***
Что общего между колесом от Лады Приоры, обручальным кольцом и блюдцем вашего кота? Вы, конечно, скажете красота и стиль, но я осмелюсь с вами поспорить. Число Пи! Это число, объединяющее все окружности, круги и округлости, к коим в частности можно отнести и мамино кольцо, и колесо от любимой папиной машины и даже блюдце любимого кота Мурзика. Готов поспорить, что в рейтинге самых популярных физических и математических констант число Пи несомненно займет первую строчку. Но что скрывается за ним? Может какие-то страшные ругательства математиков? Давайте попробуем разобраться в этом вопросе.
Что же такое число «Пи» и откуда оно взялось?
Современное обозначение числа π (Пи) появилось благодаря английскому математику Джонсону в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια (периферия, или окружность) . Для тех, кто проходил математику давно, да и к тому же мимо, напомним, что число Пи — это отношение длины окружности к её диаметру. Величина является константой, то есть постоянна для любой окружности, независимо от её радиуса. Люди знали об этом еще в древности. Так в древнем Египте число Пи принимали равным отношению 256 / 81 , а в ведических текстах приводится значение 339 / 108 , Архимед же предлагал соотношение 22 / 7 . Но ни эти, ни многие другие способы выражения числа Пи не давали точный результат.
Оказалось, что число Пи трансцендентное, соответственно, и иррациональное. А это значит, его нельзя представить в виде простой дроби. Если же его выразить через десятичную, то последовательность цифр после запятой устремятся в бесконечность, к тому же периодически не повторяясь. Что все это значит? Очень просто. Хотите узнать номер телефона понравившейся девушки? Его наверняка можно найти в последовательности цифр после запятой числа Пи.
Телефон можно посмотреть здесь ↓
Число Пи с точностью до 10000 знаков.
π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..
Не нашли? Тогда посмотрите .
Вообще это может быть не только номер телефона, а любая информация, закодированная с помощью цифр. К примеру, если представить все произведения Александра Сергеевича Пушкина в цифровом виде, то они хранились в числе Пи еще до того, как он их написал, даже до того, как он родился. В принципе, они хранятся там до сих пор. Кстати, ругательства математиков в π тоже присутствуют, да и не только математиков. Словом, в числе Пи есть всё, даже мысли, которые посетят вашу светлую голову завтра, послезавтра, через год, а может, через два. В это очень трудно поверить, но даже если мы представим, что поверили, еще труднее будет получить оттуда информацию и расшифровать её. Так что вместо того, чтобы копаться в этих цифрах, может проще подойти к понравившейся девушке и спросить у неё номер?.. Но для тех, кто не ищет легких путей, ну или просто интересующихся, чему же равно число Пи, предлагаю несколько способов его вычисления. Считайте на здоровье.
Чему равно число Пи? Методы его вычисления:
1. Экспериментальный метод. Если число Пи это отношение длины окружности к её диаметру, то первый, пожалуй, самый очевидный способ нахождения нашей загадочной константы будет вручную произвести все измерения и вычислить число Пи по формуле π=l/d. Где l - длина окружности, а d — её диаметр. Все очень просто, необходимо лишь вооружится ниткой для определения длины окружности, линейкой для нахождения диаметра, и, собственно, длины самой нитки, ну и калькулятором, если у вас проблемы с делением в столбик. В роли измеряемого образца может выступить кастрюля или банка из под огурцов, неважно, главное? чтоб в основании была окружность.
Рассмотренный способ вычисления самый простой, но, к сожалению, имеет два существенных недостатка, отражающихся на точности полученного числа Пи. Во-первых, погрешность измерительных приборов (в нашем случае это линейка с ниткой), а во-вторых, нет никакой гарантии, что измеряемая нами окружность будет иметь правильную форму. Поэтому не удивительно, что математика подарила нам множество других методов вычисления π, где нет нужды производить точные измерения.
2. Ряд Лейбница.
Существует несколько бесконечных рядов, позволяющих точно вычислять число Пи до большого количества знаков после запятой. Одним из самых простых рядов является ряд Лейбница. π = (4/1) — (4/3) + (4/5) — (4/7) + (4/9) — (4/11) + (4/13) — (4/15) …
Все просто: берем дроби с 4 в числителе (это то что сверху) и одним числом из последовательности нечетных чисел в знаменателе (это то что снизу), последовательно складываем и вычитаем их друг с другом и получаем число Пи. Чем больше итераций или повторений наших нехитрых действий, тем точнее результат. Просто, но не эффективно, к слову, необходимо 500000 итераций чтоб получить точное значение числа Пи с десятью знаками после запятой. То есть, нам придется несчастную четверку разделить аж 500000 раз, а помимо этого полученные результаты мы должны будем 500000 раз вычитать и складывать. Хотите попробовать?
3. Ряд Нилаканта. Нет времени возится с рядом Лейбница? Есть альтернатива. Ряд Нилаканта, хотя он немного сложнее, но позволяет быстрее получить нам искомый результат. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) — (4/(12*13*14) … Думаю, если внимательно посмотреть на приведенный начальный фрагмент ряда, все становится ясным, и комментарии излишни. По этому идем дальше.
4. Метод «Монте-Карло» Довольно интересным методом вычисления числа Пи является метод Монте Карло. Столь экстравагантное название ему досталось в честь одноименного города в королевстве Монако. И причина тому случайность. Нет, его не назвали случайно, просто в основе метода лежат случайные числа, а что может быть случайней чисел, выпадающих на рулетках казино Монте Карло? Вычисление числа Пи не единственное применение этого метода, так в пятидесятых годах его использовали при расчетах водородной бомбы. Но не будем отвлекаться.
Возьмем квадрат со стороной, равной 2r , и впишем в него круг радиусом r . Теперь если наугад ставить точки в квадрате, То вероятность P того, что точка угодит в круг, есть отношение площадей круга и квадрата. P=S кр /S кв =2πr 2 /(2r) 2 =π/4 .
Теперь отсюда выразим число Пи π=4P . Остается только получить экспериментальные данные и найти вероятность Р как отношение попаданий в круг N кр к попаданиям в квадрат N кв . В общем виде расчетная формула будет выглядеть следующим образом: π=4N кр / N кв.
Хочется отметить, что для того, чтобы реализовать этот метод, в казино идти необязательно, достаточно воспользоваться любым более или менее приличным языком программирования. Ну а точность полученных результатов будет зависеть от количества поставленных точек, соответственно, чем больше, тем точнее. Желаю удачи 😉
Число Тау
( Вместо заключения).
Люди, далекие от математики, скорее всего не знают, но так сложилось, что число Пи имеет брата, который больше его в два раза. Это число Тау(τ) , и, если Пи — это отношение длины окружности к диаметру, то Тау — это отношение этой длины к радиусу. И на сегодняшний день есть предложения некоторых математиков отказаться от числа Пи и заменить его на Тау, так как это во многом более удобно. Но пока это только предложения, и как говорил Лев Давидович Ландау: «Новая теория начинает господствовать тогда, когда вымрут сторонники старой».
Чему равно число Пи мы знаем и помним со школы. Оно равно 3.1415926 и так далее… Обычному человеку достаточно знать, что это число получается, если разделить длину окружности на ее диаметр. Но многим известно, что число Пи возникает в неожиданных областях не только математики и геометрии, но и в физике. Ну а если вникнуть в подробности природы этого числа, то можно заметить много удивительного среди бесконечного ряда цифр. Возможно ли, что Пи скрывает самые сокровенные тайны Вселенной?
Бесконечное число
Само число Пи возникает в нашем мире как длина окружности, диаметр которой равен единице. Но, несмотря на то, что отрезок равный Пи вполне себе конечен, число Пи начинается, как 3.1415926 и уходит в бесконечность рядами цифр, которые никогда не повторяются. Первый удивительный факт состоит в том, что это число, используемое в геометрии, нельзя выразить в виде дроби из целых чисел. Иначе говоря, вы не сможете его записать отношением двух чисел a/b. Кроме этого число Пи трансцендентное. Это означает, что нет такого уравнения (многочлена) с целыми коэффициентами, решением которого было бы число Пи.
То, что число Пи трансцендентно, доказал в 1882 году немецкий математик фон Линдеман. Именно это доказательство стало ответом на вопрос, можно ли с помощью циркуля и линейки нарисовать квадрат, у которого площадь равна площади заданного круга. Эта задача известна как поиск квадратуры круга, волновавший человечество с древнейших времен. Казалось, что эта задача имеет простое решение и вот-вот будет раскрыта. Но именно непостижимое свойство числа Пи показало, что у задачи квадратуры круга решения не существует.
В течение как минимум четырех с половиной тысячелетий человечество пыталось получить все более точное значение числа Пи. Например, В Библии в Третьей Книги Царств (7:23) число Пи принимается равным 3.
Замечательное по точности значение Пи можно обнаружить в пирамидах Гизы: соотношение периметра и высоты пирамид составляет 22/7. Эта дробь дает приближенное значение Пи, равное 3.142… Если, конечно, египтяне не задали такое соотношение случайно. Это же значение уже применительно к расчету числа Пи получил в III веке до нашей эры великий Архимед.
В папирусе Ахмеса, древнеегипетском учебнике по математике, который датируется 1650 годом до нашей эры, число Пи рассчитано как 3.160493827.
В древнеиндийских текстах примерно IX века до нашей эры наиболее точное значение было выражено числом 339/108, которое равнялось 3,1388…
После Архимеда почти две тысячи лет люди пытались найти способы рассчитать число Пи. Среди них были как известные, так и неизвестные математики. Например, римский архитектор Марк Витрувий Поллион, египетский астроном Клавдий Птолемей, китайский математик Лю Хуэй, индийский мудрец Ариабхата, средневековый математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, арабский ученый Аль-Хорезми, от чьего имени появилось слово «алгоритм». Все они и множество других людей искали наиболее точные методики расчета Пи, но вплоть до 15 века никогда не получали больше чем 10 цифр после запятой в связи со сложностью расчетов.
Наконец, в 1400 году индийский математик Мадхава из Сангамаграма рассчитал Пи с точностью до 13 знаков (хотя в двух последних все-таки ошибся).
Количество знаков
В 17 веке Лейбниц и Ньютон открыли анализ бесконечно малых величин, который позволил вычислять Пи более прогрессивно – через степенные ряды и интегралы. Сам Ньютон вычислил 16 знаков после запятой, но не упомянул это в своих книгах – об этом стало известно после его смерти. Ньютон утверждал, что занимался расчетом Пи исключительно от скуки.
Примерно в то же время подтянулись и другие менее известные математики, предложившие новые формулы расчета числа Пи через тригонометрические функции.
Например, вот по какой формуле рассчитывал Пи преподаватель астрономии Джон Мэчин в 1706 году: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). С помощью методов анализа Мэчин вывел из этой формулы число Пи с сотней знаков после запятой.
Кстати, в том же 1706 году число Пи получило официальное обозначение в виде греческой буквы: его в своем труде по математике использовал Уильям Джонс, взяв первую букву греческого слова «периферия», что означает «окружность». Родившийся в 1707 великий Леонард Эйлер популяризовал это обозначение, нынче известное любому школьнику.
До эры компьютеров математики занимались тем, чтобы рассчитать как можно больше знаков. В связи с этим порой возникали курьезы. Математик-любитель У. Шенкс в 1875 году рассчитал 707 знаков числа Пи. Эти семь сотен знаков увековечили на стене Дворца Открытий в Париже в 1937 году. Однако спустя девять лет наблюдательными математиками было обнаружено, что правильно вычислены лишь первые 527 знаков. Музею пришлось понести приличные расходы, чтобы исправить ошибку – сейчас все цифры верные.
Когда появились компьютеры, количество цифр числа Пи стало исчисляться совершенно невообразимыми порядками.
Один из первых электронных компьютеров ENIAC, созданный в 1946 году, имевший огромные размеры, и выделявший столько тепла, что помещение прогревалось до 50 градусов по Цельсию, вычислил первые 2037 знаков числа Пи. Этот расчет занял у машины 70 часов.
По мере совершенствования компьютеров наше знание числа Пи все дальше и дальше уходило в бесконечность. В 1958 году было рассчитано 10 тысяч знаков числа. В 1987 году японцы высчитали 10 013 395 знаков. В 2011 японский исследователь Сигеру Хондо превысил рубеж в 10 триллионов знаков.
Где еще можно встретить Пи?
Итак, зачастую наши знания о числе Пи остаются на школьном уровне, и мы точно знаем, что это число незаменимо в первую очередь в геометрии.
Помимо формул длины и площади окружности число Пи используется в формулах эллипсов, сфер, конусов, цилиндров, эллипсоидов и так далее: где-то формулы простые и легко запоминающиеся, а где-то содержат очень сложные интегралы.
Затем мы можем встретить число Пи в математических формулах, там, где, на первый взгляд геометрии и не видно. Например, неопределенный интеграл от 1/(1-x^2) равен Пи.
Пи часто используется в анализе рядов. Для примера приведем простой ряд, который сходится к числу Пи:
1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 — …. = PI/4
Среди рядов число Пи наиболее неожиданно появляется в известной дзета-функции Римана. Рассказать про нее в двух словах не получится, скажем лишь, что когда-нибудь число Пи поможет найти формулу расчета простых чисел.
И совершенно удивительно: Пи появляется в двух самых красивых «королевских» формулах математики – формуле Стирлинга (которая помогает найти приблизительное значение факториала и гамма-функции) и формуле Эйлера (которая связывает аж целых пять математических констант).
Однако самое неожиданное открытие ожидало математиков в теории вероятности. Там тоже присутствует число Пи.
Например, вероятность того, что два числа окажутся взаимно простыми, равна 6/PI^2.
Пи появляется в задаче Бюффона о бросании иглы, сформулированной в 18 веке: какова вероятность того, что брошенная на расчерченный лист бумаги игла пересечет одну из линий. Если длина иглы L, а расстояние между линиями L, и r > L то мы можем приблизительно рассчитать значение числа Пи по формуле вероятности 2L/rPI. Только представьте – мы можем получить Пи из случайных событий. И между прочим Пи присутствует в нормальном распределении вероятностей, появляется в уравнении знаменитой кривой Гаусса. Значит ли это, что число Пи еще более фундаментально, чем просто отношение длины окружности к диаметру?
Мы можем встретить Пи и в физике. Пи появляется в законе Кулона, который описывает силу взаимодействия между двумя зарядами, в третьем законе Кеплера, который показывает период обращения планеты вокруг Солнца, встречается даже в расположении электронных орбиталей атома водорода. И что опять же самое невероятное – число Пи прячется в формуле принципа неопределенности Гейзенберга – фундаментального закона квантовой физики.
Тайны числа Пи
В романе Карла Сагана «Контакт», по которому снят одноименный фильм, инопланетяне сообщают героине, что среди знаков Пи содержится тайное послание от Бога. С некоторой позиции цифры в числе перестают быть случайными и представляют себе код, в котором записаны все секреты Мироздания.
Этот роман на самом деле отразил загадку, занимающую умы математиков всей планеты: является ли число Пи нормальным числом, в котором цифры разбросаны с одинаковой частотой, или с этим числом что-то не так. И хотя ученые склоняются к первому варианту (но не могут доказать), число Пи выглядит очень загадочно. Один японец как то подсчитал, сколько раз встречаются числа от 0 до 9 в первом триллионе знаков Пи. И увидел, что числа 2, 4 и 8 встречаются чаще, чем остальные. Это может быть одним из намеков на то, что Пи не совсем нормальное, и цифры в нем действительно не случайны.
Вспомним всё, что мы прочли выше, и спросим себя, какое еще иррациональное и трансцендентное число так часто встречается в реальном мире?
А в запасе имеются еще странности. Например, сумма первых двадцати цифр Пи равна 20, а сумма первых 144 цифр равна «числу зверя» 666.
Главный герой американского сериала «Подозреваемый» профессор Финч рассказывал студентам, что в силу бесконечности числа Пи в нем могут встретиться любые комбинации цифр, начиная от цифр даты вашего рождения до более сложных чисел. Например, на 762-ой позиции находится последовательность из шести девяток. Эта позиция называется точкой Фейнмана в честь известного физика, который заметил это интересное сочетание.
Нам известно также, что число Пи содержит последовательность 0123456789, но находится она на 17 387 594 880-й цифре.
Все это означает, что в бесконечности числа Пи можно обнаружить не только интересные сочетания цифр, но и закодированный текст «Войны и Мира», Библии и даже Главную Тайну Мироздания, если таковая существует.
Кстати, о Библии. Известный популяризатор математики Мартин Гарднер в 1966 году заявил, что миллионным знаком числа Пи (на тот момент еще неизвестным) будет число 5. Свои расчеты он объяснил тем, что в англоязычной версии Библии, в 3-й книге, 14-й главе, 16-м стихе (3-14-16) седьмое слово содержит пять букв. Миллионную цифру получили спустя восемь лет. Это было число пять.
Стоит ли после этого утверждать, что число Пи случайно?
Отношение длины окружности к ее диаметру одно и
то же для всех окружностей. Это отношение принято
обозначать греческой буквой (“пи” - начальная буква
греческого слова 
, которое и означало
“окружность”).
Архимед в сочинении “Измерение круга” вычислил отношение длины окружности к диаметру (число ) и нашел, что оно заключено между 3 10/71 и 3 1/7.
Долгое время в качестве приближенного значения использовали число 22/7, хотя уже в V веке в Китае было найдено приближение 355/113 = 3,1415929..., которое было открыто вновь в Европе лишь в XVI веке.
В Древней Индии считали равным = 3,1622….
Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. с 9 знаками.
Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда – число , вычисленное с 32 знаками.
Но все эти уточнения значения числа производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника – больше. Но при этом оставалась неясным, является ли число рациональным, т. е. отношением двух целых чисел, или иррациональным.
Лишь в 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число иррационально.
А еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик – Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.
Простейшее измерение
Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см) , вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину l (=46,5 см) одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа , т. е. = l / d = 46,5 см / 15 см = 3,1 . Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1.
Измерение с помощью взвешивания
На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата m кв (=10 г) и вписанного в него круга m кр (=7,8 г) воспользуемся формулами
где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства:
Естественно, что в данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа с точностью до 0,1.
Суммирование площадей прямоугольников, вписанных в полукруг
Рисунок 1
Пусть А (a; 0), В (b; 0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на n равных частей точками x 1 , x 2 , ..., x n-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра – это значение функции f(x)= . Из рисунка 1 ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле
S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.
В нашем случае b=1, a=-1 . Тогда = 2 S .
Значения будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ. Облегчить однообразную вычислительную работу поможет компьютер, для которого ниже приводится программа 1, составленная на Бейсике.
Программа 1REM "Вычисление пи"
REM "Метод прямоугольников"
INPUT "Введите число прямоугольников", n
dx = 1 / n
FOR i = 0 TO n - 1
f = SQR(1 - x ^ 2)
x = x + dx
a = a + f
NEXT i
p = 4 * dx * a
PRINT "Значение пи равно ", p
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n . Полученные значения числа записаны в таблице:
Метод Монте-Карло
Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.
Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N кр – число капель в круге, N кв – число капель в квадрате, тогда
4 N кр / N кв.
Рисунок 2
Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу . Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265 . Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32, у=0,65 . Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х; у) выполняется неравенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х + у = 1 , то точка лежит внутри круга.
Для подсчета значения снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, а N –число испытаний. В нашем случае N = N кв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.
Программа 2REM "Вычисление пи"
REM "Метод Монте-Карло "
INPUT "Введите число капель ", n
m = 0
FOR i = 1 TO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t \ 100)
y = t - x * 100
IF x ^ 2 + y ^ 2 < 10000 THEN m = m + 1
NEXT i
p = 4 * m / n
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа записаны в таблице:
| n | ||||||
| n | ||||||
Метод “падающей иголки”
Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а - расстояние между прямыми, l – длина иглы.
Рисунок 3
Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы (см. рис. 3) определяется расстоянием Х от ее середины до ближайшей прямой и углом j , которой игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую (см. рис. 4). Ясно, что
Рисунок 4
На рис. 5 изобразим графически функцию y=0,5 cos . Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с координатами (; у ) , расположенными на участке ABCD. Закрашенный участок AED – это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямой. Вероятность события a – “игла пересекла прямую” – вычисляется по формуле:
Рисунок 5
Вероятность p(a) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж c раз и p раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом c имеем p(a) = p / c . Отсюда = 2 l с / a k.
Замечание. Изложенный метод представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простой опыт с составлением довольно сложной математической модели.
Вычисление с помощью ряда Тейлора
Обратимся к рассмотрению произвольной функции f(х). Предположим, что для нее в точке x 0 существуют производные всех порядков до n -го включительно. Тогда для функции f(х) можно записать ряд Тейлора:
Вычисления с помощью этого ряда будут тем точнее, чем больше членов ряда будет задействовано. Реализовать данный способ, конечно, лучше всего на компьютере, для чего можно воспользоваться программой 3.
Программа 3REM "Вычисление пи"
REM "Разложение в ряд Тейлора "
INPUT n
a = 1
FOR i = 1 TO n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1) ^ i * d
a = a + f
NEXT i
p = 4 * a
PRINT "значение пи равно"; p
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n . Полученные значения числа записаны в таблице:
Есть очень простые мнемонические правила для запоминания значения числа : |
Пи («π») представляет из себя математическую константу, полученную довольно интересным путем. Допустим, что диаметр окружность равен 1 условной единице. Тогда число π - это длина данной окружности, которая приблизительно равна 3,14 условных единиц. Говоря другими словами, число «пи» выражает соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Это соотношение будет всегда .
Пи обладает рядом свойств.
Во-первых, число π иррационально, это означает, что его нельзя представить в виде правильной дроби. Значение 3,14 является достаточно приблизительным, доподлинно не известно, же знаков после запятой у этой константы.
Во-вторых, число π - трансцендентное. Это означает, что оно никогда не может быть степенью -либо корня из другого числа. Говоря иначе, число π не является алгебраическим. Более того, если какое-либо число возвести в степень π, то опять же получится трансцендентное число.
Стоит отметить, что древние математики Египта, Греции, Рима, Сирии и Ирана уже знали, что соотношение между диаметром окружности и ее длиной является постоянной величиной. К примеру, в Вавилоне это соотношение оценивалось как 25/8, а в Египте как 256/81. Но наибольших успехов в вычислении значения числа π добился Архимед, который путем многократного описывания и вписывания в нее правильных добился довольно точных результатов. Периметр Архимед принял за минимальное значение числа π, а - за максимальное. Таким образом, Архимед вывел значение константы π, равное 3.142857142857143.
Забавно отметить, что существует «День числа π», который празднуется 14 . Это происходит потому, что если записать числами день и дату , то получится 3.14 - приблизительное значение данной константы. По другой версии, этот праздник надо отмечать 22 июля, так как 22/7 тоже является одним из первых соотношений, приблизительно равным 3.14
Число пи является математической константой, которая представляет собой отношение длины окружности к длине ее диаметра. Это число в математике принято обозначать греческой буквой π.
До сих пор не известно окончательное значение числа пи. В процессе его вычисления было открыто множество научных методов счета. Сейчас ученым известно более 500 миллиардов знаков после запятой, отделяющей десятичную дробь от целого числа. В десятичной части константы пи отсутствуют повторения, как в простой периодической дроби, и число знаков после запятой, скорее всего, бесконечно. Бесконечность этой константы и отсутствие периодически повторяющихся цифр после запятой не позволяют окружности сомкнуться, если, действуя в обратном порядке, умножить число пи на диаметр окружности.
Математики называют число пи записанным цифрами хаосом. В десятичной дроби этой константы можно найти любую задуманную последовательность цифр: любой телефонный номер, пин-код кредитной карты или историческую дату. Более того, если все книги перевести на язык десятичного цифрового кода, их также можно будет найти в числе пи. Там же находятся и еще ненаписанные книги. Поскольку число пи бесконечно, и последовательность цифр после запятой не повторяется, в нем потенциально можно найти абсолютно любую информацию о Вселенной. Этот факт позволяет назвать константу пи «божественной» и «разумной».
В школьной обычно используют минимально точное значение пи с двумя знаками после запятой – 3,14. Для практики на Земле достаточно числа пи с 11 знаками после запятой. Для расчета длины орбиты нашей планеты необходимо использовать число с 14 знаками после запятой. Точные вычисления в пределах нашей галактики возможны с применением числа пи с 34 знаками после запятой.
Нерешенные проблемы числа пи
Неизвестно является ли число пи алгебраически независимым. Также не вычислена точная мера иррациональности этой константы, хотя известно, что она не может быть больше 7,6063. Неизвестно является ли пи в степени n целым числом, если n представляет собой какое-либо положительное число.
Нет подтверждения тому, принадлежит ли пи к кольцу периодов. Кроме того, остается нерешенным вопрос о этого числа. Нормальным называют любое число, при записи которого в n-ричной системе исчисления образуются группы последовательных цифр, встречающиеся с одной и той же асимптотической частотой. Неизвестно даже, какие цифры от 0 до 9 встречаются бесконечное количество раз в десятичном представлении числа пи.
ЧИСЛО p – отношение длины окружности к ее диаметру, – величина постоянная и не зависит от размеров окружности. Число, выражающее это отношение, принято обозначать греческой буквой 241 (от «perijereia » – окружность, периферия). Это обозначение стало употребительным после работы Леонарда Эйлера , относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено Уильямом Джонсом (1675–1749) в 1706. Как и всякое иррациональное число, оно представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:
p = 3,141592653589793238462643… Нужды практических расчетов, относящихся к окружностям и круглым телам, заставили уже в глубокой древности искать для 241 приближений с помощью рациональных чисел. Сведения о том, что окружность ровно втрое длиннее диаметра, находятся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение числа p есть и в тексте Библии: «И сделал литое из меди море, – от края до края его десять локтей, – совсем круглое, вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом» (3 Цар. 7. 23). Так же считали и древние китайцы. Но уже во 2 тыс. до н.э. древние египтяне пользовались более точным значением числа 241, которое получается из формулы для площади круга диаметра d :
Этому правилу из 50-й задачи папируса Райнда соответствует значение 4(8/9) 2 » 3,1605. Папирус Райнда, найденный в 1858, назван так по имени его первого владельца, его переписал писец Ахмес около 1650 до н.э., автор же оригинала неизвестен, установлено только, что текст создавался во второй половине 19 в. до н.э. Хотя каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно. В так называемом Московском папирусе, который был переписан неким учеником между 1800 и 1600 до н.э. с более древнего текста, примерно 1900 до н.э., есть еще одна интересная задача о вычислении поверхности корзины «с отверстием 4½». Неизвестно, какой формы была корзина, но все исследователи сходятся во мнении, что и здесь для числа p берется то же самое приближенное значение 4(8/9) 2 .
Чтобы понять, каким образом древние ученые получили тот или иной результат, нужно попытаться решить задачу, используя только знания и приемы вычислений того времени. Именно так поступают исследователи старинных текстов, однако решения, которые им удается найти, вовсе не обязательно «те самые». Очень часто для одной задачи предлагается несколько вариантов решения, каждый может выбрать себе по вкусу, однако никто не может утверждать, что именно им пользовались в древности. Относительно площади круга кажется правдоподобной гипотеза А.Е.Раик, автора многочисленных книг по истории математики: площадь круга диаметра d сравнивается с площадью описанного вокруг него квадрата, из которого по очереди удаляются малые квадраты со сторонами и (рис. 1). В наших обозначениях вычисления будут выглядеть так: в первом приближении площадь круга S равна разности между площадью квадрата со стороной d и суммарной площадью четырех малых квадратов А со стороной d :
В пользу этой гипотезы свидетельствуют аналогичные вычисления в одной из задач Московского папируса, где предлагается сосчитать
С 6 в. до н.э. математика стремительно развивалась в Древней Греции. Именно древнегреческие геометры строго доказали, что длина окружности пропорциональна ее диаметру (l = 2 p R ; R – радиус окружности, l – ее длина), а площадь круга равна половине произведения длины окружности и радиуса:
S = ½ l R = p R 2 .
Эти доказательства приписывают Евдоксу Книдскому иАрхимеду .
В 3 в. до н.э. Архимед в сочинении Об измерении круга вычислил периметры вписанных в окружность и описанных около нее правильных многоугольников (рис. 2) – от 6- до 96-угольника. Таким образом он установил, что число p находится между 3 10/71 и 3 1/7, т.е. 3,14084 < p < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (p » 3,14166) нашел знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (2 в.), но оно не вошло в употребление.
Индийцы и арабы полагали, что p = . Это значение приводит так же и индийский математик Брахмагупта (598 – ок. 660). В Китае ученые в 3 в. использовали значение 3 7/50, которое хуже приближения Архимеда, но во второй половине 5 в. Цзу Чун Чжи (ок. 430 – ок. 501) получил для p приближение 355/113 (p » 3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом только в 1585. Это приближение дает ошибку лишь в седьмом десятичном знаке.
Поиски более точного приближения p продолжались и в дальнейшем. Например, аль-Каши (первая половина 15 в.) в Трактате об окружности (1427) вычислил 17 десятичных знаков p . В Европе такое же значение было найдено в 1597 году. Для этого ему пришлось вычислять сторону правильного 800 335 168-угольника. Нидерландский ученый Лудольф Ван Цейлен (1540–1610) нашел для него 32 правильных десятичных знака (опубликовано посмертно в 1615), это приближение называется лудольфовым числом.
Число p появляется не только при решении геометрических задач. Со времени Ф.Виета (1540–1603) разыскание пределов некоторых арифметических последовательностей, составляемых по простым законам, приводило к тому же числу p . В связи с этим в определении числа p принимали участие почти все известные математики: Ф.Виет, Х.Гюйгенс , Дж.Валлис, Г.В.Лейбниц , Л.Эйлер . Они получали различные выражения для 241 в виде бесконечного произведения, суммы ряда, бесконечной дроби.
Например, в 1593 Ф.Виет (1540–1603) вывел формулу
В 1658 англичанин Уильям Броункер (1620–1684) нашел представление числа p в виде бесконечной непрерывной дроби
однако неизвестно, как он пришел к этому результату.
В 1665 Джон Валлис (1616–1703) доказал, что
Эта формула носит его имя. Для практического нахождения числа 241 она мало пригодна, но полезна в различных теоретических рассуждениях. В историю науки она вошла как один из первых примеров бесконечных произведений.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) в 1673 установил следующую формулу:
выражающую число p /4 как сумму ряда. Однако этот ряд сходится очень медленно. Чтобы вычислить p с точностью до десяти знаков, потребовалось бы, как показал Исаак Ньютон, найти сумму 5 млрд чисел и затратить на это около тысячи лет непрерывной работы.
Лондонский математик Джон Мэчин (1680–1751) в 1706, применяя формулу
получил выражение
которая до сих пор считается одной из лучших для приближенного вычисления p . Чтобы найти те же десять точных десятичных знаков, потребуется всего несколько часов ручного счета. Сам Джон Мэчин вычислил p со 100 верными знаками.
C помощью того же ряда для arctg x и формулы
значение числа p было получено на ЭВМ с точностью до ста тысяч десятичных знаков. Такого рода вычисления представляют интерес в связи с понятием случайных и псевдослучайных чисел. Статистическая обработка упорядоченной совокупности указанного количества знаков p показывает, что она обладает многими чертами случайной последовательности.
Есть несколько забавных способов запомнить число p точнее, чем просто 3,14. Например, выучив следующее четверостишие, можно без труда назвать семь десятичных знаков p :
Нужно только постараться
И запомнить все как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть .
(С.Бобров Волшебный двурог )
Подсчет количества букв в каждом слове следующих фраз так же дает значение числа p :
«Что я знаю о кругах?» (p » 3,1416). Эту поговорку предложил Я.И.Перельман.
«Вот и знаю я число, именуемое Пи. – Молодец!» (p » 3,1415927).
«Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать» (p » 3,14159265359).
Учитель одной из московских школ придумал строку: «Это я знаю и помню прекрасно», а его ученица сочинила забавное продолжение: «Пи многие знаки мне лишни, напрасны». Это двустишие позволяет определить 12 цифр.
А так выглядит 101 знак числа p без округления
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.
В наше время с помощью ЭВМ значение числа p вычислено с миллионами правильных знаков, но такая точность не нужна ни в каких вычислениях. А вот возможность аналитического определения числа ,
В последней формуле в числителе стоят все простые числа, а знаменатели отличаются от них на единицу, причем знаменатель больше числителя, если тот имеет вид 4n + 1, и меньше в противном случае.
Хотя еще с конца 16 в., т.е. с тех пор, как сформировались сами понятия рациональных и иррациональных чисел, многие ученые были убеждены в том, что p – число иррациональное, но только в 1766 немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777), основываясь на открытой Эйлером зависимости между показательной и тригонометрической функциями, строго доказал это. Число p не может быть представлено в виде простой дроби, как ни были бы велики числитель и знаменатель.
В 1882 профессор Мюнхенского университета Карл Луиз Фердинанд Линдеман (1852–1939) используя результаты, полученные французским математиком Ш.Эрмитом , доказал, что p – число трансцендентное, т.е. оно не является корнем никакого алгебраического уравнения a n x n + a n– 1 x n– 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 с целыми коэффициентами. Это доказательство поставило точку в истории древнейшей математической задачи о квадратуре круга. Тысячелетия эта задача не поддавалась усилиям математиков, выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой проблемы. А все дело оказалось в трансцендентной природе числа p .
В память об этом открытии в зале перед математической аудиторией Мюнхенского университета был установлен бюст Линдемана. На постаменте под его именем изображен круг, пересеченный квадратом равной площади, внутри которого начертана буква p .
Марина Федосова
