Основоположником развития теории средних величин является Адольф Кетле, который считал их важнейшими статистическими показателями. Он первым четко сформулировал тот факт, что на массовые явления (статистические совокупности) влияет два вида причин:
- общие для каждой единицы совокупности, эти причины формируют тип явления и связаны с его сущностью;
- индивидуальные, специфические для каждой единицы совокупности, не связанные с типом явления, то есть случайные для него.
При расчете средней величины в совокупности влияние случайных причин взаимопогашается, и средняя величина, абстрагируясь от индивидуальных особенностей отдельных единиц совокупности, выражает общие свойства, присущие всей совокупности. Кетле считал среднюю величину не просто статистическим показателем, имеющим определенный способ расчета, а категорией объективной реальности.
В настоящее время средняя величина признается также центральным показателем, характеризующим совокупность. И определяют ее как обобщающий показатель, характеризующий типический уровень варьирующего признака. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.
Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности .
Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель выделяет то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае.
Таким образом, в способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей. Следует отметить, что средняя величина будет объективной характеристикой, если она вычислена по качественно однородной совокупности.
Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения . Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние.
К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.
В качествеструктурных средних рассматриваются мода и медиана.
Выбор конкретного вида средней величины зависит от цели исследования и логической сущности усредняемого признака.
Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми ивзвешенными .
Простая средняя считается по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид:
где X
– варианта (значение) осредняемого признака;
m
– показатель степени средней;
n
– число вариант.
В зависимости от степени m получают различные виды средних величин.
Если же данные сгруппированы, то используется формулы средних взвешенных , где весами выступают частоты f (повторяемость варианты).
Взвешенная средня я считается по сгруппированным данным и имеет общий вид
где X –
варианта (значение) усредняемого признака или серединноезначение интервала, в котором измеряется варианта;
m
– показатель степени средней;
f
– частота, показывающая, сколько раз встречается каждое значение усредняемого признака.
Таблица 7. Виды степенных средних
| Вид степенной средней | Показатель степени (m) | Формула расчета | |
| Простая | Взвешенная | ||
| Гармоническая | -1 | ||
| Геометрическая |  |  |
|
| Арифметическая | |||
| Квадратическая | |||
| Кубическая |
Формулы средневзвешенные могут использоваться для расчета общей по совокупности средней на основе групповых средних.
Таблица 8. Оплата труда по бригадам
Таблица 9. Оплата труда по бригадам
В обеих задачах определяющей функцией является ФЗП.
Прежде, чем выбрать формулу для расчетов средней величины,нужно словами записать логическую сущность усредняемого признака.
Средняя заработная плата = Фонд заработной платы / численность работников
Средняя урожайность = Валовой сбор / Посевная площадь
Средняя производительность труда = Объем продукции / Численность (Время)
Правило: Если в представленной информации есть данные о числителе логической формулы, то есть об определяющей функции, то для расчета средней величины используется средняя гармоническая. Если представлены данные о знаменателе логической формулы, то для расчета средней величины используется средняя арифметическая.
Пример . В течение 8-часового рабочего дня пять рабочих производили одинаковые детали. Их затраты времени на одну деталь, мин.: 20, 16, 20, 15, 24. Определить средние затраты времени на одну деталь.
Средние затраты времени на одну деталь определяются путем деления суммарного времени на число деталей.
480 +480+480+480+480
480:20+480:16+480:20+480:15+480:24
(2400:130=18,46 мин.)
Это - правильный расчет, а неправильно, если сложить все затраты времени на одну деталь и разделить на пять (19 мин.). При таком расчете искажается объем производства деталей (2400:19=126, а не 130, как фактически).
1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:
2. Алгебраическая сумма линейных отклонений варианты от средней арифметической равна 0 (нулевое свойство):
– для несгруппированных данных,
– для сгруппированных данных;
3. Сумма квадратов отклонений варианты от средней арифметической есть число минимальное:
– min (для несгруппированных данных),
– min (для сгруппированных данных);
Эти три свойства определяют сущность средней арифметической. Следующие свойства – расчетные .
4. Если каждую варианту Х уменьшить или увеличить на определенное число, то средняя величина уменьшается или увеличивается на это число.
5. Если каждую варианту Х уменьшить или увеличить в одно и то же число раз, то средняя величина уменьшается или увеличивается в это число раз.
6. Если каждую частоту f уменьшить или увеличить в одно и то же число раз, то средняя величина не изменится.
Доля каждой варианты (d) определяется путем деления каждой частоты на сумму всех частот.
Таким образом средняя величина зависит от варианты Х и от структуры совокупности, которая характеризуется долями d.
7. Средняя суммы равна сумме средних:
Ряд распределения имеет 3 центра:
1) средняя арифметическая;
3) медиана.
Рассчитаем среднюю арифметическую для дискретного ряда распределения, представленного в таблице 1:
При расчете средней величины по интервальному ряду распределения в качестве варианты Х берется середина интервала. Если интервал открытый, то при расчете средней величины его условно закрывают, принимая равным соседнему закрытому интервалу.
Рассчитаем среднюю величину основных средств по таблице 3:
Млрд.руб.
В таблице 5 была рассчитана эта же величина, и она получилась равной 3,3 млрд. руб. (Объяснить различия)
Мода – наиболее часто встречающаяся варианта.
Определим моду тарифного разряда по таблице 1:
Для интервальных рядов распределения сначала находится модальный интервал, то есть интервал с наибольшей частотой внутри этого интервала, затем мода находится по формуле:
Нижняя граница модального интервала;
i - величина модального интервала;
Частота модального интервала;
Частота интервала предшествующего модальному интервалу;
Частота интервала следующего за модальным интервалом.
млрд. руб.
Медиана - варианта, стоящая в середине ряда распределения.
Номер медианы:
№ Ме= - если число единиц в совокупности четное;
№ Ме= - если число единиц в совокупности нечетное.
Найдем медиану тарифного разряда по таблице 1:
Следовательно, половина рабочих цеха имеет разряд не выше 3-го.
Прежде чем найти медиану для интервального ряда распределения, ищут интервал, в который входит срединная варианта, затем внутри этого интервала определяют медиану по формуле:
,
где - нижняя граница медианного интервала;
i- величина медианного интервала;
n- число единиц совокупности;
Накопленная частота интервала предшествующего медианному;
Частота медианного интервала
Найдем медиану основных средств по таблице 3:
млрд.руб.,
То есть половина предприятий имеет основные средства не выше, чем 3,45 млрд. руб.
Ряды распределения, имеющие одинаковую среднюю величину, могут существенно отличаться по степени колеблемости изучаемого признака. (Пример. Средний возраст студентов в группе и бабушки с детьми).
Для характеристики совокупности, особенно, в том случае, если значение признака существенно колеблется, дополнительно к расчету средней величины определяют ряд показателей вариации.
Для измерения вариации используют абсолютные и относительные показатели.
1. Размах вариации: R = X max – X min – диапазон изменения признака.
2. Среднее линейное отклонение – показывает среднее отклонение варианты от средней величины:
Для несгруппированных данных;
3. Среднее квадратическое отклонение - показывает среднее отклонение вариант от средней величины:
- для не сгруппированных данных;
- для сгруппированных данных;
Все 3 показателя имеют те же единицы измерения, что и признак.
4. Дисперсия – квадрат среднего квадратического отклонения:
или 
Не имеет единиц измерения.
Свойства дисперсии :
1) D(const)=0, то есть дисперсия постоянной величины равна 0.
2) Если каждую варианту Х уменьшить или увеличить на одно и то же число раз, то дисперсия не изменится;
3) Если каждую варианту Х уменьшить или увеличить в одно и то же число раз i, то дисперсия уменьшится или увеличится в i 2 раз.
Способы расчета дисперсии:
1) исходя из определения:
2) исходя из средней из квадратов вариант:
; 
;
Эта формула получена преобразованием основной формулы.
3) по способу моментов:
Первый условный момент;
Второй условный момент;
; 
Рассчитаем дисперсию тарифного разряда по данным таблицы 1 двумя способами:
2) 
=13,75-3,53=1,29
Показатели относительного рассеивания (вариации) .
Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер вариации в различных распределениях (колеблемость одного и того же признака в двух совокупностях или колеблемость различных признаков в одной совокупности). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической.
1.Коэффициент осцилляции показывает относительную колеблемость крайних значений признака относительно средней.
2. Относительное линейное отклонение характеризует относительное усредненное значение абсолютных отклонений от средней величины.
3. Коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.
В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.
Для более глубокого анализа колеблемости признаков также используют показатели дифференциации.
1. По несгруппированным первичным данным можно рассчитать коэффициент фондовой дифференциации :
,
где - средняя величина, рассчитанная для 10% самых больших значений признака.
Средняя величина, рассчитанная для 10% самых маленьких значений признака.
2. Если данные сгруппированы, то рассчитывают коэффициент децильной дифференциации :
Где и - соответственно 1 и 9 децили.
Дециль - значение признака, которому в ряду распределения соответствует 10-я доля совокупности, то есть децили делят совокупность на 10 равных частей..
Процедура нахождения децилей аналогична процедуре нахождения медианы для интервального ряда распределения:
1) определяют № децили: для 1-й децили: № = ;
для 9-й децили: № = ;
2) находят интервалы, в которые входят эти децили и внутри этих интервалов находят децили по формулам:
; 
,
где и - соответственно нижние границы интервалов, в которые входят 1 и 9 децили;
i - величины интервалов, в которые входят 1 и 9 децили;
И - соответственно частоты интервалов, в которые входят 1 и 9 децили;
Накопленная частота интервала, предшествующая децильному (в первой формуле для 1-й децили, во второй формуле для 2-й децили).
Таблица 10. Распределение населения района
По среднедушевому доходу
| Месячный среднедушевой доход, тыс.руб | Численность | Накопленные частоты | |
| тыс.чел. | в % к итогу | ||
| 20-40 - 40-60 60-100 100-150 150-200 - 200-300 300-500 500 и выше | 9,2 25,2 32,9 30,0 27,4 15,5 4,9 3,1 | 6,2 17,0 22,2 20,2 18,5 10,5 3,3 2,1 | 9,2 () 34,4 () 67,3 97,3 124,7 () 140,2 () 145,1 148,2 |
| Итого | 148,2 | - |
Альтернативный признак – это признак, которым обладает часть единиц и не обладает другая часть единиц совокупности.
Дисперсия равна произведению доли (р ) на дополняющее эту долю до единицы число (q ):
где p – доля единиц, обладающих признаком;
q – доля единиц, не обладающих признаком.
Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при р = 0,5.
Пример 6.1 . Из 200 студентов факультета - 60 чел. – неуспевающие.
Доля неуспевающих студентов равна p = 60 / 200 = 0,3
Доля успевающих студентов равна q = 1 – 0,3 = 0,7
Дисперсия доли равна = 0,3 · 0,7 = 0,21
Пример 6.2 . Расчет по несгруппированным данным. Имеются данные о стаже 10 работников - 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 9, 12. Рассчитать показатели вариации.
Составим рабочую таблицу для расчёта.
| Номер работник | Стаж, лет (х i ) |  |  |  | x 2 |
| -4 | |||||
| -3 | |||||
| -2 | |||||
| -2 | |||||
| -1 | |||||
| -1 | |||||
| Итого |
Средний стаж равен 
лет.
Размах вариации R =12–1= 11 лет.
Далее рассчитываем отклонения от средней , и
Среднее линейное отклонение 
лет.
Дисперсия 
Средняя из квадратов 
Второй способ расчёта дисперсии = 35,4 – 5 2 = 10,4
года
Коэффициент вариации V = 3,22 / 5 = 0,645 или 64,5%
V d = 2,6 / 5 = 0,520 или 52,0%.
Пример 6.3 . Расчёт по интервальному вариационному ряду.
Имеются данные о распределении рабочих по зарплате
Решение: Составим рабочую таблицу для расчёта.
| Зарплата | f | Середина интервала (х ) | x i ·f i | | |  |  |
| до 10 | -21 | ||||||
| 10–20 | -11 | ||||||
| 20–30 | -1 | ||||||
| 30–40 | |||||||
| 40 и более | |||||||
| Итого |
Средняя зарплата 
тыс.руб.
Среднее линейное отклонение 
тыс.руб.
Дисперсия 
Среднее квадратическое отклонение 
тыс.руб.
Коэффициент вариации V = 12,45 / 26 = 0,479 или 47,9%
Линейный коэффициент вариации: V d = 10,36 / 26 = 0,398 или 39,8%.
Виды дисперсий
Общая дисперсия s 2 измеряет вариацию результативного признака (y ) во всей совокупности под влиянием всех факторов (x 1 , x 2 , x 3 …) обусловивших эту вариацию.
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора (x ), положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле
,
где `y i и n i - соответственно групповые средние и численности по отдельным группам.
Внутригрупповая дисперсия () отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:
Средняя из внутригрупповых дисперсий ():
Существует закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсией:
В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации ():
.
Этот коэффициент показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака обусловленную вариацией группировочного признака.
Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения (h ):
.
Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если h = 0, то группировочный признак не оказывает влияние на результативный. Если h = 1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.
Пример 6.4 . Имеются данные о группе рабочих.
Оценить силу связи между признаками.
Решение: Даны групповые средние и внутригрупповые дисперсии.
Определим среднюю общую используя групповые средние
Средняя из внутригрупповых дисперсий
Межгрупповая дисперсия
Общая дисперсия s 2 =6,955 + 34,65 = 41,605
Эмпирический коэффициент детерминации
34,65 / 41,605 = 0,833
Эмпирическое корреляционное отношение
Такое значение (близко к 1) характеризует очень сильную связь между числом обслуживаемых станков и средней зарплатой.
p + q = 1
Среднее значение альтернативного признака
Дисперсия альтернативного признака:
Максимальное значение дисперсии альтернативного признака 0,25
Правило сложения дисперсий
Выделяют дисперсии:
2) групповую
3) межгрупповую
4) среднюю из групповых
Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под воздействием всех факторов, вызывающих эту вариацию:
где - среднее значение изучаемого признака для i – й группы
– общая средняя для всей совокупности
Номер группы
– количество единиц в i – й группе
Средняя из групповых (или остаточная) дисперсия характеризует случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая вызвана действием других неучтённых факторов, и не зависящую от фактора, положенного в основании группировки:
 |
|||
где - групповая дисперсия
 |
Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из групповых дисперсий:
Эмпирический коэффициент детерминации:
Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии (насколько общая вариация изучаемого признака обусловлена вариацией группировочного (факторного) признака), т.е. показывает, насколько вариация признака в совокупности обусловлена фактором группировки.
Эмпирическое корреляционное отношение:
Эмпирическое корреляционное отношение характеризует степень влияния группировочного признака на результативный показатель и оценивает тесноту связи между изучаемым и группировочным признаками. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Чем ближе η к 1, тем степень влияния больше, чем ближе к 0, тем слабее.
Стоимость 1 кв.м общей площади (у.е.) на рынке жилья по десяти 17-м домам улучшенной планировки составляла:
Таблица 14
При этом известно, что первые пять домов были построены вблизи делового центра, а остальные - на значительном расстоянии от него.
Для расчета общей дисперсии вычислим среднюю стоимость 1 кв.м. общей площади:
Общую дисперсию определим по формуле 
:
Вычислим среднюю стоимость 1 кв.м. и дисперсию по этому показателю для каждой группы домов, отличающихся месторасположением относительно центра города:
а) для домов, построенных вблизи центра:
б) для домов, построенных далеко от центра:
Вариация стоимости 1 кв.м. общей площади, вызванная изменением местоположения домов, определяется величиной межгрупповой дисперсии :
Вариация стоимости 1 кв.м. общей площади, обусловленная изменением остальных не учитываемых нами показателей, измеряется величиной внутригрупповой дисперсии
Подст-в в формулу дисперсии q = 1 - р, получим
Среднее квад-ое отклонение альтерн-ого признака
Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:: V= σ / X‾ *100
Общая дисперсия σ 2 измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней х и может быть вычислена как простая дисперсия
Межгрупповая дисперсия δ 2 характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних X‾iот общей средней X‾:
Внутригрупповая (частная) дисперсия σ 2 i отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы х) (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:
На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, т.е. на основании σ 2 i можно определить общую среднюю извнутригрупповых дисперсий:
Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:
Внутригрупповые дисперсии показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.) , кроме различий в квалификационном разряд. Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает вариацию выработки, обусловленную всеми факторами, кроме квалификации рабочих, но в среднем по всей совокупности. Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию групповых средних, обусловленную различиями групп рабочих по квалификационному разряду. Общая дисперсия отражает суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию среднечасовой выработки изделий всеми рабочими цеха.
Поэтому в статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации (ή 2) - показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:
ή 2 =δ 2 / σ 2 Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х (остальная часть общей вариации у обуславливается вариацией прочих факторов). При отсутствии связи эмпирический коэф равен 0, а при функциональной связи – единице.Эмпирическое корреляционное отношение - это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации: v
ή=√ δ 2 / σ 2 оно показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками.
Эмпирическое корреляционное отношение ή , как и ή 2 , может принимать значения от 0 до 1. Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации. Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии, т.е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака.
Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.
Ряды динамики
Одной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, то есть их динамика . Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики (временных рядов).
Ряд динамики (или временной ряд) – это числовые значения определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени (т.е. расположенные в хронологическом порядке).
Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющего ряд динамики, называют уровнями ряда и обычно обозначают буквой y . Первый член ряда y 1 называют начальным или базисным уровнем , а последний y n – конечным . Моменты или периоды времени, к которым относятся уровни, обозначают через t .
Ряды динамики, как правило, представляют в виде таблицы или графика, причем по оси абсцисс строится шкала времени t , а по оси ординат – шкала уровней ряда y .
Среди множества варьирующих признаков существуют признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Эти признаки называются альтернативными. Например, ученая степень у преподавателя вуза. Вариация альтернативного признака качественно проявляется в значении нуля у единиц, которые этим признаком не обладают или в значении единицы у тех, которые данный признак имеют.
Пусть n – число единиц совокупности; m – число единиц совокупности, обладающих данным признаком; p – доля единиц, обладающих данным признаком (p=m/n); q - доля единиц, не обладающих данным признаком, причем p+q =1.
Альтернативный признак принимает всего два значения – 0 и 1 с весами соответственно q и p. Вычислим среднее значение альтернативного признака по формуле средней арифметической:
.
Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:
,
где R – среднеквадратическое отклонение альтернативного признака.
Вычислим дисперсию альтернативного признака по следующим данным: налоговой инспекций одного из районов города проверено 86 коммерческих киосков и в 37 обнаружены финансовые нарушения. Тогда
Следовательно, дисперсия и среднее квадратическое отклонение доли коммерческих киосков, имеющих финансовые нарушения, во всей совокупности обследованных киосков равны:
Обобщенной характеристикой различий внутри ряда может служить энтропия распределения. Применительно к статистике энтропия – это мера неопределенности данных наблюдения, которая может иметь различные результаты.
Показатель энтропии (Hx):
,
где p i
– вероятность события x i .
Расчет энтропии распределения можно показать на примере выпуска продукции различных сортов на одном из предприятий точного машиностроения (табл. 5.4).
Таблица 5.4 - Вероятности различных сортов продукции
