Канонические уравнения прямой
Постановка задачи. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)
План решения.
Канонические уравнения прямой с направляющим вектором 
, проходящей через данную точку 
, имеют вид
. (1)
Поэтому, чтобы написать канонические уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.
1. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. согласно определению векторного произведения, имеем
. (2)
2. Выбираем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой не параллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.
3. Подставляем найденные координаты направляющего вектора и точки в канонические уравнения прямой (1).
Замечание. Если векторное произведение (2) равно нулю, то плоскости не пересекаются (параллельны) и записать канонические уравнения прямой не представляется возможным.
Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.
Канонические уравнения прямой:
,
где 
– координаты какой-либо точки прямой, 
– ее направляющий вектор.
Найдем какую-либо точку прямой . Пусть , тогда
Следовательно, 
– координаты точки, принадлежащей прямой.
Как составить уравнения прямой в пространстве?
УравнениЯ прямой в пространстве
Аналогично «плоской» прямой, существует несколько способов, которыми мы можем задать прямую в пространстве. Начнём с канонов – точки и направляющего вектора прямой:
Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами :
Приведённая запись предполагает, что координаты направляющего вектора не равны нулю . Что делать, если одна или две координаты нулевые, мы рассмотрим чуть позже.
Как и в статье Уравнение плоскости , для простоты будем считать, что во всех задачах урока действия проводятся в ортонормированном базисе пространства.
Пример 1
Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору
Решение
: Канонические уравнения прямой составим по формуле:
Ответ
: 
И ежу понятно… хотя, нет, ежу не понятно вообще ничего.
Что следует отметить в этом очень простом примере? Во-первых, полученные уравнения НЕ НАДО сокращать на единицу: 
. Сократить, точнее, можно, но это непривычно режет глаз и создаёт неудобства в ходе решения задач.
А во-вторых, в аналитической геометрии неизбежны две вещи – это проверка и зачёт:
На всякий случай смотрим на знаменатели уравнений и сверяемся – правильно ли там записаны координаты направляющего вектора . Нет, не подумайте, у нас не урок в детском садике «Тормозок». Данный совет очень важен, поскольку позволяет полностью исключить ошибку по невнимательности. Никто не застрахован, а вдруг неправильно переписали? Наградят премией Дарвина по геометрии.
Получены верные равенства, значит, координаты точки удовлетворяют нашим уравнениям, и сама точка действительно принадлежит данной прямой.
Проверка очень легко (и быстро!) выполняется устно.
В ряде задач требуется найти какую-нибудь другую точку , принадлежащую данной прямой. Как это сделать?
Берём полученные уравнения и мысленно «отщипываем», например, левый кусочек: . Теперь этот кусочек приравниваем к любому числу
(помним, что ноль уже был), например, к единице: . Так как , то и два других «куска» тоже должны быть равны единице. По сути, нужно решить систему:
Проверим, удовлетворяет ли найденная точка уравнениям :
Получены верные равенства, значит, точка действительно лежит на данной прямой.
Выполним чертёж в прямоугольной системе координат. Заодно вспомним, как правильно откладывать точки в пространстве:
Строим точку :
– от начала координат в отрицательном направлении оси откладываем отрезок первой координаты (зелёный пунктир);
– вторая координата нулевая, поэтому «не дёргаемся» с оси ни влево, ни вправо;
– в соответствие с третьей координатой отмеряем три единицы вверх (фиолетовый пунктир).
Строим точку : отмеряем две единицы «на себя» (желтый пунктир), одну единицу вправо (синий пунктир) и две единицы вниз (коричневый пунктир). Коричневый пунктир и сама точка наложились на координатную ось, обратите внимание, что они находятся в нижнем полупространстве и ПЕРЕД осью .
Сама прямая проходит над осью и, если меня не подводит глазомер, над осью . Не подводит, убедился аналитически. Если бы прямая проходила ЗА осью , то следовало бы стереть ластиком частичку линии сверху и снизу точки скрещивания.
У прямой бесконечно много направляющих векторов, например:
(красная стрелка)
Получился в точности исходный вектор , но это чистая случайность, такую уж я выбрал точку . Все направляющие векторы прямой коллинеарны, и их соответствующие координаты пропорциональны (более подробно – см. Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов
). Так, векторы 
тоже будут направляющими векторами данной прямой.
Дополнительную информацию о построении трёхмерных чертежей на клетчатой бумаге можно найти в начале методички Графики и свойства функций . В тетради разноцветные пунктирные дорожки к точкам (см. чертёж) обычно тонко прочерчивают простым карандашом тем же пунктиром.
Разберёмся с частными случаями, когда одна или две координаты направляющего вектора нулевые. Попутно продолжаем тренировку пространственного зрения, которая началась в начале урока Уравнение плоскости
. И вновь я расскажу вам сказку о голом короле – нарисую пустую систему координат и буду убеждать вас, что там есть пространственные прямые =)
Проще перечислить все шесть случаев:
1) Для точки и направляющего вектора канонические уравнения прямой распадаются на три отдельных уравнения: .
Или короче:
Пример 2 : составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
Что это за прямая? Направляющий вектор прямой коллинеарен орту , значит, данная прямая будет параллельна оси . Канонические уравнения следует понимать так:
а) – «игрек» и «зет» постоянны
, равны конкретным числам
;
б) переменная «икс» может принимать любые значения: (на практике данное уравнение, как правило, не записывают).
В частности, уравнения задают саму ось . Действительно, «икс» принимает любое значение, а «игрек» и «зет» всегда равны нулю.
Рассматриваемые уравнения можно интерпретировать и другим образом: посмотрим, например, на аналитическую запись оси абсцисс: . Ведь это уравнения двух плоскостей! Уравнение задаёт координатную плоскость , а уравнение – координатную плоскость . Правильно думаете – данные координатные плоскости пересекаются по оси . Способ, когда прямая в пространстве задаётся пересечением двух плоскостей, мы рассмотрим в самом конце урока.
Два похожих случая:
2) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами .
Такие прямые будут параллельны координатной оси . В частности, уравнения задают координатную саму ось ординат.
3) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами .
Данные прямые параллельны координатной оси , а уравнения задают саму ось аппликат.
Загоним в стойло вторую тройку:
4) Для точки и направляющего вектора канонические уравнения прямой распадаются на пропорцию и уравнение плоскости .
Пример 3 : составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору .
В прямоугольной системе координат на плоскости прямая линия может быть задана каноническим уравнением прямой. В этой статье мы сначала выведем , запишем канонические уравнения прямых на плоскости, которые параллельны координатным осям или совпадают с ними, а также приведем примеры. Далее покажем связь канонического уравнения прямой на плоскости с другими видами уравнения этой прямой. В заключении подробно рассмотрим решения характерных примеров и задач на составление канонического уравнения прямой на плоскости.
Навигация по странице.
Каноническое уравнение прямой на плоскости – описание и примеры.
Пусть на плоскости зафиксирована Oxy . Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a , если - некоторая точка прямой a и - направляющий вектор прямой a .
Пусть - плавающая точка прямой a
. Тогда вектор является направляющим вектором прямой a
и имеет координаты 
(при необходимости смотрите статью ). Очевидно, что множество всех точек на плоскости определяют прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
Пример.
Напишите каноническое уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через две точки и .
Решение.
По известным координатам точек начала и конца мы можем найти координаты вектора : 
. Этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы ищем. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор.
Решение.
Нормальный вектор прямой 
имеет координаты , причем этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы ищем в силу перпендикулярности прямых. Таким образом, искомое каноническое уравнение прямой на плоскости запишется как 
.
Ответ:
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:
Под углом
между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных
этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1
и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или 
. Поэтому 
. Т.к.
и 
, то
.
Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.
Условие параллельности двух плоскостей.
Две плоскости α 1 и α 2
параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит 
.
Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:
или
Условие перпендикулярности плоскостей.
Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .
Таким образом, .
Примеры.
ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.
Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .
Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z)
на прямой. Из рисунка видно, что 
.
Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.
Запишем это уравнение в координатной форме.
Заметим, что ,
и отсюда
Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
Пусть М
1 (x
1 , y
1 , z
1) – точка,
лежащая на прямой l
, и 
–
её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z)
и рассмотрим вектор .
Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,
– канонические
уравнения прямой.
Замечание 1.
Заметим, что канонические
уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t
. Действительно, из параметрических уравнений получаем 
или .
Пример.
Записать уравнение прямой 
в параметрическом виде.
Обозначим 
,
отсюда x
= 2 + 3t
, y
= –1 + 2t
, z
= 1 –t
.
Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид
Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде
Однако и в этом случае условимся формально
записывать канонические уравнения прямой в виде
.
Таким образом, еслив знаменателе одной
из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая
перпендикулярна соответствующей координатной оси.
Аналогично, каноническим уравнениям 
соответствует прямая перпендикулярная осям Ox
и Oy
или параллельная оси Oz
.
Примеры.
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.
Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями
определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.
Примеры.
Построить прямую, заданную уравнениями 
Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:
Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).
Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :
От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.
Координаты точки
М
1
получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания
направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к
обоим нормальным векторам 
и 
.
Поэтому за направляющий вектор прямой l
можно взять векторное произведение нормальных векторов:
.
Пример.
Привести общие уравнения прямой
к каноническому виду.
Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:
Нормальные векторы
плоскостей, определяющих прямую имеют координаты 
Поэтому направляющий вектор
прямой будет
.
Следовательно, l
: 
.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована Oxyz
. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве : укажем точку, через которую проходит прямая a
, и направляющий вектор прямой a
. Будем считать, что точка лежит на прямой а
и 
- направляющий вектор прямой а
.
Очевидно, что множество точек трехмерного пространства определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
Обратите внимание на следующие важные факты:
Приведем пару примеров канонических уравнений прямой в пространстве:
Составление канонических уравнений прямой в пространстве.
Итак, канонические уравнения прямой в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве вида 
соответствуют прямой линии, которая проходит через точку , а направляющим вектором этой прямой является вектор . Таким образом, если нам известен вид канонических уравнений прямой в пространстве, то мы можем сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой, а если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки этой прямой, то мы сразу можем записать ее канонические уравнения.
Покажем решения таких задач.
Пример.
Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве задана каноническими уравнениями прямой вида 
. Напишите координаты всех направляющих векторов этой прямой.
Решение.
Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой, являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой, то есть, 
- один из направляющих векторов исходной прямой. Тогда множество всех направляющих векторов прямой можно задать как 
, где - параметр, принимающий любые действительные значения, кроме нуля.
Ответ:
Пример.
Напишите канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz
в пространстве проходит через точку 
, а направляющий вектор прямой имеет координаты .
Решение.
Из условия имеем . То есть, у нас есть все данные, чтобы написать требуемые канонические уравнения прямой в пространстве. В нашем случае
.
Ответ:
Мы рассмотрели простейшую задачу на составление канонических уравнений прямой в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, когда известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки прямой. Однако намного чаще встречаются задачи, в которых сначала требуется найти координаты направляющего вектора прямой, а уже потом записывать канонические уравнения прямой. В качестве примера можно привести задачи на нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой и задачи на нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости .
Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.
Мы уже отмечали, что одно или два из чисел в канонических уравнениях прямой в пространстве вида 
могут быть равны нулю. Тогда запись считается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как 
, где .
Давайте рассмотрим подробнее все эти частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.
Пусть 
, или 
, или 
, тогда канонические уравнения прямых имеют вид
или
или
В этих случаях в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве прямые лежат в плоскостях , или соответственно, которые параллельны координатным плоскостям Oyz , Oxz или Oxy соответственно (или совпадают с этими координатными плоскостями при , или ). На рисунке представлены примеры таких прямых.
При 
, или 
, или 
канонические уравнения прямых запишутся как
или
или
соответственно.
В этих случаях прямые параллельны координатным осям Oz , Oy или Ox соответственно (или совпадают с этими осями при , или ). Действительно, направляющие векторы рассматриваемых прямых имеют координаты , или , или , очевидно, что они коллинеарны векторам , или , или соответственно, где - направляющие векторы координатных прямых. Посмотрите иллюстрации к этим частным случаям канонических уравнений прямой в пространстве.
Осталось для закрепления материала этого пункта рассмотреть решения примеров.
Пример.
Напишите канонические уравнения координатных прямых Ox , Oy и Oz .
Решение.
Направляющими векторами координатных прямых Ox
, Oy
и Oz
являются координатные векторы 
и соответственно. Кроме этого, координатные прямые проходят через начало координат – через точку . Теперь мы можем записать канонические уравнения координатных прямых Ox
, Oy
и Oz
, они имеют вид 
и соответственно.
Ответ:
Канонические уравнения координатной прямой Ox , - канонические уравнения оси ординат Oy , - канонические уравнения оси аппликат.
Пример.
Составьте канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz
в пространстве проходит через точку 
и параллельна оси ординат Oy
.
Решение.
Так как прямая, канонические уравнения которой нам требуется составить, параллельна координатной оси Oy , то ее направляющим вектором является вектор . Тогда канонические уравнения этой прямой в пространстве имеют вид .
Ответ:
Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.
Поставим себе задачу: написать канонические уравнения прямой, проходящей в прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве через две несовпадающие точки и 
.
В качестве направляющего вектора заданной прямой можно принять вектор (если больше нравиться вектор , то можно взять его). По известным координатам точек М 1
и М 2
можно вычислить координаты вектора : . Теперь мы можем записать канонические уравнения прямой, так как знаем координаты точки прямой (в нашем случае даже координаты двух точек М 1
и М 2
), и знаем координаты ее направляющего вектора. Таким образом, заданная прямая в прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве определяется каноническими уравнениями вида 
или 
. Это и есть искомые канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства
.
Пример.
Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через две точки трехмерного пространства 
и 
.
Решение.
Из условия имеем . Подставляем эти данные в канонические уравнения прямой, проходящей через две точки :
Если воспользоваться каноническими уравнениями прямой вида , то получаем
.
Ответ:
или 
Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.
Для решения некоторых задач канонические уравнения прямой в пространстве могут оказаться менее удобны, чем параметрические уравнения прямой в пространстве вида . А иногда предпочтительнее определить прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz
в пространстве через уравнения двух пересекающихся плоскостей как 
. Поэтому встает задача перехода от канонических уравнений прямой в пространстве к параметрическим уравнениям прямой или к уравнениям двух пересекающихся плоскостей.
От уравнений прямой в каноническом виде легко перейти к параметрическим уравнениям этой прямой. Для этого требуется каждую из дробей в канонических уравнениях прямой в пространстве принять равной параметру и разрешить полученные уравнения относительно переменных x
, y
и z
:
При этом параметр может принимать любые действительные значения (так как переменные x , y и z могут принимать какие угодно действительные значения).
Теперь покажем, как из канонических уравнений прямой получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих эту же прямую.
Двойное равенство по сути представляет собой систему из трех уравнений вида 
(мы попарно приравняли дроби из канонических уравнений прямой). Так как пропорцию мы понимаем как , то
Итак, мы получили 
.
Так как числа a x
, a y
и a z
одновременно не равны нулю, то основной матрицы полученной системы равен двум, так как 
а хотя бы один из определителей второго порядка
отличен от нуля.
Следовательно, из системы можно исключить уравнение, которое не участвует в образовании базисного минора. Таким образом, канонические уравнения прямой в пространстве будут эквивалентны системе из двух линейных уравнений с тремя неизвестными, которые и являются уравнениями пересекающихся плоскостей, причем линией пересечения этих плоскостей будет прямая, определяемая каноническими уравнениями прямой вида .
Для ясности приведем подробное решение примера, на практике все проще.
Пример.
Напишите уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве каноническими уравнениями прямой. Напишите уравнения двух пересекающихся по этой прямой плоскостей.
Решение.
Приравняем попарно дроби, образующие канонические уравнения прямой:
Определитель основной матрицы полученной системы линейных уравнений равен нулю (при необходимости обращайтесь к статье ), а минор второго порядка 
отличен от нуля, примем его в качестве базисного минора. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений 
равен двум, причем третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, то есть, третье уравнение можно исключить из системы. Следовательно, 
. Так мы получили требуемые уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих исходную прямую линию.
Ответ:
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
