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\ end (զանգված) \)

Այժմ, իմանալով հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները և օգտագործելով միավորի շրջանակը, փորձեք պատասխանել, թե որոնք են արժեքները.

\(\սկիզբ(զանգված)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\տեքստ (tg)\ 90()^\circ =? \\\ text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\ text (tg)\ 450()^\circ =?\\\տեքստ (ctg)\ 450()^\circ =?\վերջ (զանգված) \)

Ահա միավորի շրջանակը, որը կօգնի ձեզ.

Դժվարություններ ունե՞ք: Հետո եկեք պարզենք: Այսպիսով, մենք գիտենք, որ.

\(\սկիզբ(զանգված)(l)\sin \ալֆա =y;\\cos\ալֆա =x;\\tg\ալֆա =\dfrac(y)(x);\\ctg\ալֆա =\dfrac(x )(y).\վերջ(զանգված)\)

Այստեղից որոշում ենք անկյունների որոշակի չափումների համապատասխան կետերի կոորդինատները։ Դե, եկեք սկսենք հերթականությամբ. անկյունը ներս է \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)համապատասխանում է \(\left(0;1 \right) \) կոորդինատներով կետին, հետևաբար.

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Աջ սլաք \text(tg)\ 90()^\circ \)- գոյություն չունի;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Այնուհետև, հավատարիմ մնալով նույն տրամաբանությանը, պարզում ենք, որ անկյունները ներս \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )համապատասխանում են կոորդինատներով կետերին \(\left(-1;0 \աջ),\text( )\left(0;-1 \աջ),\text( )\left(1;0 \աջ),\text( )\left(0 ;1 \աջ) \), համապատասխանաբար։ Իմանալով դա, հեշտ է որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները համապատասխան կետերում: Փորձեք նախ ինքներդ, ապա ստուգեք պատասխանները:

Պատասխանները:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Աջ սլաք \text(ctg)\ \pi \)- գոյություն չունի

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- գոյություն չունի

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\ text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- գոյություն չունի

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Աջ սլաք \text(tg)\ 450()^\circ \)- գոյություն չունի

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Այսպիսով, մենք կարող ենք կազմել հետևյալ աղյուսակը.

Այս բոլոր արժեքները հիշելու կարիք չկա։ Բավական է հիշել միավորի շրջանագծի կետերի կոորդինատների և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների համապատասխանությունը.

\(\ձախ. \սկիզբ(զանգված)(l)\sin \ալֆա =y;\\cos \ալֆա =x;\\tg \ալֆա =\dfrac(y)(x);\\ctg \ալֆա =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Դուք պետք է հիշեք կամ կարողանաք ցուցադրել այն!! \) !}

Բայց անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները և \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)Ստորև բերված աղյուսակում դուք պետք է հիշեք.

Մի վախեցեք, հիմա մենք ձեզ ցույց կտանք համապատասխան արժեքների բավականին պարզ մտապահման մեկ օրինակ.

Այս մեթոդն օգտագործելու համար կարևոր է հիշել սինուսի արժեքները անկյան բոլոր երեք չափումների համար ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi ) (3) \)), ինչպես նաև անկյան շոշափողի արժեքը \(30()^\circ \)-ում: Իմանալով այս \(4\) արժեքները, բավականին պարզ է վերականգնել ամբողջ աղյուսակը. կոսինուսի արժեքները փոխանցվում են սլաքների համաձայն, այսինքն.

\(\սկիզբ(զանգված)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 )) (2) \ \վերջ (զանգված) \)

\(\ text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), իմանալով դա, դուք կարող եք վերականգնել արժեքները \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). «\(1 \)» համարիչը կհամապատասխանի \(\text(tg)\ 45()^\circ \\), իսկ «\(\sqrt(\text(3)) \)» հայտարարը կհամապատասխանի \(\տեքստ (tg)\ 60()^\circ \\) . Կոտանգենտի արժեքները փոխանցվում են նկարում նշված սլաքների համաձայն: Եթե ​​դուք դա հասկանում եք և հիշում եք սլաքներով գծապատկերը, ապա բավական կլինի հիշել միայն \(4\) արժեքները աղյուսակից:

Կետի կոորդինատները շրջանագծի վրա

Հնարավո՞ր է շրջանագծի վրա գտնել կետ (դրա կոորդինատները)՝ իմանալով շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները, նրա շառավիղը և պտտման անկյունը: Դե, իհարկե, կարող ես: Բերենք կետի կոորդինատները գտնելու ընդհանուր բանաձևը. Օրինակ, ահա մեր առջև մի շրջան.

Մեզ տրված է այդ կետը \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- շրջանագծի կենտրոն. Շրջանակի շառավիղը \(1,5\) է: Անհրաժեշտ է գտնել \(P\) կետի կոորդինատները, որոնք ստացվում են \(O\) կետը \(\դելտա \) աստիճանով պտտելով։

Ինչպես երևում է նկարից, \(P\) կետի \(x\) կոորդինատը համապատասխանում է \(TP=UQ=UK+KQ\) հատվածի երկարությանը: \(UK\) հատվածի երկարությունը համապատասխանում է շրջանագծի կենտրոնի \(x\) կոորդինատին, այսինքն՝ այն հավասար է \(3\)-ի: \(KQ\) հատվածի երկարությունը կարելի է արտահայտել կոսինուսի սահմանման միջոցով.

\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

Այնուհետև մենք ունենք, որ \(P\) կետի համար կոորդինատը \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =3+1.5\cdot \cos \\delta \).

Օգտագործելով նույն տրամաբանությունը, մենք գտնում ենք \(P\) կետի y կոորդինատի արժեքը: Այսպիսով,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1.5\cdot \sin \դելտա \).

Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, կետերի կոորդինատները որոշվում են բանաձևերով.

\(\սկիզբ(զանգված)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \դելտա \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \դելտա \վերջ (զանգված) \), Որտեղ

\(((x)_(0)), ((y)_(0)) \) - շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները,

\(r\) - շրջանագծի շառավիղը,

\(\դելտա \) - վեկտորի շառավիղի պտտման անկյուն:

Ինչպես տեսնում եք, միավորի շրջանակի համար, որը մենք դիտարկում ենք, այս բանաձևերը զգալիորեն կրճատվել են, քանի որ կենտրոնի կոորդինատները հավասար են զրոյի, իսկ շառավիղը հավասար է մեկին.

\(\սկիզբ(զանգված)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \ \դելտա =\cos \ \դելտա \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \ \դելտա =\sin \ \դելտա \վերջ (զանգված) \)

Javascript-ն անջատված է ձեր դիտարկիչում:
Հաշվարկներ կատարելու համար դուք պետք է ակտիվացնեք ActiveX կառավարները: