Понятие числовой функции. Способы задания функции. Свойства функций.
Числовая функция - функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество).
Три главных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
1. Аналитический.
Способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим. Этот способ является основным в мат. анализе, но на практике не удобен.
2. Табличный способ задания функции.
Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции.
3. Графический способ задания функции.
Функция у=f(х) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями.
Свойства функции, которые необходимо учитывать при построении её графика:
1)Область определения функции.
Область определения функции, то есть те значения, которые может принимать аргумент х функции F =y (x).
2) Промежутки возрастания и убывания функции.
Функция называется возрастающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 > х 2 , то у(х 1) > у(х 2).
Функция называется убывающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 < х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Нули функции.
Точки, в которых функция F = y (x) пересекает ось абсцисс (они получаются, если решить уравнение у(х) = 0) и называются нулями функции.
4)Чётность и нечётность функции.
Функция называется чётной, если для всех значений аргумента из области определения
у(-х) = у(х).
График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция называется нечётной , если для всех значений аргумента из области определения
у(-х) = -у(х).
График чётной функции симметричен относительно начала координат.
Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными.
5)Периодичность функции.
Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для всех значений аргумента из области определения
у(х + Р) = у(х).
Линейная функция, её свойства и график.
Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел.
k – угловой коэффициент (действительное число)
b – свободный член (действительное число)
x – независимая переменная.
· В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
· Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.
o Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.
o Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.
Свойства линейной функции:
1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось.
Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) Точки пересечения с осями координат:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
Замечание. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.
k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Функция у = ах 2 + bх + с, её свойства и график.
| Функция у = ах 2 + bх + с (а, b, с - постоянные величины, а ≠ 0) называется квадратичной. В простейшем случае у = ах 2 (b = с = 0) график есть кривая линия, проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком функции у = ах 2 , есть парабола. Каждая парабола имеет ось симметрии, называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы . |
 |
| График можно строить по следующей схеме:
1) Находим координаты вершины параболы х 0 = -b/2a; у 0 = у(х 0).
2) Строим еще несколько точек, которые принадлежат параболе, при построении можно использовать симметрии параболы относительно прямой х = -b/2a.
3) Соединяем обозначены точки плавной линией.
Пример. Построить график функции в = х 2 + 2х - 3.
Решения. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы х 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ее ординаты y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4.
Итак, вершина параболы - точка (-1; -4). Составим таблицу значений для нескольких точек, которые размещены справа от оси симметрии параболы - прямой х = -1.
Свойства функции.
|
Линейная функция – это функция вида
x-аргумент (независимая переменная),
y- функция (зависимая переменная),
k и b- некоторые постоянные числа
Графиком линейной функции является прямая .
Для построения графика достаточно двух точек, т.к. через две точки можно провести прямую и притом только одну.
Если k˃0, то график расположен в 1-й и 3-й координатных четвертях. Если k˂0, то график расположен в 2-й и 4-й координатных четвертях.
Число k называют угловым коэффициентом прямой графика функции y(x)=kx+b. Если k˃0, то угол наклона прямой y(x)= kx+b к положительному направлению Ох - острый; если k˂0, то этот угол- тупой.
Коэффициент b показывает точку пересечения графика с осью ОУ (0; b).
y(x)=k∙x-- частный случай типичной функции носит название прямая пропорциональность. Графиком является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для построения этого графика достаточно одной точки.
График линейной функции
Где коэффициент k = 3, следовательно
График функции будет возрастать и иметь острый угол с осью Ох т.к. коэффициент k имеет знак плюс.
ООФ линейной функции
ОЗФ линейной функции
Кроме случая, где
Так же линейная функция вида
Является функцией общего вида.
Б) Если k=0; b≠0,
В этом случае графиком является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;b).
В) Если k≠0; b≠0, то линейная функция имеет вид y(x)=k∙x+b.
Пример 1 . Построить график функции y(x)= -2x+5
Пример 2 . Найдём нули функции у=3х+1, у=0;
– нули функции.
Ответ: или (;0)
Пример 3 . Определить значение функции y=-x+3 для x=1 и x=-1
y(-1)=-(-1)+3=1+3=4
Ответ: y_1=2; y_2=4.
Пример 4 . Определить координаты их точки пересечения или доказать, что графики не пересекаются. Пусть даны функции y 1 =10∙x-8 и y 2 =-3∙x+5.
Если графики функций пересекаются, то значение функций в этой точке равны
Подставим х=1, то y 1 (1)=10∙1-8=2.
Замечание. Подставить полученное значение аргумента можно и в функцию y 2 =-3∙x+5, тогда получим тот же самый ответ y 2 (1)=-3∙1+5=2.
y=2- ордината точки пересечения.
(1;2)- точка пересечения графиков функций у=10х-8 и у=-3х+5.
Ответ: (1;2)
Пример 5 .
Построить графики функций y 1 (x)= x+3 и y 2 (x)= x-1.
Можно заметить, что коэффициент k=1 для обеих функций.
Из выше сказанного следует, что если коэффициенты линейной функции равны, то их графики в системе координат расположены параллельно.
Пример 6 .
Построим два графика функции.
Первый график имеет формулу
Второй график имеет формулу
В данном случае перед нами график двух прямых, пересекающихся в точке (0;4). Это значит, что коэффициент b, отвечающий за высоту подъёма графика над осью Ох, если х=0. Значит мы может полагать, что коэффициент bу обоих графиков равен 4.
Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна
«Критические точки функции» - Критические точки. Среди критических точек есть точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Ответ: 2. Определение. Но, если f" (х0) = 0, то необязательно, что точка х0 будет точкой экстремума. Точки экстремума (повторение). Критические точки функции Точки экстремумов.
«Координатная плоскость 6 класс» - Математика 6 класс. 1. Х. 1.Найдите и запишите координаты точек A,B, C,D: -6. Координатная плоскость. О. -3. 7. У.
«Функции и их графики» - Непрерывность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Понятие обратной функции. Линейная. Логарифмическая. Монотонность. Если k > 0, то образованный угол острый, если k < 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).
«Функции 9 класс» - Допустимые арифметические действия над функциями. [+] – сложение, [-] – вычитание, [*] – умножение, [:] – деление. В таких случаях говорят о графическом задании функции. Образование класса элементарных функций. Степенная функция у=х0,5. Иовлева Максима Николаевича, учащегося 9 класса РМОУ Радужская ООШ.
«Урок Уравнение касательной» - 1. Уточнить понятие касательной к графику функции. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой. АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у=f(x). Тема урока: Тест: найти производную функции. Уравнение касательной. Флюксия. 10 класс. Расшифруйте, как исаак ньютон назвал производную функцию.
«Построить график функции» - Дана функция y=3cosx. График функции y=m*sin x. Постройте график функции. Содержание: Дана функция: y=sin (x+?/2). Растяжение графика y=cosx по оси y. Чтобы продолжить нажмите на л. Кнопку мыши. Дана функция y=cosx+1. Смещения графика y=sinx по вертикали. Дана функция y=3sinx. Смещение графика y=cosx по горизонтали.
Всего в теме 25 презентаций
Урок 1 .
Функция у=кх и ее график.
Учитель математики школы № 92
Павловская Нина Михайловна
- систематизировать и развивать у учащихся знания
по теме функция, область определения функции,
график функции;
- ввести понятие прямой пропорциональности;
- сформировать умение строить и читать график
функции, заданной формулой у = кх;
- научиться определять:
- положение графика на координатной плоскости,
- принадлежность данной точки графику;
- научиться по графику задавать формулой прямую
пропорциональность;
- способствовать развитию познавательного интереса
учащихся
- побуждать учеников к само-, взаимоконтролю,
вызывать у них потребность в обосновании своих
высказываний.
Цели урока:
Разминка.
1. По графику изменения температуры воздуха в течение суток, найти значение температуры в 6ч,12ч,18ч .
2. Что называют областью допустимых значений переменной алгебраической дроби?
3. Найдите допустимые значения переменной для дроби:
0 k Функцию вида у = kх называют прямой пропорциональностью, где х – переменная, k – угловой коэффициент. Построить графики функций: у Свойства: 8 7 а) у = 2х; б) у = - 3х. 1. Область определения 6 5 2. Графиком является прямая, проходящая через начало координат. 4 II I 3 2 3. Если k 0, график проходит через I и III четверть и образует острый угол с положительным направлением оси х. 1 -3 -2 -1 3 2 1 х -4 О -1 -2 III IV -3 4 . Если k -4 -5 -6 -7 -8" width="640"
у = 2х
у = -3х
k0
k
Функцию вида у = kх называют прямой пропорциональностью, где х – переменная, k – угловой коэффициент.
Построить графики
функций :
у
Свойства :
8
7
а) у = 2х; б) у = - 3х.
1. Область определения
6
5
2. Графиком является прямая, проходящая через начало координат.
4
II
I
3
2
3. Если k 0, график проходит через I и III четверть и образует острый угол с положительным направлением оси х.
1
-3
-2
-1
3
2
1
х
-4
О
-1
-2
III
IV
-3
4 . Если k
-4
-5
-6
-7
-8
1 график вытягивается вдоль оси у. 2. Если |k| вдоль оси х." width="640"
Построй графики функций в одной и той же системе координат. Найди особенность расположения графиков и сделай вывод.
а) у = 5х;
б) у = - 4х;
г) у = – 0,5х.
в) у = 0,2х;
Вывод:
- Если |k|1 график вытягивается
вдоль оси у.
2. Если |k|
вдоль оси х.
По графику определи вид функции и задай ее формулой, а также дай ей характеристику.
в
г
а) у = 0,5х
б
д
б) у = х
а
е
в) у = 2х
г) у = - 2х
д) у = - х
е) у = - 0,5х
Решить из учебника
- Устно: № 490, 491.
- Письменно: № 493, 494(а,в), 495(а,в)
Подведение итогов урока:
- Что является графиком функции у = kх ?
- Что называют угловым коэффициентом прямой у = kх ?
- В каких координатных четвертях расположен график функции у = kх при k 0, при k 0?
Запишите домашнее задание:
п.6.1, 6.2 учебника,
№ 494(б, г), 495(б, г), 496.
№ 644 – по желанию.
