Пусть R – бинарное отношение на множестве X. Отношение R называется рефлексивным , если (x, x) Î R для всех x Î X; симметричным – если из (x, y) Î R следует (y, x) Î R; транзитивным числу 23 соответствует вариант 24 если (x, y) Î R и (y, z) Î R влекут (x, z) Î R.

Пример 1

Будем говорить, что x Î X имеет общее с элементом y Î X, если множество
x Ç y не пусто. Отношение иметь общее будет рефлексивным и симметричным, но не транзитивным.

Отношением эквивалентности на X называется рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение. Легко видеть, что R Í X ´ X будет отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда имеют место включения:

Id X Í R (рефлексивность),

R -1 Í R (симметричность),

R ° R Í R (транзитивность).

В действительности эти три условия равносильны следующим:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

Разбиением множества X называется множество А попарно непересекающихся подмножеств a Í X таких, что UA = X. С каждым разбиением А можно связать отношение эквивалентности ~ на X, полагая x ~ y, если x и y являются элементами некоторого a Î A.

Каждому отношению эквивалентности ~ на X соответствует разбиение А, элементами которого являются подмножества, каждое из которых состоит из находящихся в отношении ~. Эти подмножества называются классами эквивалентности . Это разбиение А называется фактор-множеством множества X по отношению ~ и обозначается: X/~.

Определим отношение ~ на множестве w натуральных чисел, полагая x ~ y, если остатки от деления x и y на 3 равны между собой. Тогда w/~ состоит из трёх классов эквивалентности, соответствующих остаткам 0, 1 и 2.

Отношение порядка

Бинарное отношение R на множестве X называется антисимметричным , если из x R y и y R x следует: x = y. Бинарное отношение R на множестве X называется отношением порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Легко видеть, что это равносильно выполнению следующих условий:

1) Id X Í R (рефлексивность),

2) R Ç R -1 (антисимметричность),

3) R ° R Í R (транзитивность).

Упорядоченная пара (X, R), состоящая из множества X и отношения порядка R на X, называется частично упорядоченным множеством .

Пример 1

Пусть X = {0, 1, 2, 3}, R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}.

Поскольку R удовлетворяет условиям 1 – 3, то (X, R) – частично упорядоченное множество. Для элементов x = 2, y = 3, неверно ни x R y, ни y R x. Такие элементы называют несравнимыми . Обычно отношение порядка обозначают £. В приведенном примере 0 £ 1 и 2 £ 2, но неверно, что 2 £ 3.

Пример 2

Пусть < – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Элементы x, y Î X частично упорядоченного множества (X, £) называются сравнимыми , если x £ y либо y £ x.

Частично упорядоченное множество (X, £) называется линейно упорядоченным или цепью , если любые два его элемента сравнимы. Множество из примера 2 будет линейно упорядоченным, а из примера 1 – нет.

Подмножество A Í X частично упорядоченного множества (X, £) называется ограниченным сверху , если существует такой элемент x Î X, что a £ x для всех a Î A. Элемент x Î X называется наибольшим в X, если y £ x для всех y Î X. Элемент x Î X называется максимальным, если нет отличных от x элементов y Î X, для которых x £ y. В примере 1 элементы 2 и 3 будут максимальными, но не наибольшими. Аналогично определяются ограничение снизу подмножества, наименьший и минимальный элементы. В примере 1 элемент 0 будет и наименьшим и минимальным. В примере 2 этими свойствами также обладает 0, но в (w, £) нет ни наибольшего, ни максимального элемента.

Пусть (X, £) – частично упорядоченное множество, A Í X – подмножество. Отношение на А, состоящее из пар (a, b) элементов a, b Î A, для которых a £ b, будет отношением порядка на А. Это отношение обозначают тем же символом: £. Таким образом, (A, £) – частично упорядоченное множество. Если оно является линейно упорядоченным, то будем говорить, что А – цепь в (X, £).

Принцип максимальности

Некоторые математические утверждения невозможно доказать без аксиомы выбора. Про эти утверждения говорят, что они зависят от аксиомы выбора или справедливы в теории ZFC , на практике вместо аксиомы выбора для доказательства используют обычно либо аксиому Цермело, либо лемму Куратовского-Цорна, либо любое другое утверждение, равносильное аксиоме выбора.

Лемма Куратовского-Цорна . Если каждая цепь в частично упорядоченном множестве (X, £) ограничена сверху, то в X есть по крайней мере один максимальный элемент.

Эта лемма равносильна аксиоме выбора, и поэтому её можно принять в качестве аксиомы.

Теорема. Для любого частично упорядоченного множества (X, £) существует отношение, содержащее отношение £ и превращающее X в линейно упорядоченное множество.

Доказательство . Множество всех отношений порядка, содержащих отношение £, упорядочено отношением включения Í. Поскольку объединение цепи отношений порядка будет отношением порядка, то по лемме Куратовского-Цорна существует максимальное отношение R, такое, что x £ y влечет x R y. Докажем, что R – отношение, линейно упорядочивающее X. Предположим противное: пусть существуют a, b Î X такие, что ни (a, b), ни (b, a) не принадлежат R. Рассмотрим отношение:

R¢ = R È {(x, y): x R a и b R y}.

Оно получается добавлением пары (a, b) к R и пар (x, y), которые должны быть добавлены к R¢ из условия, что R¢ – отношение порядка. Легко видеть, что R¢ рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Получаем R Ì R¢, противоречащее максимальности R, следовательно, R – искомое отношение линейного порядка.

Линейно упорядоченное множество X называется вполне упорядоченным, если всякое его непустое подмножество A Í X содержит наименьший элемент a Î A. Лемма Куратовского-Цорна и аксиома выбора эквивалентны также следующему утверждению:

Аксиома Цермело . Для каждого множества существует отношение порядка, превращающее его во вполне упорядоченное множество.

Например, множество w натуральных чисел является вполне упорядоченным. Принцип индуктивности обобщается следующим образом:

Трансфинитная индукция . Если (X, £) – вполне упорядоченное множество и F(x) – свойство его элементов, верное для наименьшего элемента x 0 Î X и такое, что из истинности F(y) для всех y < z следует истинность F(z), то F(x) верно для всех x Î X.

Здесь y < z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.

Понятие мощности

Пусть f: X à Y и g: Y à Z – отображения множеств. Поскольку f и g – отношения, то определена их композиция g ° f(x) = g(f(x)). Если h: Z à T – отображение множеств, то h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Отношения Id X и Id Y – функции, стало быть, определены композиции Id Y ° f = f ° Id x = f. При X = Y определим f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, …, f n+1 = f n ° f.

Отображение f: X àY называется инъекцей , если для любых элементов x 1 ¹ x 2 множества X справедливо f(x 1) ¹ f(x 2). Отображение f называется сюръекцией , если для каждого y ÎY существует такой x Î X, что f(x) = y. Если f является и сюръекцией, и инъекцией, то f называется биекцией . Легко видеть, что f – биекция тогда и только тогда, когда обратное отношение f -1 Í Y ´ X является функцией.

Будем говорить, что справедливо равенство |X| = |Y|, если существует биекция между X и Y. Положим |X| £ |Y|, если существует инъекция f: X à Y.

Теорема Кантора-Шредера-Бернштейна . Если |X| £ |Y| и |Y| £ |X| , то |X| = |Y|.

Доказательство . По условию, существуют инъекции f: X à Y и g: Y à X. Пусть A = g¢¢Y = Img – образ множества Y относительно отображения g. Тогда

(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,

(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …

Рассмотрим отображение j: X à A, заданное как j(x) = gf(x), при

x Î (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È …, и j(x) = x в остальных случаях. Легко видеть, что j – биекция. Искомая биекция между X и Y будет равна g -1 ° j.

Антиномия Кантора

Положим |X| < |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

Теорема Кантора . Для любого множества X справедливо |X| < |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

Теория множеств. Основные понятия

Теория множеств является основополагающим определением современной математики. Она была создана Георгом Кантором в 1860-х гг. Он писал: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое». Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить. Таким образом, множество – объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью; совокупность некоторых объектов, определенных общим признаком.

Например,

1. Множество жителей г. Воронежа

2. Множество точек плоскости

3. Множество натуральных чисел ℕи др.

Множества обычно обозначаются большими латинскими буквами(A, B, C и т.д.). Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Элементы множества обозначаются малыми латинскими буквами(a, b, c и т.д.). Если Х – множество, то запись х∈Х означает, что х есть элемент множества Х или что х принадлежит множеству Х , а запись х∉Х , что элемент х не принадлежит множеству Х . Например, пусть ℕ–множество натуральных чисел. Тогда 5 ℕ , а 0,5∉ℕ .

Если множество Y состоит из элементов множества Х , то говорят, что Y является подмножеством множества Х и обозначают Y⊂Х (или Y⊆Х ). Например, множество целых чисел ℤ является подмножеством рациональных чисел ℚ .

Если для двух множеств Х и Y одновременно имеют место два включения Х Y и Y Х , т.е. Х есть подмножество множества Y и Y есть подмножество множества Х , то множества Х и Y состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и Y называют равными и пишут: Х=Y .

Часто используется термин пустое множество - Ø - множество, не содержащее ни одного элемента. Оно является подмножеством любого множества.

Для описания множеств могут использоваться следующие способы.

Способы задания множеств

1. Перечисление объектов. Используется только для конечных множеств.

Например, Х={x1, x2, x3… x n } . Запись Y={1, 4, 7, 5} означает, что множество состоит из четырех чисел 1, 4, 7, 5 .

2. Указание характеристического свойства элементов множества.

Для этого задается некоторое свойство Р , позволяющее определить принадлежность элемента множеству. Этот способ является более универсальным.

Х={х: Р(х)}

(множество Х состоит их таких элементов х , для которых выполняется свойство Р (х) ).

Пустое множество можно задать, указав его свойства: Ø={х: х≠х}

Построить новые множества можно с помощью уже заданных, используя операции над множествами.

Операции над множествами

1. Объединением(суммой) называется множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В .

А∪ В={х: х А или х В}.

2. Пересечением(произведением) называется множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых одновременно принадлежит как множеству А , так и множеству В .

А∩В={х: х А и х В}.

3. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В .

А\В={х: х А и х В}

4. Если А – подмножество множества В . То множество В\А называют дополнением множества А до множества В и обозначают А’ .

5. Симметрической разностью двух множеств называют множество А∆В=(А\В) (В\А)

N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
Z 0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

Свойства операций над множествами:

1. А В=В А (коммутативность объединения)

2. А В=В А (коммутативность пересечения)

3. А(В С)=(А В) С (ассоциативность объединения)

4. А (В С)=(А В) С (ассоциативность пересечения)

5. А (В С)=(А В) (А С) (1 закон дистрибутивности)

6. А (В С)=(А В) (А С) (2 закон дистрибутивности)

7. А Ø=А

8. А U= U

9. А Ø= Ø

10. А U=А

11. (А В)’=А’ В’ (закон де Моргана)

12. (А В)’=А’ В’ (закон де Моргана)

13. А (А В)=А (закон поглощения)

14. А (А В)=А (закон поглощения)

Докажем свойство №11. (А В)’=А’ В’

По определению равных множеств, нам необходимо доказать два включения 1) (А В)’ ⊂А’ В’ ;

2) А’ В’⊂(А В)’ .

Для доказательства первого включения, рассмотрим произвольный элемент х∈(А В)’=Х\(А∪В). Это означает, что х∈Х, х∉ А∪В . Отсюда следует, что х∉А и х∉В , поэтому х∈Х\А и х∈Х\В , а значит х∈А’∩В’ . Таким образом, (А В)’⊂А’ В’

Обратно, если х∈А’ В’ , то х одновременно принадлежит множествам А’, В’ , а значит х∉А и х∉В . Из этого следует, что х∉ А В , поэтому х∈(А В)’ . Следовательно, А’ В’⊂(А В)’ .

Итак, (А В)’=А’ В’

Множество, состоящее из двух элементов, в котором определен порядок следования элементов, называется упорядоченной парой. Для ее записи используют круглые скобки. (х 1 , х 2) – двухэлементное множество, в котором х 1 считается первым элементом, а х 2 – вторым. Пары (х 1 , х 2) и (х 2 , х 1), где х 1 ≠ х 2 , считаются различными.

Множество, состоящее из n элементов, в котором определен порядок следования элементов, называется упорядоченным набором из n элементов.

Декартово произведение – произвольное множество X 1 , X 2 ,…,X n упорядоченных наборов из n элементов, где x 1 X 1 , x 2 X 2 ,…, x n X n

Х 1 Х n

Если множества X 1 , X 2 ,…,X n совпадают(X 1 = X 2 =…=X n) , то их произведение обозначается Х n .

Например, ℝ 2 – множество упорядоченных пар вещественных чисел.

Отношения эквивалентности. Фактор-множества

По данному множеству можно строить новые множества, рассматривая множество некоторых подмножеств. При этом обычно говорят не о множестве подмножеств, а о семействе или классе подмножеств.

В ряде вопросов рассматривают класс таких подмножеств данного множества А , которые не пересекаются и объединение которых совпадает с А . Если данное множество А можно представить в виде объединения своих попарно не пересекающихся подмножеств, то принято говорить, что А разбито на классы. Разбиение на классы осуществляют на основе какого-либо признака.

Пусть Х – не пустое множество, тогда любое подмножество R из произведения Х Х называется бинарным отношением на множестве Х . Если пара (х,у) входит в R, говорят, что элемент х находится в отношении R с у .

Например, отношения х=у, х≥у являются бинарным отношениями на множестве ℝ.

Бинарное отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если:

1. (х,х) R; х Х (свойство рефлексивности)

2. (х,у) R => (у,х) R (свойство симметричности)

3. (х,у) R, (у,z) R, то (x,z) R (свойство транзитивности)

Если пара (х,у) вошла в отношения эквивалентности, то х и у называют эквивалентными(х~у).

1.Пусть ℤ – множество целых чисел, m≥1 – целое число. Зададим отношение эквивалентности R на ℤ так, чтобы n~k , если n-k делится на m . Проверим, выполняются ли свойства на данном отношении.

1. Рефлексивность.

Для любого n∈ℤ ℤ такого, что (p,p)∈R

р-р=0 . Так как 0∈ ℤ , то (p,p)∈ℤ .

2. Симметричность.

Из (n,k) ∈R следует, что существует такое р∈ ℤ , что n-k=mp ;

k-n =m(-p), -p∈ ℤ , следовательно (k,n) ∈R .

3. Транзитивность.

Из того, что (n,k) ∈R , (k,q) ∈R следует, что существуют такие р 1 и р 2 ∈ ℤ , что n-k=mp 1 и k-q=mp 2 . Сложив данные выражения, получаем, что n-q=m(p 1 + p 2), p 1 + p 2 =p, p∈ ℤ . Поэтому (n,q) ∈ ℤ .

2.Рассмотрим множество Х всех направленных отрезков пространства или плоскости. =(А, В) . Введем отношение эквивалентности R на Х .

Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1.4. Функция f имеет обратную функцию f -1 тогда и только тогда, когда f биективна.

Теорема 1.5. Композиция биективных функций является функцией биективной.

Рис. 1.12 показывают различные отношения, все они, кроме первой, являются функциями.

отношение, но

инъекция, но

сюръекция, но

не функция

не сюръекция

не инъекция

Пусть f : А→ В – функция, а множества А и В - конечные множества, положим А = n , B = m . Принцип Дирихле гласит, что если n > m , то, по крайней мере, одно значение f встречается более одного раза. Иными словами, найдется пара элементов a i ≠ a j , a i , a j A, для которых f(a i )= f(a j ).

Принцип Дирихле легко доказать, поэтому оставляем его читателю в качестве тривиального упражнения. Рассмотрим пример. Пусть в группе более 12 студентов. Тогда, очевидно, что, по крайней мере, у двоих из них день рождения в одном и том же месяце.

§ 7. Отношение эквивалентности. Фактор- множество

Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если R рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение равенства на множестве чисел обладает указанными свойствами, поэтому является отношением эквивалентности.

Отношение подобия треугольников, очевидно, является отношением эквивалентности.

Отношение нестрогого неравенства (≤ ) на множестве действительных чисел не будет отношением эквивалентности, ибо не является симметричным: из 3≤ 5 не следует, что 5≤ 3.

Классом эквивалентности (классом смежности) , порожденным элементом а при данном отношении эквивалентности R, называется подмножество тех х А, которые находятся в отношении R с а. Указанный класс эквивалентности обозначается через [ а] R , следовательно, имеем:

[ а] R = {х A: а, х R }.

Рассмотрим пример. На множестве треугольников введено отношение подобия. Ясно, что все равносторонние треугольники попадают в один смежный класс, ибо каждый из них подобен, например, треугольнику, все стороны которого имеют единичную длину.

Теорема 1.6. Пусть R - отношение эквивалентности на множестве А и [ а] R смежный класс, т.е. [ а] R = {х A: а, х R }, тогда:

1) для любого а А : [ а] R ≠ , в частности, а [ а] R ;

2) различные смежные классы не пересекаются;

3) объединение всех смежных классов совпадает со всем множеством А;

4) совокупность различных смежных классов образуют разбиение множества А.

Доказательство. 1) В силу рефлексивности R получим, что для любого а, а А, имеем a,a R , следовательно а [ а] R и [ а] R ≠ ;

2) допустим, что [ а] R ∩ [b] R ≠ , т.е. существует элемент с из А и с [ а] R ∩ [b] R . Тогда из (cRa)&(cRb) в силу симметричности R получаем, что (аR с)&(cRb), а из транзитивности R имеем аRb.

Для любого х [ а] R имеем: (хRa)&(аRb) , тогда в силу транзитивности R получим хRb, т.е. х [b] R , поэтому [ а] R [b] R . Аналогично для любого у, у [b] R , имеем: (уRb)&(аRb) , а в силу симметричности R получим, что (уRb)&(bR а), затем, в силу транзитивности R, получим, что уR а, т.е. у [ а] R и

поэтому [b] R [ а] R . Из [ а] R [b] R и [b] R [ а] R получаем [ а] R = [b] R , т. е. если смежные классы пересекаются, то они совпадают;

3) для любого а, а А, как доказано, имеем а [ а] R , тогда, очевидно, что объединение всех смежных классов совпадет с множеством А.

Утверждение 4) теоремы 1.6 следует из 1)-3). Теорема доказана. Можно доказать следующую теорему.

Теорема 1.7 . Различные отношения эквивалентности на множестве А порождают различные разбиения А.

Теорема 1.8 . Каждое разбиение множества А порождает отношение эквивалентности на множестве A , причем различные разбиения порождают различные отношения эквивалентности.

Доказательство. Пусть дано разбиение В= {B i } множества A . Определим отношение R : а,b R тогда и только тогда, когда существует B i такое, что а и b оба принадлежат этому B i . Очевидно, что введенное отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным, следовательно, R – отношение эквивалентности. Можно показать, что если разбиения различны, то и отношения эквивалентности, ими порождаемые, тоже различны.

Совокупность всех классов смежности множества А по данному отношению эквивалентности R называется фактор- множеством и обозначается через А/R . Элементами фактор-множества являются классы смежности. Класс смежности [ а] R , как известно, состоит из элементов А, которые находятся между собой в отношении R .

Рассмотрим пример отношения эквивалентности на множестве целых чисел Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

Два целых числа а и b называют сравнимыми (конгруэнтными) по модулю m , если m делитель числа a-b , т. е. если имеем:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

В этом случае записывают a≡ b(mod m) .

Теорема 1.9. Для любых чисел a , b , c и m>0 имеем:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) если a ≡ b(mod m), то b ≡ a(mod m);

3) если a ≡ b(mod m) и b ≡ c(mod m), то a ≡ c(mod m).

Доказательство. Утверждения 1) и 2) очевидны. Докажем 3). Пусть a=b+k 1 m , b=c+k 2 m , тогда a=c+(k 1 +k 2 )m , т.е. a ≡ c(mod m) . Теорема доказана.

Таким образом, отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности и делит множество целых чисел на непересекающиеся классы чисел.

Построим бесконечно раскручивающуюся спираль, которая на рис. 1.13 изображена сплошной линией, и бесконечно скручивающуюся спираль, изображенную штриховой линией. Пусть задано целое неотрицательное число m . Все целые числа (элементы из множества Z ) расположим в точках пересечения этих спиралей с m лучами, как показано на рис. 1.13.

Для отношения сравнимости по модулю m (в частности и для m =8) класс эквивалентности – это числа, лежащие на луче. Очевидно, что каждое число попадает в один и только один класс. Можно получить, что для m= 8 имеем:


[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};

[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

Фактор-множество множества Z по отношению сравнения по модулю m обозначается как Z/m или как Z m . Для рассматриваемого случая m =8

получим, что Z/8 = Z8 = { , , , …, } .

Теорема 1.10. Для любых целых a, b, a * , b * , k и m :

1) если a ≡ b(mod m), то ka ≡ kb(mod m);

2) если a ≡ b(mod m) и a* ≡ b* (mod m), то:

а) a+а * ≡ b+b* (mod m); б) аа * ≡ bb* (mod m).

Доказательство приведем для случая 2б). Пусть a ≡ b(mod m) и a * ≡ b * (mod m) , тогда a=b+sm и a * =b * +tm для некоторых целых s и t . Перемножив,

получим: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Следовательно,

aa* ≡ bb* (mod m).

Таким образом, сравнения по модулю можно почленно складывать и умножать, т.е. оперировать точно также как и с равенствами. Например,

Фактор множества

Множества.

Отношением частичного порядка на множестве x называется бинарное отношение, которое является антисимметричным, рефлексивным и транзитивным и обозначается в
виде пары:

Бинарное отношение называется толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично.

Бинарное отношение называется квазипорядком, если оно иррефлексивно, антисимметрично и транзитивно (предпорядок).

Бинарное отношение называется строгим порядком, если оно рефлексивно и транзитивно.

Энарной алгебраической операцией на множестве М называется функция

– унарная операция;

– бинарная операция;

– триарная операция.

Бинарная алгебраическая операция –

– операция, ставящая в соответствие каждой упорядоченной паре из множества М некоторые элемент множества М.

Свойства:

1) Коммутативность:

2) Ассоциативность:

Нейтральный элемент

Множества М для бинарной алгебраической операции

Называется элемент:

Фактор множества – совокупность классов эквивалентности этого множества . Отношением частичного порядка на множестве x называется бинарное отношение...

Следующий вопрос ». Фактор множества . Фактор множества – совокупност. Мультипликативные и аддитивные формы.

Фактор множества – совокупност.
Множество – совокупность определённых и различных между собой объектов мыслимых как единое целое.

Мультипликативная функция ― а... подробнее ». Фактор множества . Фактор множества – совокупность классов эквивалентности этого множества .

В реальной действительности процесс производства протекает сложнее, а его продукт результат использования множества факторов .

Качество управленческих решений зависит от множества факторов , наиболее значимыми из которых можно н.

Оптимизация решений по привлечению капитала – это процесс исследования множества факторов , воздействующих на ожидаемые результаты...

Источник задания: Задание 10_20. ЕГЭ 2018 Обществознание. Решение

Задание 20. Прочитайте приведённый ниже текст, в котором пропущен ряд слов (словосочетаний). Выберите из предлагаемого списка слова (словосочетания), которые необходимо вставить на место пропусков.

«Качество жизни зависит от множества факторов, начиная от места проживания человека и заканчивая общей социально-экономической и (А) ситуацией, а также состоянием политических дел в стране. На качество жизни в той или иной степени могут влиять демографическая ситуация, жилищно-бытовые и производственные условия, объём и качество _____(Б) и т. д. В зависимости от степени удовлетворения потребностей в экономике принято выделять разные уровни жизни населения: достаток - пользование (В), обеспечивающими всестороннее развитие человека; нормальный уровень _____(Г) по научно обоснованным нормам, обеспечивающий человеку восстановление его физических и интеллектуальных сил; бедность - потребление благ на уровне сохранения работоспособности как низшей границы воспроизводства _____(Д); нищета - потребление минимально допустимого по биологическим критериям набора благ и услуг, которые позволяют лишь поддерживать жизнеспособность человека.

Население, адаптируясь к рыночным условиям, использует различные дополнительные источники получения доходов, включая поступления из личных подсобных хозяйств, прибыль от _____(Е)».

Слова (словосочетания) в списке даны в именительном падеже. Каждое слово (словосочетание) может быть использовано только один раз.

Выбирайте последовательно одно слово (словосочетание) за другим, мысленно заполняя каждый пропуск. Обратите внимание на то, что слов (словосочетаний) в списке больше, чем Вам потребуется для заполнения пропусков.

Список терминов:

1) капитал

2) экологическая

3) рациональное потребление

4) потребительские товары

5) средства производства

7) рабочая сила

8) предпринимательская деятельность

9) социальная мобильность

Решение.

Вставим термины в текст.

«Качество жизни зависит от множества факторов, начиная от места проживания человека и заканчивая общей социально-экономической и экологической (2) (А) ситуацией, а также состоянием политических дел в стране. На качество жизни в той или иной степени могут влиять демографическая ситуация, жилищно-бытовые и производственные условия, объём и качество потребительских товаров (4) (Б) и т. д. В зависимости от степени удовлетворения потребностей в экономике принято выделять разные уровни жизни населения: достаток - пользование благами (6) (В), обеспечивающими всестороннее развитие человека; нормальный уровень рационального потребления (3) (Г) по научно обоснованным нормам, обеспечивающий человеку восстановление его физических и интеллектуальных сил; бедность - потребление благ на уровне сохранения работоспособности как низшей границы воспроизводства рабочей силы (7) (Д); нищета - потребление минимально допустимого по биологическим критериям набора благ и услуг, которые позволяют лишь поддерживать жизнеспособность человека.