Линейной комбинацией системы векторов
называется вектор
где a 1 , a 2 , ..., a n - произвольные числа.
Если все a i = 0, то линейная комбинация называется тривиальной . В этом случае, очевидно,
Определение 5.
|
Если для системы векторов
существует нетривиальная линейная комбинация (хотя бы одно a i ¹ 0) равная нулевому вектору: то система векторов называется линейно зависимой . Если равенство (1) возможно только в случае, когда все a i =0, то система векторов называется линейно независимой . |
Теорема 2 (Условия линейной зависимости).
Определение 6.
Из теоремы 3 следует, что если в пространстве задан базис то добавив к нему произвольный вектор , получим линейно зависимую систему векторов. В соответствии с теоремой 2 (1) , один из них (можно показать, что вектор ) можно представить в виде линейной комбинации остальных:
.
Определение 7.
|
Числа называются координатами вектора в базисе (обозначается
|
Если векторы рассматриваются на плоскости, то базисом будет упорядоченная пара неколлинеарных векторов
и координатами вектора в этом базисе – пара чисел:
Замечание 3 . Можно показать, что при заданном базисе координаты вектора определяются однозначно . Из этого, в частности, следует, что если векторы равны, то равны их соответствующие координаты, и наоборот .
Таким образом, если в пространстве задан базис, то каждому вектору пространства соответствует упорядоченная тройка чисел (координаты вектора в этом базисе) и наоборот: каждой тройке чисел соответствует вектор.
На плоскости аналогичное соответствие устанавливается между векторами и парами чисел.
Теорема 4 (Линейные операции через координаты векторов).
|
Если в некотором базисе и a – произвольное число, то в этом базисе |
Иными словами:
при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число ;
при сложении векторов складываются их соответствующие координаты .
Пример 1 . В некотором базисе векторы имеют координаты
Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
Векторы образуют базис, если они некомпланарны, следовательно (в соответствии с теоремой 3(2) ) линейно независимы.
По определению 5 это означает, что равенство
возможно только в случае, когда x = y = z = 0.
Понятие вектора
Определение 1. Вектором называется направленный отрезок (или, что то же, упорядоченная пара точек).
Обозначают: (точка А-начало вектора), точка В – конец вектора) или одной буквой -.
Определение 2. Длиной вектора (модулем) называется расстояние между началом и концом вектора. Длина вектора обозначаетсяили.
Определение 3. Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Обозначают:
Определение 4. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.
Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектораи обозначается символом.
Определение 5. Векторы называютсяколлинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Определение 6. Векторы называютсяравными , если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковое направление.
Линейные операции над векторами
Определение 7. Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на число.
Определение 8. Суммой двух векторови называется вектор, который идет из начала векторав конец векторапри условии, что векторприложен к концу вектора(правило треугольника). В случае неколлинеарных векторовиможно вместо правила треугольника использовать правило параллелограмма: если векторыиотложены от общего начала и на них построен параллелограмм, то суммаесть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущего из общего началаи.
Определение 9. Разностью двух векторов иназывается вектор, который в сумме с векторомсоставляет вектор. Если два вектораиотложены от общего начала, то их разность есть вектор, исходящий из конца вектора(«вычитаемого») к концу вектора(«уменьшаемого»).
Определение 10. Два коллинеарных вектора равной длины, направленные в противоположные стороны, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору, обозначается.
Произведение вектора на числообозначают α.
Некоторые свойства линейных операций
7)
;
Теорема 1. (О коллинеарных векторах). Еслии– два коллинеарных вектора, причем вектор-ненулевой, то существует единственное число х такое, что=х
В частности, ненулевой вектор и его ортсвязаны равенством:=·.
Сформулированные свойства линейных операций позволяют преобразовать выражения, составленные из векторов, по обычным правилам алгебры: можно раскрыть скобки, приводить подобные члены, переносить некоторые члены в другую часть равенства с противоположным знаком и т.д.
Пример 1.
Доказать равенства:
и выяснить, каков их геометрический смысл.
Решение. а) В левой части равенства раскроем скобки, приведем подобные члены, получим вектор в правой части. Поясним это равенство геометрически. Пусть даны два вектораи, отложим их от общего начала и посмотрим параллелограмм и его диагонали, получим:
§2 Линейная комбинация векторов
Векторный базис на плоскости и в пространстве.
Определение 1. Линейной комбинацией векторов , ,называется сумма произведений этих векторов на какие-нибудь числа,,:++.
Определение 2. Векторным базисом в данной плоскости называется любая пара неколлинеарных векторовиэтой плоскости.
Вектор называют при этом первым базисным вектором, вектор-вторым.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если базис,– векторный базис в плоскости, тогда любой векторэтой плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов:= х+у. (*)
Определение 3. Равенство(*) называют, а числа х и у –координатами вектора в базисе, (илиотносительно базиса , ). Если заранее ясно, о каком базисе идет речь, то пишут кратко:={x,y}. Из определения координат вектора относительно базиса следует, что равные векторы имеют соответственно равные координаты.
Два и более векторов в пространстве называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости или лежат в этой плоскости.
Определение 4. Векторным базисом в пространстве называют любые три вектора, ,.
Вектор называют при этом первым базисным вектором,- вторым,-третьим.
Замечание. 1. Три вектора= {},= {} и= {} образуют базис пространства, если определитель, составленный из их координат, отличен от нуля:
.
2. Основные положения теории определителей и способы их вычисления рассмотрены в модуле 1 «линейная алгебра».
Теорема 2. Пусть, ,- векторный базис в пространстве. Тогда любой векторв пространстве может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов, и:
Х+у+z. (**)
Определение 5. Равенство (**) называютразложением вектора по базису, ,, а числаx,y,z–координатами (компонентами) векторав базисе, ,.
Если заранее ясно, о каком базисе идет речь, то пишут кратко: = {x,y,z}.
Определение 6. Базис, ,называетсяортонормированным, если векторы, ,попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения,,.
Действия над векторами, заданными своими координатами.
Теорема 3. Пусть на плоскости выбран векторный базис, и относительно его векторыизаданы своими координатами:= {},= {}.
Тогда
={},={
},
т.е. при сложении или вычитании векторов
складываются или вычитаются их одноименные
координаты;= {·;},
т.е. при умножении вектора на число его
координаты умножаются на это число.
Условие коллинеарности двух векторов
Теорема 4. Векторколлинеарен ненулевому векторув том и только том случае, когда координаты векторапропорциональны соответственным координатам векторат.е.
Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в пространстве, производятся аналогично.
Пример 1. Пусть даны векторы= {1;2;-1} ,= {3;2;1}, = {1;0;1} в некотором векторном базисе, ,. Найти координаты линейной комбинации 2+3-4.
Решение. Введем обозначение для линейной комбинации=2+3+(-4).
Коэффициенты линейной комбинации =2,=3,=-4. Запишем данное векторное равенство в координатной форме= {x,y,z}=:
2
Очевидно, что каждая координата линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации одноименных координат, т.е.
х = 2·1+3·3+(-4)·1=7,
у = 2·2+3·2+(-4)·0=10,
z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.
Координаты вектора в базисе , ,будут:
Ответ: = {7,10,-3}.
Общая (аффинная) декартова система координат
Определение 7. Пусть О- некоторая фиксированная точка, которую будем называтьначалом.
Если М- произвольная точка, то вектор называетсярадиус-вектором точки М по отношению к началу, коротко, радиус-вектор точки М.
Декартовы (аффинные) координаты на прямой
Пусть дана в пространстве некоторая прямая l . Выберем начало О лежащим на этой прямой. Кроме того, выберем на прямойl ненулевой вектор, который будем называть базисным.
Определение 8. Пусть точка М лежит на прямойl. Так как векторыиколлинеарны, то=х, где х- некоторое число. Это число назовемкоординатой точки М на прямой.
Начало О имеет положительные или отрицательные координаты, в зависимости от того, совпадают ли направления векторов иили они противоположны. Прямуюl, на которой координаты, будем называть осью координат или осью ОХ.
Введение координат на прямой соответствует единственное число х, и наоборот, существует единственная точка М, для которой это число является координатой.
Декартовы (аффинные) координаты на плоскости.
Выберем на плоскости О два неколлинеарных вектора и, образующих некоторый базис. Очевидно, что длины векторовимогут быть различны.
Определение 9. Совокупность {0;;} точки О и векторного базиса, называют декартовой (аффинной) системой на плоскости.
Две прямые, проходящие через О и параллельные соответственно векторам , называют осями координат. Первую из них обычно называют осью абсцисс и обозначают Ох, вторую- осью ординат и обозначают Оу.
Будем всегда изображать илежащими на соответствующих осях координат.
Определение 10. Координатами точки М на плоскости относительно декартовой (аффинной) системы координат {0;;} называют координаты ее радиус-векторапо базису,:
Х+у, тогда числа х и у будет координатами М относительно декартовой(аффинной) системы координат {0;;}. Координату х называютабсциссой точки М, координату у-ординатой точки М.
Итак, если выбрана система координат, {0;;} на плоскости, то каждой точке М плоскости соответствует единственная точка М на плоскости: эта точка является концом вектора
Введение системы координат лежит в основе метода аналитической геометрии, сущность которой состоит в том, чтобы уметь сводить любую геометрическую задачу к задачам арифметики или алгебры.
Определение 11. Координатами вектора на плоскости относительно декартовой системы координат {0;;} называют координаты этого вектора в базисе,.
Чтобы найти координаты вектора , надо разложить его по базису ,:
Х+у, где коэффициенты х,у и будут координатами вектора относительно декартовой системы {0;;}.
Декартова (аффинная) система координат в пространстве.
Пусть в пространстве зафиксирована некоторая точка О(начало) и выбран векторный базис
Определение 12. Совокупность {0;;;}называютдекартовой системой координат в пространстве.
Определение 13. Три прямые проходящие через О и параллельные соответственно векторам, ,, называютосями координат и обозначают соответственно Оz,Oy,Oz.Мы будем всегда изображать векторы, ,лежащими на соответственных осях.
Определение 14. Координатами точки М в пространстве относительно декартовой системы координат {0;;;} называют координаты ее радиус-векторав этой системе.
Иначе говоря, координаты точки М – это такие три числа х,у,zсоответственно абсцисса и ордината точки М; третью координатуzназывают аппликатой точки М.
Введение в пространстве декартовой системы координат позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между точками М пространства и упорядоченными тройками чисел x,y,z.
Определение 15. Координатами вектора в пространстве относительно декартовой системы координат {0;;;}называют координаты этого вектора в базисе;;.
Пример 2.
Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-2;1),В(1;3),С(4;0). Найти четвертую его координату D. Система координат аффинная.
Решение.
Векторы иравны, значит, равны их координаты (коэффициенты линейной комбинации):
=
{3;2},
={4-x;-y};
.
Значит,D(1;-2).
Ответ: D(1;-2).
Линейная зависимость. Понятие базиса
Определение 16. Векторы , называют линейно зависимыми, если существуют числа ,
Это определение линейной зависимости векторов ,эквивалентно такому: векторы,линейно зависимы, если один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных (или разложить по остальным).
Векторы ,называются линейно зависимыми, если равенство (***) возможно в единственном случае, когда
Понятие линейной зависимости играет большую роль в линейной алгебре. В векторной алгебре линейная зависимость имеет простой геометрический смысл.
Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два неколлинеарных вектора линейно независимы.
Три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три некомпланарных вектора линейно независимы.
Каждые четыре вектора линейно зависимы.
Определение 17. Три линейно независимых вектора называютсябазисом пространства, т.е. любой векторможет быть представлен в виде некоторой.
Определение 18. Два лежащих в плоскости линейно независимых вектора называютбазисом плоскости, т.е. любой лежащий в этой плоскости вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов.
Задания для самостоятельного решения.
векторы найти в этом базисе координаты.
Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: 
, где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.
Определение линейной независимости векторов
Система векторов А 1 ,А 2 ,…А n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ1, λ2,...,λn, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет единственное нулевое решение.
Определение линейной зависимости векторов
Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых
Теорема о линейной зависимости векторов
Теорема о представлении строки в виде линейной комбинации независимых строк
Каждая строка матрицы А может быть представлена в виде линейной комбинации независимых строк матрицы А.
Пусть матрица А имеет ранг r ,тогда существует минор порядка r отличный от 0,добавим к этому минору i-ую строку и j-ый столбец
| а 11 | а 12 | … | а 1r | a 1j |
| a 21 | a 22 | … | a 2r | a 2j |
| … | … | … | … | … |
| a 41 | a 42 | … | a 4r | a 4j |
| a i1 | a i2 | … | a ir | a ij |
М r =
M r+1 =0; т.к. ранг A=r (как минор более высоеого порядка,чем r).Этот минор можно разложить по последнему столбцу.
[а 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0
Разделим все на M r и введем A ij /( (-1) i+j M r)=λ i
a ij = λ 1 a 1j +λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j, где j=r+1 это равенство справедливо и для j=1 m
81. Теорема о представлении cтолбца в виде линейной комбинации независимыхcтолбцов
Теорема о связи ранга матрицы с числом независимых строк/cтолбцов
Ранг матрицы А равен числу её независимых строк/столбцов.Пусть матрица А (m*n) имеет ранг r
| а 11 | а 12 | … | а 1r |
| a 21 | a 22 | … | a 2r |
| … | … | … | … |
| а 21 | а 22 | … | а 2r |
Существует минор порядка r = 0; {e 1….. е r } –линейно-независимы
Пусть имеется противоположное: e r = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1
Проведем эле-ые преобр. не изменяющие определитель этого минора (M r)
e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2
e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 – λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1
Итак,мы получим последнюю строку состоящую из 0,но тогда M r = 0,наше предположение неверно!
Определители
Свойства определителей. № 01.(Транспонирование)
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: .
Доказательство . Согласно определению,
При транспонировании матрицы A происходит лишь перегруппировка слагаемых в этой сумме.
Свойства определителей. № 02. (Перестановка строк или столбцов).
Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.
Доказательство . По Теореме 1, любая транспозиция изменяет четность перестановки. Следовательно, при перестановке двух строк (столбцов) каждое слагаемое суммы изменяет свой знак на противоположный.
В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей
Второй вариант предполагает ориентацию на один критерий. В качестве его может либо выбираться один из стандартных показателей , имеющих вполне понятную экономическую интерпретацию (например, один из коэффициентов ликвидности , коэффициент обеспеченности процентов и т.п.), либо этот критерий разрабатывается в виде некоторого искусственного показателя, обобщающего частные критерии. Для этого обобщенного критерия устанавливается пороговое значение, с которым и делается сравнение фактического значения критерия, рассчитанного для потенциального заемщика. Основная трудность в реализации этого подхода заключается в способе конструирования обобщенного показателя. Чаще всего он представляет собой линейную комбинацию частных критериев, каждый из которых включается в обобщающий показатель с некоторым весовым коэффициентом . Именно такой подход был использован Э. Альтманом при разработке Z-критерия для прогнозирования банкротства.
Строка е называется линейной комбинацией строк е, е- ..., ет матрицы, если
Понятие линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов е, e2 . f ет аналогичны соответствующим понятиям для строк матрицы е, е2,..., ет (11.5).
Как показано в , при ограниченных и выпуклых допустимых множествах (2.14) вектор х% 0, удовлетворяющий ограничению A xk bk, можно представить в виде выпуклой линейной комбинации конечного множества крайних точек
Оптимизационная процедура расчета предельных значений элементов а и их линейных комбинаций в значительной мере лишена указанных недостатков.
Очевидно, что точка (X1, д), полученная линейной комбинацией (А/, д) и (Л.", д"), также является решением системы (4.43), (4.44).
В этом параграфе мы рассмотрим правила вычисления математического ожидания и дисперсии многомерной случайной величины , являющейся линейной комбинацией коррелированных случайных величин
Следовательно, для линейной комбинации произвольного количества случайных величин получаем
Рассмотрим случай, когда инвестирование проводится в несколько активов (портфель). Портфель является линейной комбинацией активов, каждый из которых имеет собственное математическое ожидание дохода и дисперсию дохода.
В отличие от произвольной линейной комбинации случайных величин , веса активов подчиняются правилу нормирования
В предыдущем параграфе было показано, что в случае, когда коэффициент корреляции между активами меньше 1, диверсификация портфеля может улучшить соотношение между ожидаемым доходом и ожидаемым риском. Это связано с тем, что ожидаемый доход портфеля является линейной комбинацией ожидаемых доходов по входящим в портфель активам, а дисперсия портфеля является квадратичной функцией от с.к.о. входящих в портфель активов.
Поскольку дискриминантная функция зависит лишь от линейной комбинации входов, нейрон является линейным дискриминатором. В некоторых простейших ситуациях линейный дискриминатор - наилучший из возможных, а именно - в случае когда вероятности принадлежности входных векторов к классу k задаются гауссовыми распределениями
Точнее - выходы сети Ойа являются линейными комбинациями первых Ш главных компонент . Чтобы получить в точности сами главные компоненты достаточно в правиле Ойа заменить суммирование по всем выходам на
Векторы b, кроме того, образуют так называемый минимальный базис. А именно, это минимальное число векторов, с помощью линейной комбинации которых могут быть представлены все запоминаемые векторы
Следующая систематическая процедура способна итеративно выделять наиболее значимые признаки, являющиеся линейными комбинациями входных переменных X = W X (подмножества входов является частным случаем линейной комбинации, т.е. формально можно найти лучшее решение, чем то, что доступно путем отбора наиболее значимых комбинаций входов).
В ходе анализа для характеристики различных аспектов финансовогс состояния применяются как. абсолютные показатели , так и финансовые коэффициенты , представляющие собой относительные показатели финансового состояния . Последние рассчитываются в виде отношений абсолютных показателей финансового состояния или их линейных комбинаций. Согласно классификации одного из основателей балансоведени Н.А.Блатова, относительные показатели финансового состояния подразделяются на коэффициенты распределения и применяются в тех случаях, когда требуется определить, какую часть тот или иной
