Возникает задача о численном вычислении определенного интеграла, решаемая с помощью формул, носящих название квад­ратурных.

Напомним простейшие формулы численного интегрирования.

Вычислим приближенное численное значение . Интервал интегрирования [а, b] разобьем на п равных частей точками деле­ния
, называемыми узлами квадра­турной формулы. Пусть в узлах известны значения
:

Величина

называется интервалом интегрирования или шагом. Отметим, что в практике -вычислений число я выбирают небольшим, обычно оно не больше 10-20.На частичном интервале

подынтегральную функцию заменяют интерполяционным много­членом

который на рассматриваемом интервале приближенно представ­ляет функцию f (х).

а) Удержим в интерполяционном многочлене только один первый член, тогда

Полученная квадратная формула

называется формулой прямоугольников.

б) Удержим в интерполяционном многочлене два первых члена, тогда

(2)

Формула (2) называется формулой трапеций.

в) Интервал интегрирования
разобьем на четное число 2n равных частей, при этом шаг интегрирования h будет равен. На интервале
длиной 2h подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй сте­пени, т. е. удержим в многочлене три первых члена:

Полученная квадратурная формула называется формулой Симп­сона

(3)

Формулы (1), (2) и (3) имеют простой геометрический смысл. В формуле прямоугольников подынтегральная функция f(х) на интервале
заменяется отрезком прямой у = ук, параллельной оси абсцисс, а в формуле трапеций - отрезком прямой
и вычисляется соответственно площадь прямо­угольника и прямолинейной трапеции, которые затем сумми­руются. В формуле Симпсона функция f(х) на интервале
длиной 2h заменяется квадратным трехчленом - параболой
вычисляется площадь криволинейной параболической трапеции, затем площади суммируются.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы.

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл.

По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.

Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:

через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;

через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа

через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа

через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, однако часто она приводит к очень громоздким рациональным дробям, у которых, в частности, практически невозможно найти корни знаменателя. Поэтому при возможности применяются частные подстановки, которые тоже рационализируют подынтегральную функцию и приводят к менее сложным дробям.

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Как следует из теоремы, условие непрерывности функции яв­ляется достаточным условием интегрируемости функции. Но это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире. Так, например, существует определенный интеграл от функ­ций, имеющих конечное число точек разрыва.

Вычис­ление определенного интеграла от непрерывной функции с по­мощью формулы Ньютона-Лейбница сводится к нахождению первообразной, которая всегда существует, но не всегда явля­ется элементарной функцией или функцией, для которой состав­лены таблицы, дающие возможность получить значение интеграла. В многочисленных приложениях интегрируемая функция зада­ется таблично и формула Ньютона - Лейбница непосредственно неприменима.

Если необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона .

Из выше изученного можно сделать следующий вывод, что интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Уже в 10 классе я задумываюсь о том, мне нужно будет сдавать профильный ЕГЭ по математике. Решая задания ЕГЭ, я столкнулся с заданиями на нахождение объема многогранников и тел вращения, хотя это задания из программы 11 класса. Заинтересовавшись этим вопросом, я узнал, что в связи с многообразием геометрических фигур тел существует огромное количество формул для нахождения площадей и объёма (на каждуюфигуруи каждое тело приходится своя формула). Рассматривая формулы по геометрии, я убедился, что огромное количество формул связано с площадями и объемами фигур. Таких формул более двенадцати по площадям плоских фигур и более десяти по объемам пространственных тел.

И я задался вопросом : а существует ли такая универсальная формула для нахождения площади и объёма геометрических фигур и тел?

Я считаю тему данного проекта актуальной не только среди учащихся, но и среди взрослых, т.к. школьная программа со временем забывается, и мало кому известно о том, что существует такая формула, которая объединила в себе все другие многочисленные и тяжело запоминающие формулы для нахождения объёма.

Проблема

Необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.

Гипотеза

В XYIII веке английский математик Томас Симпсон вывел формулу для нахождения некоторых площадей плоских фигур и объемов пространственных тел через вычисление площадей нижнего, верхнего и среднего основания.

Я предполагаю, что данная универсальная формула позволит заменить все названные формулы и позволит легко их запомнить.

Цель работы: доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии и ей можно пользоваться не только на практике, но и на экзаменах, в том числе и на ЕГЭ.

Задачи работы:

Изучить основные характеристики геометрических тел стереометрии: призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, шара;

Изучить имеющуюся литературу по данной теме.

Используя универсальную формулу, вывести формулы площадей и объемов для всех фигур и тел.

Сравнить полученные формулы с формулами, предлагаемыми в учебнике.

Ознакомить учащихся старших классов с этой формулой и выяснить с помощью анкетирования, удобно ли применять её при подготовкек экзаменам.

Практическая значимость моей работы: Результаты данной работы могут иметь применение в школьной практике, а именно использоваться на занятиях по геометрии и алгебре, при подготовке и сдаче ЕГЭ.

Глава 1 Краткие характеристики свойств геометрических тел

Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. С 7 по 9 класс я изучал свойства фигур на плоскости, в том числе и формулы для нахождения их площадей (Приложение 1-2).

В курсе 10 класса я начал изучать раздел геометрии-стереометрия, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. При написании работы, я рассмотрел геометрические тела и их поверхности. Объёмные геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Многогранник - поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Тела вращения - геометрические тела, полученные путём вращения вокруг своей оси. Тела вращения: цилиндр, конус, шар.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Выпуклые многогранники - расположены по одну сторону от плоскости каждой грани. Невыпуклые многогранники - расположены по обе стороны от плоскости хотя бы одной грани.

Пирамида

Параллелепипед

Глава 2. Формула Симпсона

Томас Симпсон (20 августа1710 - 14 мая1761) - английскийматематик. В 1746 году Симпсон избран в членыЛондонского королевского общества, а ранее - в члены основанного в 1717 году в Лондоне Математического общества. В 1758 избран иностранным членомШведской королевской академии наук. Назначенный профессором вКоролевскую военную академиювВулидже, Симпсон составил учебники поэлементарной математике. В особых отделахгеометриирассматриваются задачи о наибольших и наименьших величинах, решаемые с помощью элементарной геометрии,правильные многогранники, измерение поверхностей, объёмы тел и, наконец, смешанные задачи.

Замечательная формула существует; более того: она пригодна не только для вычисления объема цилиндра, полного конуса и усеченного конуса, но также и для всякого рода призм, пирамид полных и усеченных и даже для шара, а так же для вычисления площадей плоских фигур. Вот эта формула, известная в математике под названием формулы Симпсона:

где b 1 - площадь (длина) нижнего основания

b 2 - площадь (длина) среднего основания

b 3 - площадь (длина) верхнего основания

2.1 Применение формулы Симпсона для вывода формул площадей плоских фигур.

Наша универсальная формула.b 1 = b 2 =b 3 , тогда получаем:

Ответ: S= hb 1

Вывод. Действительно, площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Универсальная формула.

Так какАВСД-трапеция, то b 2 -ее средняя линия, значит

Тогда получаем:

Вывод. Действительно, площадь трапеции равна половине произведения двух оснований на высоту.

Проведя аналогичные доказательства (Приложение 3-4) для формул площадей треугольника, прямоугольника, квадрата и ромба, я пришел к выводу, что универсальная формула Симпсона подошла для вычисления площадей таких плоских фигур как: параллелограмм, трапеция, треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник.

2.2. Применение формулы Симпсона для вывода формул объемов пространственных тел.

Так какb 1 =b 2 =b 3 , тогда получаем:

Ответ: V=b 1 h

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 6.

Вывод. Действительно, объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Аналогично проводится доказательство выведения формулы объема цилиндра (Приложение 5)

Решение:Так как b 1 =0, а,то тогда получаем:

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 9.

Вывод. Действительно, объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.Аналогично проводится доказательство выведения формулы объема пирамиды (Приложение 5)

Тогда получаем:

Вывод. Выведенная формула полностью совпадает с формулой, предложенной в учебнике

Задача 6. Объем шара.

Дано: шар

b 3 - площадь верхнего основании

Найти: Vшара.

(Рис. 11.Шар)

Так какb 1 =b 3 =0, h=2R

Тогда получаем:

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 10

Вывод: Формулы объемов всех пространственных тел, изучаемые в 11-м классе, также легко выводятся с помощью универсальной формулы Симпсона.

2.3 Практическое применение формулы

Следующим этапом моего исследования является практическое применение (см.Приложение 11-12)

Вывод. Объемы для каждой модели геометрических тел, найденные двумя способами, оказались равны. Формула Симпсона универсальна для таких тел, как пирамида, цилиндр, шар, куб и конус.

Я располагаю формулой, по которой можно приближенно вычислить объем ствола дерева, не задаваясь вопросом о том, на какое геометрическое тело оно похоже: на цилиндр, на полный конус или на усеченный конус. Зная плотности различных пород древесины, можно вычислить вес дерева на корню. Я решил эту задачу с помощью вычисления объема ствола, как объем цилиндра, диаметр основания которого равен диаметру ствола посредине длины: при этом результат получается, однако, преуменьшенный, иногда на 12 %. Без большой ошибки можно принимать объем дерева на корню половину объема цилиндра той же высоты с диаметром, равным поперечнику дерева на высоте груди.

Проделав расчеты, по известным нам ранее формулам, я вычислил объем ствола дерева на корню (см. Приложение 13)

Вывод. Из всего исследования можно сделать вывод о том, что я располагаю формулой, по которой можно приближённо вычислить объём ствола дерева и, зная плотность различных пород древесины, можно определить вес дерева на корню.

Глава 3. Анкетирование учащихся

3.1 Исследование и опрос

Среди учащихся 11-х классов я провел исследование (см.Приложение 13).

Цель исследования: определение количества формул, которые учащиеся могут воспроизвести без повторения за 10 минут, т.е. объема «остаточных» формул.

Результаты оказались следующими (см.Приложение 14):

Наибольшее количество воспроизведенных формул - 41, наименьшее - 5. Учитывая то, что количество формул могло достигать 500 за неограниченное время, я пришел к выводу, что огромное количество формул, изучаемых в школе, учащиеся не помнят. Воспроизведенные формулы составляют лишь 8,2 % от общего количества изученных формул. Чаще всего учащиеся воспроизводили формулы по алгебре (формулы тригонометрии, логарифмические формулы, формулы сокращенного умножения, формула корней квадратного уравнения, производные); по геометрии (формулы площадей плоских фигур, некоторые объемы пространственных тел); несколько формул по физике (формула кинетической энергии, силы тяжести, силы трения и МКТ); по информатике () Это было естественно, т.к. в математике формул больше, чем в любой другой науке.

Увидев полученные результаты, я решил определить причины столь низкого результата. Мною был проведен опрос (см. приложение 14-15) учащихся 11-х классов, в котором предлагалось ответить на следующие вопросы:

Вопросы анкеты.

Как Вы считаете, сколько примерно формул должен знать выпускник школы?

А) зазубривание

Б) понимание

В) метод ассоциаций

Г) другое

Результаты оказались следующими (см.Приложение 15).

Вопрос 1. От 60 до 250 формул

Вопрос 2 . Из полученных ответов можно сделать вывод, что учащиеся 11-х классов при заучивании формул стараются их понять или применяют зазубривание.

Вопрос 3. Мнение учащихся по данному вопросу разошлись, хотя по диаграмме видно, что в основном отвечали «да», т.е. учащиеся считают, что количество формул для запоминания соответствуют уровню памяти среднего ученика.

Вопрос 4 .Почти все учащиеся 11-х классов хотели бы использовать вместо множества формул только одну - универсальную.

3.2 Тестирование

Теперь я знаю, что формула Симпсона действительно универсальна, и её вполне можно применять в жизни. Но действительно ли она так необходима? Чтобы ответить на этот вопрос, я представил формулу на уроке 11 классу, после чего провел тестирование (см. приложение 16-17), и получил следующие результаты:

Тест № 1

23% признались, что им трудно запомнить все формулы.

17% сказали, что выучить все формулы им не составляет труда, в том числе и формулу Симпсона.

60% учащихся применяли формулу Симпсона у некоторых геометрических тел, и она им помогла в решении задач.

Тест № 2

100% утверждают, что формула Симпсона запоминается им легко.

0% признались, что испытывают некоторые трудности в её запоминании.

Тест № 3

76% будут применять эту формулу в дальнейшем.

24% признались, что она им вряд ли понадобится.

Тест № 4

82% считают, что формулу Симпсона стоит включить в школьную программу.

0% считают, что формулу не стоит включать в школьную программу.

18% утверждают, что формулу стоит включить в школьную программу, но только в профильных классах.

Тест № 5

35% считают, что помнить одну формулу для определения объёма сразу нескольких геометрических тел гораздо проще.

59% считают, что следует помнить все формулы, включая формулу Симпсона, ведь никогда не знаешь, какие условия будут даны.

6% считают, что достаточно помнить только формулы, включённые в школьную программу.

Эту формулу так же можно применить в решении задач, в том числе и на ЕГЭ. Приведу примеры задач, которые были даны в 11 классе, и которые были решены учениками без труда:

Задача1 Правильная шестиугольная призма с высотой 18см вписана в цилиндр, с радиусом основания 4см. Найдите объём призмы.

Задача2 Правильная четырехугольная пирамида, с высотой 24см и стороной основания 5см, вписана в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Вывод:

Заключение

За время обучения в школе, учащиеся должны знать огромное количество формул по разным предметам. Проведенный мной опрос показал, что не все учащиеся могут запомнить все эти формулы. Я столкнулсяс проблемой: необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел, т.е формулу, пригодную для многих целей, выполняющую разнообразные функции.

Я предположил, что формула английского математика Томаса Симпсона

позволит заменить формулы площадей фигур и объемов тел одной формулой.

Я поставил перед собой цель: доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии. Эту цель я раскрыл в нескольких задачах.

В результате своей работы я убедился, что формула Симпсона позволяет легко и быстро доказать теоремы об объемах тел, не применяя определенный интеграл.

Для того, чтобы облегчить работу по запоминанию и выводу формул, я предлагаю перед изучением темы «Площади фигур» учителю познакомить учащихся с формулой Симпсона, и предложить самостоятельно вывести изучаемые формулы. Доказательство, предложенное в учебнике, можно использовать учителю как дополнительный материал для урока или в качестве домашней работы.

Теперь прогуливаясь по лесу, вам наверно будет, вероятно, интересно определить объём любого дерева. Вычислить сколько в нём кубических метров древесины, а заодно и взвесить его - узнать, можно ли было бы, например, увезти такой ствол на одной телеге.

Я располагаю формулой, по которой можно приближенно вычислить объем ствола дерева, не задаваясь вопросом о том, на какое геометрическое тело оно похоже: на цилиндр, на полный конус или на усеченный конус.

Считаю, свою работу полезной, т.к. мною были выведены все формулы площадей и объемов изучаемых в школе.

Из результатов анкетирования я убедился, что формула Симпсона достаточно проста для запоминания, и её стоит включить в школьную программу.

Эту формулу так же можно применять на экзаменах, включая ЕГЭ.

Список использованной литературы:

Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. - М., «АСТ»,1999.

CD-ROM. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия, 2002.

Л.С. Атанасян и др. Геометрия 10-11 . Учебник для общеобразовательных учреждений,- М., «Просвещение», 2002.

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/

https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html

https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona

Приложение 1

Краткие характеристики свойств геометрических тел

Треугольник

Приложение 2

Прямоугольник

Приложение 3

b 3 =0, так как верхнее основание является точкой.

Так как b 2 - является в треугольнике средней линией, то, тогда получаем:

Вывод. Действительно, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Решение: - универсальная формула.

Так как АВСД- квадрат, то b 1 =b 2 =b 3 =h, тогда получаем

Приложение 4

Вывод. Действительно, площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Решение: - универсальная формула.

Так как АВСД - прямоугольник, то b 1 =b 2 =b 3 , тогда получаем:

Ответ: S=hb 1 .

Вывод. Действительно, площадь прямоугольника равна двух смежных сторон.

Решение: - универсальная формула.

b 1 =b 2 =b 3 , тогда получаем:

Приложение 5

Задача 2. Объем цилиндра.

Дано: Цилиндр

b 1 - площадь нижнего основания:

b 2 -площадь среднего сечения:

b 3 - площадь верхнего основания.

Найти: Vцилиндра

(Рис. 22. Цилиндр)

Т.к. b 1 =b 2 =b 3 , тогда получаем:

Ответ: V=b 1 h

Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 7.

Вывод. Действительно, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Решение:Так как b 3 =0, а, то тогда получаем:

Ответ: Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 8.

Приложение 6

Приложение 7.

Приложение 8

Приложение 9.

Приложение 10

Приложение 11

Задача № 1. Вычисляем объём модели куба по обычной формуле. Для этого измеряем ребро модели куба: а = 10,5 см. V=a 3 = 1157,625 cм 3

Задача № 2. Вычисляем объём модели правильной шестиугольной пирамиды по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 17,2 см и сторону основания а = 6,5 см.

Задача № 3. Вычисляем объём модели цилиндра по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 20,4 см и радиус основания R = 14 см.

Приложение 12

	Вычисляем S = π *R 2 = 3,14* 14 2 см 2 , V =S*h = 3,14*196*20,4 = 12554,976 cм 3 Вычисляем объем модели по формуле Симпсона V = h/6(S нижнего основания + S верхнего основания + 4S среднего сечения):
Площади верхнего, нижнего основания и среднего сечения равны между собой S = π *R 2 = 3,14* 14 2 = 615,44см 2 , h= 20,4 см. V =20,4/6*(20,4+20,4)=12554,976 см 3
Задача № 4. Вычисляем объём модели конуса по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 21 см и радиус основания R = 6 см.
Задача № 5. Вычисляем объём модели шара по обычной формуле. Для этого измеряем радиус шара R = 7 см.

Приложение 13

Расчёт для берёзы :

Расчёт для осины.

Расчёт для сосны.

Приложение 14

Результаты исследования «Определение объема «остаточных» формул»

Диаграмма 1. Определение количества «остаточных» формул.

Диаграмма 2. Предметы, по которым указаны формулы.

Приложение 15

Какой способ для запоминания формул Вы используете?

А) зазубривание

Б) понимание

В) метод ассоциаций

Г) другое

Диаграмма 3. Методы запоминания формул

Считаете ли Вы, что количество формул для заучивания соответствует уровню памяти среднего ученика?

Диаграмма 4. Соответствие количества формул уровню памяти среднего ученика

Считаете ли Вы, что для лучшего запоминания многих формул нужно использовать какую-нибудь одну универсальную формулу?

Диаграмма 5. Необходимость применения универсальной формулы

Приложение 16

Приложение 17

Остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен , где ξ∈(x 0 ,x 2) или

Назначение сервиса . Сервис предназначен для вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона в онлайн режиме.

Инструкция . Введите подынтегральную функцию f(x) , нажмите Решить. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .

Правила ввода функции

Примеры правильного написания F(x):
1) 10 x e 2x ≡ 10*x*exp(2*x)
2) x e -x +cos(3x) ≡ x*exp(-x)+cos(3*x)
3) x 3 -x 2 +3 ≡ x^3-x^2+3

Вывод формулы Симпсона

Из формулы
при n = 2 получаем

Т.к. x 2 -x 0 = 2h, то имеем . (10)
Это формула Симпсона . Геометрически это означает, что кривую y=f(x) мы заменяем параболой y=L 2 (x), проходящей через три точки: M 0 (x 0 ,y 0), M 1 (x 1 ,y 1), M 2 (x 2 ,y 2).

Остаточный член формулы Симпсона равен

Предположим, что y∈C (4) . Получим явное выражение для R . Фиксируя среднюю точку x 1 и рассматривая R=R(h) как функцию h, будем иметь:
.
Отсюда дифференцируя последовательно три раза по h , получим






Окончательно имеем
,
где ξ 3 ∈(x 1 -h,x 1 +h). Кроме того, имеем: R(0) = 0, R"(0)=0. R""(0)=0. Теперь, последовательно интегрируя R"""(h), используя теорему о среднем, получим


Таким образом, остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен
, где ξ∈(x 0 ,x 2). (11)
Следовательно, формула Симпсона является точной для полиномов не только второй, но и третьей степени.
Получим теперь формулу Симпсона для произвольного интервала [a ,b ]. Пусть n = 2m есть четное число узлов сетки {x i }, x i =a+i·h, i=0,...,n, и y i =f(x i). Применяя формулу Симпсона (10) к каждому удвоенному промежутку , ,..., длины 2h , будем иметь


Отсюда получаем общую формулу Симпсона
.(12)
Ошибка для каждого удвоенного промежутка (k=1,...,m) дается формулой (11).

Т.к. число удвоенных промежутков равно m , то

С учетом непрерывности y IV на [a ,b ], можно найти точку ε, такую, что .
Поэтому будем иметь
. (13)
Если задана предельно допустимая погрешность ε, то, обозначив , получим для определения шага h
.
На практике вычисление R по формуле (13) бывает затруднительным. В этом случае можно поступить следующим образом. Вычисляем интеграл I(h)=I 1 с шагом h , I(2h)=I 2 с шагом 2h и т.д. и вычисляем погрешность Δ:
Δ = |I k -I k-1 | ≤ ε. (14)
Если неравенство (14) выполняется (ε - заданная погрешность), то за оценку интеграла берут I k = I(k·h).
Замечание. Если сетка неравномерная, то формула Симпсона приобретает следующий вид (получить самостоятельно)
.
Пусть число узлов n = 2m (четное). Тогда

где h i =x i -x i-1 .

Пример №1 . С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл , приняв n = 10.
Решение: Имеем 2m = 10. Отсюда . Результаты вычислений даны в таблице:

i	x i	y 2i-1	y 2i
0	0		y 0 = 1.00000
1	0.1	0.90909
2	0.2		0.83333
3	0.3	0.76923
4	0.4		0.71429
5	0.5	0.66667
6	0.6		0.62500
7	0.7	0.58824
8	0.8		0.55556
9	0.9	0.52632
10	1.0		y n =0.50000
∑		σ 1	σ 2

По формуле (12) получим .
Рассчитаем погрешность R=R 2 . Т.к. , то .
Отсюда max|y IV |=24 при 0≤x≤1 и, следовательно . Таким образом, I = 0.69315 ± 0.00001.

Пример №2 . В задачах вычислить определенный интеграл приближенно по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.

Метод парабол (Симпсона)

Суть метода, формула, оценка погрешности.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и нам требуется вычислить определенный интеграл.

Разобьем отрезок на n элементарных

отрезков [;], i = 1., n длины 2*h = (b-a)/ n точками

a = < < < < = b. Пусть точки, i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.

На каждом интервале [;], i = 1,2., n подынтегральная функция

приближается квадратичной параболой y = a* + b*x + c, проходящей через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()). Отсюда и название метода - метод парабол.

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять, который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол .

Вывод Формулы Симпсона.

Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить

Покажем, что через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()) проходит только одна квадратичная парабола y = a* + b*x + c. Другими словами, докажем, что коэффициенты, определяются единственным образом.

Так как (; f ()), (; f ()), (; f ()) - точки параболы, то справедливо каждое из уравнений системы

Записанная система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных, . Определителем основной матрицы этой системы уравнений является определитель Вандермонда, а он отличен от нуля для несовпадающих точек,. Это указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение (об этом говорится в статье решение систем линейных алгебраических уравнений), то есть, коэффициенты, определяются единственным образом, и через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()) проходит единственная квадратичная парабола.

Перейдем к нахождению интеграла.

Очевидно:

f () = f(0) = + + =

f () = f(h) = + +

f () = f (2*h) = + +

Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:

= = (++) = h/3*(f ()+4*f ()+f ())

Таким образом, можно получить формулу метода парабол:

Пример метода Симпсона.

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков

Интеграл, кстати, не берущийся.

Решение: Сразу обращаю внимание на тип задания - необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью . Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков, чтобы гарантированно достичь требуемой точности. Правда, придётся находить четвертую производную и решать экстремальную задачу. На практике практически всегда используется упрощенный метод оценки погрешности.

Начинаю решать. Если у нас два отрезка разбиения, то узлов будет на один больше : , . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования a = = 1.2, а затем последовательно приплюсовываем шаг h = 0.4.

В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если = 1.6, то. Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.

В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Оцениваем погрешность:

Погрешность больше требуемой точности: 0,002165 > 0,001, поэтому необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .

Формула Симпсона становится больше:

Вычислим шаг:

И снова заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Заметим, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздка:

Оцениваем погрешность:

Погрешность меньше требуемой точности: 0,000247 < 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение, округлить его до трёх знаков после запятой и записать.

Формула

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :

где , и - значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

Погрешность

При условии, что у функции на отрезке существует четвёртая производная, погрешность , согласно найденной Джузеппе Пеано формуле равна:

В связи с тем, что значение зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:

Представление в виде метода Рунге-Кутты

Формулу Симпсона можно представить в виде таблицы метода Рунге-Кутты следующим образом:

Составная формула (формула Котеса)

Для более точного вычисления интеграла, интервал разбивают на отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждом из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.

где - величина шага, а - узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок разбит на узлов) в виде

Также формулу можно записать используя только известные значения функции, то есть значения в узлах:

где означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум. Следует обратить внимание на удвоение коэффициента перед суммой. Это связано с тем, что в данном случае роль промежуточных узлов играют исходные узлы интегрирования.

Общая погрешность при интегрировании по отрезку с шагом (при этом, в частности, , ) определяется по формуле :

.

При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:

.

Примечания

Литература

• Костомаров Д. П., Фаворский А. П. «Вводные лекции по численным методам»
• Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Western Union
• Патагонский попугай

Смотреть что такое "Формула Симпсона" в других словарях:

СИМПСОНА ФОРМУЛА - (формула парабол) формула для приближенного вычисления определенных интегралов (квадратурная формула), Названа по имени Т. Симпсона (1743) … Большой Энциклопедический словарь

СИМПСОНА ФОРМУЛА - (формула парабол), формула для приближённого вычисления определ. интегралов (квадратурная формула), имеющая вид где А = (b а)/2n, fk = f(a + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Названа по имени Т. Симпсона (1743) …

Симпсона формула - формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид: , где h = (b а)/2n; fi, = f (a + ih), i = 0, 1, 2,..., 2n. С. ф. называют иногда формулой парабол, т. к. вывод этой формулы основан на… … Большая советская энциклопедия

Симпсона формула - формула парабол, формула для приближённого вычисления определённых интегралов (квадратурная формула), имеющая вид, где h = (b–a)/2n, fk = f(а + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Названа по имени Т. Симпсона (1743). * * * СИМПСОНА ФОРМУЛА СИМПСОНА… … Энциклопедический словарь

Формула прямоугольников

Формула трапеций - Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия

СИМПСОНА ФОРМУЛА - частный случай Ньютона Котеса квадратурной формулы, в к рой берутся три узла: Пусть промежуток [а, b]разбит на пчастичных промежутков , i=0, 1, 2, ..., n 1, длины h=(b а)/п, при этом n считается четным числом, и для вычисления интеграла … Математическая энциклопедия

Симпсона формула - … Википедия

Метод Симпсона - Формула Симпсона относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710 1761). Рассмотрим отрезок . Пусть известны значения вещественной функции f(x) в точках a, (a+b)/2, b.… … Википедия

КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА - формула, служа щая для приближённого вычисления определ. интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры К. ф. прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула … Естествознание. Энциклопедический словарь