Под иррациональным понимают выражение, в котором независимая переменная %%x%% или многочлен %%P_n(x)%% степени %%n \in \mathbb{N}%% входят под знак радикала (от латинского radix — корень), т.е. возводятся в дробную степень. Некоторые классы иррациональных относительно %%x%% подынтегральных выражений заменой переменной удается свести к рациональным выражениям относительно новой переменной.
Понятие рациональной функции одной переменной можно распространить на несколько аргументов. Если над каждым аргументом %%u, v, \dotsc, w%% при вычислении значения функции предусмотрены лишь арифметические действия и возведение в целую степень, то говорят о рациональной функции этих аргументов, которую обычно обозначают %%R(u, v, \dotsc, w)%%. Аргументы такой функции сами могут быть функциями независимой перменной %%x%%, в том числе и радикалами вида %%\sqrt[n]{x}, n \in \mathbb{N}%%. Например, рациональная функция $$ R(u,v,w) = \frac{u + v^2}{w} $$ при %%u = x, v = \sqrt{x}%% и %%w = \sqrt{x^2 + 1}%% является рациональной функцией $$ R\left(x, \sqrt{x}, \sqrt{x^2+1}\right) = \frac{x + \sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2 + 1}} = f(x) $$ от %%x%% и радикалов %%\sqrt{x}%% и %%\sqrt{x^2 + 1}%%, тогда как функция %%f(x)%% будет иррациональной (алгебраической) функцией одной независимой переменной %%x%%.
Рассмотрим интегралы вида %%\int R(x, \sqrt[n]{x}) \mathrm{d}x%%. Такие интегралы рационалируются заменой переменной %%t = \sqrt[n]{x}%%, тогда %%x = t^n, \mathrm{d}x = nt^{n-1}%%.
Пример 1
Найти %%\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}}%%.
Подынтегральная функция искомого аргумента записана как функция от радикалов степени %%2%% и %%3%%. Так как наименьшее общее кратное чисел %%2%% и %%3%% равно %%6%%, то данный интеграл является интегралом типа %%\int R(x, \sqrt{x}) \mathrm{d}x%% и может быть рационализирован посредством замены %%\sqrt{x} = t%%. Тогда %%x = t^6, \mathrm{d}x = 6t \mathrm{d}t, \sqrt{x} = t^3, \sqrt{x} =t^2%%. Следовательно, $$ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \int \frac{6t^5 \mathrm{d}t}{t^3 + t^2} = 6\int\frac{t^3}{t+1}\mathrm{d}t. $$ Примем %%t + 1 = z, \mathrm{d}t = \mathrm{d}z, z = t + 1 = \sqrt{x} + 1%% и $$ \begin{array}{ll} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} &= 6\int\frac{(z-1)^3}{z} \mathrm{d}t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm{d}z + 18\int \mathrm{d}z -6\int\frac{\mathrm{d}z}{z} = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt{x} + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt{x} + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left(\sqrt{x} + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt{x} + 1\right| + C \end{array} $$
Интегралы вида %%\int R(x, \sqrt[n]{x}) \mathrm{d}x%% являются частным случаем дробно линейных иррациональностей, т.е. интегралов вида %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cd+d}}\right) \mathrm{d}x%%, где %%ad - bc \neq 0%%, которые допускают рационализацию путем замены переменной %%t = \sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cd+d}}%%, тогда %%x = \dfrac{dt^n - b}{a - ct^n}%%. Тогда $$ \mathrm{d}x = \frac{n t^{n-1}(ad - bc)}{\left(a - ct^n\right)^2}\mathrm{d}t. $$
Пример 2
Найти %%\displaystyle\int \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}\dfrac{\mathrm{d}x}{x + 1}%%.
Примем %%t = \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}%%, тогда %%x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}%%, $$ \begin{array}{l} \mathrm{d}x = -\frac{4t\mathrm{d}t}{\left(1 + t^2\right)^2}, \\ 1 + x = \frac{2}{1 + t^2}, \\ \frac{1}{x + 1} = \frac{1 + t^2}{2}. \end{array} $$ Следовательно, $$ \begin{array}{l} \int \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}\frac{\mathrm{d}x}{x + 1} = \\ = \frac{t(1 + t^2)}{2}\left(-\frac{4t \mathrm{d}t}{\left(1 + t^2\right)^2}\right) = \\ = -2\int \frac{t^2\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \\ = -2\int \mathrm{d}t + 2\int \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \\ = -2t + \text{arctg}~t + C = \\ = -2\sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}} + \text{arctg}~\sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}} + C. \end{array} $$
Рассмотрим интегралы вида %%\int R\left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}\right) \mathrm{d}x%%. В простейших случаях такие интегралы сводятся к табличным, если после выделения полного квадрата сделать замену переменных.
Пример 3
Найти интеграл %%\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}}%%.
Учитывая, что %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, примем %%t = x + 2, \mathrm{d}x = \mathrm{d}t%%, тогда $$ \begin{array}{ll} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} &= \int \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t^2 + 1}} = \\ &= \ln\left|t + \sqrt{t^2 + 1}\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}\right| + C. \end{array} $$
В более сложных случаях для нахождения интегралов вида %%\int R\left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}\right) \mathrm{d}x%% используются
План:
- Интегрирование простейших рациональных дробей.
- Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- Универсальная тригонометрическая подстановка.
- Интегрирование простейших рациональных дробей
Напомним, что функция вида Р(х)=а о х п + а 1 х п-1 + а 2 х п-2 +…+ а п-1 х п + а п , где , а о, а 1 …а п – постоянные коэффициенты, называется многочленом или рациональной функцией . Число п называют степенью многочлена .
Дробно-рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. .
Рассмотрим некоторые простейшие интегралы от дробно-рациональных функций:
1.1. Для нахождения интегралов вида (А - const ) будем пользоваться интегралами от некоторых сложных функций: = .
Пример 20.1. Найдите интеграл .
Решение. Воспользуемся приведенной выше формулой = . Получим, что = .
1.2. Для нахождения интегралов вида (А - const ) будем применять метод выделения в знаменателе полного квадрата. Исходный интеграл в результате преобразований сведется к одному из двух табличных интегралов: или .
Рассмотрим вычисление таких интегралов на конкретном примере.
Пример 20.2. Найдите интеграл .
Решение. Попытаемся выделить в знаменателе полный квадрат, т.е. прийти к формуле (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab +b 2 .
Для этого 4х представляем как удвоенное произведение 2∙2∙х . Следовательно, к выражению х 2 + 4х чтобы получить полный квадрат следует добавить квадрат числа два, т.е. 4: х 2 + 4х + 4 = (х + 2) 2 . х + 2) 2 вычесть 4. Получим следующую цепочку преобразований:
х + 2 = и , тогда . Подставим и и dx в полученный интеграл: = = . Воспользуемся табличным интегралом: , где а =3.Получим, что = . Подставим вместо и выражение х+ 2:
Ответ: = .
1.3. Для нахождения интегралов вида (M, N - const ) будем применять следующий алгоритм :
1. Выделим в знаменателе полный квадрат.
2. Выражение, стоящее в скобках, обозначим новой переменной t. Найдем х , dx и подставим их вместе с t в исходный интеграл (получим интеграл, содержащий только переменную t ).
3. Разобьем полученный интеграл на сумму двух интегралов, каждый из которых вычислим отдельно: один интеграл решается методом подстановки, второй сводится к одной из формул или .
Пример 20.3. Найдите интеграл .
Решение. 1. Попытаемся выделить в знаменателе полный квадрат. Для этого 6х представляем как удвоенное произведение 2∙3∙х . Тогда к выражению х 2 - 6х следует добавить квадрат числа три, т.е. число 9: х 2 – 6х + 9 = (х - 3) 2 . Но, чтобы выражение в знаменателе не изменилось, нужно из (х- 3) 2 вычесть 9. Получим цепочку преобразований:
2. Введем следующую подстановку: пусть х-3 =t (значит, х =t+ 3), тогда . Подставим t, х, dx в интеграл :
3. Представим полученный интеграл как сумму двух интегралов:
Найдем их отдельно.
3.1 Первый интеграл вычисляется методом подстановки. Обозначим знаменатель дроби , тогда . Отсюда . Подставляем и и dt в интеграл и приводим его к виду: = = =ln|u|+C= =ln|t 2 +16|+C. Осталось вернуться к переменной х . Поскольку , то ln|t 2 +16|+C = ln|х 2 - 6х +25|+C.
3.2 Второй интеграл вычисляется по формуле: (где а= 4). Тогда = = .
3.3 Исходный интеграл равен сумме интегралов, найденных в пунктах 3.1 и 3.2: = ln|х 2 - 6х +25|+ .
Ответ: = ln|х 2 - 6х +25|+ .
Методы интегрирования других рациональных функций рассматриваются в полном курсе математического анализа (см., например, Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, ч.1- М.:Айрис-пресс, 2006.).
- Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Рассмотрим нахождение неопределенных интеграл от следующих типов иррациональных функций: и (а,b,c – const). Для их нахождения будем использовать метод выделения полного квадрата в иррациональном выражении. Тогда рассматриваемые интегралы можно будет привести к видам: ,
Разберем нахождение интегралов от некоторых иррациональных функций на конкретных примерах.
Пример 20.4. Найдите интеграл .
Решение. Попытаемся выделить в знаменателе полный квадрат. Для этого 2х представляем как удвоенное произведение 2∙1∙х . Тогда к выражению х 2 +2х следует добавить квадрат единицы (х 2 + 2х + 1 = (х + 1) 2) и вычесть 1. Получим цепочку преобразований:
Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим х + 1 = и , тогда . Подставим и, dx , где а =4.Получим, что . Подставим вместо и выражение х+ 1:
Ответ: = .
Пример 20.5. Найдите интеграл .
Решение. Попытаемся выделить под знаком корня полный квадрат. Для этого 8х представляем как удвоенное произведение 2∙4∙х . Тогда к выражению х 2 -8х следует добавить квадрат четырех (х 2 - 8х + 16 = (х - 4) 2) и вычесть его. Получим цепочку преобразований:
Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим х - 4 = и , тогда . Подставим и, dx в полученный интеграл: = . Воспользуемся табличным интегралом: , где а =3.Получим, что . Подставим вместо и выражение х- 4:
Ответ: = .
- Универсальная тригонометрическая подстановка.
Если требуется найти неопределенный интеграл от функции, содержащей sinx и cosx , которые связаны только операциями сложения, вычитания, умножения или деления, то можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку .
Суть этой подстановки заключается в том, что sinx и cosx можно выразить через тангенс половинного угла следующим образом: , . Тогда, если ввести подстановку , то sinx и cosx будут выражены через t следующим образом: , . Осталось выразить х через t и найти dх.
Если , то . Найдем dх: = .
Итак, для применения универсальной подстановки достаточно обозначить sinx и cosx через t (формулы выделены в рамке), а dх записать как . В итоге под знаком интеграла должна получиться рациональная функция, интегрирование которой рассматривалось в пункте 1. Обычно метод применения универсальной подстановки весьма громоздкий, но он всегда приводит к результату.
Рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки.
Пример 20.6. Найдите интеграл .
Решение. Применим универсальную подстановку , тогда , , dх= . Следовательно, = = = = = ., тогда берутся ").
Существует множество интегралов, которые называют "неберущимися ". Такие интегралы не выражаются через привычные нам элементарные функции. Так, например, нельзя взять интеграл , т.к. не существует элементарной функции, производная которой была бы равна . Но некоторые из "неберущихся" интегралов имеют большое прикладное значение. Так интеграл называют интегралом Пуассона и широко применяют в теории вероятностей.
Существуют и другие важные "неберущиеся" интегралы: - интегральный логарифм (применяется в теории чисел), и - интегралы Френеля (применяются в физике). Для них составлены подробные таблицы значений при различных значениях аргумента х .
Контрольные вопросы:
Данный онлайн калькулятор служит для вычисления интегралов иррациональных дробей вида , , .
Пусть 
– рациональная функция от 
Эта функция, а следовательно, и интеграл от неё, рационализируется подстановкой x=t r , где r– наименьшее общее кратное чисел r 1 , r 2 ,…, r n . Тогда dx=rt r -1 и под интегралом стоит рациональная функция от t . Аналогично, если подынтегральное выражение 
есть рациональная функция от 
, то подынтегральная функция рационализируется подстановкой где t – наименьшее общее кратное чисел r 1 , r 2 ,…, r n . Тогда Подставляя в исходное выражение, получаем рациональную функцию от t .
Пример
. Вычислить . Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6 . Поэтому делаем замену x = t 6 . Тогда dx = 6t 5 dt и
Интегрирование иррациональных функций
Пример №1 . Вычислить определенный интеграл от иррациональной функции:
Решение . Интеграл вида R(x α1 , x α2 ,..., x αk)dx , где R - рациональная функция от x αi , α i =p i /q i - рациональные дроби (i = 1,2,..., k), сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки х = t q , где q - наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей а 1 , а 2 ,..., а k . В нашем случае а 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, так что наименьшее общее кратное их знаменателей q = НОК(2,3,6) = 6. Замена переменной х = t 6 приводит к интегралу от дробно-рациональной функции, который вычисляется, как описано в примере:
Интегралы вида (m 1 , n 1 , m 2 , n 2 , … - целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х. Они вычисляются подстановкой x=t s , где s - общий знаменатель дробей, … При такой замене переменной все отношения = r 1 , = r 2 , … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной t:
Интегралы вида (m 1 , n 1 , m 2 , n 2 , … - целые числа). Эти интегралы подстановкой:
где s - общий знаменатель дробей, …, сводятся к рациональной функции от переменной t.
Интегралы вида Для вычисления интеграла I 1 выделяется полный квадрат под знаком радикала:
и применяется подстановка:
В результате этот интеграл сводится к табличному:
В числителе интеграла I 2 выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:
где I 1 - вычисленный выше интеграл.
Вычисление интеграла I 3 сводится к вычислению интеграла I 1 подстановкой:
Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.
Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:
Интеграл подстановкой
u=ksint (или u=kcost)
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
Интегралы вида (m, n, p є Q, a, b є R). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома, выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:
1) если p є Z, то применяется подстановка:
где s - общий знаменатель дробей m и n;
2) если Z, то используется подстановка:
где s - знаменатель дроби
3) если Z, то применяется подстановка:
где s - знаменатель дроби
Класс иррациональных функцийочень широк, поэтому универсального способа их интегрирования просто быть не может. В этой статье попытаемся выделить наиболее характерные виды иррациональных подынтегральных функций и поставить им в соответствие метод интегрирования.
Бывают случаи, когда уместно использование метода подведения под знак дифференциала. Например, при нахождении неопределенных интегралов вида, гдеp – рациональная дробь.
Пример.
Найти
неопределенный интеграл 
.
Решение.
Не
трудно заметить, что .
Следовательно, подводим под знак
дифференциала и используем таблицу
первообразных:
Ответ:
.
13. Дробно-линейная подстановка
Интегралы типа где а, b, с, d - действительные числа,a,b,...,d,g - натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановкигде К - наименьшее общee кратное знаменателей дробей
Действительно, из подстановки следует, чтои
т. е. х и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби выражается через рациональную функцию от t.
Пример
33.4
.
Найти интеграл 
Решение: Наименьшее общee кратное знаменателей дробей 2/3 и 1/2 есть 6.
Поэтому полагаем х+2=t 6 , х=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Следовательно,
Пример 33.5. Указать подстановку для нахождения интегралов:
Решение: Для I 1 подстановка х=t 2 , для I 2 подстановка
14. Тригонометрическая подстановка
Интегралы типа приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: х=а sint для первого интеграла; х=а tgt для второго интеграла;для третьего интеграла.
Пример
33.6.
Найти интеграл 
Решение: Положим х=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin х/2. Тогда
Здесь
подынтегральная функция есть рациональная
функция относительно х и
Выделив
под радикалом полный квадрат и сделав
подстановку,
интегралы указанного типа приводятся
к интегралам уже pасcмoтpeннoгo типа, т. е.
к интегралам типа
Эти
интегралы можно вычислить с помощью
соответствующих тригонометрических
подстановок.
Пример
33.7.
Найти интеграл
Решение:
Так как х 2 +2х-4=(х+1) 2 -5,
то х+1=t, x=t-1, dx=dt. Поэтому
Положим
Замечание:
Интеграл типа 
целессooбразно
находить с помощью подстановки х=1/t.
15. Определенный интеграл
Пусть функция задана на отрезкеи имеет на нем первообразную. Разностьназываютопределенным интегралом функции по отрезкуи обозначают. Итак,
Разность записывают
в виде,
тогда
.
Числаиназываютпределами
интегрирования
.
Например, одна из первообразных для функции. Поэтому
16 . Если с - постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на , то
т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.
▼Составим интегральную сумму для функции с ƒ(х). Имеем:
Тогда Отсюда вытекает, что функцияс ƒ(х) интегрируема на [а; b] и справедлива формула (38.1).▲
2. Если функции ƒ 1 (х) и ƒ 2 (х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u
т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.
▼
▲
Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
3.
Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.
4. Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то
т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).
При разбиении отрезка [а;b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если с = х m , то интегральную сумму можно разбить на две суммы:
Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [а; b], [а; с] и [с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при n → ∞ (λ → 0), получим равенство (38.3).
Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, b, с (считаем, что функция ƒ (х) интегрируема на большем из получающихся отрезков).
Так, например, если а < b < с, то
(использованы свойства 4 и 3).
5. «Теорема о среднем». Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует тонка с є [а; b] такая, что
▼По формуле Ньютона-Лейбница имеем
где F"(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим
F(b)-F(a) = F"(c) (b-а) = ƒ(с) (b-а).▲
Свойство
5 («теорема о среднем») при ƒ (х) ≥ 0 имеет
простой геометрический смысл: значение
определенного интеграла равно, при
некотором с є (а; b), площади прямоугольника
с высотой ƒ (с) и основанием b- а (см.
рис. 170). Число
называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b].
6.
Если функция ƒ (х) сохраняет знак на
отрезке [а; b], где а < b, то интегралимеет
тот же знак, что и функция. Так, если
ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то
▼По «теореме о среднем» (свойство 5)
где с є [а; b]. А так как ƒ(х) ≥ 0 для всех х Î [а; b], то и
ƒ(с)≥0, b-а>0.
Поэтому
ƒ(с) (b-а) ≥ 0, т. е.
▲
7.
Неравенство между непрерывными функциями
на отрезке [а; b], (a
▼Так как ƒ 2 (х)-ƒ 1 (x)≥0, то при а < b, согласно свойству 6, имеем
Или, согласно свойству 2,
Отметим,что дифференцировать неравенства нельзя.
8. Оценка интеграла. Если m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = ƒ (х) на отрезке [а; b], (а < b), то
▼Так как для любого х є [а;b] имеем m≤ƒ(х)≤М, то, согласно свойству 7, имеем
Применяяк крайним интегралам свойство 5, получаем
▲
Если ƒ(х)≥0, то свойство 8 иллюстрирует ся геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть , а высоты равны m и М (см. рис. 171).
9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:
▼Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, получаем
Отсюда следует, что
▲
10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.
Вычисление площади фигуры является одной из наиболее не простых проблем теории площадей. В школьном курсе геометрии мы научились находить площади основных геометрических фигур, например, круга, треугольника, ромба и т.п. Однако намного чаще приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. При решении подобных задач приходится прибегать к интегральному исчислению.
В этой статье мы рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, причем подойдем к ней в геометрическом смысле. Это позволит нам выяснить прямую связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и не меняет знак на нем (то есть, неотрицательная или неположительная). Фигуру G , ограниченную линиями y = f(x), y = 0, x = a и x = b , называют криволинейной трапецией . Обозначим ее площадь S(G) .
Подойдем
к задаче вычисления площади криволинейной
трапеции следующим образом. В
разделе квадрируемые
фигурымы выяснили, что криволинейная
трапеция является квадрируемой фигурой.
Если разбить отрезок
на n
частей точкамии
обозначить
,
а точкивыбирать
так, чтобыпри,
то фигуры, соответствующие нижней и
верхней суммам Дарбу, можно считать
входящейP
и
объемлющей Q
многоугольными
фигурами для G
.
Таким
образом, и
при увеличении количества точек
разбиенияn
,
мы придем к неравенству ,
где-
сколь угодно малое положительное число,
аs
и S
–
нижняя и верхняя суммы Дарбу для данного
разбиения отрезка
.
В другой записи 
.
Следовательно, обратившись кпонятию
определенного интеграла Дарбу,
получаем
.
Последнее равенство означает, что определенный интеграл для непрерывной и неотрицательной функцииy = f(x) представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла .
То есть, вычислив определенный интеграл , мы найдем площадь фигуры, ограниченной линиямиy = f(x), y = 0, x = a и x = b .
Замечание.
Если
функция y
= f(x)
неположительная
на отрезке
,
то площадь криволинейной трапеции может
быть найдена как 
.
Пример.
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
Решение.
Построим фигуру на плоскости: прямая y = 0 совпадает с осью абсцисс, прямые x = -2 и x = 3 параллельны оси ординат, а кривая может быть построена с помощьюгеометрических преобразований графика функции.
Таким
образом, нам требуется найти площадь
криволинейной трапеции. Геометрический
смысл определенного интеграла нам
указывает на то, что искомая площадь
выражается определенным интегралом.
Следовательно, 
.
Этот определенный интеграл можно
вычислить поформуле
Ньютона-Лейбница.
