Аксиоматический метод в математике.
Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального ряда. Определение натурального числа.
Сложение натуральных чисел.
Умножение натуральных чисел.
Свойства множества натуральных чисел
Вычитание и деление натуральных чисел.
Аксиоматический метод в математике
При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила :
1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.
2. Формулируются аксиомы , которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.
3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение , в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.
4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.
Система аксиом должна быть:
а) непротиворечивой: мы должны быть уверены,что, делая всевозможные выводы из данной системы аксиом, никогда не придем к противоречию;
б) независимой : никакая аксиома не должна быть следствием других аксиом этой системы.
в) полной , если в ее рамках всегда можно доказать или данное утверждение, или его отрицание.
Первым опытом аксиоматического построения теории можно считать изложение геометрии Евклидом в его "Началах"(3 в. до н.э.). Значительный вклад в развитие аксиоматического метода построения геометрии и алгебры внесли Н.И. Лобачевский и Э.Галуа. В конце 19 в. итальянским математиком Пеано была разработана система аксиом для арифметики.
Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального числа. Определение натурального числа.
В качестве основного(неопределяемого) понятия в некотором множестве N выбирается отношение , а также используются теоретико-множественные понятия, а также правила логики.
Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а".
Отношения «непосредственно следовать за» удовлетворяет следующим аксиомам:
Аксиомы Пеано :
Аксиома 1 . В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1 .
Аксиома 2 . Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а" , непосредственно следующий за а .
Аксиома 3 . Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а .
Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N , если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М ; 2) из того, что а содержится в М , следует, что и а" содержится в М.
Определение 1 . Множество N , для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за », удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел , а его элементы - натуральными числами .
В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N . Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, мы получим модель данной системы аксиом.
Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1,2,3,4,... Натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4).
Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1-4.
Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует» , которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.
Определение 2. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а , то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b .
Отношение «предшествует» обладает рядом свойств .
Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.
Теорема 2. Каждое натуральное число а , отличное от 1, имеет единственное предшествующее число b , такое, что b" = а.
Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен.
Сложение натуральных чисел
По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение «непосредственно следовать за» , и понятия «натуральное число» и «предшествующее число» .
Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а", непосредственно следующее за а , т.е. а + 1 = а" и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2 + 4 = 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, 2 + 4 =2+3" =(2+3)". В общем виде имеем, .
Эти факты положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории.
Определение 3 . Сложениемнатуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:
Число а + b называется суммой чисел а и b , а сами числа а иb - слагаемыми .
При построении аксиоматической теории натуральных чисел первичными терминами будут являться «элемент» или «число» (которые в контексте данного пособия мы можем рассматривать как синонимы) и «множество», основными отношениями: «принадлежность» (элемент принадлежит множеству), «равенство» и «следовать за », обозначаемое а / (читается «число а штрих следует за числом а», например, за двойкой следует тройка, то есть 2 / = 3, за числом 10 следует число 11, то есть 10 / = 11 и т.д).
Множеством натуральных чисел (натуральным рядом, положительными целыми числами) называется множество N с введённым отношением «следовать за», в котором выполнены следующие 4 аксиомы:
А 1 . Во множестве N существует элемент, называемый единицей , который не следует ни за каким другим числом.
А 2 . Для каждого элемента натурального ряда существует единственный следующий за ним.
А 3 . Каждый элемент N следует не более чем за одним элементом натурального ряда.
А 4 .(Аксиома индукции ) Ели подмножество М множества N содержит в себе единицу, а также вместе с каждым своим элементом а содержит и следующий за ним элемент а / , то М совпадает N.
Те же аксиомы можно записать кратко с помощью математических символов:
А 1 ( 1 N) ( a N) a / ≠ 1
A 2 ( a N) ( a / N) a = b => a / = b /
A 3 a / = b / => a = b
Если элемент b следует за элементом а (b = а /), то будем говорить, что элемент а является предшествующим для элемента b (или предшествует b). Данная система аксиом носит название системы аксиом Пеано (так как была введена в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано). Это лишь один из возможных наборов аксиом, позволяющий определить множество натуральных чисел; существуют и другие эквивалентные подходы.
Простейшие свойства натуральных чисел
Свойство 1 . Если элементы различны, то и следующие за ними различны, то есть
a b => a / b / .
Доказательство осуществляется методом от противного: предположим, что a / = b / , тогда (по А 3) a = b, что противоречит условию теоремы.
Свойство 2 . Если элементы различны, то и предшествующие им (если они существуют) различны, то есть
a / b / => a b.
Доказательство : предположим, что a = b, тогда, согласно А 2 имеем a / = b / , что противоречит условию теоремы.
Свойство 3 . Никакое натуральное число не равно следующему за ним.
Доказательство : Введём в рассмотрение множество М, состоящее из таких натуральных чисел, для которых данное условие выполняется
М = {a N | a a / }.
Доказательство будем проводить, опираясь на аксиому индукции. По определению множества М, оно является подмножеством множества натуральных чисел. Далее 1М, так как единица не следует ни за каким натуральным числом (А 1), а значит в том числе и для а = 1 имеем: 1 1 / . Предположим теперь, что некоторое а М. Это означает, что a a / (по определению М), откуда a / (a /) / (свойство 1), то есть a / М. Из всего выше сказанного на основании аксиомы индукции можно заключить, что М = N, то есть наша теорема верна для всех натуральных чисел.
Теорема 4 . Для любого натурального числа отличного от 1 существует предшествующее ему число.
Доказательство : Рассмотрим множество
М = {1} {c N | ( a N) c = a / }.
Данное М есть подмножество множества натуральных чисел, единица явно принадлежит данному множеству. Вторая же часть этого множества – это элементы, для которых существуют предшествующие, следовательно, если а М, то a / тоже принадлежит М (его второй части, так как у a / есть предшествующий – это а). Таким образом, на основании аксиомы индукции М совпадает с множеством всех натуральных чисел, а значит все натуральные числа это либо 1, либо те, для которых существует предшествующий элемент. Теорема доказана.
Непротиворечивость аксиоматической теории натуральных чисел
В качестве интуитивной модели множества натуральных чисел можно рассматривать наборы чёрточек: числу 1 будет соответствовать |, числу 2 ||, и т.д., то есть натуральный ряд будет иметь вид:
|, ||, |||, ||||, ||||| ….
Данные ряды чёрточек могут служить моделью натуральных чисел, если в качестве отношения «следовать за» использовать «приписывание одной чёрточки к числу». Справедливость всех аксиом является интуитивно очевидной. Разумеется, данная модель не является строго логической. Для построения строгой модели нужно иметь другую заведомо непротиворечивую аксиоматическую теорию. Но такой теории в нашем распоряжении, как уже отмечалось выше, нет. Таким образом, либо мы вынуждены опереться на интуицию, либо не прибегать к методу моделей, а сослаться на то, что на протяжении более чем 6 тысячелетий, во время которых осуществляется изучение натуральных чисел, никаких противоречий с данными аксиомами обнаружено не было.
Независимость системы аксиом Пеано
Для доказательства независимости первой аксиомы достаточно построить модель, в которой аксиома А 1 ложна, а аксиомы А 2 , А 3 , А 4 истины. Рассмотрим в качестве первичных терминов (элементов) числа 1, 2, 3, а отношение «следовать за» определим соотношениями: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.
В этой модели нет элемента, который бы не следовал ни за каким другим (аксиома 1 ложна), но все остальные аксиомы выполняются. Таким образом, первая аксиома не зависит от остальных.
Вторая аксиома состоит из двух частей – существования и единственности. Независимость данной аксиомы (в части существования) можно проиллюстрировать на модели из двух чисел {1, 2} с отношением «следовать за», заданным единственным соотношением: 1 / = 2:
Для двойки отсутствует следующий элемент, аксиомы же А 1 , А 3 , А 4 истинны.
Независимость данной аксиомы, в части единственности, иллюстрирует модель, в которой множеством N будет множество всех обычных натуральных чисел, а также всевозможных слов (наборов букв, не обязательно имеющих смысл), составленных из букв латинского алфавита (после буквы z следующей будет аа, затем аb … аz, затем ba …; за всеми возможными словами из двух букв, последним из которых будет zz, последует слово ааа, и так далее). Отношение «следовать за» введём так, как показано на рисунке:
Здесь аксиомы А 1 , А 3 , А 4 также истинны, но за 1 следует сразу два элемента 2 и а. Таким образом, аксиома 2 не зависит от остальных.
Независимость аксиомы 3 иллюстрирует модель:
в которой А 1 , А 2 , А 4 истинны, но число 2 следует и за числом 4, и за числом 1.
Для доказательства независимости аксиомы индукции используем множество N, состоящее из всех натуральных чисел, а также трёх букв {a, b, c}. Отношение следования в данной модели можно ввести так, как показано на следующем рисунке:
Здесь для натуральных чисел используется обычное отношение следования, а для букв отношение «следовать за» определяется следующими формулами: a / = b, b / = c, c / = a. Очевидно, что 1 не следует ни за каким натуральным числом, для каждого имеется следующий, и притом только один, каждый элемент следует не более чем за одним элементом. Однако если мы рассмотрим множество М состоящее из обычных натуральных чисел, то это будет подмножество данного множества, содержащее единицу, а также следующий элемент для каждого элемента из М. Однако это подмножество не будет совпадать со всей рассматриваемой моделью, так как не будет содержать в себе буквы a, b, c. Таким образом, аксиома индукции в данной модели не выполняется, а, следовательно, аксиома индукции не зависит от остальных аксиом.
Аксиоматическая теория натуральных чисел является категоричной (полной в узком смысле).
(n /) =( (n)) / .
Принцип полной математической индукции .
Теорема индукции. Пусть некоторое утверждение Р(n) сформулировано для всех натуральных чисел, и пусть а) Р(1) – истинно, б) из того, что Р(k) истинно, следует, что Р(k /) также истинно. Тогда утверждение Р(n) справедливо для всех натуральных чисел.
Для доказательства введём множество М таких натуральных чисел n (М N), для которых утверждение Р(n) истинно. Воспользуемся аксиомой A 4 , то есть попытаемся доказать, что:
k M => k / M.
Если нам это удастся, то, согласно аксиоме А 4 , мы сможем сделать вывод, что M = N, то есть P(n) истинно для всех натуральных числе.
1) По условию а) теоремы, Р(1) истинно, следовательно, 1 М.
2) Если некоторое k М, то (по построению М) Р(k) – истинно. По условию б) теоремы, это влечёт за собой истинность Р(k /), а значит k / М.
Таким образом, по аксиоме индукции (А 4) М = N, а значит Р(n) истинно для всех натуральных чисел.
Таким образом, аксиома индукции позволяет создать метод доказательства теорем «по индукции». Данный метод играет ключевую роль при доказательстве основных теорем арифметики, касающихся натуральных чисел. Он состоит в следующем:
1) проверяется справедливость утверждения для n =1 (база индукции) ,
2) предполагается справедливость этого утверждения для n = k , где k – произвольное натуральное число (индукционное предположение) , и с учётом этого предположения устанавливается справедливость утверждения для n = k / (индукционный шаг ).
Доказательство, основанное на данном алгоритме, называется доказательством методом математической индукции .
Задания для самостоятельного решения
№ 1.1. Выяснить, какие из перечисленных систем удовлетворяют аксиомам Пеано (являются моделями множества натуральных чисел), определить, какие аксиомы выполнены, а какие – нет.
а) N ={3, 4, 5 …}, n / = n + 1;
б) N ={n 6, n N }, n / = n + 1;
в) N ={n – 2, n Z }, n / = n + 1;
г) N ={n – 2, n Z }, n / = n + 2;
д) нечётные натуральные числа, n / = n +1;
е) нечётные натуральные числа, n / = n +2;
ж) Натуральные числа с отношением n / = n + 2;
з) N ={1, 2, 3}, 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;
и) N ={1, 2, 3, 4, 5}, 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;
к) Натуральные числа, кратные 3 с отношением n / = n + 3
л) Чётные натуральные числа с отношением n / = n + 2
м)
Целые числа,
.
При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила :
· некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;
· каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение;
· формулируются аксиомы - предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;
· каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и терем.
При аксиоматическом построении теории все утверждения выводятся из аксиом путем доказательства.
Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования:
· непротиворечивость (система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения);
· независимость (система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом).
Множество, с заданным в нем отношением называется моделью данной системы аксиом, если в нем выполняются все аксиомы данной системы.
Построить систему аксиом для множества натуральных чисел можно многими способами. За основное понятие можно принять, например, сумму чисел или отношение порядка. В любом случае нужно задать систему аксиом, описывающие свойства основных понятий.
Дадим систему аксиом, приняв основное понятие операцию сложения.
Непустое множество N назовем множеством натуральных чисел, если в нем определена операция (a; b) → a + b , называемая сложением и обладающая свойствами:
1. сложение коммутативно, т.е. a + b = b + a.
2. сложение ассоциативно, т.е. (a + b) + c = a + (b + c).
4. в любом множестве А , являющемся подмножеством множества N , где А есть число а такое, что все хА , равны a + b , где bN.
Аксиом 1 - 4 достаточно, чтобы построить всю арифметику натуральных чисел. Но при таком построении уже нельзя опираться на свойства конечных множеств, не нашедших отражение в этих аксиомах.
Возьмем в качестве основного понятия отношение «непосредственно следовать за…», заданное на непустом множестве N . Тогда натуральным рядом чисел будет являться множество N, в котором определено отношение «непосредственно следовать за», а натуральными числами будут называться все элементы N, причем имеют место следующие аксиомы Пеано :
АКСИОМА 1 .
Во множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1.
АКСИОМА 2.
Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а, непосредственно следующий за а.
АКСИОМА 3.
Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.
АКСОИМА 4.
Всякое подмножество М множества N совпадает с N , если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а содержится в М.
Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 - 4, называется множеством натуральных чисел , а его элементы - натуральные числами.
Если в качестве множества N выбрать некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 - 4, то получим различные интерпретации (модели) данной системы аксиом.
Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, …
Моделью аксиом Пеано может быть любое счетное множество.
Например, I, II, III, IIII, …
о оо ооо оооо, …
один два три четыре, …
Рассмотрим последовательность множеств, в которой множество {оо} есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается из предыдущего приписыванием еще одного кружка (рис.15).
Тогда N
есть множество, состоящее из множеств описанного вида, и оно является моделью системы аксиом Пеано.
Действительно, во множестве N существует элемент {oo}, непосредственно не следующий ни за каким элементом данного множества, т.е. выполняется аксиома 1. Для каждого множества А рассматриваемой совокупности существует единственное множество, которое получается из А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 2. Для каждого множества А существует не более одного множества, из которого образуется множество А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 3. Если М N и известно, что множество А содержится в М, следует, что и множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве А , также содержится в М , то М = N , и значит выполняется аксиома 4.
В определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя.
Установим, какие из множеств, приведенных на рис. 16, являются моделью аксиом Пеано.
|
Решение. На рисунке 16 а) изображено множество, в котором выполняются аксиомы 2 и 3. Действительно, для каждого элемента существует единственный, непосредственно следующий за ним, и существует единственный элемент, за которым он следует. Но в этом множестве не выполняется аксиома 1 (аксиома 4 не имеет смысла, т.к. в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим). Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.
На рисунке 16 б) показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не один, как требуется в аксиоме 2. Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.
На рис. 16 в) изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 4, но элемент с непосредственно следует сразу за двумя элементами. Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.
На рис. 16 г) изображено множество, удовлетворяющее аксиомам 2, 3, и, если в качестве начального элемента возьмем число 5, то данное множество будет удовлетворять аксиомам 1 и 4. Т.е., в данном множестве для каждого элемента существует единственный, непосредственно следующий за ним, и существует единственный элемент, за которым он следует. Существует и элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, это 5, т.е. выполняется аксиома 1. Соответственно будет выполняться и аксиома 4. Поэтому данное множество является моделью аксиом Пеано.
Используя аксиомы Пеано, можно доказывать ряд утверждений Например,докажем, что для всех натуральных чисел выполняется неравенство х х.
Доказательство. Обозначим через А множество натуральных чисел, для которых а а. Число 1 принадлежит А , поскольку оно не следует ни за каким числом из N , а значит, не следует само за собой: 1 1. Пусть аА, тогда а а. Обозначим а через b . В силу аксиомы 3, а b, т.е. b b и bА.
СистемА целых чисел
Вспомним, что натуральный ряд появился для перечисления предметов. Но если мы захотим производить какие-то действия с предметами, то нам потребуются арифметические операции над числами. То есть, если мы хотим складывать яблоки или делить торт, нам надо перевести эти действия на язык чисел.
Обратим внимание, что для введения операций + и * в язык натуральных чисел требуется добавить аксиомы, определяющие свойства этих операций. Но тогда и само множество натуральных чисел тоже расширяется .
Посмотрим, как расширяется множество натуральных чисел. Простейшая операция, которая потребовалась одной из первых – это сложение. Если мы хотим определить операцию сложения, мы необходимо должны определить обратную к ней - вычитание. В самом деле, если мы знаем, что будет в результате сложения, например, 5 и 2, то мы должны уметь решать и задачи типа: что надо прибавить к 4, чтобы получить 11. То есть, задачи, связанные со сложением, обязательно потребуют умения производить и обратное действие – вычитание. Но если сложение натуральных чисел дает снова натуральное число, то вычитание натуральных чисел дает результат, не вписывающийся в N. Потребовались какие-то еще числа. По аналогии понятного вычитания из большего числа меньшего было введено правило вычитания из меньшего большего – так появились целые отрицательные числа.
Дополняя натуральный ряд операциями + и -, мы приходим к множеству целых чисел.
Z=N+операции(+-)
СистемА рациональных чисел как язык арифметики
Рассмотрим теперь следующее по сложности действие – умножение. По сути, это многократное сложение. И произведение целых чисел остается целым числом.
Но обратная операция к умножению – это деление. А оно далеко не всегда дает целый результат. И опять мы стоим перед дилеммой – либо принять как данное, что результат деления может «не существовать», либо придумать числа какого-то нового типа. Так появились рациональные числа.
Возьмем систему целых чисел и дополним ее аксиомами, определяющими операции умножения и деления. Получим систему рациональных чисел.
Q=Z+операции(*/)
Итак, язык рациональных чисел позволяет производить все арифметические операции над числами. Языка натуральных чисел для этого было недостаточно.
Приведем аксиоматическое определение системы рациональных чисел.
Определение. Множество Q называется множеством рациональных чисел, а его элементы - рациональными числами, если выполняется следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой рациональных чисел:
Аксиомы операции сложения. Для всякой упорядоченной пары х,у элементов из Q определен некоторый элемент х+у ÎQ, называемый суммой х и у . При этом выполняются следующие условия:
1. (Существование нуля) Существует элемент 0 (нуль) такой, что для любого х ÎQ
х +0=0+х =х.
2. Для любого элемента х Î Q существует элемент - х Î Q (противоположный х ) такой, что
х + (-х) = (-х) + х = 0.
3. (Коммутативность) Для любых х,у Î Q
4. (Ассоциативность) Для любых х,у,zÎ Q
х + (у + z) = (х + у) + z
Аксиомы операции умножения.
Для всякой упорядоченной пары х, у элементов из Q определен некоторый элемент ху Î Q, называемый произведением х и у. При этом выполняются следующие условия:
5. (Существование единичного элемента) Существует элемент 1 Î Q такой, что для любого х Î Q
х . 1 = 1 . х = х
6. Для любого элемента х Î Q , (х ≠ 0) существует обратный элемент х -1 ≠0 такой, что
х. х -1 = х -1. х = 1
7. (Ассоциативность) Для любых х, у,z Î Q
х . (у . z) = (х . у) . z
8. (Коммутативность) Для любых х, у Î Q
Аксиома связи сложения и умножения.
9. (Дистрибутивность) Для любых х, у, z Î Q
(х+у) . z = x . z+у . z
Аксиомы порядка.
Всякие два элемента х, у, Î Q вступают в отношение сравнения ≤. При этом выполняются следующие условия:
10. (х ≤у )L (у ≤x ) ó x=у
11. (х ≤у) L (у≤z ) => x ≤ z
12. Для любых х, у Î Q либо х< у, либо у < x .
Отношение < называется строгим неравенством,
Отношение = называется равенством элементов из Q.
Аксиома связи сложения и порядка.
13. Для любых x, y, z ÎQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z
Аксиома связи умножения и порядка.
14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)
Аксиома непрерывности Архимеда.
15. Для любых a > b > 0 существует m Î N и n Î Q такие, что m ³ 1, n < b и a= mb+n.
*****************************************
Таким образом, система рациональных чисел – это язык арифметики.
Тем не менее, для решения практических вычислительных задач этого языка оказывается недостаточно.
Приведенная система аксиом теории целых чисел не является независимой, как отмечается в упражнении 3.1.4.
Теорема 1. Аксиоматическая теория целых чисел непротиворечива.
Доказательство. Мы докажем непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел, исходя из предположения, что аксиоматическая теория натуральных чисел непротиворечива. Для этого построим модель, на которой выполняются все аксиомы нашей теории.
Сначала построим кольцо. Рассмотрим множество
N ´N = {(a, b )ïa, b ÎN }.
a, b ) натуральных чисел. Под такой парой мы будем понимать разность натуральных чисел a – b . Но пока не доказано существование системы целых чисел, в которой такая разность существует, таким обозначением мы пользоваться не имеем права. В то же время такое понимание дает нам возможность задать свойства пар так, как нам требуется.
Мы знаем, что различные разности натуральных чисел могут быть равны одному и тому же целому числу. Соответственно введем на множестве N ´N отношение равенства:
(a, b ) = (c, d ) Û a + d = b + c .
Нетрудно заметить, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, оно является отношением эквивалентности и имеет право называться равенством. Фактор-множество множества N
´N
Z
. Его элементы и будем называть целыми числами. Они представляют собой классы эквивалентности на множестве пар. Класс, содержащий пару
(a, b
), обозначим через [a, b
].
Z a, b ] как о разности a – b
[a, b ] + [c, d ] = [a+c, b+d ];
[a, b ] × [c, d ] = [ac+bd, ad+bc ].
Следует иметь в виду, что, строго говоря, здесь не совсем корректно использование символов операций. Одним и тем же символом + обозначается сложение натуральных чисел и пар. Но так как всегда ясно, в каком множестве выполняется данная операция, то здесь мы не будем вводить отдельных обозначений для этих операций.
Требуется проверить корректность определений этих операций, а именно, что результаты не зависят от выбора элементов a и b , определяющих пару [a, b ]. Действительно, пусть
[a, b ] = [a 1 , b 1 ], [с, d ] = [с 1 , d 1 ].
Это значит, что a + b 1 = b + a 1 , с + d 1 = d + с 1 . Сложив эти равенства, получаем
a + b 1 + с + d 1 = b + a 1 + d + с 1 Þ[a + b, с + d ] = [a 1 + с 1 , b 1 + d 1 ] Þ
Þ [a, b ] + [c, d ] = [a 1 , b 1 ] + [c 1 , d 1 ].
Аналогично определяется корректность определения умножения. Но здесь следует проверить сначала, что [a, b ] × [c, d ] = [a 1 , b 1 ] × [c, d ].
Теперь следует проверить, что получившаяся алгебра является кольцом, то есть аксиомы (Z1) – (Z6).
Проверим, например, коммутативность сложения, то есть аксиому (Z2). Имеем
[c, d ] + [a, b ] = = [a+c, b+d ] = [a, b ] + [c, d ].
Коммутативность сложения для целых чисел выведена из коммутативности сложения для натуральных чисел, которая считается уже известной.
Аналогично проверяются аксиомы (Z1), (Z5), (Z6).
Роль нуля играет пара . Обозначим ее через 0 . Действительно,
[a, b ] + 0 = [a, b ] + = [a+ 1, b+ 1] = [a, b ].
Наконец, –[a, b ] = [b, a ]. Действительно,
[a, b ] + [b, a ] = [a+b, b+a ] = = 0 .
Теперь проверим аксиомы расширения. Следует иметь в виду, что в построенном кольце нет натуральных чисел как таковых, так как элементами кольца являются классы пар натуральных чисел. Поэтому требуется найти подалгебру, изоморфную полукольцу натуральных чисел. Здесь опять поможет представление о паре [a, b ] как о разности a – b . Натуральное число n можно представить в виде разности двух натуральных, например, следующим образом: n = (n + 1) – 1. Отсюда возникает предложение установить соответствие f : N ® Z по правилу
f (n ) = [n + 1, 1].
Это соответствие инъективно:
f (n ) = f (m ) Þ [n + 1, 1]= [m + 1, 1] Þ (n + 1) + 1= 1 + (m + 1) Þ n = m .
Следовательно, имеем взаимно однозначное соответствие между N и некоторым подмножеством Z , которое обозначим через N * . Проверим, что оно сохраняет операции:
f (n ) + f (m ) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m + 2, 2]= [n + m + 1, 1] = f (n + m );
f (n ) × f (m ) = [n + 1, 1]× [m + 1, 1] = [nm + n + m + 2, n + m + 2]= [nm + 1, 1] = f (nm ).
Тем самым установлено, что N * образует в Z относительно операций сложения и умножения подалгебру, изоморфную N
Обозначим пару [n + 1, 1] из N * n , через n a, b ] имеем
[a, b ] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .
Тем самым обосновано, наконец, представление о паре [a, b ] как о разности натуральных чисел. Одновременно установлено, что каждый элемент из построенного множества Z представляется в виде разности двух натуральных. Это поможет проверить аксиому минимальности.
Пусть М – подмножество Z , содержащее N * и вместе с любыми элементами а и b их разность а – b . Докажем, что в таком случае М = Z . Действительно, любой элемент из Z представляется в виде разности двух натуральных, которые по условию принадлежат М вместе со своей разностью.
Z
Теорема 2. Аксиоматическая теория целых чисел категорична.
Доказательство. Докажем, что две любые модели, на которых выполняются все аксиомы данной теории, изоморфны.
Пусть áZ 1 , +, ×, N 1 ñ и áZ 2 , +, ×, N 2 ñ – две модели нашей теории. Строго говоря, операции в них должны обозначаться разными символами. Мы отойдем от этого требования, чтобы не загромождать выкладки: каждый раз ясно, о какой операции идет речь. Элементы, принадлежащие рассматриваемым моделям, будем снабжать соответствующими индексами 1 или 2.
Мы собираемся определить изоморфное отображение первой модели на вторую. Так как N
1 и N
2 – полукольца натуральных чисел, то существует изоморфное отображение j первого полукольца на второе. Определим отображение f
: Z
1 ® Z
2 . Каждое целое число х
1 ÎZ
1 представляется в виде разности двух натуральных:
х
1 = a
1 – b
1 . Полагаем
f (x 1) = j(a 1) – j(b 1).
Докажем, что f – изоморфизм. Отображение определено корректно: если х 1 = у 1 , где y 1 = c 1 – d 1 , то
a 1 – b 1 = c 1 – d 1 Þ a 1 + d 1 = b 1 + c 1 Þ j(a 1 + d 1) = j(b 1 + c 1) Þ
Þ j(a 1) + j(d 1) = j(b 1) + j(c 1) Þ j(a 1)– j(b 1)= j(c 1) – j(d 1) Þ f (x 1) = f (y 1).
Отсюда следует, что f –
однозначное отображение Z
1 в Z
2 . Но для любого х
2 из Z
2 можно найти натуральные элементы a
2 и b
2 такие, что х
2 = a
2 – b
2 . Так как j – изоморфизм, то у этих элементов есть прообразы a
1 и b
1 . Значит, x
2 = j(a
1) –
j(b
1) =
= f
(a
1 – b
1), и у каждого элемента из Z
2 есть прообраз. Отсюда соответствие f
взаимно однозначно. Проверим, что оно сохраняет операции.
Если х 1 = a 1 – b 1 , y 1 = c 1 – d 1 , то
х 1 + y 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 + d 1),
f (х 1 + y 1) = j(a 1 + c 1) – j(b 1 + d 1) =j(a 1)+ j(c 1) – j(b 1) – j(d 1) =
J(a 1) – j(b 1)+ j(c 1)– j(d 1) = f (х 1) + f (y 1).
Аналогично проверяется, что сохраняется умножение. Тем самым установлено, что f – изоморфизм, и теорема доказана.
Упражнения
1. Докажите, что любое кольцо, включающее систему натуральных чисел, включает и кольцо целых чисел.
2. Докажите, что всякое минимальное упорядоченное коммутативное кольцо с единицей изоморфно кольцу целых чисел.
3. Докажите, что всякое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит и только одно подкольцо, изоморфное кольцу целых чисел.
4. Докажите, что кольцо матриц второго порядка над полем действительных чисел содержит бесконечно много подколец, изоморфных кольцу целых чисел.
Поле рациональных чисел
Определение и построение системы рациональных чисел проводятся аналогично тому, как это сделано для системы целых чисел.
Определение. Системой рациональных чисел называется минимальное поле, являющееся расширением кольца целых чисел.
В соответствии с этим определением получаем следующее аксиоматическое построение системы рациональных чисел.
Первичные термины :
Q – множество рациональных чисел;
0, 1 – константы;
+, × – бинарные операции на Q;
Z – подмножество Q , множество целых чисел;
Å, Ä – бинарные операции на Z .
Аксиомы :
I. Аксиомы поля .
(Q1) a + (b + c ) = (a + b ) + c .
(Q2) a + b = b + a .
(Q3) ("a ) a + 0 = a .
(Q4) ("a )($(–a )) a + (–a ) = 0.
(Q5) a × (b × c ) = (a × b ) × c .
(Q6) a × b = b × a .
(Q7) а × 1 = а .
(Q8) ("a ¹ 0)($a –1) a × a –1 = 1.
(Q9) (a + b ) × c = a × c + b × c .
II. Аксиомы расширения .
(Q10) áZ , Å, Ä, 0, 1ñ –кольцо натуральных чисел.
(Q11) Z Í Q .
(Q12) ("a,b ÎZ ) a + b = a Å b .
(Q13) ("a,b ÎZ ) a × b = a Ä b .
III. Аксиома минимальности .
(Q14) M ÍQ , Z ÍM , ("a, b ÎM )(b ¹ 0 ® a × b –1 ÎM )Þ M = Q .
Число a × b –1 называется частным чисел а и b , обозначается a /b или .
Теорема 1. Всякое рациональное число представляется в виде частного двух целых чисел.
Доказательство. Пусть М
– множество рациональных чисел, представимых в виде частного двух целых. Если n
– целое, то n = n
/1 принадлежит М
, следовательно, Z
Í M
. Если a, b
ÎM
, то a = k
/ l, b = m
/ n,
где k, l, m, n
ÎZ
. Следовательно, a
/ b
=
= (kn
) / (lm
)ÎM
. По аксиоме (Q14) M
= Q
, и теорема доказана.
Теорема 2. Поле рациональных чисел можно линейно и строго упорядочить, причем единственным способом. Порядок в поле рациональных чисел архимедов и продолжает порядок в кольце целых чисел.
Доказательство. Обозначим через Q + множество чисел, представимых в виде дроби ,где kl > 0. Нетрудно заметить, что это условие не зависит от вида дроби, представляющей число.
Проверим, что Q + – положительная часть поля Q . Так как для целого числа kl возможны три случая: kl = 0, kl ÎN , –kl ÎN , то для a = получаем одну из трех возможностей: a = 0, aÎQ + , –aÎQ + . Далее, если a = , b = принадлежат Q + , то kl > 0, mn > 0. Тогда a + b = , причем (kn + ml )ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Значит, a + bÎQ + . Аналогично проверяется, что abÎQ + . Таким образом, Q + – положительная часть поля Q .
Пусть Q ++ – какая-нибудь положительная часть этого поля. Имеем
l =.l 2 ÎQ ++ .
Отсюда N ÍQ ++ . По теореме 2.3.4 числа, обратные к натуральным, также принадлежат Q ++ . ТогдаQ + ÍQ ++ . В силу теоремы 2.3.6Q + =Q ++ . Поэтому совпадают и порядки, определенные положительными частями Q + иQ ++ .
Так какZ + = N ÍQ + , то порядок в Q продолжает порядок в Z .
Пусть теперь a = > 0, b = > 0. Так как порядок в кольце целых чисел архимедов, то для положительных kn и ml найдется натуральное с такое, что с ×kn > ml . Отсюда с a = с > = b. Значит, порядок в поле рациональных чисел архимедов.
Упражнения
1. Докажите, что поле рациональных чисел плотно, то есть для любых рациональных чисел a < b найдется рациональное r такое, что a < r < b .
2. Докажите, что уравнение х 2 = 2 не имеет решений в Q .
3. Докажите, что множество Q счетно.
Теорема 3. Аксиоматическая теория рациональных чисел непротиворечива.
Доказательство. Непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел доказывается так же, как для целых чисел. Для этого строится модель, на которой выполняются все аксиомы теории.
В качестве основы берем множество
Z ´Z * = {(a, b )ïa, b ÎZ , b ¹ 0}.
Элементами этого множества являются пары (a, b ) целых чисел. Под такой парой мы будем понимать частное целых чисел a /b . В соответствии с этим задаем свойства пар.
Введем на множестве Z ´Z * отношение равенства:
(a, b ) = (c, d ) Û ad = bc .
Замечаем, что оно является отношением эквивалентности и имеет право называться равенством. Фактор-множество множества Z ´Z * по этому отношению равенства обозначим через Q . Его элементы и будем называть рациональными числами. Класс, содержащий пару (a, b ), обозначим через [a, b ].
Введем в построенном множестве Q операции сложения и умножения. Нам поможет это сделать представление об элементе [a, b ] как о частном a / b . В соответствии с этим полагаем по определению:
[a, b ] + [c, d ] = [ad+bc, bd ];
[a, b ] × [c, d ] = [ac, bd ].
Проверяем корректность определений этих операций, а именно, что результаты не зависят от выбора элементов a и b , определяющих пару [a, b ]. Это делается так же, как при доказательстве теоремы 3.2.1.
Роль нуля играет пара . Обозначим ее через 0 . Действительно,
[a, b ] + 0 = [a, b ] + = [a× 1+0×b, b× 1] = [a, b ].
Противоположной к [a, b ] является пара –[a, b ] = [–a, b ]. Действительно,
[a, b ] + [–a, b ]= [ab – ab, bb ] = = 0 .
Единицей является пара = 1 . Обратная к паре [a, b ] – пара [b, a ].
Теперь проверим аксиомы расширения. Установим соответствие
f
: Z
® Q
по правилу
f (n ) = [n , 1].
Проверяем, что это взаимно однозначное соответствие между Z и некоторым подмножеством Q , которое обозначим через Z * . Проверяем далее, что оно сохраняет операции, значит, устанавливает изоморфизм между Z и подкольцом Z * в Q . Значит, проверены аксиомы расширения.
Обозначим пару [n , 1] из Z * , соответствующую натуральному числу n , через n . Тогда для произвольной пары [a, b ] имеем
[a, b ] = [a, 1] × = [a, 1] / [b, 1] = a /b .
Тем самым обосновано представление о паре [a, b ] как о частном целых чисел. Одновременно установлено, что каждый элемент из построенного множества Q представляется в виде частного двух целых. Это поможет проверить аксиому минимальности. Проверка производится, как в теореме 3.2.1.
Таким образом, для построенной системы Q выполняются все аксиомы теории целых чисел, то есть мы построили модель этой теории. Теорема доказана.
Теорема 4. Аксиоматическая теория рациональных чисел категорична.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.2.2.
Теорема 5. Архимедовски упорядоченное поле является расширением поля рациональных чисел.
Доказательство – в качестве упражнения.
Теорема 6. Пусть F – архимедовски упорядоченное поле, a > b, где a, b ÎF . Существует рациональное число ÎF такое, что a > > b .
Доказательство. Пусть a
> b
³ 0. Тогда a – b
> 0, и (a – b
) –1 > 0. Существует натуральное т
такое, что m
×1 > (a – b
) –1 , откуда m
–1 < a – b
£ а
. Далее, существует натуральное k
такое, что k
×m
–1 ³ a
. Пусть k
– наименьшее число, для которого выполняется это неравенство. Так как k
> 1, то можно положить k = n
+ 1, n
Î N
. При этом
(n
+ 1)×m
–1 ³ a
, n
×m
–1 < a
. Если n
×m
–1 £ b
, то a
= b
+ (a – b
) > b + m
–1 ³ n
×m
–1 + m
–1 =
= (n
+ 1)×m
–1 . Противоречие. Значит, a
> n
×m
–1 > b
.
Упражнения
4. Докажите, что любое поле, включающее кольцо целых чисел, включает и поле рациональных чисел.
5. Докажите, что всякое минимальное упорядоченное поле изоморфно полю рациональных чисел.
Действительные числа
