Определение первообразной функции
- Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)
Можно прочесть двумя способами:
- f производная функции F
- F первообразная для функции f
Свойство первообразных
- Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.
Геометрическая интерпретация
- Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .
Правила вычисления первообразных
- Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
- Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
- Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .
Запомни!
Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .
- Например:
F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);
Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Если график функции f(x)>0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) возрастает на этом промежутке.
- Если график функции f(x) на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
- Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).
Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.
Неопределенный интеграл
Определение :
- Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x) - называют подынтегральной функцией;
- f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
- x - называют переменной интегрирования;
- F(x) - одна из первообразных функции f(x);
- С - произвольная постоянная.
Свойства неопределённого интеграла
- Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
- Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
- Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac { 1 } { k } \cdot F(kx + b) + C .
Таблица первообразных и неопределенных интегралов
| Функция f(x) | Первообразная F(x) + C | Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C | \int x { ^m } dx = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C |
| f(x) = \frac { 1 } { x } | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac { dx } { x } = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e { ^x } dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac { a^x } { l na } + C | \int a { ^x } dx = \frac { a^x } { l na } + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac { 1 } { \sin { ^2 } x } | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac { dx } { \sin { ^2 } x } = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac { 1 } { \cos { ^2 } x } | F(x) = \tg x + C | \int \frac { dx } { \sin { ^2 } x } = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt { x } | F(x) =\frac { 2x \sqrt { x } } { 3 } + C | |
| f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { x } } | F(x) =2\sqrt { x } + C | |
| f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1-x^2 } } | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac { dx } { \sqrt { 1-x^2 } } =\arcsin x + C |
| f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1+x^2 } } | F(x)=\arctg x + C | \int \frac { dx } { \sqrt { 1+x^2 } } =\arctg x + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2-x^2 } } | F(x)=\arcsin \frac { x } { a } + C | \int \frac { dx } { \sqrt { a^2-x^2 } } =\arcsin \frac { x } { a } + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2+x^2 } } | F(x)=\arctg \frac { x } { a } + C | \int \frac { dx } { \sqrt { a^2+x^2 } } = \frac { 1 } { a } \arctg \frac { x } { a } + C |
| f(x) =\frac { 1 } { 1+x^2 } | F(x)=\arctg + C | \int \frac { dx } { 1+x^2 } =\arctg + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { x^2-a^2 } } (a \not= 0) | F(x)=\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C | \int \frac { dx } { \sqrt { x^2-a^2 } } =\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \sin x } | F(x)= l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C | \int \frac { dx } { \sin x } = l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C |
| f(x)=\frac { 1 } { \cos x } | F(x)= l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 }) \rvert + C | \int \frac { dx } { \cos x } = l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 }) \rvert + C |
Формула Ньютона–Лейбница
Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.
\int_ { a } ^ { b } f(x) dx =F(x)|_ { a } ^ { b } = F(b) - F(a)
где F(x) - первообразная для f(x)
То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .
Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:
S= \int_ { a } ^ { b } f(x) dx
Первообразная функция и неопределённый интеграл
Факт 1. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ).
Определение 1. Функция F (x f (x ) на некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F "(x )=f (x ), то есть данная функция f (x ) является производной от первообразной функции F (x ). .
Например, функция F (x ) = sin x является первообразной для функции f (x ) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x )" = (cos x ) .
Определение 2. Неопределённым интегралом функции f (x ) называется совокупность всех её первообразных . При этом употребляется запись
∫
f (x )dx
,где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f (x ) – подынтегральной функцией, а f (x )dx – подынтегральным выражением.
Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная для f (x ) , то
∫
f (x )dx = F (x ) +C
где C - произвольная постоянная (константа).
Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция - "быть дверью". А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции "быть дверью", то есть её неопределённым интегралом, является функция "быть деревом + С", где С - константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции "сделана" из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную .
Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных ("быть дверью" - "быть деревом", "быть ложкой" - "быть металлом" и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых "сделаны" эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.
Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C , а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C , например, так: 5x ³+С . Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x ³+4 или 5x ³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.
Поставим задачу интегрирования: для данной функции f (x ) найти такую функцию F (x ), производная которой равна f (x ).
Пример 1. Найти множество первообразных функции
Решение. Для данной функции первообразной является функция
Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ), если производная F (x ) равна f (x ), или, что одно и то же, дифференциал F (x ) равен f (x ) dx , т.е.
(2)
Следовательно, функция - первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции
где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.
Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема (формальное изложение факта 2). Если F (x ) – первообразная для функции f (x ) на некотором промежутке Х , то любая другая первообразная для f (x ) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x ) + C , где С – произвольная постоянная.
В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.
Пример 2. Найти множества первообразных функций:
Решение. Находим множества первообразных функций, из которых "сделаны" данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.
1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим
2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем
3) Так как
то по формуле (7) при n = -1/4 найдём
Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx . Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,
,
;
здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором - как функция от z .
Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.
Геометрический смысл неопределённого интеграла
Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.
Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F"(x) . Значит, нужно найти такую функцию F(x) , для которой F"(x)=f(x) . Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x) . Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) - одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy .
Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F"(x)=f(x) , то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.
Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C .
Свойства неопределённого интеграла
Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.
Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f (x ) равен функции f (x ) с точностью до постоянного слагаемого , т.е.
(3)
Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.
Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла , т.е.
Определение 1
Первообразная $F(x)$ для функции $y=f(x)$ на отрезке $$ - это функция , которая является дифференцируемой в каждой точке этого отрезка и для ее производной выполняется следующее равенство:
Определение 2
Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.
Из таблицы производных и определения 2 получаем таблицу основных интегралов.
Пример 1
Проверить справедливость формулы 7 из таблицы интегралов:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos x} =tgx\]
Пример 2
Проверить справедливость формулы 8 из таблицы интегралов:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=ctgx\]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 3
Проверить справедливость формулы 11" из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{a^{2} +x^{2} } =\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C$.
\[\left(\frac{1}{a} arctg\frac{x}{a} +C\right)"=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{a^{2} } \cdot \frac{a^{2} }{a^{2} +x^{2} } \]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 4
Проверить справедливость формулы 12 из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{a^{2} -x^{2} } =\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C$.
$\left(\frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x} \right|+C\right)"=\frac{1}{2a} \cdot \frac{1}{\frac{a+x}{a-x} } \cdot \left(\frac{a+x}{a-x} \right)"=\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{a-x+a+x}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{2a} \cdot \frac{a-x}{a+x} \cdot \frac{2a}{(a-x)^{2} } =\frac{1}{a^{2} -x^{2} } $Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 5
Проверить справедливость формулы 13" из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } =\arcsin \frac{x}{a} +C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\arcsin \frac{x}{a} +C$.
\[\left(\arcsin \frac{x}{a} +C\right)"=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a} \right)^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{a}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \cdot \frac{1}{a} =\frac{1}{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } \]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 6
Проверить справедливость формулы 14 из таблицы интегралов:
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C,\, \, C=const.\]
Продифференцируем правую часть: $\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } |+C\right)"=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } \right)"=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \left(1+\frac{1}{2\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot 2x\right)=\] \[=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \cdot \frac{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } +x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} } } \]
Производная получилась равной подынтегральной функции. Следовательно, формула верна.
Пример 7
Найти интеграл:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Воспользуемся теоремой об интеграле суммы:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Воспользуемся теоремой о вынесении постоянного множителя за знак интеграла:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
По таблице интегралов:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac{x^{2} }{2} +C.\]
При вычислении первого интеграла воспользуемся правилом 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} .\]
Следовательно,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac{1}{3} \sin (3x+2)+C_{1} +\frac{5x^{2} }{2} +C_{2} =\frac{1}{3} \sin (3x+2)+\frac{5x^{2} }{2} +C,\, \, C=C_{1} +C_{2} \]
Главные интегралы, которые должен знать каждый студент
Перечисленные интегралы - это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.
Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!
Интеграл от константы
∫ A d x = A x + C (1)Интегрирование степенной функции
В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.
∫
x d x =
x
2
2
+ C
(2)
∫
x
2
d x =
x
3
3
+ C
(3)
∫
1
x
d x = 2
x
+ C
(4)
∫
1
x
d x = ln | x | + C
(5)
∫
1
x
2
d x = −
1
x
+ C
(6)
∫
x
n
d x =
x
n + 1
n + 1
+ C (n ≠ − 1)
(7)
Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций
Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.
∫
e
x
d x =
e
x
+ C
(8)
∫
a
x
d x =
a
x
ln a
+ C (a > 0, a ≠ 1)
(9)
∫
s h x
d x = c h x + C
(10)
∫
c h x
d x = s h x + C
(11)
Базовые интегралы от тригонометрических функций
Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен "минус косинусу", а вот интеграл от cosx равен "просто синусу":
∫
sin x d x = − cos x + C
(12)
∫
cos x d x = sin x + C
(13)
∫
1
cos
2
x
d x = t g x + C
(14)
∫
1
sin
2
x
d x = − c t g x + C
(15)
Интегралы, сводящиеся к обратным тригонометрическим функциям
Формула (16), приводящая к арктангенсу, естественно, является частным случаем формулы (17) при a=1. Аналогично, (18) - частный случай (19).
∫
1
1 +
x
2
d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C
(16)
∫
1
x
2
+
a
2
=
1
a
a r c t g
x
a
+ C (a ≠ 0)
(17)
∫
1
1 −
x
2
d x = arcsin x + C = − arccos x + C
(18)
∫
1
a
2
−
x
2
d x = arcsin
x
a
+ C = − arccos
x
a
+ C (a > 0)
(19)
Более сложные интегралы
Данные формулы тоже желательно запомнить. Они также используются достаточно часто, а их вывод довольно утомителен.
∫
1
x
2
+
a
2
d x = ln |
x +
x
2
+
a
2
| + C
(20)
∫
1
x
2
−
a
2
d x = ln |
x +
x
2
−
a
2
| + C
(21)
∫
a
2
−
x
2
d x =
x
2
a
2
−
x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C (a > 0)
(22)
∫
x
2
+
a
2
d x =
x
2
x
2
+
a
2
+
a
2
2
ln |
x +
x
2
+
a
2
| + C (a > 0)
(23)
∫
x
2
−
a
2
d x =
x
2
x
2
−
a
2
−
a
2
2
ln |
x +
x
2
−
a
2
| + C (a > 0)
(24)
Общие правила интегрирования
1) Интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Интеграл от разности двух функций равен разности соответствующих интегралов: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Константу можно выносить за знак интеграла: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Легко заметить, что свойство (26) - это просто комбинация свойств (25) и (27).
4) Интеграл от сложной функции, если внутренняя функция является линейной: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Здесь F(x) - первообразная для функции f(x). Обратите внимание: эта формула подходит только для случая, когда внутренняя функция имеет вид Ax + B.
Важно: не существует универсальной формулы для интеграла от произведения двух функций, а также для интеграла от дроби:
∫
f (x) g (x)
d x = ?
∫
f (x)
g (x)
d x = ?
(30)
Это не означает, конечно, что дробь или произведение нельзя проинтегрировать. Просто каждый раз, увидев интеграл типа (30), вам придется изобретать способ "борьбы" с ним. В каких-то случаях вам поможет интегрирование по частям, где-то придется сделать замену переменной, а иногда помощь могут оказать даже "школьные" формулы алгебры или тригонометрии.
Простой пример на вычисление неопределенного интеграла
Пример 1. Найти интеграл: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xВоспользуемся формулами (25) и (26) (интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих интегралов. Получаем: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Вспомним, что константу можно выносить за знак интеграла (формула (27)). Выражение преобразуется к виду
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
А теперь просто воспользуемся таблицей основных интегралов. Нам потребуется применить формулы (3), (12), (8) и (1). Проинтегрируем степенную функцию, синус, экспоненту и константу 1. Не забудем добавить в конце произвольную постоянную С:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
После элементарных преобразований получаем окончательный ответ:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Проверьте себя дифференцированием: возьмите производную от полученной функции и убедитесь, что она равна исходному подинтегральному выражению.
Сводная таблица интегралов
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | + C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Скачайте таблицу интегралов (часть II) по этой ссылке
Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике . Будем решать Ваши проблемы вместе!
Возможно, вас заинтересуют также
