Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально сжатого прямого стержня называется продольным изгибом; это наиболее простая и в то же время одна из наиболее важных инженерных задач, связанных с проблемой устойчивости.
Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения с шарнирно закрепленными концами, нагруженный на верхнем конце центрально приложенной сжимающей силой Р (рис. 3.13).
Наименьшее значение центрально приложенной сжимающей силы Р, при котором прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой. Для ее определения отклоним стержень в положение, показанное пунктиром, и установим, при каком наименьшем значении силы Р стержень может не вернуться в прежнее положение.
Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид [см. формулу (68.7)]
Начало координат считаем расположенным у нижнего конца стержня, а ось - направленной вверх.
Изгибающий момент в сечении с абсциссой равен
Подставим выражение М в уравнение (1.13):
Интеграл дифференциального уравнения (2.13) имеет вид
Произвольные постоянные А и В можно определить из граничных условий:
а) при и и, следовательно, на основании уравнения (4.13)
б) при и, следовательно, на основании уравнения (4.13)
Условие (5.13) выполняется при или При подстановке значения и найденного значения в уравнение (4.13) получаем выражение , не соответствующее условию задачи, целью которой является определение такого значения силы Р, при котором величины у могут быть не равными нулю.
Таким образом, для того чтобы удовлетворить условию задачи и условию (5.13), необходимо принять или [на основании выражения (3.13)]
Условие (6.13) удовлетворяется и при однако при этом из выражения (7.13) следует , что не удовлетворяет условию задачи. Наименьшее значение отличное от нуля, можно получить из выражения (7.13) при Тогда
Формула (8.13) впервые была получена Эйлером, поэтому критическая сила называется также эйлеровой критической силой.
Если сжимающая сила меньше критической, то возможна только прямолинейная форма равновесия, которая в этом случае является устойчивой.
Формула (8.13) дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. Определим теперь значение критической силы при других видах закрепления концов стержня.
Рассмотрим центрально сжатый стержень длиной защемленный (заделанный) одним концом. Возможная форма равновесия такого стержня при критическом значении силы Р имеет вид, показанный на рис. 4.13.
Сравнивая рис. 4.13 и рис. 3.13, устанавливаем, что стержень длиной с одним защемленным концом можно рассматривать как стержень длиной 21 с шарнирно закрепленными концами, изогнутая ось которого показана на рис. 4.13 пунктиром.
Следовательно, значение критической силы для стержня с одним защемленным концом можно найти, подставив в формулу (8.13) величину вместо тогда
Для стержня с обоими заделанными концами возможная форма изгиба при потере устойчивости показана на рис. 5.13. Она симметрична относительно середины стержня; точки перегиба изогнутой оси расположены в четвертях длины стержня.
Из сопоставления рис. 5.13 и рис. 4.13 видно, что каждая четверть длины стержня, заделанного обоими концами, находится в таких же условиях, в каких находится весь стержень, изображенный на рис. 4.13. Следовательно, значение критической силы для стержня с обоими заделанными концами можно найти, если подставить в формулу (9.13) величину вместо
(10.13)
Таким образом, критическая сила для стержня с шарнирно закрепленными концами в четыре раза больше, чем для стержня с одним защемленным, а другим свободным концом, и в четыре раза меньше, чем для стержня с обоими защемленными концами. Случай шарнирного закрепления концов стержня принято называть основным.
Формулы Эйлера (8.13), (9.13) и (10.13) для определения критической силы при различных закреплениях концов стержня можно представить в следующем общем виде:
(11.13)
Здесь - так называемый коэффициент приведения длины; - приведенная длина стержня.
Коэффициент позволяет любой случай закрепления концов стержня свести к основному случаю, т.е. к стержню с шарнирно закрепленными концами. Для четырех наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня коэффициент имеет следующие значения.
Цель: сформировать представление об устойчивых и неустойчивых формах равновесия, критической силе и коэффициенте запаса устойчивости, о критическом напряжении, гибкости стержня и предельной гибкости.
Устойчивость стоек при упругом и неупругом поведении материала
До сих пор мы рассматривали методы определения напряжений и перемещений, возникающих в стержнях и соответственно, занимались оценкой их прочности и жесткости. Однако оказывается, что соблюдение условий прочности и жесткости еще не гарантирует способности конструкций выполнять предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выполнением условий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устойчивость конструкций.
Расчет на устойчивость имеет первостепенное значение для тех элементов конструкций, которые представляют собой сравнительно длинные и тонкие стержни, тонкие пластинки и оболочки. Здесь будут рассмотрены лишь простейшие случаи расчета на устойчивость сжатых стержней.
Напомним основные понятия о видах равновесия, рассматриваемые в разделе «Теоретическая механика».
Равновесие тела называют устойчивым , если при любом малом отклонении от положения равновесия тело возвращается в исходное положение по устранении причины, вызвавшей это отклонение (рис. 79, а). Равновесие тела называют неустойчивым , если при любом малом отклонении от положения равновесия тело не возвращается в исходное положение, а все дальше отклоняется от него (рис. 79, б). При безразличном равновесии тело, будучи отклонено, остается в равновесии и в новом положении (рис. 79, в).
Рис. 79. Положения равновесия шарика: а) устойчивое; б) неустойчивое; в) устойчивое безразличное
Рассмотрим сравнительно длинный и тонкий прямолинейный стержень, нагруженный центрально приложенной силой (рис. 80). Если приложить к стержню поперечную нагрузку, т. е. слегка изогнуть его, то при малых значениях сжимающей силы после снятия поперечной нагрузки стержень вернется в прямолинейное состояние. Это значит, что прямолинейная форма равновесия оси стержня устойчива.
Рис. 80.
При большем значении сжимающей силы слегка изогнутый поперечной нагрузкой стержень после ее устранения медленнее, как бы «неохотнее» возвращается в прямолинейное состояние. Но все же прямолинейная форма равновесия еще устойчива. Наконец, при некотором значении сжимающей силы прямолинейная форма равновесия оси стержня становится неустойчивой и возникает новая устойчивая форма равновесия - криволинейная. Происходит так называемое выпучивание стержня. При достижении сжимающей силой критического значения, когда прямолинейная форма равновесия оси стержня становится неустойчивой, для перехода к криволинейной форме ненужно прикладывать к стержню поперечную нагрузку, изгиб стержня происходит без видимых внешних причин.
Изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости прямолинейной формы его равновесия, называют продольным изгибом.
Явление перехода стержня от одного равновесного состояния (прямолинейного) к другому равновесному состоянию (криволинейному), называется потерей устойчивости стержня. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются критическими.
В некоторых случаях при потере устойчивости система, переходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает выполнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случаев потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому с точки зрения практических расчетов критическая сила должна рассматриваться как разрушающая нагрузка. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равновесного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов.
Основная задача теории устойчивости заключается в определении критического значения внешних сил и ограничении их величин таким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости заданной системы в эксплуатационных режимах.
Следует отметить, что для гибких стержней потеря устойчивости может наступить при напряжениях, значительно меньших предела прочности материалов. Поэтому расчет стержней должен выполняться при условии, что сжимающие напряжения не превышают критического значения с точки зрения потери их устойчивости.
Изучение устойчивости стержней начнем с простейшей задачи о стержне с двумя шарнирно опертыми концами при действии центральной сжимающей силы F(pnc. 81).
Впервые эта задача была поставлена и решена Л. Эйлером в середине XVIII в., поэтому она носит его имя.
Рис. 81.
Рассмотрим условия, при которых происходит переход от центрально сжатого состояния к изогнутому, т. е. становится возможной криволинейная форма оси стержня при центрально приложенной сжимающей силе F. Предполагая, что изгиб стержня будет происходить в плоскости минимальной жесткости, записывая дифференциальное уравнение упругой линии балки и ограничиваясь рассмотрением только малых перемещений, имеем
где J mt „ - минимальный момент инерции сечения.
Для определения выражения изгибающего момента M,(z), действующего в поперечном сечении стержня, расположенном на расстоянии z от начала системы координат, применяя метод сечений к системе, изображенной на рис. 81 и рассматривая равновесие отсеченной части системы, расположенной левее от заданного сечения, получим
При положительном прогибе в выбранной системе координат знак «минус» означает, что момент является отрицательным.
Введем следующее обозначение:
Тогда уравнение (108) преобразуется к виду
Решение (110) записывается в виде
Постоянные С и С 2 определяются из граничных условий задачи: у (0) = 0,у (1)= 0. Из первого условия вытекает, что С 2 = 0, а из второго получается, что или С = 0 [что нам неинтересно, так как в этом случаеy(z) = 0], или
Из последнего выражения следует, что kl = пп 9 где п - произвольное целое число. Учитывая (109), получаем:
Следовательно, чтобы центрально-сжатый стержень принял криволинейную форму, необходимо, чтобы сжимающая сила была равна какому-либо значению из множества F „. Наименьшее из этих значений называется критической силой и будет иметь место при п = 1:
а сила носит название первой критической эйлеровой силы.
При F - F Kp выражение прогибов можно записать в следующем виде:
Из (113) видно, что прогибаться стержень будет по синусоиде. Графики функций прогибов у (z) при различных п изображены на рис. 82.
Рис. 82.
Из (112) видно, что с точки зрения устойчивости критическая сила зависит от жесткости стержня и его длины, но никак не зависит от прочностных свойств материала стержня, т. е. два стержня одинаковой длины с идентичными граничными условиями их закрепления, изготовленные из различных материалов, но имеющие одинаковую изгибную жесткость, теряют устойчивость при одном и том же значении сжимающей силы. В этом заключается значительная разница между проверкой прочности стержня на сжатие и растяжение и проверкой на устойчивость.
При изменении условий закрепления концов стержня необходимо решение дифференциального уравнения его изгиба, но уже в виде
Анализ этих решений говорит о том, что все они могут быть представлены в следующем виде:
где fj - коэффициент приведения длины. Он показывает, во сколько раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась бы критической силе стержня длиной / в рассматриваемых условиях закрепления.
Рис. 83.
Обратите внимание: потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, поэтому в формулу (114) входит минимальный осевой момент инерции сечения J x или J y .
На рис. 83 показаны различные способы закрепления стержня и указаны соответствующие значения коэффициента р.
Понятие об устойчивых и неустойчивых формах
Равновесия твердых тел. Устойчивость прямолинейной формы
Сжатых стержней
Для бруса (стержня), растянутого или сжатого силой F , мы пользовались условием
при котором предполагалось, что разрушение наступает в том случае, когда напряжения станут равными пределу прочности σ в для хрупкого материала или пределу текучести σ Т для пластичного материала. При этом длина стержня и форма его поперечного сечения во внимание не принимались.
Возьмем деревянный стержень с размерами поперечного сечения в виде прямоугольника и приложим к нему продольную сжимающую нагрузку. Постепенно увеличивая нагрузку, видим, что ось стержня сначала остается почти прямолинейной, а затем при некоторой нагрузке она внезапно искривляется и, наконец, наступает его разрушение. Заметим, что с изменением длины стержня изменяется и разрушающая нагрузка – чем длиннее стержень, тем при меньшей нагрузке он разрушается.
Кроме того, при сжатии длинных стержней изменение формы поперечного сечения при прочих равных условиях также вызывает изменение разрушающей нагрузки.
Следовательно, в различных элементах конструкций соотношение между длиной сжатого стержня и размерами его поперечного сечения должно быть подобрано таким образом, чтобы обеспечить надежную работу конструкции.
Известно, что равновесие твердых тел может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным (рис. 12.1).
Аналогично этому равновесие упругих систем может быть устойчивым и неустойчивым.
Рассмотрим тонкий стержень, испытывающий сжатие с постепенно возрастающей нагрузкой F 1 ≤ F 2 ≤ F 3 .
Рис. 12.1. Виды равновесия твердых тел
При малой сжимающей силе F ось стержня остается прямолинейной. Если стержень отклонить незначительной горизонтальной силой, то после ее удаления, стержень снова возвратится в свое первоначальное положение. Такое упругое равновесие стержня называется устойчивым (рис. 12.2, а).
При большой величине сжимающей силы F 3 после незначительного отклонения стержня его ось искривляется и стержень не может возвратиться в первоначальное положение, он продолжает еще более искривляться под действием сжимающей силы. При этом имеем неустойчивую форму упругого равновесия стержня. Далее происходит потеря устойчивости (рис. 12.2, в). Такой случай изгиба называют продольным изгибом , т. е. изгибом, вызванным сжимающей силой, действующей вдоль оси стержня.
Рис. 12.2. Виды упругого равновесия тонкого стержня
Появление продольного изгиба опасно тем, что при нем происходит значительное нарастание деформаций при незначительном нарастании сжимающей нагрузки. Разрушения от продольного изгиба происходят внезапно, что чревато катастрофическими последствиями в технике и строительстве.
Между этими двумя состояниями равновесия существует переходное состояние, называемое критическим, при котором деформированное тело находится в безразличном равновесии. Оно может сохранять первоначальную прямолинейную форму, но может и потерять ее от самого незначительного воздействия (рис. 12.2, б).
Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы тела (стержня), называется критической и обозначается F кр .
Для обеспечения устойчивости в конструкциях и сооружениях допускаются нагрузки, которые значительно меньше критических, т. е. должно выполняться условие
где [F ] – допускаемая на стержень нагрузка;
n у – коэффициент запаса устойчивости, зависящий от материала, из
которого изготовлен стержень.
Обычно принимают:
Дерево – = 2,8...3,2;
Сталь – = 1,8...3,0;
Чугун – =5,0...5,5.
Таким образом, чтобы производить расчеты сжатых стержней на устойчивость, необходимо знать способы определения критических нагрузок F кр .
Искривление длинного бруса прямолинейной формы, сжимаемого силой, направленной вдоль оси, вследствие потери устойчивости равновесия (см. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ). Пока действующая сила Р невелика, брус только сжимается. При превышении нек-рого значения, наз. критической силой, брус самопроизвольно выпучивается. Это нередко приводит к разрушению или недопустимым деформациям стержневых конструкций.
Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия .Главный редактор А. М. Прохоров .1983 .
ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ
Деформация изгиба прямого стержня при действии продольных (направленных по оси) сжимающих сил. При квазистатич. возрастании нагрузки прямолинейная форма стержня остаётся устойчивой до достижения нек-рого критич. значения нагрузки, после чего устойчивой становится искривлённая форма, причём при дальнейшем возрастании нагрузки прогибы быстро увеличиваются.
Для призматич. стержня из линейно-упругого материала, сжатого силой Р, критич. значение даётся ф-лой Эйлера где E - модуль упругости материала, I - момент инерции поперечного сечения относительно оси, соответствующей изгибу, l - длина стержня, - коэф., зависящий от способа закрепления.Для стержня, опирающегося своими концами на опору,=1. При малых P -> 0 изогнутая ось близка по форме к где x - координата, отсчитываемая от одного из концов стержня. Для стержня, жёстко закреплённого на обоих концах, = 1/4; для стержня, к-рый одним концом закреплён, а другой (загруженный) его конец свободен, = 2. Критич. сила для упругого стержня отвечает точке бифуркации на диаграмме сжимающая сила - характерный прогиб. П. и.- частный случай более широкого понятия - потери устойчивости упругих систем.
В случае неупругого материала критич. сила зависит от соотношения между напряжением а и относит, деформацией при одноосном сжатии. Простейшие модели упругопластич. П. и. приводят к ф-лам типа Эйлера с заменой модуля упругости E либо на касательный модуль , либо на приведённый модуль . Для стержня прямоуг. сечения =В реальных задачах оси стержней имеют нач. искривления, а нагрузки приложены с эксцентриситетом. Деформация изгиба в сочетании со сжатием происходит с самого начала нагружения. Это явление наз. продольно-поперечным изгибом. Результаты теории П. и. используют для приближённой оценки деформации и несущей способности стержней с малыми нач. возмущениями.
При динамич. нагрузках формы П. и. и продольно-поперечного изгиба могут существенно отличаться от форм потери устойчивости при квазистатич. нагруже-нии. Так, при очень быстром нагружении стержня, опирающегося своими концами, реализуются формы П. и., имеющие две и более полуволны изгиба. При продольной силе, к-рая периодически изменяется во времени, возникает параметрический резонанс поперечных колебаний, если частота нагрузки , где - собств. частоты поперечных колебаний стержня, h - натуральное число. В нек-рых случаях параметрич. резонанс возбуждается также при
Исследование причин разрушения различных сооружений показало, что для надёжной работы конструкции под нагрузкой недостаточно сделать её элементы прочными, необходимо ещё обеспечить сохранение первоначальной формы равновесия как элементов, так и всей конструкции в целом.
Равновесие может быть:
· Устойчивое
· Безразличное
· Неустойчивое
Равновесие называется устойчивым , если при малом отклонении от положения равновесия система возвращается в первоначальное положение.
Рис.1.1. «Устойчивое равновесие»
Равновесие называется неустойчивым , если система не возвращается в исходное положение после устранения причин, вызвавших отклонение, а отклоняется от него ещё больше.
Рис.1.2. «Неустойчивое равновесие»
Равновесие называется безразличным , если новое положение системы после отклонения от исходного остаётся положением равновесия и после удаления внешнего воздействия.
Рис.1.3. «Безразличное равновесие»
Характер равновесия упругих тел существенно зависит от величины действующих на них сил, например , форма равновесия длинного прямого стержня, подвергнутого осевому сжатию, устойчива только до определенного значения сжимающей силы.
Если такой стержень при малых значениях силы P несколько отклонить от исходного положения, то при устранении причин, вызвавших это отклонение, он снова примет первоначальную прямолинейную форму.
Рис.2. «Осевое сжатие»
При возрастании силы P стержень всё медленнее будет возвращаться к своей первоначальной прямолинейной форме, и наконец, при некотором значении силы P , называемом критическим, стержень не распрямится, а сохранит ту форму, которую ему придали. Таким образом, при значении силы P , равном критическому, стержень будет находиться в условиях безразличного равновесия. Если сила P превысит критическое значение, то форма равновесия станет неустойчивой.
Изгиб стержня продольной силой называется продольным изгибом . В практических расчётах на устойчивость критическую нагрузку считают разрушающей, а допускаемую нагрузку определяют, как часть критической.
где n – коэффициент запаса устойчивости, величина которого принимается примерно равной запасу прочности.
Определение критической силы.
Впервые проблема устойчивости сжатых стержней была поставлена Леонардом Эйлером. Эйлер вывел расчётную формулу для критической силы и показал, что её величина существенно зависит от способа закрепления стержня. Идея метода Эйлера, при различных способах закрепления концов заключается в установлении условий, при которых кроме прямолинейной возможна и смежная криволинейная форма равновесия стержня при постоянной нагрузке. Критическая сила Эйлера определяется по формуле:
Величина l 0 называется приведённой длиной стержня , μ – коэффициент приведения длины, который зависит от вида опорных закреплений стержня.
Рис.3. «Зависимость коэффициента приведения длины от вида опорных закреплений стержня»
Критические силы, соответствующие потерям устойчивости стержня, определяются в двух главных плоскостях по формулам:
Напряжённо-деформированное состояние сжатых стержней при продольном изгибе (колонн) и характер их разрушения зависят от материала стержня, от размеров и формы поперечного сечения, от длины стержня, от способов закрепления концов и т.д.
Критические напряжения определяются по формуле:
где λ – гибкость стержня; i – радиус инерции поперечного сечения.
Так как размеры сечения часто не одинаковы относительно осей, соответственно могут отличаться радиусы инерции сечения относительно их осей, и как следствие, будут отличаться гибкости, соответственно гибкости должны определяться для каждой оси в отдельности:
Продольный изгиб сжатых стержней будет происходить относительно оси, по отношению к которой гибкость стержня больше.
Значения предельной гибкости приводятся в нормах и зависят от характера нагрузки (статическая или динамическая), от конструкции и её материала.
Формулы Эйлера для критической силы и критических напряжений, для стержней из стали с пределом пропорциональности 200–220 МПа, можно использовать при гибкости Лямбда ≥ 100. При значениях гибкости в пределах 60–100 можно использовать формулу Тетмайера–Ясинского:
где для малоуглеродистой стали a = 310МПа,b = 1,14МПа. Также можно использовать квадратичную зависимость:
где σ т – предел текучести стали; σ пц – предел пропорциональности стали.
При гибкости стержня менее 60 можно принять критические напряжения равными пределу текучести.
Условие устойчивости сжатого стержня имеет вид:
где R – расчётное сопротивление материала стержня; γ c – коэффициент условия работы; φ – коэффициент продольного изгиба, находящийся в пределах 0-1.
Величина коэффициентапродольного изгиба (φ ) зависит от материала стержня и гибкости стержня.
Коэффициент запаса устойчивости стержня можно определить, как отношение критической силы (P кр ) к нормативному значению продольной сжимающей силы (P н ):
Продольно-поперечный изгиб возникает от совместного действия поперечной и продольной нагрузок:
Рис.4. «Продольно-поперечный изгиб, возникающий от совместного действия поперечной и продольной нагрузок»
Уравнение изогнутой оси стержня, в этом случае, имеет вид:
где M п – изгибающий момент от действия поперечной нагрузки
Суммарный прогиб стержня (υ ):
где υ п – прогиб от поперечнойнагрузки; υ 1 - прогиб от продольной сжимающей силы.
Приближённое решение уравнения изогнутой оси можно представить в виде:
, где P э
– критическая сила в плоскости изгиба, вычисляемая по формуле Эйлера независимо от величины гибкости стержня.
Суммарный изгибающий момент от совместного действия продольной силы и поперечной нагрузки определяется по формуле:
Проверка прочности стержня при продольно-поперечном изгибе выполняется по формуле:
.
✓Лекция 11.04.18 «…»
При расчёте на прочность, при динамическом действии сил, допускаемы напряжения принимаются меньшими по сравнению со статическими условиями нагружения.
При динамическом действии нагрузок используется принцип Даламбера, согласно которому движущуюся с ускорением систему каждый момент времени можно рассматривать как находящуюся в покое, если к внешним силам добавить силы инерции.
Инерция – явление, при котором тела сохраняют состояние покоя или равномерное прямолинейное движение при отсутствии внешних сил.
Если силы инерции известны, то расчёт можно вести по методу сечений, а для вычисления внутренних сил использовать уравнения статики твёрдого тела.Если определение сил инерции затруднительно или невозможно (как при ударном действии нагрузок), то для вычисления динамических напряжений и деформаций используется закон сохранения энергии с привлечением основных положений о потенциальной энергии деформируемого тела.
Задача соударения деформируемых твёрдых тел в механике относится к классу динамических контактных задач со смешанными граничными условиями, содержащими многие трудности математического порядка при решении. Эти трудности связаны с определением характера изменения функций напряжения в зоне контакта соударяемых тел по пространственным координатам и во времени. Большие сложности возникают при учёте волновых процессов, возникающих как в зоне контакта, так и внутри соударяемых тел, например, дифракционных волновых процессов по контуру в зоне контакта и интерференционных явлений внутри соударяемых тел. Существенное значение приобретает учёт фактора рассеяния энергии, трудно поддающийся анализу => При решении задач, применяется упрощённый инженерный подход, основанный на предпосылках:
1. При взаимодействии соударяемых тел, они принимаются или идеально упругими, или абсолютно твёрдыми
2. Деформации в упругих соударяемых телах происходят мгновенно. Установлено, что, практически во всех случаях, силы динамического воздействия пропорциональны статическим => расчёты на прочность и жёсткость при динамических нагрузках выполняются по методам, разработанным для статического нагружения, но с введением соответствующих значений динамических коэффициентов =>
;
, где K
d –динамический коэффициент
Условия прочностей и жёсткостей по методу допустимых напряжений имеет вид:
При изучении динамически упругих систем – эти системы принято классифицировать по числу их степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается число независимых координат, определяющих положение материальных точек системы в произвольный момент времени.
СОУДАРЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА И СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно изменяются скорости взаимодействующих тел называется ударом. В период взаимодействия соударяемых тел между ними развивается контактная сила, хотя время действия контактной силы очень мало, и измеряется в микросекундах (или миллисекундах). Она развивается очень быстро и принимает большие значения, при забивке свай, тяжёлый груз падает с некоторой высоты на верхний торец сваи и погружает её в грунт. Во время удара между грузом и сваей возникают большие взаимные давления! Скорость ударяющего тела, за короткий промежуток времени, изменяется или падает до нуля, тело останавливается и на него от ударяемого тела передаются большие ускорения, направленные в сторону, обратную его движению, т.е. передаётся реакция, равная произведению массы ударяющего тела на ускорение, обозначив ускорение через “a ”, получим, что реакция, передаваемая на падающий груз, будет иметь вид: , где Q –вес ударяющего тела.
По закону равенства действия и противодействия, на ударяемую конструкцию передаётся та же сила, но обратно направленная. Эти силы вызывают напряжения в обоих телах =>в ударяемой конструкции возникают такие напряжения, как будто к ней была приложена сила инерции ударяющего тела.
Для определения напряжений, силу инерции P d можем рассмотреть как статическую нагрузку. Затруднение в вычислении этой инерции… Продолжительность удара, в течение которого происходит падение скорости до нуля, неизвестна, поэтому остаётся неизвестная величина ускорения =>приходится пользоваться законом сохранения энергии.
При ударе происходит быстрое превращение одного вида энергии в другую, а именно кинетическая энергия (ударяющего тела) переходит в потенциальную энергию (деформации).
Теория удара опирается на ряд допущений:
1. Форма изогнутой оси конструкции, при ударе, подобна изогнутой оси при её статическом нагружении
2. Удар является неупругим, т.е. ударяющее тело не отскакивает от конструкции, а продолжает двигаться вместе с ней
3. Деформации, вызванные ударом, являются упругими, т.е. максимальные напряжения не превышают предела пропорциональности
4. Массой конструкции пренебрегают, т.е. считают её невесомой.
✓Лекция 18.04.18 «Расчёт динамического коэффициента при ударной нагрузке»
Предположим, что очень жёсткое тело A весом Y , деформацией которого можно пренебречь, падая с высоты H , ударяет по телу B , опирающемуся на упругую систему C .
, где δ D
– перемещение тела в направлении удара.
Полагая, что кинетическая энергия ударяющегося тела полностью переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы, следовательно , где T –кинетическая энергия, U –потенциальная энергия.
Так как к моменту окончания деформации ударяющее тело пройдёт путь , то его запас энергии будет равен произведённой работе A D , следовательно .
При статической деформации потенциальная энергия численно равна половине произведения действующей силы на соответствующую деформацию, следовательно . Статическая деформация δ c в ударяемом теле может быть вычислена по закону Гука, который можно записать в виде: ; , где c – коэффициент пропорциональности (или жёсткость системы), который зависит от свойств материала, формы и размера тела, от вида деформации и положения ударяемого тела.
При простом растяжении/сжатии:
При изгибе балки, шарнирно-закреплённой по концам и нагруженной сосредоточенной силой в середине пролёта:
Следовательно, выражение для энергии при статической деформации будет записано:
В основу выражения входят предпосылки:
1. Справедливость закона Гука;
2. Постепенный от нуля до окончательного значения рост силы, напряжений и пропорциональных им деформаций.
Реакция системы C на действие упавшего груза является следствием развития деформаций δ D . Эта деформация растёт постепенноот нуля до максимальной величины и, если напряжения не превосходят предела пропорциональности материала, связывают с законом Гука:
Где P D –реакция системы (C )
Приравнивая выражения кинетической и потенциальной энергии, получаем:
Удерживая перед радикалом, для определения наибольшей величины деформации системы в направлении удара, знак “+”, получим:
Где K D – динамический коэффициент:
Формула (1) используется в случаях, когда масса упругого тела, испытывающая удар, мала и ею пренебрегают в расчёте. При необходимости учёта массы тела, формула для расчёта динамического коэффициента выглядит следующим образом:
, где m Г
– масса падающего груза, m пр
– приведённая масса тела, испытывающего удар:
Где m – истинная распределённая масса тела, α – коэффициент приведения распределённой массы к точечной.
Коэффициент α зависит от вида удара (продольный, изгибный и т.д.) и от характера закрепления концов стержня.
Общий принцип решения задач на определение напряжений при ударе может быть сформулирован как:
1. Вычислить кинетическую энергию ударяющего тела
2. Вычислить потенциальную энергию тел, воспринимающих удар, при этом потенциальная энергия должна быть выражена через напряжения, деформацию или силу инерции ударяющего тела.
3. Приравнять величины кинетической и потенциальной энергии U и из уравнения найти динамическое напряжение или деформацию.
Этот принцип расчёта предполагает, что вся кинетическая энергия ударяющего тела целиком переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы.
Это положение некорректно, т.к. кинетическая энергия падающего груза частично превращается в тепловую энергию и энергию неупругой деформации основания.
ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ПРИ УДАРНОЙ НАГРУЗКЕ
Условие прочности при ударе:
Где σ D –величина динамического напряжения, [σ D ] –допускаемая величина нормального напряжения при ударе.
Для пластичного материала:
Где σ T –предел текучести.
При изгибе величина статической деформации представляет собой статический прогиб балки в месте удара и зависит от схемы нагружения и условий опирания балки
Для балки пролетом l , шарнирно-закреплённой по концам и испытывающей, по середине пролёта, удар от падающего с высоты h груза Q :
, где W
– момент сопротивления сечения
Для консольной балки, испытывающей удар от груза a , падающего на свободный конец консоли:
Подставляя в формулу для коэффициента динамичности значения δ c или U c , находим:
1. Для балки на двух опорах:
Приближенные формулы для динамической деформации и напряжения в случае удара имеют вид:
2. Для консольной балки имея ввиду, что:
В балке прямоугольного сечения высотой h и шириной b , поставленной на ребро или положенной плашмя, наибольшие напряжения при ударе будут одинаковы и равны:
Динамические напряжения при изгибе балки зависят от модуля упругости материала, объёма, формы поперечного сечения, а также схемы нагружения и условия опирания. Сопротивление зависит от момента сопротивления и жёсткости балки. Чем больше податливость (деформируемость) балки, тем большую силу удара она может выдержать при одних и тех же напряжениях.
Динамические напряжения не должны превышать предел пропорциональности. Если превышение имеет место, то необходимо предусмотреть конструктивные меры по увеличению статического перемещения. Попытки уменьшить динамические напряжения, увеличив сечения, не приносят эффекта, т.к. увеличивается жёсткость, статический прогиб уменьшается, а динамический коэффициент увеличивается.
✓Лекция 25.04.18 «Расчёт балки на упругом основании»
Часто встречаются балочные элементы, лежащие на сплошном упругом основании (ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин и т.д.).
Упругим основание называется такое основание, которое реализует распределённую вдоль оси балки реакцию с погонной интенсивностью, пропорциональной перемещению, прогибу или углу поворота сечения.
Конструкция на упругом основании находится под действием внешних нагрузок и реактивного отпора основания, непрерывно распределённого по длине или площади контакта.
Закон изменения реактивного отпора основания не может быть определён из уравнения равновесия. Он зависит от свойств упругого основания и характеризуется его расчётной схемой или моделью.
Методы расчёта конструкций, лежащих на упругом основании можно разделить на 3 группы:
1. Методы, базирующиеся на Винклеровой модели основания
2. Методы, базирующиеся на теории упругого полупространства
3. Методы, базирующиеся на комбинированных моделях упругого основания
Исторически, первой и часто применяемой для практических инженерных расчётов является Винклерова модель основания. При расчёте балок на упругом основании, у этой модели исходят из гипотезы Винклера о пропорциональности между давлением на основание и осадкой.
Реакция, со стороны основания произвольной точки при соблюдении условий проскальзывания между подошвой балки и основанием, принимается пропорциональной прогибу:
…(1), где q r (x)
– реакция основания, приходящегося на единицу длины балки (реактивный отпор основания) , y(x)
–прогиб балки, принимаемый равным осадке основания, b
–ширина площади контакта балки и основания, k
– коэффициент, характеризующий жёсткость основания (коэффициент податливости основания, отпорностью основания или коэффициентом Пастели) .
Знак “-“ в уравнении (1) говорит о том, что реакция основания противоположна уравнению просадки.
С формальной точки зрения Винклерова модель основания не является строгой. Наблюдения за натуральными сооружениями и экспериментальные исследования показывают, что осадка основания зависит от нагрузки данной точки и от нагрузки соседней точки.
Грунт оседает не только под фундаментом, но и по соседству с ним.
Величина коэффициента Пастели зависит от вида грунта и от величины и форм загруженной площади.
Грунт на растяжение не работает.
Вместе с тем, исследования показали, что модель основания Винклера вполне применима для практических расчётов. Механические свойства модели Винклера характеризуются коэффициентом жёсткости основания, который означает величину усилия, кторое необходимо приложить к 1см 2 поверхности основания, чтобы оно получило осадку 1см.
В случае абсолютно жесткого основания коэффициент Пастели = ∞.
В случае абсолютноподатливого основания коэффициент Пастели = 0.
Если основанием служит большое число сближенных …, то коэффициент жёсткости , где δ –податлив. попереч., a –расстояние между осями попереч.
Значение коэффициента Пастели основания для различных грунтовых условий – различны:
1. Для песка или глины мокрой размягчённой 
2. Для песка слежавшегося, насыпного гравия или влажной глины 
3. Для известняка, песчаника или грунта в условиях вечной мерзлоты 
4. Для твёрдой скалы 
При проектировании ответственных капитальных сооружений, величина коэффициента жёсткости основания устанавливается на основании испытания грунта штампом в условиях естественного залегания на площадке строительства.
Для предварительных расчётов или однородных оснований величину коэффициента жёсткости основания принимают по таблицам. Зависимость (1) является фундаментальным уравнением теории расчёта конструкций на Винклеровом основании. В расчётах принимаются допущения!
1. Конструкция сохраняет связь с основанием независимо от знака перемещения, т.е. между балкой и основание не должно быть разрывности
2. Между балкой и поверхностью основания, при изгибе, отсутствует трение
3. Все деформации принимаются достаточно малыми, следовательно, можно пользоваться принципом наложения, суммируя деформации от различных воздействий.
Суммарная интенсивность распределённой нагрузки, приложенной к балке в произвольной точке:
Где q(x) – приложенная к балке нагрузка.
Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании Винклера имеет вид:
При интегрировании уравнения (2) производится замена переменной по формуле:
, где EI
–жёсткость балки при изгибе.
Параметр λ показывает жёсткость балки и основания и имеет размерность .
Решение уравнения (2) в форме метода начальных параметров:
, где y 0
, φ 0
,M 0
,Q 0
–начальные параметры, представляющие прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу в начале отсчёта, при x = 0
, Y 1
, Y 2
,Y 3
,Y 4
–функции Крылова, показывающие комбинации произведений гиперболическихи тригонометрических функций.
Между функциями Крылова зависимости:
Углы поворота, изгибающие моменты и поперечные силы определяются из зависимости:
В начале расчёёта неизвестны 2 начальных параметра, они определяются из граничных условий на противоположном конце балки.
✓Лекция 16.05.18 «Напряжённое и деформированное состояние в окрестности точки тела. Часть 1»
Главной задачей исследования напряжённо-деформированного состояния (НДС) тела является определение напряжений и деформаций тела и характера их изменения во времени.
При исследовании НДС исходят из следующих допущений:
1. О непрерывности (сплошности) среды, при этом атомистическая структура вещества и наличие каких-либо пустот не учитывается;
2. О естественном состоянии. На основании этого допущения, начальная НДС, возникшая до приложения силовых воздействий, не учитывается, т.е. предполагается, что в момент нагружения тела деформации и напряжения в точке равны нулю;
3. Об однородности. Предполагается, что состав тела одинаков во всех точках;
4. О шаровой изотропности. Считается, что механические свойства материала одинаковы по всем направлениям.
5. Об идеальной упругости. Предполагается полное исчезновение деформаций после снятия нагрузки;
6. О линейной зависимости между деформациями и напряжениями.
7. О малости деформаций. Предполагается, что линейные и относительные деформации малы по сравнению с единицей.
Под действием нагрузок, приложенных к телу, в нём возникают внутренние силы, которые определяются величинами нормальных и касательных напряжений в каждой точке тела.
Совокупность напряжений, действующих на различных площадках, проведённых через точку тела, характеризует напряжённое состояние в окрестности данной точки.
Чтобы определит напряжённое состояние в точке необходимо знать полные напряжения по трём взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через эту точку. Так как каждое полное напряжение можно разложить на три составляющие, то напряжённое состояние будет определено если будут известны 9 составляющих напряжений (рис.1).
Рис.1
Совокупность составляющих напряжений можно представить в виде матрицы, которая называется тензором напряжений в точке:
В каждой горизонтальной строчке матрицы записаны 3 составляющих напряжения, действующих по одной площадке. В каждом вертикальном столбце тензора записаны 3 напряжения, параллельных одной и той же оси.
Если приравнять к нулю сумму моментов всех сил, действующих на элементарный параллелепипед, относительно каждой центральной оси, получим три уравнения закона парности касательных напряжений:
τ xy = τ yx
τ yz = τ zy
τ zx = τ xz
Закон парности касательных напряжений формулируется следующим образом: касательные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным площадкам и направленные перпендикулярно к линии пересечения площадок равны по величине и одинаковы по знаку. Таким образом из девяти составляющих напряжений тензора 6 попарно равны друг другу, а значит для определения напряженного состояния в точке достаточно найти 6 составляющих напряжений:
ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В любой точке тела можно найти 3 взаимно перпендикулярныеглавные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Нормальные напряжения по этим площадкам будут называться главными напряжениями. Одно из главных напряжений имеет наибольшее значение, другое наименьшее, а третье имеет величину промежуточную между первыми двумя. Они обозначаютсяσ 1
;σ 2
;σ 3 и
. Величины главных напряжений определяются из кубического уравнения:
Коэффициенты I 1 , I 2, I 3 называются инвариантами тензора напряжений . Решив кубическое уравнение, получим три корня из которых алгебраически большее обозначим как σ 1 , наименьшее как σ 3 , а промежуточное как σ 2 .
Величины главных напряжений в точке не зависят от выбора осей координат, а зависят от формы и размеров тела и его нагружения.
Положение главных площадок определяется направляющими косинусами нормалей к главным площадкам.
Большая категория задач допускает значительное упрощение математического решения – это задачи, в которых можно считать, что внешние воздействия лежат в плоскостях, параллельных какой-либо плоскости тела, и, что вызываемые ими напряжения и перемещения, одинаковы для всех точек любой оси, перпендикулярной к этой плоскости. Такие задачи объединяются общим названием – плоские задачи. Различают 2 разновидности плоских задач:
1. Плоское деформированное состояние (плоская деформация).
2. Плоское напряжённое состояние.
При плоском деформированном состоянии точки тела не могут перемещаться вдоль одной из трёх осей из-за препятствия со стороны соседних элементов, при этом нагрузка, действующая на тело, постоянна вдоль этой оси. В этом случае перемещения вдоль одной оси отсутствуют (как правило, вдоль оси Z ), а два других перемещения не зависят от координаты третьей оси. Плоская деформация имеет место в призматическом или цилиндрическом теле, нагруженном по боковой поверхности, распределённой по длине нагрузкой, нормальной к продольной оси, при этом предполагается, что торцы тела закреплены так, что их точки могут свободно перемещаться в своей плоскости и не могут перемещаться в направлении продольной оси. Плоская деформация характеризуется следующими равенствами:
, где u
и v
– перемещение вдоль оси x
и y, w
– перемещение вдоль оси z
, ε
– относительная деформация.
Плоским напряжённым состоянием называется такое состояние тела, при котором во всех его точках одно из главных напряжений равно нулю, при этом площадки, перпендикулярные к оси нулевого напряжения являются главными. Плоское напряжённое состояние характеризуется следующими равенствами:
При плоском напряжённом состоянии размеры тела вдоль оси z – малы, а боковые плоскости свободны от нагрузки. Такое состояние возникает в тонких пластинах, нагруженных по внешнему контуру:
✓Лекция 21.05.18 «Напряжённое и деформированное состояние в окрестности точки тела. Часть 2» (Дима)
Под действием внешних сил деформирование тела и перемещение его точек в пространстве. Для исследования деформаций в окрестности точки рассматривается элементарный параллелепипед со сторонами dx , dy и dz . В результате различия перемещений точек рёбра параллелепипеда удлиняются или укорачиваются, а первоначально прямые углы между рёбрами искажаются. В соответствии с этим различают два основных вида деформаций:
1. Линейные представляют собой относительные удлинения или укорочения рёбер элементарного параллелепипеда. Соответственно, dy 1 , dx 1 и dz 1 – это размеры элементарного параллелепипеда после деформации. Деформации удлинения считаются положительными, а укорочения – отрицательными.
2. Угловые деформации, или деформации сдвига, которые обозначаются как характеризуют искажения прямых углов между рёбрами элементарного параллелепипеда. Индексы показывают, в какой плоскости происходит угловая деформация.
Совокупность линейных и угловых деформаций в окрестности точки тела можно представить в виде матрицы, которая называется тензором деформаций:
Деформации сдвига также, как и касательные напряжения, обладают свойством парности. В следствие этого, из девяти составляющих тензора, шесть деформаций полностью определяют деформированное состояние в окрестности рассматриваемой точки тела:
Из девяти составляющих тензора, 6 деформаций определяют деформированное состояние в окрестности рассматриваемой точки тела
Среди множества осей, проведённых через точку тела, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых отсутствуют угловые деформации. Эти оси называются главными осями деформированного состояния . А соответствующие им линейные деформации называются главными деформациями :
В изотропном теле главные оси напряжённого и деформированного состояний совпадают. Относительная объёмная деформация в окрестности точки (относительное изменение объёма элементарного параллелепипеда) с точностью до величин второго и третьего порядка, равна сумме трёх линейных деформаций:
Для линейно упругих и изотропных тел связь между напряжениями и деформациями в окрестности точки тела выражается обобщённым законом Гука. Обобщённый закон Гука может быть записан в прямой форме следующим образом:
, где ε
– модуль упругости материала, ν
– коэффициент Пуассона, γ
– модуль сдвига.
Закон Гука может быть записан и в обратной форме:
, где μ
и λ
– постоянные Лямэ. Они связаны с модулем упругости и коэффициентом Пуассона следующим образо
