Образовательный портал
Вы здесь: » »

Формула связывающая тангенс и косинус. Формулы двойного угла в тригонометрии. Разложение на множители



|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Синус (sin α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;
;
.

;
;
.

График функции синус, y = sin x


График функции косинус, y = cos x


Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .

Четность

Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).

y = sin x y = cos x
Область определения и непрерывность - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Область значений -1 ≤ y ≤ 1 -1 ≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = -1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности



;
;

Формулы произведения синусов и косинусов

Формулы суммы и разности

Выражение синуса через косинус

;
;
;
.

Выражение косинуса через синус

;
;
;
.

Выражение через тангенс

; .

При , имеем:
; .

При :
; .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные


;

Формула Эйлера

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; . Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.

Арксинус, arcsin

Арккосинус, arccos

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

См. также:

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Формулы двойного угла дают возможность выразить тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) угла ` 2\alpha` через эти самые функции угла `\alpha`.

Записанный ниже список — это основные формулы двойного угла, которые наиболее часто используются в тригонометрии. Для косинуса их есть три, они все равносильны и одинаково важны.

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`
`tg \ 2\alpha=\frac{2 \ tg \ \alpha}{1-tg^2 \alpha}`
`ctg \ 2\alpha=\frac{ctg^2 \alpha-1}{2 \ ctg \ \alpha}`

Следующие тождества выражают все тригонометрические функции угла ` 2\alpha` через функции тангенс и котангенс угла `\alpha`.

`sin \ 2\alpha=` `\frac {2 \ tg \ \alpha}{1+tg^2 \alpha}=\frac {2 \ ctg \ \alpha}{1+ctg^2 \alpha}=` `\frac 2{tg \ \alpha+ctg \ \alpha}`
`cos \ 2\alpha=` `\frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}=\frac{ctg^2\alpha-1}{ctg^2\alpha+1}=` `\frac{ctg \ \alpha-tg \ \alpha}{ctg \ \alpha+tg \ \alpha}`
`tg \ 2\alpha=` `\frac{2 \ ctg \ \alpha}{ctg^2 \alpha-1}=` `\frac 2{ \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}`
`ctg \ 2\alpha=\frac { \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}2`

Формулы для косинуса и синуса двойного угла выполняются для любого угла `\alpha`. Формулы для тангенса двойного угла справедливы для тех `\alpha`, при которых определен `tg \ 2\alpha`, то есть при ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \in Z`. Аналогично, для котангенса они имеют место для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \ 2\alpha`, то есть при ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \in Z`.

Доказательство формул двойного угла

Все формулы двойного угла выводятся из формул сумы и разности углов тригонометрических функций.

Возьмем две формулы, для сумы углов синуса и косинуса:

`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` и `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Возьмем `\beta=\alpha`, тогда `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`, аналогично `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, что и доказывает формулы двойного угла для синуса и косинуса.

Два другие равенства для косинуса ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` сводятся к уже доказанному, если в них заменить 1 на `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Так `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` и `2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.

Чтобы доказать формулы тангенса двойного угла и котангенса, воспользуемся определением этих функций. Запишем `tg \ 2\alpha` и `ctg \ 2\alpha` в виде `tg \ 2\alpha=\frac {sin \ 2\alpha}{cos \ 2\alpha}` и `ctg \ 2\alpha=\frac {cos \ 2\alpha}{sin \ 2\alpha}`. Применив уже доказанные формулы двойного угла для синуса и косинуса, получим `tg \ 2\alpha=\frac {sin \ 2\alpha}{cos \ 2\alpha}=\frac {2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}` и `ctg \ 2\alpha=\frac {cos \ 2\alpha}{sin \ 2\alpha}=` `\frac {cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}`.

В случае с тангенсом разделим числитель и знаменатель конечной дроби на `cos^2 \alpha`, для котангенса в свою очередь — на `sin^2 \alpha`.

`tg \ 2\alpha=\frac {sin \ 2\alpha}{cos \ 2\alpha}=\frac {2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}=` `\frac {\frac{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{cos^2 \alpha}}{\frac{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}=` `\frac {2 \cdot \frac{ sin \alpha }{cos \alpha}}{1-\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}=\frac{2 \ tg \ \alpha}{1-tg^2 \alpha}`.

`ctg \ 2\alpha=\frac {cos \ 2\alpha}{sin \ 2\alpha}=` `\frac {cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}=` `\frac {\frac{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{sin^2 \alpha}}{\frac{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{sin^2 \alpha}}=` `\frac {\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}-1}{2 \cdot \frac{cos \alpha}{ sin \alpha }}=\frac{ctg^2 \alpha-1}{2 \ ctg \ \alpha}`.

Предлагаем еще посмотреть видео, чтобы лучше закрепить теоретический материал:

Примеры использования формул при решении задач

Формулы двойного угла в большинстве случаев используются для преобразование тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые из случаем, как можно на практике применять их при решений конкретных задач.

Пример 1. Проверить справедливость тождеств двойного угла для `\alpha=30^\circ`.

Решение. В наших формулах используется два угла `\alpha` и `2\alpha`. Значение первого угла задано в условии, второго соответственно будет `2\alpha=60^\circ`. Также нам известны числовые значения для всех тригонометрических функций этих углов. Запишем их:

`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac {\sqrt 3}2`, `tg 30^\circ=\frac {\sqrt 3}3`, `ctg 30^\circ=\sqrt 3` и

`sin 60^\circ=\frac {\sqrt 3}2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\frac {\sqrt 3}3`.

Тогда будем иметь

`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac {\sqrt 3}2=\frac {\sqrt 3}2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac {\sqrt 3}2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,

`tg 60^\circ=\frac{2 tg 30^\circ}{1-tg^2 30^\circ}=` `\frac{2 \cdot \frac {\sqrt 3}3}{1-(\frac {\sqrt 3}3)^2}=\sqrt 3`,

`ctg 60^\circ=\frac{ctg^2 30^\circ-1}{2 \ ctg 30^\circ}=` `\frac{(\sqrt 3)^2-1}{2 \cdot \sqrt 3}=\frac {\sqrt 3}3`.

Что и доказывает справедливость равенств для заданного в условии угла.

Пример 2. Выразить `sin \frac {2\alpha}3` через тригонометрические функции угла `\frac {\alpha}6`.

Решение. Запишем угол синуса следующим образом ` \frac {2\alpha}3=4 \cdot \frac {\alpha}6`. Тогда, применив два раза формулы двойного угла, мы сможем решить нашу задачу.

Вначале воспользуемся равенством синуса двойного угла: ` sin\frac {2\alpha}3=2 \cdot sin\frac {\alpha}3 \cdot cos\frac {\alpha}3 `, теперь снова применим наши формулы для синуса и косинуса соответственно. В результате получим:

` sin\frac {2\alpha}3=2 \cdot sin\frac {\alpha}3 \cdot cos\frac {\alpha}3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac {\alpha}6 \cdot cos\frac {\alpha}6) \cdot (cos^2\frac {\alpha}6-sin^2\frac {\alpha}6)=` `4 \cdot sin\frac {\alpha}6 \cdot cos^3 \frac {\alpha}6-4 \cdot sin^3\frac {\alpha}6 \cdot cos \frac {\alpha}6`.

Ответ. ` sin\frac {2\alpha}3=` `4 \cdot sin\frac {\alpha}6 \cdot cos^3 \frac {\alpha}6-4 \cdot sin^3\frac {\alpha}6 \cdot cos \frac {\alpha}6`.

Формулы тройного угла

Эти формулы, аналогично к предыдущим, дают возможность выразить функции угла ` 3\alpha` через эти самые функции угла `\alpha`.

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac{3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha}{1-3 \ tg^2 \alpha}`
`ctg \ 3\alpha=\frac{ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha}{3 \ ctg^2 \alpha-1}`

Доказать их можно, используя равенства сумы и разности углов, а также хорошо известные нам формулы двойного угла.

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.

Заменим в полученной формуле `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` на `1-sin^2\alpha` и получим `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`.

Также и для косинуса тройного угла:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.

Заменив в конечном равенстве `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` на `1-cos^2\alpha`, получим `cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`.

С помощью доказанных тождеств для синуса и косинуса можно доказать для тангенса и котангенса:

`tg \ 3\alpha=\frac {sin \ 3\alpha}{cos \ 3\alpha}=` `\frac {3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}{cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}=` `\frac {\frac{3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}{cos^3 \alpha}}{\frac{cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}{cos^3 \alpha}}=` `\frac {3 \cdot \frac{ sin \alpha }{cos \alpha}-\frac{ sin^3 \alpha }{cos^3 \alpha}}{1-3\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}=` `\frac{3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha}{1-3tg^2 \alpha}`;

`ctg \ 3\alpha=\frac {cos \ 3\alpha}{sin \ 3\alpha}=` `\frac {cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}{3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}=` `\frac {\frac{cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}{sin^3 \alpha}}{\frac{3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}{sin^3 \alpha}}=` `\frac {\frac{ cos^3 \alpha }{sin^3 \alpha}-3 \cdot \frac{cos \alpha}{ sin \alpha }}{3\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}-1}=` `ctg \ 3\alpha=\frac{ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha}{3 \ ctg^2 \alpha-1}`.

Для доказательства формул угла ` 4\alpha` можно представить его как ` 2 \cdot 2\alpha` и примерить два раза формулы двойного угла.

Для вывода аналогичных равенств для угла ` 5\alpha` можно записать его, как ` 3\alpha + 2\alpha` и применить тождества суммы и разности углов и двойного и тройного угла.

Аналогично выводятся все формулы для других кратных углов, то нужны они на практике крайне редко.

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности. Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье основные тригонометрические тождества.

К началу страницы

Формулы приведения



Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье формулы приведения.

К началу страницы

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Более подробная информация содержится в статье формулы сложения.

К началу страницы

Формулы двойного, тройного и т.д. угла


Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла.

К началу страницы

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье формулы половинного угла.

К началу страницы

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

К началу страницы

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Вывод формул, а также примеры их применения смотрите в статье формулы суммы и разности синуса и косинуса.

К началу страницы

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

К началу страницы

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки . Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

Для более полной информации смотрите статью универсальная тригонометрическая подстановка.

К началу страницы

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Тригонометрические формулы — это самые необходимые в тригонометрии формулы, необходимые для выражения тригонометрических функций, которые выполняются при любых значениях аргумента.

Формулы сложения.

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 — tg α · tg β)

tg (α — β) = (tg α — tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β — ctg α)

ctg (α — β) = (ctg α · ctg β — 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Формулы двойного угла.

cos 2 α = cos² α — sin² α

cos 2 α = 2cos² α — 1

cos 2 α = 1 — 2sin² α

sin 2 α = 2sin α · cos α

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 — tg² α)

ctg 2 α = (ctg² α — 1) ÷ (2ctg α )

Формулы тройного угла.

sin 3α = 3sin α — 4sin³ α

cos 3 α = 4cos³ α — 3cos α

tg 3 α = (3tg α — tg³ α ) ÷ (1 — 3tg² α )

ctg 3α = (3ctg α — ctg³ α) ÷ (1 — 3ctg² α)

Формулы половинного угла.

Формулы приведения.

Функция / угол в рад.

π/2 - α

π/2 + α

3π/2 - α

3π/2 + α

2π - α

2π + α

Функция / угол в °

90° - α

90° + α

180° - α

180° + α

270° - α

270° + α

360° - α

360° + α

Подробное описание формул приведения.

Основные тригонометрические формулы.

Основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α+cos 2 α=1

Данное тождество − результат применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичном тригонометрическом круге.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 или sec 2 α−tan 2 α=1.

Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Соотношение между синусом и котангенсом:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 или csc 2 α−cot 2 α=1.

Эта формула также следует из основного тригонометрического тождества (получается из него делением левой и правой части на sin2α . Здесь предполагается, что α≠πn,n∈Z.

Определение тангенса:

tanα=sinα/cosα,

где α≠π/2+πn,n∈Z.

Определение котангенса:

cotα=cosα/sinα,

где α≠πn,n∈Z.

Следствие из определений тангенса и котангенса:

tanα ⋅ cotα=1,

где α≠πn/2,n∈Z.

Определение секанса:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n ∈ Z

Определение косеканса:

cscα=1/sinα,α≠πn,n ∈ Z

Тригонометрические неравенства.

Простейшие тригонометрические неравенства:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx < a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx < a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx < a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx < a, cotx ≤ a.

Квадраты тригонометрических функций.

Формулы кубов тригонометрических функций.

ТригонометрияМатематика. Тригонометрия. Формулы. Геометрия. Теория

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций.

Тригонометрические функции числового аргумента

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin(t).

Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение sin(t), нужно:

  1. расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);
  2. на окружности найти точку, соответствующую числу t;
  3. найти ординату этой точки.
  4. эта ордината и есть искомое sin(t).

Фактически речь идет о функции s = sin(t), где t - любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, sin(0) = 0, \(sin \frac {\pi}{6} = \frac{1}{2} \) и т.д.), знаем некоторые ее свойства.

Связь тригонометрических функций

Как вы, надеюсь, догадываетесь все тригонометрические функции связаны между собой и даже не зная значение одной, ее можно найти через другое.

К примеру, самая главная формула, из всей тригонометрии - это основное тригонометрическое тождество :

\[ sin^{2} t + cos^{2} t = 1 \]

Как видите, зная значение синуса можно найти значение косинуса, и также наоборот.

Формулы тригонометрии

Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом:

\[ \boxed {\tan\; t=\frac{\sin\; t}{\cos\; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \]

\[ \boxed {\cot\; t=\frac{\cos\; }{\sin\; }, \qquad t \neq \pi k} \]

Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс:

\[ \boxed {\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac{\pi k}{2}} \]

Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике.

ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) \(1+ \tan^2 \; t \), б) \(1+ \cot^2 \; t \)

а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

\[ 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} = \frac{\cos^2 \; t + \sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем:\[ 1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t} \]

б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t} \]

Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев:

\[ \boxed {1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \]

\[ \boxed {1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}, \qquad t \neq \pi k} \]

Все представленные в рамках формулы вы должны знать наизусть, иначе дальнейшее изучение тригонометрии без них просто невозможно. В дальнейшем будут еще формулы и их будет очень много и уверяю все их вы точно будете запоминать долго, а может и не запомните, но эти шесть штук должны знать ВСЕ!

Полная таблица всех основных и редких тригонометрических формул приведения.

Здесь можно найти тригонометрические формулы в удобном виде. А тригонометрические формулы приведения можно посмотреть на другой странице.

Основные тригонометрические тождества

— математические выражения для тригонометрических функций, выполняемые при каждом значении аргумента.

  • sin² α + cos² α = 1
  • tg α · ctg α = 1
  • tg α = sin α ÷ cos α
  • ctg α = cos α ÷ sin α
  • 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
  • 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулы сложения

  • sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
  • sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
  • cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
  • cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β
  • tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 — tg α · tg β)
  • tg (α — β) = (tg α — tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
  • ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β — ctg α)
  • ctg (α — β) = (ctg α · ctg β — 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly — uchim.org

Формулы двойного угла

  • cos 2α = cos² α — sin² α
  • cos 2α = 2cos² α — 1
  • cos 2α = 1 — 2sin² α
  • sin 2α = 2sin α · cos α
  • tg 2α = (2tg α) ÷ (1 — tg² α)
  • ctg 2α = (ctg² α — 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла

  • sin 3α = 3sin α — 4sin³ α
  • cos 3α = 4cos³ α — 3cos α
  • tg 3α = (3tg α — tg³ α) ÷ (1 — 3tg² α)
  • ctg 3α = (3ctg α — ctg³ α) ÷ (1 — 3ctg² α)

Формулы понижения степени

  • sin² α = (1 — cos 2α) ÷ 2
  • sin³ α = (3sin α — sin 3α) ÷ 4
  • cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
  • cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
  • sin² α · cos² α = (1 — cos 4α) ÷ 8
  • sin³ α · cos³ α = (3sin 2α — sin 6α) ÷ 32

Переход от произведения к сумме

  • sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α — β))
  • sin α · sin β = ½ (cos (α — β) — cos (α + β))
  • cos α · cos β = ½ (cos (α — β) + cos (α + β))

Мы перечислили довольно много тригонометрических формул, но если чего-то не хватает, пишите.

Всё для учебы » Математика в школе » Тригонометрические формулы — шпаргалка

Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.

Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):

Вся база рефератов, курсовых, дипломных работ и прочих учебных материалов предоставляется бесплатно. Используя материалы сайта Вы подтверждаете, что ознакомились с пользовательским соглашением и согласны со всеми его пунктами в полной мере.

дробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений. В третьем разделе рассматриваются нестандартные тригонометрические уравнения, решения которых основано на функциональном подходе.

Все формулы (уравнения) тригонометрии: sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

В четвертом разделе рассматриваются тригонометрические неравенства. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как на единичной окружности, так и …

… угол 1800-α= по гипотенузе и острому углу: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности. Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного …

… Домашнее задание 19(3,6), 20(2,4) Постановка цели Актуализация опорных знаний Свойства тригонометрических функций Формулы приведения Новый материал Значения тригонометрических функций Решение простейших тригонометрических уравнений Закрепление Решение задач Цель урока: сегодня мы будем вычислять значения тригонометрических функций и решать …

… сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи: 1. Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств при обучении математике; 2. Разработать методику формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений; 3. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики. Для решения …

Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы

Представляем вашему вниманию различные формулы, связанные с тригонометрией.

(8) Котангенс двойного угла
ctg(2α) = ctg 2 (α) - 1 2ctg(α)
(9) Синус тройного угла sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Косинус тройного угла cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) Косинус суммы/разности cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Синус суммы/разности sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Тангенс суммы/разности (14) Котангенс суммы/разности (15) Произведение синусов sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) Произведение косинусов cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Произведение синуса на косинус sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Сумма/разность синусов sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Сумма косинусов cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) Разность косинусов cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Сумма/разность тангенсов (22) Формула понижения степени синуса sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Формула понижения степени косинуса cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Сумма/разность синуса и косинуса (25) Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами (26) Основное соотношение арксинуса и арккосинуса arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Основное соотношение арктангенса и арккотангенса arctg(x) + arcctg(x) = π/2

Формулы общего вида

— версия для печати

Определения Синус угла α (обозн. sin(α) ) — отношение противолежащего от угла α катета к гипотенузе. Косинус угла α (обозн. cos(α) ) — отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе. Тангенс угла α (обозн. tg(α) ) — отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему. Эквивалентное определение — отношение синуса угла α к косинусу того же угла — sin(α)/cos(α). Котангенс угла α (обозн. ctg(α) ) — отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему. Эквивалентное определение — отношение косинуса угла α к синусу того же угла — cos(α)/sin(α). Другие тригонометрические функции : секанс — sec(α) = 1/cos(α); косеканс — cosec(α) = 1/sin(α). Примечание Мы специально не пишем знак * (умножить), — там, где две функции записаны подряд, без пробела, он подразумевается. Подсказка Для вывода формул косинуса, синуса, тангенса или котангенса кратных (4+) углов, достаточно расписать их по формулам соотв. косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, либо сводить к предыдущим случаям, сводя до формул тройных и двойных углов. Дополнение Таблица производных

© Школяр . Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016



|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

Тангенс

Где n - целое.

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.

График функции тангенс, y = tg x


Котангенс

Где n - целое.

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

График функции котангенс, y = ctg x


Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

Четность

Функции тангенс и котангенс - нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

y = tg x y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений -∞ < y < +∞ -∞ < y < +∞
Возрастание -
Убывание -
Экстремумы - -
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 -

Формулы

Выражения через синус и косинус

; ;
; ;
;

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности



Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; .


.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.

При .

при .
где B n - числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:


Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.

Арктангенс, arctg


, где n - целое.

Арккотангенс, arcctg


, где n - целое.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

См. также:

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

  1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
  2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
  3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
  4. Верьте, что всё будет хорошо.

Основные тригонометрические формулы

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Дополнительные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени.

Формулы половинного угла.

Тригонометрические формулы приведения

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

  • Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
  • Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
  • При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

  • Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
  • Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения , привести дроби к общему знаменателю и так далее.
  • При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки . При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали .
  • Применяя метод замены переменной , как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
  • Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
  • Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
  • Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

  • Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  • Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

    • Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов , позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

    Нашли ошибку?

    Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

    Рубрика: Сочинения
    Поделиться