Двойные интегралы для чайников

Данный урок открывает обширную тему кратных интегралов, с которыми студенты обычно сталкиваются на втором курсе. Двойными и тройными интегралами можно запугать обывателя не хуже, чем дифференциальными уравнениями , поэтому сразу же разберёмся с вопросом: сложно или нет? Конечно, некоторым будет сложно, и, если честно, я немного слукавил с названием статьи – для того, чтобы научиться решать двойные интегралы, необходимо обладать некоторыми навыками. Во-первых, если речь идёт об интегралах, то, очевидно, придётся интегрировать. Логично. Следовательно, для освоения примеров нужно уметь находить неопределённые интегралы и вычислять определённые интегралы хотя бы на среднем уровне. Хорошая новость состоит в том, что сами по себе интегралы в большинстве случаев достаточно просты.

Кому придётся туговато? Понятное дело. Тем, кто много пил пиво в течение первых семестров. Однако нормальных студентов тоже обнадёжу – на сайте есть все материалы, чтобы восполнить пробелы или недопонимание. Просто вам придётся потратить больше времени. Ссылки на темы, которые следует изучить или повторить, будут прилагаться по ходу статьи.

На вводном уроке поэтапно и подробно будут разобраны следующие базовые моменты:

– Понятие двойного интеграла

– Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования. Как изменить порядок обхода?

После того, как вы ХОРОШО поймёте все азы, можно будет перейти к статье Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений . Кроме того, существует распространенная задача о вычислении двойного интеграла в полярных координатах и типовое приложение о нахождении центра тяжести плоской ограниченной фигуры .

Начнём с насущного вопроса – что это такое?

Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

Разбираемся в терминах и обозначениях:
– значок двойного интеграла;
– область интегрирования (плоская фигура);
– подынтегральная функция двух переменных , часто она довольно простая;
– значки дифференциалов.

Что значит вычислить двойной интеграл?

Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО . Самое обычное число:

И крайне желательно найти его правильно =)

Результат (число ) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Специально остановился на данном моменте, поскольку немало студентов испытывают беспокойство, когда ответ получается «шото вроде как странный».

Многие помнят, что «обычный» определённый интеграл – тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время.

Как вычислить двойной интеграл?

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам . Сделать это можно двумя способами . Наиболее распространён следующий способ:

Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса у внешнего интеграла – это числа , а двойные знаки вопроса у внутреннего интеграла – это функции одной переменной , зависящие от «икс».

Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область . Область представляет собой обычную плоскую фигуру, с которой вы неоднократно сталкивались, например, при вычислении площади плоской фигуры или вычислении объема тела вращения . Очень скоро вы узнаете, как правильно расставлять пределы интегрирования.

После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл , а потом – внешний. Друг за другом. Отсюда и название – повторные интегралы.

Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?!

Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:

Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками – будут другими! Одиночные звёздочки внешнего интеграла – это числа , а двойные звёздочки внутреннего интеграла – это обратные функции , зависящие от «игрек».

Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же :

Пожалуйста, запомните это важное свойство , которое можно использовать, в том числе, для проверки решения.

Алгоритм решения двойного интеграла:

Систематизируем информацию: в каком порядке нужно решать рассматриваемую задачу?

1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу не решить . Точнее, решать-то она решается, но это будет похоже на игру в шахматы вслепую. На чертеже следует изобразить область , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми , параболами , гиперболами и т.д. Грамотную и быструю технику построения чертежей можно освоить на уроках Графики и основные свойства элементарных функций , Геометрические преобразования графиков . Итак, этап первый – выполнить чертёж.

2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.

3) Взять внутренний интеграл

4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).

Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования.
Как изменить порядок обхода?

В данном параграфе мы рассмотрим важнейший вопрос – как перейти к повторным интегралам и правильно расставить пределы интегрирования. Как было сказано выше, сделать это можно так:

И так:

На практике эта вроде бы несложная задача вызывает наибольшие затруднения, и студенты часто путаются в расстановке пределов интегрирования. Рассмотрим конкретный пример:

Пример 1

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Обычная плоская фигура и ничего особенного.

Теперь я выдам каждому из вас орудие труда – палку-копалку лазерную указку. Задача состоит в том, чтобы просканировать лучом лазера каждую точку заштрихованной области:

Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх , то есть указку вы ВСЕГДА держите ниже плоской фигуры. Луч входит в область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением и выходит из области через параболу (красная стрелка). Чтобы просветить всю область, вам нужно строго слева направо провести указкой вдоль оси от 0 до 1 (зелёная стрелка).

Итак, что получилось:
«игрек» изменяется от 0 до ;
«икс» изменяется от 0 до 1.

В задачах вышесказанное записывают в виде неравенств:

Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или просто порядком интегрирования

После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам:

Половина задачи решена. Теперь необходимо перейти к повторным интегралам вторым способом. Для этого следует найти обратные функции. Кто ознакомился со вторым параграфом урока Объем тела вращения , тому будет легче. Смотрим на функции, которыми задается область . Если совсем просто, то перейти к обратным функциям, это значит – выразить «иксы» через «игреки». Единственной функцией, где есть и «икс» и «игрек» , является .

Если , то , причём:
обратная функция задает правую ветку параболы;
обратная функция задает левую ветку параболы.

Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция определяет левую или правую ветвь параболы? Сомнения развеять очень просто: возьмите какую-нибудь точку параболы, например, (с правой ветви) и подставьте её координаты в любое уравнение, например, в то же уравнение :

Получено верное равенство, значит, функция определяет именно правую ветвь параболы, а не левую.

Более того, данную проверку (мысленно или на черновике) желательно проводить всегда , после того, как вы перешли к обратным функциям. Времени займет всего ничего, а от ошибки убережёт наверняка!

Обходим область интегрирования вторым способом:

Теперь лазерную указку держим слева от области интегрирования. Луч лазера проходит область строго слева направо . В данном случае он входит в область через ветвь параболы и выходит из области через прямую, которая задана уравнением (красная стрелка). Чтобы просканировать лазером всю область, нужно провести указкой вдоль оси строго снизу вверх от 0 до 1 (зеленая стрелка).

Таким образом:
«икс» изменяется от до 1;
«игрек» изменяется от 0 до 1.

Порядок обхода области следует записать в виде неравенств:

И, следовательно, переход к повторным интегралам таков:

Ответ можно записать следующим образом:

Еще раз напоминаю, что окончательный результат вычислений не зависит от того, какой порядок обхода области мы выбрали (поэтому поставлен знак равенства). Но, до конечного результата ещё далеко, сейчас наша задача – лишь правильно расставить пределы интегрирования.

Пример 2

Дан двойной интеграл с областью интегрирования . Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

Это пример для самостоятельного решения. Грамотно постройте чертёж и строго соблюдайте направления обхода (откуда и куда светить лазерной указкой). Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Чаще всего типовое задание встречается немного в другой формулировке:

Пример 3

Построить область интегрирования и

Решение: По условию дан первый способ обхода области. Решение опять начинается с чертежа. Здесь область не лежит на блюдечке с голубой каёмочкой, но построить её не составляет особого труда. Сначала «снимаем» функции с пределов интегрирования: , . Функция , понятно, задаёт прямую , но что задаёт функция ? Давайте её немного преобразуем:
– окружность с центром в начале координат радиуса 2. Функция же задаёт верхнюю полуокружность (не забываем, что если есть сомнения, то всегда можно подставить точку лежащую на верхней или нижней полуокружности).

Смотрим на пределы внешнего интеграла: «икс» изменяется от –2 до 0.

Выполним чертёж:

Для наглядности я указал стрелками первый способ обхода области, который соответствует повторным интегралам условия: .

Теперь нужно изменить порядок обхода области, для этого перейдем к обратным функциям (выразим «иксы» через «игреки»):

Недавно мы преобразовали функцию к уравнению окружности , далее выражаем «икс»:
В результате получаем две обратные функции:
– определяет правую полуокружность;
– определяет левую полуокружность.
Опять же, если возникают сомнения, возьмите любую точку окружности и выясните, где лево, а где право.

Изменим порядок обхода области:

Согласно второму способу обхода, лазерный луч входит в область слева через левую полуокружность и выходит справа через прямую (красная стрелка). В то же время лазерная указка проводится вдоль оси ординат снизу вверх от 0 до 2 (зелёная стрелка).

Таким образом, порядок обхода области:

В общем-то, можно записать ответ:

Пример 4

Это пример для самостоятельного решения. Пример не очень сложный, но обратите внимание, что порядок обхода изначально задан вторым способом! Что делать в подобных случаях? Во-первых, возникает трудность с чертежом, поскольку чертить график обратной функции наподобие непривычно даже мне самому. Я рекомендую следующий порядок действий: сначала из получаем «обычную» функцию (выражаем «игрек» через «икс»). Далее строим график этой «обычной» функции (всегда можно построить хотя бы поточечно). Аналогично поступаем с более простой линейной функцией: из выражаем «игрек» и проводим прямую.

Анализируем исходные пределы интегрирования: входим слева в область через и выходим через . При этом все дела происходят в «игрековой» полосе от –1 до 0. После того, как вы определили на чертеже область интегрирования, сменить порядок обхода не составит особого труда. Примерный образец оформления решения в конце урока.

Похожий пример я еще разберу подробнее чуть позже.

Даже если вы всё отлично поняли, пожалуйста, не торопитесь переходить непосредственно к вычислениям двойного интеграла . Порядок обхода – вещь коварная, и очень важно немного набить руку на данной задаче, тем более, я еще не всё рассмотрел!

В предыдущих четырёх примерах область интегрирования находилась целиком в 1-й, 2-й, 3-й и 4-й координатных четвертях. Всегда ли это так? Нет, естественно.

Пример 5

Изменить порядок интегрирования

Решение: Выполним чертёж, при этом, график функции фактически представляет собой кубическую параболу, просто она «лежит на боку»:

Порядок обхода области, который соответствует повторным интегралам , обозначен стрелками. Обратите внимание, что в ходе выполнения чертежа прорисовалась еще одна ограниченная фигура (левее оси ординат). Поэтому следует быть внимательным при определении области интегрирования – за область можно ошибочно принять не ту фигуру.

Перейдем к обратным функциям:
– нужная нам правая ветвь параболы;

Изменим порядок обхода области. Как вы помните, при втором способе обхода, область нужно сканировать лазерным лучом слева направо. Но тут наблюдается интересная вещь:

Как поступать в подобных случаях? В таких случаях следует разделить область интегрирования на две части и для каждой из частей составить свои повторные интегралы:

1) Если «игрек» изменяется от –1 до 0 (зеленая стрелка), то луч входит в область через кубическую параболу и выходит через прямую (красная стрелка). Поэтому порядок обхода области будет следующим:

2) Если «игрек» изменяется от 0 до 1 (коричневая стрелка), то луч входит в область через ветвь параболы и выходит через ту же прямую (малиновая стрелка). Следовательно, порядок обхода области будет следующим:

И соответствующие повторные интегралы:

У определенных и кратных интегралов есть весьма удобное свойство аддитивности , то есть, их можно сложить, что в данном случае и следует сделать:
– а вот и наш обход области вторым способом в виде суммы двух интегралов.

Ответ записываем так:

Какой порядок обхода выгоднее? Конечно тот, который был дан в условии задачи – вычислений будет в два раза меньше!

Пример 6

Изменить порядок интегрирования

Это пример для самостоятельного решения. В нём присутствуют полуокружности, разборки с которыми были подробно рассмотрены в Примере 3. Примерный образец оформления решения в конце урока.

А сейчас обещанная задача, когда изначально задан второй способ обхода области:

Пример 7

Изменить порядок интегрирования

Решение: Когда порядок обхода задан вторым способом, то перед построением чертежа целесообразно перейти к «обычным» функциям. В данном примере присутствуют два пациента для преобразования: и .
С линейной функцией всё просто:

График функции представляется собой параболу с претензией на каноничность.

Выразим «игрек» через «икс»:

Получаем две ветви параболы: и . Какую из них выбрать? Проще всего сразу выполнить чертёж. И даже если вы крепко позабыли материал аналитической геометрии о параболе , то всё равно обе ветви можно построить поточечно:

Еще раз обращаю внимание на тот факт, что на данном чертеже получилось несколько плоских фигур, и очень важно выбрать нужную фигуру! В выборе искомой фигуры как раз помогут пределы интегрирования исходных интегралов:
, при этом не забывайте, что обратная функция задаёт всю параболу.

Стрелочки, которыми обозначен обход фигуры, в точности соответствуют пределам интегрирования интегралов .

Довольно быстро вы научитесь проводить такой анализ мысленно и находить нужную область интегрирования.

Когда фигура найдена, заключительная часть решения, в общем-то, очень проста, меняем порядок обхода области:

Обратные функции уже найдены, и требуемый порядок обхода области:

Ответ:

Заключительный пример параграфа для самостоятельного решения:

Пример 8

Изменить порядок интегрирования

Полное решение и ответ в конце урока.

Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла и знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл численно равен площади плоской фигуры (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице: .

Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что на отрезке . Площадь данной фигуры численно равна:

Изобразим область на чертеже:

Выберем первый способ обхода области:

Таким образом:

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности . Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции . Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла! Смотрите урок Вычисление площади с помощью определенного интеграла , там она на каждом шагу!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла ! Фактически это одно и тоже!

Соответственно, никаких трудностей возникнуть не должно! Я рассмотрю не очень много примеров, так как вы, по сути, неоднократно сталкивались с данной задачей.

Пример 9

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: Изобразим область на чертеже:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Выберем следующий порядок обхода области:

Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход области, поскольку в первом параграфе были приведены очень подробные разъяснения.

Таким образом:

Как я уже отмечал, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я:

1) Сначала с помощью формулы Ньютона-Лейбница разбираемся с внутренним интегралом:

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:

Пункт 2 – фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла.

Ответ:

Вот такая вот глупая и наивная задача.

Любопытный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями , ,

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

В Примерах 9-10 значительно выгоднее использовать первый способ обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

1.1 Определение двойного интеграла

1.2 Свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.

1°. Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D 1 и D 2 , то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D 1 и D 2 , причем

2°. Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а? и? - любые вещественные числа, то функция [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] также интегрируема в области D, причем

3°. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

4°. Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ? g(x, y), то

5°. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем

(Конечно, из интегрируемости |f(x, y)| в D не вытекает интегрируемость f(x, y) в D.)

6°. Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число?, удовлетворяющее неравенству m ? ? ? M и такое, что справедлива формула

В частности, если функция f(x, y) непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка (?, ?), что? = f(?, ?), и формула принимает вид

7°. Важное геометрическое свойство. равен площади области D

Пусть в пространстве дано тело T (рис. 2.1), ограниченное снизу областью D , сверху - графиком непрерывной и неотрицательной функции) z=f (x, y ,) которая определена в области D , с боков - цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области D , а образующие параллельны оси Оz. Тело такого вида называется цилиндрическим телом.

1.3 Геометрическая интерпретация двойного интеграла

1.4 Понятие двойного интеграла для прямоугольника

Пусть произвольная функция f(x, y) определена всюду на прямоугольнике R = ? (см. Рис. 1).

Разобьем сегмент a ? x ? b на n частичных сегментов при помощи точек a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Этому разбиению при помощи прямых, параллельных осям Ox и Oy, соответствует разбиение прямоугольника R на n · p частичных прямоугольников R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Указанное разбиение прямоугольника R обозначим символом T. В дальнейшем в этом разделе под термином "прямоугольник" будем понимать прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.

На каждом частичном прямоугольнике R kl выберем произвольную точку (? k , ? l). Положив?x k = x k - x k-1 , ?y l = y l - y l-1 , обозначим через?R kl площадь прямоугольника R kl . Очевидно, ?R kl = ?x k ?y l .

называется интегральной суммой функции f(x, y), соответствующей данному разбиению T прямоугольника R и данному выбору промежуточных точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках разбиения T.

Диагональ будем называть диаметром прямоугольника R kl . Символом? обозначим наибольший из диаметров всех частичных прямоугольников R kl .

Число I называется пределом интегральных сумм (1) при? > 0, если для любого положительного числа? можно указать такое положительное число?, что при? < ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - I | < ?.

Функция f(x, y) называется интегрируемой (по Риману) на прямоугольнике R, если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при? > 0.

Указанный предел I называется двойным интегралом от функции f(x, y) по прямоугольнику R и обозначается одним из следующих символов:

Замечание. Точно также, как и для однократного определенного интеграла, устанавливается, что любая интегрируемая на прямоугольнике R функция f(x, y) является ограниченной на этом прямоугольнике.

Это дает основание рассматривать в дальнейшем лишь ограниченные функции f(x, y).

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ЛЕКЦИЯ 1

Двойные интегралы. Определение двойного интеграла и его свойства. Повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.

Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f (x,y ) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y =f (x ) или x =g(y ), где f (x ) и g (y ) – непрерывные функции.

Разобьем область D произвольным образом на n частей. Площадь i -го участка обозначим символом Ds i . На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку P i , и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты (x i ,y i ). Составим интегральную сумму для функции f (x,y ) по области D, для этого найдем значения функции во всех точках P i , умножим их на площади соответствующих участков Ds i и просуммируем все полученные результаты:

Назовем диаметром diam (G ) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области.

Двойным интегралом функции f (x,y ) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1.1) при неограниченном увеличении числа разбиений n (при этом ). Это записывают следующим образом

Заметим, что, вообще говоря, интегральная сумма для заданной функции и заданной области интегрирования зависит от способа разбиения области D и выбора точек P i . Однако если двойной интеграл существует, то это означает, что предел соответствующих интегральных сумм уже не зависит от указанных факторов. Для того чтобы двойной интеграл существовал (или, как говорят, чтобы функция f (x,y ) была интегрируемой в области D), достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной в заданной области интегрирования .

Пусть функция f (x,y ) интегрируема в области D . Поскольку предел соответствующих интегральных сумм для таких функций не зависит от способа разбиения области интегрирования, то разбиение можно производить при помощи верти­кальных и горизонтальных линий. Тогда большинство участков области D будет иметь прямоугольный вид, площадь которых равна Ds i =Dx i Dy i . Поэтому дифференциал площади можно записать в виде ds=dxdy . Следовательно, в декартовой системе координат двойные интегралы можно записывать в виде

Замечание . Если подынтегральная функция f (x,y )º1, то двойной интеграл будет равен площади области интегрирования:

Отметим, что двойные интегралы обладают такими же свойствами, что и определенные интегралы. Отметим некоторые из них.

Свойства двойных интегралов.

1 0 . Линейное свойство. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов :

и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла :

2 0 . Аддитивное свойство. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части :

3 0 . Теорема о среднем. Если функция f(x,y ) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка (x,h), что :

Далее возникает вопрос: как вычисляются двойные интегралы? Его можно вычислить приближенно, с этой целью это разработаны эффективные методы составления соответствующих интегральных сумм, которые затем вычисляются численно при помощи ЭВМ. При аналитическом вычислении двойных интегралов их сводят к двум определенным интегралам.

Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.

1° . Аддитивность . Если функция f (x , y ) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D 1 и D 2 , то функция f (x , y ) интегрируема в каждой из областей D 1 и D 2 , причем

2° . Линейное свойство . Если функции f (x , y ) и g (x , y ) интегрируемы в области D , а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f (x , y ) + β · g (x , y )] также интегрируема в области D , причем

3° . Если функции f (x , y ) и g (x , y ) интегрируемы в области D , то и произведение этих функций интегрируемо в D .

4° . Если функции f (x , y ) и g (x , y ) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f (x , y ) ≤ g (x , y ), то

5° . Если функция f (x , y ) интегрируема в области D , то и функция |f (x , y )| интегрируема в области D , причем

(Конечно, из интегрируемости |f (x , y )| в D не вытекает интегрируемость f (x , y ) в D .)

6° . Теорема о среднем значении . Если обе функции f (x , y ) и g (x , y ) интегрируемы в области D , функция g (x , y ) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f (x , y ) в области D , то найдется число μ , удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах

Задача, приводящая к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. К понятию двойного интеграла мы приходим, решая конкретную задачу вычисления объема цилиндрического тела. Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью хОу, некоторой поверхностью и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси (см. рис.1). Область D изменения переменных х и у называется основанием цилиндрического тела. При определении объема тела будем исходить из двух принципов: !) если разбить тело на части, то его объем равен сумме объемов всех частей (свойство аддитивности); 2) объем прямого цилиндра, ограниченного плоскостью z = const, параллельной плоскости хОу, равен площади основания, умноженной на высоту. В дальнейшем мы будем предполагать, что область D является связной (состоящей из одного куска), квадрируемой (т. е. имеющей площадь) и ограниченной (т. е. расположенной внутри некоторого круга с центром в начале координат). Пусть - непрерывная функция точки Р(х, у) в области всюду в области Z>, т. е. что рассматриваемая цилиндрическая поверхность целиком лежит над плоскостью хОу. Обозначим объем цилиндрического тела через V. Разобьем область D - основание цилиндрического тела - на некоторое число п непересекающихся квадрируемых областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, площади - через соответственно. Назовем диаметром частичной области Dk величину Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах где символ р{Р; Q) означает расстояние между точками Р и Q. Обозначим через d наибольший из диаметров частичных областей Dk (к = 1,2,..., п). Проведем через границу каждой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz. В результате цилиндрическое тело окажется разбитым на п частичных цилиндричесжх тел. Заменим к-ое частичное тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной аппликате какой-нибудь точки заменяемой поверхности (рис. 2). Объем такого цилиндра равен где точка - площадь области Dk. Проделав описанные построения для каждого частичного цилиндрического тела, получим п-ступенчатое тело, объем которого (о Интуитивно ясно, что Vn тем точнее выражает искомый объем V, чем меньше размеры частичных областей Dk. Принимаем объем V цилиндрического тела равным пределу, к которому стремится объем (1) п-ступенчатого тела при n-юои стремлении к нулю наибольшего диаметра d частичных областей Dk. Естественно, предел не должен зависеть от вида разбиения области D на частичные области Dk и от выбора точек Рк в частичных областях. Пусть /(х, у) - произвольная функция, заданная в области D. Сумма п (1) называется интегральной суммой для функции f(x}y) по области D, соответствующей данному разбиению этой области на п частичных областей и данному выбору точек Ж®*,!/*) на частичных областях Dk. Определение. Если при d -* О существует предел интегральных сумм п не зависящий ни от способа разбиения области D на частичные области, ни от выбора точек Рк в частичных областях, то он называется двойным интегралом от функции f(P) (или f(x, у)) по области D и обозначается символом ИЛИ Итак, (2) Самафункция f(x, у) при этом называется интегрируемой в области D (f(P) - подынтегральная функция, f(P) dS - подынтегральное выражение, dS - дифференциал (или элемент) площади, область D - область интегрирования; точка Р(®, у) - переменная тонка интегрирования). ,.. Возвращаясь к цилиндрическому телу, заключаем: объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью хОу, поверхностью, и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Ог, равен двойному интегралу от функции /(х, у) по области D, являющейся основанием цилиндрического тела./ ИЛИ Здесь dx dy - элемент площади в декартовых координатах. Таков геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции. Если то объем Если в области D функции f(P) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то интеграл представляет алгебраическую сумму объемов тех частей тела, которые расположены над плоскостью хОу (берутся со знаком «+»), и тех частей тела, которые расположены под плоскостью хОу (берутся со знаком «-»). К составлению сумм вида (1) для функции двух независимых переменных и к последующему предельному переходу приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме цилиндрического тела. Сформулируем достаточные условия интегрируемости. Теорема 1. Всякая функция у), непрерывная в ограниченной замкнутой области D, интегрируема в этой области. Требование непрерывности подынтегральной функции часто оказывается слишком стеснительным. Для приложений важна следующая теорема, гарантирующая существование двойного интеграла для некоторого класса разрывных функций. Будем говорить, что некоторое множество точек плоскости, имеет площадь нуль, если его можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади. Теорема 2. Если функция /(ж, у) ограничена в замкнутой ограниченной области D и непрерывна всюду в D, кроме некоторого множества точек площади нуль, то эта функция интегрируема в области D. §2. Основные свойства двойного интеграла Двойные интегралы обладают рядом свойств, аналогичных свойствам определенного интеграла для функций одной независимой переменной. 2.1. Линейное свойство Если функции) интегрируемы в области D, а а и р - любые вещественные числа, то функция af) также интегрируема в области D, причем о) 2.2. Интегрирование неравенств Если функции) интегрируемы в области D и всюду в этой области то (2) т. е. неравенства можно интегрировать. В частности, интегрируя очевидные неравенства получим Площадь плоской области Площадь плоской области D равна двойному интегралу по этой области от функции, тождественно равной единице. Действительно, интегральная сумма для функции /(Р) = 1 в области D имеет вид и при Любом разбиении области D на частичные области Dt, равна ее площади S. Но тогда и предел этой суммы, т. е. двойной интеграл, равен площади S области D: или, что то же, (3) 2.4. Оценка интеграла Пусть функция /(Р) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, пусть М и тп - наибольшее и наименьшее значения /(Р) в области D и 5 - ее площадь. Тогда (4) 2.5. Аддитивность: Если функция /(Р) интегрируема в области D и область Z) разбита на две области D\ и Di без общих внутренних точек, то /(Р) интегрируема на каждой из областей D\ и Di, причем (5) 2.6. Теорема о среднем значении Теорема 3 (о среднем значении). Если функция /(Р) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то найдется по крайней мере одна точка Рс области D такая, что будет справедлива формула и где S - площадь области D В самом деле, так как /(Р) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она принимает в D свое наибольшее значение М и свое наименьшее значение т. По свойству 4 об оценке интеграла имеем Таким образом, число заключено между наибольшим и наименьшим значениями функции /(Р) в области D. В силу непрерывности функции /(Р) в области D она принимает в некоторой точке Рс G D значение, равное этому числу, откуда S Значение f(Pc), определяемое поформуле (7), называется средним значением функции f(P) в области D. Геометрически й смысл теоремы о среднем значении Если в области D функция /(Р) ^ О, то формула (6) означает, что существует прямой цилиндр с основанием D (площадь которого равна 5) и высотой Н = /(Рс), объем которого равен объему цилиндрического тела (рис. 3). § 3. Сведение двойного интеграла к повторному Одним из эффективных способов вычисления двойного интеграла является сведение его к повторному. 3.1. Случай прямоугольника Пусть область D - замкнугый прямоугольник П со сторонами, параллельными осям координат. Пусть функция f{x, у) непрерывна в прямоугольнике П. Двойной интеграл можно интерпретировать как (алгебраический) объем цилиндрического тела с основанием П, ограниченного поверхностью Рассмотрим соответствующее цилиндрическое тело. Проведем плоскость перпендикулярную оси Оу (рис.4). Эта плоскость рассечет цилиндрическое тело по криволинейной трапеции, ограниченной сверху плоской линией z, описываемой уравнениями Площадь трапеции АВВ\А\ выражается интегралом где интегрирование производится по х, а уо - второй аргумент подынтегральной функции - рассматривается при этом как постоянный (с ^ Уо ^ d). Величина интеграла (1) зависит от выбора значения уо. Положим (2) Выражение (2) дает площадь поперечного сечения цилиндрического тел а как функции от у. Поэтому объем цилиндрического тела можно вычислить по формуле С другой стороны, этот объем выражается двойным интегралом от функции /(ж, у) по прямоугольнику П. Значит, Заменяя S(y) его выражением (2), получим Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах Последнее соотношение обычно записывается так Объем цилиндрического тела можно отыскать также по площадям сечений плоскостями х = х0. Это приводит к формуле (4) Каждое из выражений, стоящих в правых частях формул (3) и (4), содержит две последовательные операции обыкновенного интегрирования функции /(ж, у). Они называются повторными интегралами от функции /(ж, у) по области П. Если /(ж, у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, то переход к повторным интегралам всегда возможен и (5) т. е. значения повторных интегралов от непрерывной функции /(ж, у) не зависят от порядка интегрирования. Пример 1. Найти двойной интеграл от функции по области Имеем (см. рис. 5): 3.2. Случай произвольной области Предположим теперь, что областью интегрирования является произвольная ограниченная квадрируемая зам к нута я область D на плоскости хОу, удовлетворяющая следующему условию: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области D не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 6 а). Заключим область D внутрь прямоугольника так, как показано на рис. 66. Отрезок [а, 6] является ортогональной проекцией области D на ось Оху а отрезок [с, dj - ортогональной проекцией области D на ось Оу. Точками А и С граница области D разбивается на две кривые ABC и АЕС. Каждая из этих кривых пересекается с произвольной прямой, параллельной оси Оу, не более чем в одной точке. Поэтому их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно у: Пусть f{x, у) - некоторая функция, непрерывная в области D. Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело плоскостью. В сечении получим криволинейную трапецию PQMN (рис.7), площадь которой выражается обыкновенным интегралом от функции /(х, у), рассматриваемой как функция одной переменной у. При этом переменная у изменяется от ординаты точки Р до ординаты точки Q\ точка Р естьто*!-ка «входа» прямой х = const (в плоскости) в область - точка ее «выхода» из этой области. Так как уравнение кривой ABC есть, а кривой то эти ординаты при взятом х соответственно равны. Следовательно, интеграл дает нам выражение для площади плоского сечения цилиндрического тела как функции положения секущей плоскости х = const. Объем всего тела будет равен интегралу от этого выражения по ж в промежутке изменения. Таким образом, В частности, для площади S области D получим Предположим теперь, что каждая прямая пересекает границу области D не более чем в двух точках Р и Q, абсциссы которых равны соответственно (или по целому отрезку) (рис. 8). Проводя аналогичные рассуждения, приходим к формуле также сводящей вычисление двойного интеграла к повторному. Пример 2. Вычислить двойной интеграл от функции по области D. ограниченной линиями ^ Первый способ. Изобразим область интегрирования D. Прямая у = х и парабола у = х2 пересекаются в точках). Значит, х изменяется 8 пределах от 0 Любая прямая х = const) пересекает границу области не более чем в двух точках. Поэтому применима формула (8): Второй способ (рис. 10). Применяя формулу (10). получим тот же результат: Пример 3. Вычислить обьем тела, ограниченного поверхностью пересекается с плоскостью хОу по линии эллипс с полуосями в силу симметрии данного тела относительно координатных плоскостей жОж и у Ох получаем: Замечание. Если область D такова, что некоторые прямые (осртекальны е или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках, то для вычисления двойного интеграла по области D следует разбитьее подходящим образом на части, свссгм к повторному каяцый из интегралов поэтом частям и полученные результаты сложить. Пример 4. Вычислить двойной интеграл по области D, заключенной между двумя квадратами с центрам и в начале координат и сторонами, параллельными осям координат, если сторона внутреннего квадрата равна 2, а внешнего - 4. непрерывна как в большом квадрате Q, сторона которого равна 4, так и в малом квадрате Р. сторона которого равна 2 (рис. 12). Согласно теореме 1, интегралы от функции е*** по указанным квадратам существуют, так что величина искомого интеграла §4. Замена переменных в двойном интеграле 4.1. Понятие криволинейных координат точки Пусть в области D* плоскости uOv задана пара фунмдий которые м ы будем считать непрерывными в этой области и имеющими непрерывные частные производные. В силу уравнения (1) кажд ой точке М*(«, v) области D* отвечает одна определенная точка М(х, у) в плоскости хОу и тем самым точкам области D* отвечает некоторое множество D точек (ж, у) в плоскости хОу (рис. 13). При этом говорят, что функции (1) осуществляют отображение области D4 на множество D. Предположим, что различным точкам (u, v) отвечают различные точки (х,у). Это равносильно однозначной разрешимости уравнений (1) относительно u, v: В этом случае отображение называется взаимно однозначным отображением области D* на область D. При таком преобразовании любая непрерывная кривая L*, лежащая в области D*, перейдет в непрерывную кривую L, лежащую в области D. Если функции д(х} у) и h(x, у) также непрерывны, то любая непрерывная линия LCD с помощью преобразования (2) перейдете непрерывную линию L* С D*. По заданной паре Щ, Vo значений переменных и, v из области D* можнооднознач-ноопределитьнетолькоположениеточки M*(u<)> Vq) в самой области £)*,нои положение соответствующей точии М(хо, уо) в области D, хо = 4>(ио, v0), 3/0 = o,vo). Это дает основание рассматривать числа u, v как некоторые новые координаты точки D области М на плоскости хОу. Их называют криволинейными координатами точки М. Множество точек области D, у которых одна из коорди нат сохраняет постоянное значение, называют координатной линией. Полагая в формуле (1) и = vq, получим параметрические уравнения координатной линии, Здесь роль параметра играет переменная и. Придавая координате v различные (возможные для нее) постоянные значения, получим семейство координатных линий (v = const) на плоскости хОу. Аналогично получаем и другое семейство координатных линий (и = const). При наличии взаимно однозначного соответств ия между областями D* и D различные координатные линии одного и того же семейства не пересекаются между собой, и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства. Сетка криволинейных координатных линий на плоскости хОр является образом прямоугольной сетки на плоскости uOv (см. рис. 13). 4.2. Элемент площади в криволинейных координатах. Якобиан и его геометрический смысл Выделим в области D* на плоскости Uo*V малый прямоугольник P*P?P$Pl со сторонами, параллельными осям координат 0*и и О" v и длинами сторон Аи и Av (для определенности считаем, что А) соответс твенно (рис. 14 а). Его площадь Прямоугольник переходит в криволинейный четырехугольник * в области D (рис. 146). Если вершины Р) имеют координаты, то,согласно формулам (1), соответствующие им вершины Pi имеют координаты), Пользуясь формулой Тейлора для функции двух переменных и ограничиваясь членами первого поря/рса огносительно Аи и Av, получим следующие приближенные значения координат для вершин четырехугольника где функции все их производные вычислены в точке). Найденные выражения для координат точек показывают, что с точностью до малых высшего порядка четырехугольник P\PiPiPa есть параллелограмм. Это следует изтого, что Тогда площадь ДS четырехугольника можно приближенно выразить через длину векторного произведения, Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах Определитель Из формул (7) и (8) видео, что абсолютная величина якобиана играет роль локального коэффициента растяжения области D" (в данной точке (tx, v)) при отображении ее на область D при помощи формул преобразования (1). 4.3. Формула замены переменных в двойном интеграле Пусть непрерывные функции осуществляют взаимнооднозначное отображение области D* на D и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Пусть в области D на плоскости хОу задана непрерывная функция Каждому значению функции) в области D соответствует равное значение функции г = в области D", где. Разобьем область D* на частичные области и построим соответствующее разбиение области D. Выберем в соответствующих частичных областях точки (и, v) и (ж, у) так, чтобы значения функций в них совпадали, и составим интегральные суммы для функций z = /(ж, у) и v) по областям D и D*. Получим якобиан функций. Переходя в равенстве (9) к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра d* частичных областей D\ (в силу непрерывности отображения (I) будет стремиться к нулю и наибольший из диаметров d частичных областей в D), будем иметь где Условие J Ф 0 является условием локальной взаимнооднозначности отображения, осуществляемого функциями Теорема 4. Дгя того чтобы преобразовать двойной интеграл, заданный в декартовых координатах, в двойной интеграл в криволинейных координатах, нужно заменить в подынтегральной функции /(ж, у) переменные ж и у соответственно через а элемент площади dx dy - его выражением в криволинейных координатах: Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболами м Отыскание площади указанной фигуры сводупся к вычислению двойного интеграла по области О. Введем новые, криволинейные координаты и и о формулами Из условия аадачи ясио, что. Значит, в плоскости uOv мы получили прямоугольник (рис. 156) - фигуру более простую, чем заданная фигура D. Выразим х и у из соотношений (11) через и и t>: Рис.15 Тогда Двойной интеграл в полярных координатах Вычисление двойного интеграла часто упрощается заменой прямоугольных координат х и у полярными координатами по формулам Элемент площади в полярных координатах имеет вид и формулу перехода от интеграла в декартовых координатах к интегралу в полярных координатах можно записать так: В этом случае (13) Элемент площади в полярных координатах можно получить и из геометрических соображений (см. рис. 16). Площадь заштрихованной на рисунке области А = пл. сектора. сектора Отбрасывая бесконечно малую величину высшего порядка, получаем и принимаем за элемент площади в полярных координатах. Итак, чтобы преобразовать двойной интеграл в декартовых координатах в двойной интеграл в полярных координатах, нужно а: и у в подынтегральной функции заменить соответственно через р costp и psiny, а элементплощади в декартовых координатах dx dy заменить элементом площади в полярных координатах р dp dip. Займемся теперь вычислением двойного интеграла в полярных координатах. Как и в случае прямоугольных декартовых координат, вычисление интеграла в полярных координатах осуществляется путем сведения его к повторному интегралу. Рассмотрим сначала случай, когда полюс О лежит вне заданной области D. Пусть область D обладает тем свойством, что любой луч, исходящий из полюса (координатная линия у пересекает ее границу не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 17). Отметим крайние значения i полярного угла являются пределами внешнего интегрирования. Луч ц> = проходит через точку А контура области D, а луч через точку В. Точки Aw В разбивают контур области D на две части: АСВ и AFB. Пусть - их полярные уравнения, причем) - однозначные непрерывные функции удовлетворяющие условию Функции являются пределами внутреннего интегрирования. Переходя к повторным интегралам, получаем следующую формулу В частности, для площади S области D при F(p, г 1 получаем Пустьтеперьполюс О расположен внутри области D. Предположим, чтообласть D является звездной относительно полюса, т. е. любой луч tp = const пересекает границу области только в одной точке или по целрму отрезку (рис. 18). Пусть - уравнение границы области в полярных координатах. Тогда Рис. 18 Пример. Вычислить интеграл где область - четверть единичного круга, расположенная в первом квадранте. Перейдем к полярным координатам Тогда областью интегрирования будет прямоугольник Преобразованный интеграл / легко вычисляется: г Замечание. Если якобиан отличен от нуля в области D, то отображение в некоторой окрестности каждой точки этой области является взаимнооднозначным. При этом может, однако, случиться, что отображение всей области не будет взаимнооднозначным. Рассмотрим отображение, определяемое функциями Якобиан этих функций равен и, следовательно, везде отличен от нуля. Несмотря на это, для мы получим, так что это отображение не является взаимнооднозначным. С другой стороны, если якобиан отображения обращается в нуль в какой-нибудь точке, то, тем не менее, отображение в окрестности этой точки может оказаться взаимно однозначным. Например, для отображения, определяемого функциями якобиан равен нулю и при, но отображение является взаимнооднозначным. Обратное отображение определяется функциями