Интерполяционный полином лагранжа. Интерполяционный многочлен в форме лагранжа Интерполяционный полином Лагранжа

Подходящие кривые и поверхности к данным с помощью регрессии, интерполяции и сглаживания

Curve Fitting Toolbox™ предоставляет приложение и функции для подбора кривой кривым и поверхностям к данным. Тулбокс позволяет вам выполнить исследовательский анализ данных, предварительно обработать и постобработать данные, сравнить модели кандидата и удалить выбросы. Можно провести регрессионный анализ, пользующийся библиотекой линейных и нелинейных предоставленных моделей, или задать собственные уравнения. Библиотека обеспечивает оптимизированные параметры решателя и стартовые условия улучшить качество ваших подгонок. Тулбокс также поддерживает непараметрические техники моделирования, такие как сплайны, интерполяция и сглаживание.

После создания подгонки можно применить множество методов последующей обработки для графического вывода, интерполяции и экстраполяции; оценка доверительных интервалов; и вычисляя интегралы и производные.

Начало работы

Изучите основы Curve Fitting Toolbox

Линейная и нелинейная регрессия

Подходящие кривые или поверхности с линейными и нелинейными моделями библиотеки и пользовательскими моделями

Интерполяция

Подходящие кривые интерполяции или поверхности, оцените значения между известными точками данных

Сглаживание

Подходящее сглаживание использования шлицует и локализованная регрессия, сглаженные данные со скользящим средним значением и другими фильтрами

Подходящая постобработка

Графический вывод, выбросы, невязки, доверительные интервалы, данные о валидации, интегралы и производные, генерирует код MATLAB ®

Сплайны

Создайте сплайны с или без данных; ppform, B-форма, продукт тензора, рациональный, и сплайны тонкой пластины stform

Выборка экспериментальных данных представляет собой массив данных, который характеризует процесс изменения измеряемого сигнала в течение заданного времени (либо относительно другой переменной). Для выполнения теоретического анализа измеряемого сигнала необходимо найти аппроксимирующую функцию, которая свяжет дискретный набор экспериментальных данных с непрерывной функцией - интерполяционным полиномом n -степени. Одним из способов представления данного интерполяционного полинома n-степени может быть использован многочлен в форме Лагранжа.

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа – это математическая функция позволяющая записать полином n -степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки в различные моменты времени с непостоянным временным шагом измерений.

1. Интерполяционная формула Лагранжа

В общем виде интерполяционный многочлен в форме Лагранжа записывается в следующем виде:

где ˗ степень полинома ;

˗ значение значения интерполирующей функции в точке ;

˗ базисные полиномы (множитель Лагранжа), которые определяются по формуле:

Так, например, интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, проходящий через три заданных точки , будет записываться в следующем виде:

Многочлен в форме Лагранжа в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, поэтому он удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны. Число арифметических операции, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально и является наименьшим для всех форм записи. К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что при построении полинома степени n+1 полностью теряется информация о предыдущем полиноме степени n, т.е. с изменением числа узлов приходится все вычисление выполнить заново.

2. Погрешность интерполяционного полинома в форме Лагранжа

Рассмотрим функцию f (x ), которая непрерывна и дифференцируема на рассматриваемом отрезке . Интерполяционный полином L (x) в форме Лагранжа принимает в точках заданные значения функции . В остальных точках интерполяционный полином L (x) отличается от значения функции f (x ) на величину остаточного члена , который определяет абсолютную погрешность интерполяционной формулы Лагранжа:

А бсолютную погрешность интерполяционной формулы Лагранжа определяют следующим образом:

где n ˗ степень полинома

Переменная представляет собой верхнюю границу значения модуля (n +1)-й производной функции f(x) на заданном интервале

Погрешность интерполяции методом Лагранжа зависит от свойств функции f (x ), а также от расположения узлов интерполяции и точки x . В случае если погрешность не достигает нужной точности, то нужно разбить отрезок на части и интерполировать каждую часть в отдельности – кусочная интерполяция.

Выбор узлов интерполяции

С помощью корректного выбора узлов можно минимизировать значение в оценке погрешности, тем самым повысить точность интерполяции. Данная задача может быть решена с помощью многочлена Чебышева:

В качестве узлов следует взять корни этого многочлена, то есть точки:

3. Методика вычисления полинома в форме Лагранжа

Алгоритм вычисления полинома в форме Лагранжа позволяет разделить задачи определения коэффициентов и вычисления значений полинома при различных значениях аргумента:

1. В качестве исходных данных задается выборка из n -точек, которая включает в себя значения функции и значения аргумента функции.

2. Выполняется вычисление полинома n-степени в форме Лагранжа по следующей формуле:

Алгоритм вычисления полинома в форме Лагранжа представлен на рисунке 1.

Методика вычисления полинома в форме Лагранжа

В вычислительной практике часто приходится иметь дело с функциями , заданными таблицами их значений для некоторого конечного множества значенийх : .

В процессе же решения задачи необходимо использовать значения
для промежуточных значений аргумента. В этом случае строят функцию Ф(x), достаточно простую для вычислений, которая в заданных точкахx 0 , x 1 ,...,x n , называемых узлами интерполяции, принимает значения, а в остальных точках отрезка (x 0 ,x n), принадлежащего области определения
, приближенно представляет функцию
с той или иной степенью точности.

При решении задачи в этом случае вместо функции
оперируют с функцией Ф(x). Задача построения такой функции Ф(x) называется задачей интерполирования. Чаще всего интерполирующую функцию Ф(x) отыскивают в виде алгебраического полинома.

1. Интерполяционный полином

Для каждой функции
, определенной на [a,b ], и любого набора узлов x 0 , x 1 ,....,x n (x i
[a,b ], x i x j при ij) среди алгебраических многочленов степени не выше n существует единственный интерполяционный многочлен Ф(x), который может быть записан в форме:

, (3.1)

где
- многочлен n-ой степени, обладающий следующим свойством:

Для интерполяционного полинома многочлен
имеет вид:

Этот многочлен (3.1) и решает задачу интерполирования и называется интерполяционным полиномом Лагранжа.

В качестве примера рассмотрим функцию вида
на интервале
заданную табличным способом.

Необходимо определить значение функции в точке x-2.5. Воспользуемся для этого полином Лагранжа. Исходя из формул (3.1 и 3.3) запишем этот полином в явном виде:

(3.4).

Тогда подставляя в формулу (3.4) исходные значения из нашей таблицы получим

Полученный результат соответствует теории т.е. .

1. Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в другой форме:

(3.5)

Запись полинома в виде (3.5) более удобна для программирования.

При решении задачи интерполяции величина n называется порядком интерполирующего полинома. При этом, как видно из формул (3.1) и (3.5), число узлов интерполирования всегда будет равно n+1 и значение x, для которого определяется величина
, должно лежать внутри области определения узлов интерполяции т.е.

. (3.6)

В некоторых практических случаях общее известное число узлов интерполяции m может быть больше, чем порядок интерполирующего полинома n .

В этом случае, прежде чем реализовывать процедуру интерполяции согласно формуле (3.5), необходимо определить те узлы интерполяции, для которых справедливо условие (3.6). При этом следует помнить, что наименьшая погрешность достигается при нахождении значения x в центре области интерполяции. Для обеспечения этого предлагается следующая процедура:

Основное назначение интерполяции – это вычисление значений табулированной функции для не узловых (промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения таблиц между строками».

Пусть на отрезке функция у=f(x) задана таблично, т.е. (x i , y i), (i=0,1,..,n), где y i =f(x i). Так заданную функцию называют «сеточной ».

Постановка задачи : найти алгебраический многочлен (полином ):

степени не выше n такой, чтобы

L n (x i)=y i , при i= 0,1,..,n, (5.6)

т.е. имеющий в заданных узлах x i , (i =0,1,..,n ) те же значения, что и сеточная функция у =f(x) .

Сам многочлен L n (x) называется интерполяционным полиномом , а задача – полиномиальной интерполяцией .

Найти многочлен L n (x) – это значит найти его коэффициенты a 0 , a 1 ,…,a n . Для этого имеется n+ 1 условие (5.6), которые записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных a i , (i =0, 1,…,n ):

где x i и y i (i =0,1,…,n ) – табличные значения аргумента и функции.

Из курса алгебры известно, что определитель этой системы, называемый определителем Вандермонда:

отличен от нуля и, следовательно, система (5.7) имеет единственное решение .

Определив коэффициенты a 0 , a 1 ,…,a n , решая систему (5.7), получаем так называемый интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x) :

(5.8)

который можно записать в виде:

Доказывается , что по заданным n +1 значениям функции можно построить единственный интерполяционный многочлен Лагранжа (5.8).

На практике широко используются интерполяционные многочлены Лагранжа первой (n= 1) и второй (n= 2) степени.

При n= 1 информация об интерполируемой функции у=f(x) задается в двух точках: (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ), и многочлен Лагранжа имеет вид

Для n= 2 многочлен Лагранжа строится по трехточечной таблице

Решение: Подставляем исходные данные в формулу (5.8). Степень полученного многочлена Лагранжа не выше третьей, так как функция задается четырьмя значениями:

Пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа, можно найти значение функции в любой промежуточной точке, например при х =4:

= 43

Интерполяционные полиномы Лагранжа используются в методе конечных элементов, широко применяемом при решении задач строительства.

Известны и другие формулы интерполяции, например, интерполяционная формула Ньютона , применяемая при интерполяции в случае равноотстоящих узлов или интерполяционный полином Эрмита .

Сплайн-интерполяция . При использовании большого числа узлов интерполяции используют специальный прием – кусочно-полиномиальную интерполяцию , когда функция интерполируется полиномом степени т между любыми соседними узлами сетки.

Среднеквадратичное приближение функций

Постановка задачи

Среднеквадратичное приближение функций – это другой подход к получению аналитических выражений для аппроксимирующих функций. Особенностью таких задач является тот факт, что исходные данные для построения тех или иных закономерностей имеют заведомо приближенный характер .

Эти данные получены в результате какого-либо эксперимента или в результате какого-либо вычислительного процесса. Соответственно эти данные содержат погрешности эксперимента (погрешности измерительной аппаратуры и условий, случайные ошибки и пр.) или погрешности округления.

Допустим, исследуется какое либо явление или процесс. В общем виде объект исследования можно представить кибернетической системой («черный ящик»), приведенной на рисунке.

Переменная х – это независимая, управляемая переменная (входной параметр).

Переменная Y – это реакция (отклик) объекта исследования на воздействие входного параметра. Это зависимая переменная.

Предположим, что при обработке результатов этого эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость у=f(x) между независимой переменной х и зависимой переменной у. Эта зависимость представлена в виде табл. 5.1 значений x i , y i (i =1,2,…,n ), полученных в ходе эксперимента.

Таблица 5.1

x i	x 1	x 2	…	x n
y i	y 1	y 2	…	y n

Если аналитическое выражение функции у=f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти функцию y= j(х), значения которой при x=x i , возможно мало отличалось бы от опытных данных y i , (i =1,..,n ). Таким образом, исследуемая зависимость аппроксимируется функцией y= j(х) на отрезке [x 1 ,x n ]:

f(x) @ j(х) . (5.9)

Аппроксимирующая функция y= j(х) называется эмпирической формулой (ЭФ) или уравнением регрессии (УР) .

Эмпирические формулы не претендует на роль законов природы, а являются лишь гипотезами, более или менее адекватно описывающими опытные данные. Однако значение их весьма велико. В истории науки известны случаи, когда полученная удачная эмпирическая формула приводила к большим научным открытиям.

Эмпирическая формула является адекватной , если ее можно использовать для описания исследуемого объекта с достаточной для практики точностью.

Для чего же нужна эта зависимость?

Если приближение (5.9) найдено, то возможно:

Сделать прогноз о поведении исследуемого объекта вне отрезка (экстраполяция );

Выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.

Уравнение регрессии может иметь различный вид и различный уровень сложности в зависимости от особенностей исследуемого объекта и необходимой точности представления.

Геометрически задачапостроения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L : y= j(х) «возможно ближе » примыкающей к системе экспериментальных точек M i (x i , y i), i= 1,2,..,n , заданной табл. 5.1 (рис.5.2).

Построение уравнения регрессии (эмпирической функции) состоит из 2 этапов:

1. выбора общего вида уравнения регрессии,

2. определения его параметров .

Удачный выбор уравнения регрессии во многом зависит от опыта экспериментатора, исследующего какой-либо процесс или явление.

Часто в качестве уравнения регрессии выбирают полином (многочлен):

Вторая задача, нахождение параметров уравнения регрессии решается регулярными методами, например, методом наименьших квадратов (МНК), который широко используется при изучении какой-либо закономерности на основе наблюдений или экспериментов.

Разработка этого метода связана с именами известных математиков прошлого – К.Гаусса и А.Лежандра.

Метод наименьших квадратов

Допустим, что результаты эксперимента представлены в виде табл. 5.1. И уравнение регрессии записывается в виде (5.11), т.е. зависит от (m +1) параметра

Эти параметры и определяют расположение графика уравнения регрессии относительно экспериментальных точек M i (x i , y i), i= 1,2,..,n (рис.5.2).

Однако эти параметры определяются не однозначно. Требуется подобрать параметры так, чтобы график уравнения регрессии был расположен «как можно ближе » к системе этих экспериментальных точек.

Введем понятие отклонения значения уравнения регрессии (5.11) от табличного значения y i для x i : , i= 1,2,..,n.

Рассмотрим сумму квадратов отклонений, которая зависит от(m +1) параметра

Согласно МНК наилучшими коэффициентами a i (i =0,1,..,m ) являются те, которые минимизирует сумму квадратов отклонений, т.е. функцию .

Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получим так называемую нормальную систему для определения неизвестных коэффициентов :

Для аппроксимирующей функции (5.11) система (5.14) является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

Возможны случаи:

1. Если , то существует бесконечно много многочленов (5.11), минимизирующих функцию (5.13).

2. Если m=n –1, то существует только один многочлен (5.11), минимизирующий функцию (5.13).

Чем меньше m , тем проще эмпирическая формула, но это не всегда лучше. Необходимо помнить, что полученная эмпирическая формула должна быть адекватной изучаемому объекту.

Будем строить интерполяционный полином в виде

где – многочлены степени не выше п, обладающие следующим свойством:

Действительно, в этом случае полином (4.9) в каждом узле x j , j=0,1,…n , равен соответствующему значению функции y j , т.е. является интерполяционным.

Построим такие многочлены. Поскольку при x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n , можно следующим образом разложить на множители

где с – постоянная. Из условия получим, что

Интерполяционный полином (4.1), записанный в форме

называют интерполяционным полиномом Лагранжа.

Приближенное значение функции в точке x * , вычисленное с помощью полинома Лагранжа, будет иметь остаточную погрешность (4.8). Если значения функции y i в узлах интерполирования x i заданы приближенно с одинаковой абсолютной погрешностью , то вместо точного значения будет вычислено приближенное значение , причем

где – вычислительная абсолютная погрешность интерполяционного полинома Лагранжа. Окончательно имеем следующую оценку полной погрешности приближенного значения .

В частности, полиномы Лагранжа первой и второй степени будут иметь вид

а их полные погрешности в точке x *

Существуют другие формы записи того же интерполяционного полинома (4.1), например, рассматриваемая далее интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями и ее варианты. При точных вычислениях значения Рn(х *) , получаемые по различным интерполяционным формулам, построенным по одним и тем же узлам, совпадают. Наличие же вычислительной погрешности приводит к различию получаемых по этим формулам значений. Запись многочлена в форме Лагранжа приводит, как правило, к меньшей вычислительной погрешности .

Использование формул для оценки погрешностей, возникающих при интерполировании, зависит от постановки задачи. Например, если известно количество узлов, а функция задана с достаточно большим количеством верных знаков, то можно поставить задачу вычисления f(x *) с максимально возможной точностью. Если, наоборот, количество верных знаков небольшое, а количество узлов велико, то можно поставить задачу вычисления f(x *) с точностью, которую допускает табличное значение функции, причем для решения этой задачи может потребоваться как разрежение, так и уплотнение таблицы.

§4.3. Разделенные разности и их свойства.

Понятие разделенной разности является обобщенным понятием производной. Пусть в точках x 0 , x 1 ,…x n заданы значения функций f(x 0), f(x 1),…,f(x n) . Разделенные разности первого порядка определяются равенствами

разделенные разности второго порядка – равенствами,

а разделенные разности k -го порядка определяются следующей рекуррентной формулой:

Разделенные разности обычно помещаются в таблицу следующего вида:

х i	f(х i)	Разделенные разности
I порядка	II порядка	III порядка	IV порядка
х 0	y 0
		f
х 1	y 1		f
		f		f
х 2	y 2		f		f
		f		f
х 3	y 3		f
		f
х 4	y 4

Рассмотрим следующие свойства разделенных разностей.

1. Разделенные разности всех порядков являются линейными комбинациями значений f(x i) , т.е. имеет место следующая формула:

Докажем справедливость этой формулы индукцией по порядку разностей. Для разностей первого порядка

Формула (4.12) справедлива. Предположим теперь, что она справедлива для всех разностей порядка .

Тогда, согласно (4.11) и (4.12) для разностей порядка k=п+1 имеем

Слагаемые, содержащие f(x 0) и f(x n +1) , имеют требуемый вид. Рассмотрим слагаемые, содержащие f(x i) , i=1, 2, …,n . Таких слагаемых два - из первой и второй сумм:

т.е. формула (4.12) справедлива для разности порядка k=п+1 , доказательство закончено.

2. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов x 0 , x 1 ,…x n (т.е. не меняется при любой их перестановке):

Это свойство непосредственно следует из равенства (4.12).

3. Простую связь разделенной разности f и производной f (n) (x) дает следующая теорема.

Пусть узлы x 0 , x 1 ,…x n принадлежат отрезку и функция f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную порядка п . Тогда существует такая точка xÎ , что

Докажем сначала справедливость соотношения

Согласно (4.12) выражение в квадратных скобках есть

f .

Из сравнения (4.14) с выражением (4.7) для остаточного члена R n (x)=f(x)-L n (x) получим (4.13), теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает простое следствие. Для полинома п -ой степени

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

производная порядка п , очевидно, есть

и соотношение (4.13) дает для разделенной разности значение

Итак, у всякого многочлена степени п разделенные разности порядка п равны постоянной величине – коэффициенту при старшей степени многочлена. Разделенные разности высших порядков
(больше п ), очевидно, равны нулю. Однако этот вывод справедлив лишь в случае отсутствия вычислительной погрешности у разделенных разностей.

§4.4. Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями

Запишем интерполяционный полином Лагранжа в следующем виде:

где L 0 (x) = f(x 0)=y 0 , а L k (x) – интерполяционный полином Лагранжа степени k , построенный по узлам x 0 , x 1 , …,x k . Тогда есть полином степени k , корнями которого являются точки x 0 , x 1 , …,x k -1 . Следовательно, его можно разложить на множители

где A k – постоянная.

В соответствии с (4.14) получим

Сравнивая (4.16) и (4.17) получим, что и (4.15) примет вид

который носит название интерполяционного полинома Ньютона с разделенными разностями.

Этот вид записи интерполяционного полинома более нагляден (добавлению одного узла соответствует появление одного слагаемого) и позволяет лучше проследить аналогию проводимых построений с основными построениями математического анализа.

Остаточная погрешность интерполяционного полинома Ньютона выражается формулой (4.8), но ее, с учетом (4.13), можно записать и в другой форме

т.е. остаточная погрешность может быть оценена модулем первого отброшенного слагаемого в полиноме N n (x *).

Вычислительная погрешность N n (x *) определится погрешностями разделенных разностей. Узлы интерполяции, лежащие ближе всего к интерполируемому значению x * , окажут большее влияние на интерполяционный полином, лежащие дальше – меньшее. Поэтому целесообразно, если это возможно, за x 0 и x 1 взять ближайшие к x * узлы интерполирования и произвести сначала линейную интерполяцию по этим узлам. Затем постепенно привлекать следующие узлы так, чтобы они возможно симметричнее располагались относительно x * , пока очередной член по модулю не будет меньше абсолютной погрешности входящей в него разделенной разности.