Основные понятия теории моделирования
Моделированием называется метод экспериментального изучения модели явления вместо натурного явления. Модель выбирают так, чтобы результаты эксперимента можно было распространить на натурное явление.
Пусть моделируется поле величины w . Тогда при точном моделировании в сходственных точках модели и натурного объекта должно соблюдаться условие
где масштаб моделирования.
В случае приближенного моделирования получим
Отношение называется степенью искажения.
Если степень искажения не превосходит точности измерения, то приближенное моделирование не отличается от точного. Нельзя заранее сделать так, чтобы величина не превышала некоторого наперед заданного значения, так как в большинстве случаев ее нельзя заранее даже определить.
Метод аналогий
Если два физических явления различной физической природы описываются тождественными уравнениями и условиями однозначности (краевыми или в стационарном случае граничными условиями), представленными в безразмерной форме, то явления называются аналогичными. При этих же условиях явления одной физической природы называются подобными.
Несмотря на то, что аналогичные явления имеют различную физическую природу, они относятся к одному индивидуальному обобщенному случаю. Это обстоятельство позволило создать весьма удобный метод аналогий для изучения физических явлений. Сущность его состоит в следующем: обследованию подвергается не изучаемое явление, для которого трудно или невозможно измерить искомые величины, а специально подобранное аналогичное изучаемому. В качестве примера рассмотрим электротепловую аналогию. В этом случае изучаемое явление - стационарное температурное поле, а его аналогия - стационарное поле электрического потенциала
Уравнение теплопроводности
(9.3)
где абсолютная температура,
и уравнение электрического потенциала
(9.4)
где электрический потенциал, аналогичны. В безразмерной форме эти уравнения будут тождественны.
Если созданы граничные условия для потенциала, аналогичные условиям для температуры, то в безразмерной форме они будут также тождественны.
Электротепловая аналогия широко используется при изучении процессов теплопроводности. Например, температурные поля лопаток газовых турбинин были измерены этим методом.
Анализ размерностей
Иногда приходится изучать процессы, которые еще не описаны дифференциальными уравнениями. Единственный путь изучения - эксперимент. Результаты эксперимента целесообразно представлять в обобщенной форме, но для этого нужно уметь находить безразмерные комплексы, характерные для такого процесса
Анализ размерностей - это метод составления безразмерных комплексов в условиях, когда изучаемый процесс еще не описан дифференциальными уравнениями.
Все физические величины можно разделить на первичные и вторичные. Для процессов теплообмена за первичные обычно выбирают следующие: длину L, массу m , время t , количество теплоты Q избыточную температуру . Тогда вторичными будут такие величины, как коэффициент теплоотдачи температуропроводность a и т. п.
Формулы размерности вторичных величин имеют вид степенных одночленов. Например, формула размерности для коэффициента теплоотдачи имеет вид
(9.5)
где Q –количество теплоты.
Пусть известны все физические величины, существенные для изучаемого процесса. Требуется найти безразмерные комплексы.
Составим произведение из формул размерностей всех существенных для процесса физических величин в некоторых неопределенных пока степенях; очевидно, оно будет степенным одночленом (для процесса). Предположим, что его размерность (степенного одночлена) равна нулю, т. е. показатели степеней первичных величин, входящих в формулу размерностей, сократились, тогда степенной одночлен (для процесса) можно представить в форме произведения безразмерных комплексов из размерных величин. Значит, если составить произведение из формул размерностей, существенных для процессов физических величин в неопределенных степенях, то из условия равенства нулю суммы показателей степеней первичных величин этого степенного одночлена можно определить искомые безразмерные комплексы.
Покажем эту операцию на примере периодического процесса теплопроводности в твердом теле, омываемом жидким теплоносителем. Будем считать, что дифференциальные уравнения для рассматриваемого процесса неизвестны. Требуется найти безразмерные комплексы.
Существенными физическими величинами для изучаемого процесса будут следующие: характерный размер l (м), теплопроводность твердого тела , (Дж/(м К)), удельная теплоемкость твердого тела с (Дж/(кг К)), плотность твердого тела (кг/м 3), коэффициент теплообмена (теплоотдачи) (Дж/м 2 К)), время периода , (с), характерная избыточная температура (К). Составим из этих величин степенной одночлен вида
Показатель степени при первичной величине называется раз мерностью вторичной величины по отношению к данной первичной.
Заменим в физические величины (кроме Q) их формулами размерности, в результате получим
В данном случае показатели степени имеют значения, при которых Q выпадает из уравнения.
Приравняем нулю показатели степеней одночлена:
для длины
a – b - 3i - 2k = 0; (9.8)
для количества теплоты Q
0; (9.9)
для времени
для температуры
для массы m
Всего существенных величин семь, уравнений для определения показателей пять, значит, только два показателя, например, b и kмогут быть выбраны произвольно.
Выразим все показатели степеней через b и k. В результате получим:
из (8.8), (8.9), (8.12)
f = -b - k ; (9.14)
r=b + k ; (9.15)
из (8.11) и (8.9)
n = b + f + k = b + (-b – k ) + k = 0; (9.16)
из (8.12) и (8.9)
i = f = -b -k. (9.17)
Теперь одночлен можно представить в форме
Так как показатели b и k могут быть выбраны произвольно, положим:
1. при этом запишем
Анализ размерностей, теория подобия, моделирование, а также метод аналогии различных явлений позволяют, наряду с правильной постановкой и проведением экспериментов, ускорить вычислительные и другие работы. Однако в теоретических основах бурения нефтяных и газовых скважин этот метод широко не применяется. В то же время в теоретических основах разработки нефтяных и газовых залежей эти средства сравнительно широко применяются.
Для правильной постановки экспериментов, обработки получаемых результатов и обобщений нужно проводить количественно-теоретический анализ. В этом случае уменьшается количество опытов, результаты которых выражаются в безразмерных параметрах. В гидродинамике, в частности, эти параметры определяются, как соотношение сил.
Обычно различают величины размерные и безразмерные. Примерами размерных величин являются скорость, давление, вязкость, предельное напряжение сдвига, длина, время и др.
Отношения длины к ее диаметру, сил вязкости к предельному напряжению сдвига и т. д. являются безразмерными величинами. Анализ теории размерностей позволяет в уравнениях путем перехода от размерных переменных к безразмерным уменьшить число переменных. Допустим, что дано следующее квадратное уравнение:
ax 2 + bx+c = 0,
где безразмерный х зависит от коэффициентов а, bи с, имеющих одинаковые размерности.
с, то уравнение примет вид
Как видно из уравнения, переменная х зависит от и , т. е.
. Следовательно, запись уравнения в безразмерном виде
позволяет уменьшить число переменных с трех до двух. Если уравнение неизвестно или необходимо определить вид функциональной зависимости, то вместо изменения а и bизменим отношения и . Таким образом, не только уменьшается число переменных, но и при наименьших затратах времени и труда достигается возможность проведения эксперимента. Допустим, что для постановки эксперимента требуется изменение величин и . Если во время экспериментирования величину с легко изменить, то, изменив величину с, можно изменить величины и (при этом величины а и bостаются постоянными), и, наоборот, если трудно изменить величину с при экспериментировании, то, изменив величины и , можно изменить величины a и b. Если же
при проведении экспериментов сложно изменить величины b ис, то изменением одной из них можно достигнуть изменения отношения величин.
Физические основы связывают величины определенными зависимостями. Поэтому, если для некоторых величин будут выбраны размерности, то на основании соответствующих формул могут быть получены размерности других величин. Зависимость между физическими величинами позволяет выбрать такую основную систему размерностей, что для измерения в этой системе механических величин достаточен произвольный выбор трех размерностей.
Во многих случаях в технике единицы длины L, времени Т и силы F принимаются за основные единицы. Однако среди единиц измерения вязкость , скорость v и плотность также могут быть приняты за основные. Такие величины называются величинами с независимыми размерностями (см. ниже).
В настоящее время принята международная система единиц СИ, в которой размерность длины 1 м, массы - 1 кг и времени - 1 сек.
Если обозначить независимые размерности длины, времени и силы соответственно через L, Т и F, то широко применяемые в гидромеханике величины будут иметь следующие размерности:
скорость
Если для математического описания нельзя составить дифференциальное уравнение или другую математическую зависимость, то, применяя теорию размерностей, можно описать физическое явление без уравнения, описывающего процесс. Но для этого необходимо знать поясняющие данное явление начальное и граничные условия. Применение для этих целей -теоремы (теоремы Букингема) позволяет выявить основные безразмерные параметры, характеризующие рассматриваемое явление.
Предположим, что безразмерная величина а зависит от не зависящих друг от друга переменных величин а 1: ..., а п
а = а(а 1 , а 2 , a 3 , . . ., а т, а т+1 , . . . , а п).
Функциональная зависимость обычно записывается в виде ; при большом количестве зависимостей . Знаки функции должны приниматься различными. Проще зависимости изображаются так:
Допустим, что среди этих размерных величин число величин с независимыми размерностями равно т. В механике и технике их не может быть более трех. За независимые размерности принимаются длина L, время Т, сила F или же их степенная комбинация, из которой могут быть получены L, Т и F, например:
В уравнение входят n+1 размерных величин. На основании л-теоремы связь между п + 1 размерными единицами может быть осуществлена п + 1 - m безразмерными параметрами, состоящими из п + 1 размерных величин.
Тогда безразмерные параметры можно записать
Здесь показатели т 1, т 2 , ..., m k ; p 1 р 2 ,.., p k ; g 1 g 2
..., g k
выбираются так, чтобы параметры 
получились в безразмерном виде.
Применение -теоремы поясним на конкретном примере. Предположим, что вместо величины дана , а вместо величин с независимыми размерностями даны . Тогда получим
Так как в этой формуле левая часть безразмерная, то и правая часть должна быть безразмерной, т. е.
Тогда, приравнивая показатели степени при L, Т и F, получаем:
 |
Решения этой системы трех линейных уравнений будут следующие:
Следовательно, безразмерный параметр можно представить ввиде
Это выражение представляет собой отношение давления и инерции и называется параметром Эйлера.
При использовании теории размерности используются физические и математические соображения.
Рассмотрим стационарное движение несжимаемой вязко-пластической жидкости в цилиндрической трубе. Перепад давления на концах трубопровода зависит от длины и диаметра трубы, структурной вязкости, предельного напряжения сдвига, плотности жидкости, а также от ускорения силы тяжести и скорости движения. При движении сжимаемой жидкости в уравнение должен войти не перепад давления, а абсолютные значения давлений, действующих на концах трубы. Для рассматриваемого случая физическое уравнение имеет вид
, или
Так как число независимых равно трем, то, используя -теорему, можем вывести пять безразмерных параметров. В данном случае в качестве величин с независимыми размерностями могут быть выбраны следующие: и т. д.
Выше было отмечено, что в каждом варианте величины с независимыми размерностями нужно выбирать так, чтобы их степенные комбинации дали бы возможность получить размерности длины L, силы F, времени Т. Теперь для принятых вариантов проверим это условие.
Так как в первом варианте давление, диаметр и скорость приняты за основные, то, комбинируя их, будем стремиться получить размерности L, F и Т.
Найдем размерность длины
Следовательно, 
Таким образом, для получения размерности длины нужно принять следующую комбинацию р, d и v:
.
Найдем размерность силы:
,
Следовательно,
;
т. е. для получения размерности силы нужно воспользоваться следующей комбинацией :
.
Найдем размерность времени
,
Следовательно,
.
Размерность времени получим из приводимой ниже комбинации р, d и v:
В каждом варианте комбинации этих величин выбираются так, чтобы в результате можно было бы получить безразмерный параметр. Теперь для каждого из двух вариантов выведем безразмерные параметры.
Вариант 1. Комбинации трех величин, принятых при выводе безразмерных параметров , должны быть выбраны так, чтобы можно было получить размерности остальных величин, а затем в результате деления привести полученную величину к безразмерному виду.
Для величины можем записать:
 |
Таким образом, получим четвертый безразмерный параметр в виде
Здесь для стационарного движения вязко-пластических жидкостей получены параметры Eu, Fr, La" и La".
Аналогично, если вывести безразмерные параметры для , то получим
Ввиду того, что из восьми величин, входящих в уравнение, три приняты за независимые переменные, число безразмерных параметров уменьшится на число независимых переменных, т. е. получим п - т = 8-3 = 5 безразмерных параметров.
Вариант 2. Принимая размерные величины за основные и выводя из -теоремы безразмерные параметры, получаем следующие выражения:
Сопоставим их с параметрами варианта I:
Ввиду того,что, что искомая величина входит входит в параметр Eu, то результаты опытов представлены в виде
Так как величина входит в параметрEu, остальные три параметра выбираем так, чтобы там искомая величина не участвовала.
Уравнение можно выразить и с помощью параметра Лагранжа, в котором участвует , т. е.
Это уравнение применимо для стационарного движения; если же движение нестационарное, необходимо принять во внимание и параметр Струхаля.
При горизонтальном положении трубы силы тяжести не оказывают влияния на движение, поэтому g во внимание не принимается.
Так как при изотермическом движении физические свойства;ьидкости по длине трубы не меняются, расход и сечение остаются постоянными, то потери давления, приходящиеся на единицу длины (из уравнения неразрывности), бывают разными. В этом случае характерным является .Например, если будем знать потери давления, соответствующие 100 м длины, то можно определить потери давления на 200, 300 м и т. д. Здесь начальные и концевые участки во внимание не принимаются. Тогда перепад давления па единицу длины может быть выражен как
.
Так как определяется , то параметр отпадает и параметр Эйлера записывается в виде
Для вязких жидкостей аналогичное уравнение, выведенное независимо друг от друга Дарси и Вейсбахом, называется уравнением Дарси - Вейсбаха.
Таким образом,
где 
- коэффициент гидравлических сопротивлений.
Рассмотрим уравнение длинной двухпроводной линии . Двухпроводная линия представлена системой с равномерно распределенными утечками, индуктивностями, сопротивлениями и емкостями. Разность потенциалов U и сил тока i в сечениях х и определяется на основании закона Кирхгофа, записанного для процесса, протекающего на отрезке в промежуток времени . Разность U(x, t) - U(х + Ах, t) определяет разность потенциалов на индук-тивиостях и омических сопротивлениях
где L и R - соответственно индуктивность и омическое сопротивление на единицу длины.
Первый член правой части, характеризующий изменение э. д. с. на индуктивностях, определяется изменением силы тока во времени. Второй член - разность потенциалов, которая рассчитывается по закону Ома.
Второе уравнение - баланс силы тока, определяемый конденсатором и утечкой, т. е.
" где С - емкость, приходящаяся на единицу длины; G- - проводимость на единицу длины.
Первый член правой части - сила тока, проходящего через конденсатор и характеризуемого изменением в течение времени разностью потенциалов. Второй член - сила тока - утечка, определяемая по закону Ома.
Приведенные два уравнения - конечно-разностные уравнения длинной двухпроводной линии. Переходя к пределу при 
,
можно получить:
Эта система уравнения при G = 0 вполне аналогична дифференциальным уравнениям движения капельной жидкости в трубопроводе при .
Рассмотрим неустановившееся движение реальной среды в гори-зонтальной круглой цилиндрической трубе. В этом случае одно гремя релаксации характеризует пестационарность вдоль оси, дру-юе - вдоль сечения. Предполагается, что второе пренебрежимо -тало по сравнению с первым. Поэтому исследуется нестационар-юсть, развивающаяся вдоль оси трубы, т. е. рассматривается ква-зиодномерное движение, характеризуемое параметрами, осреднен-м.ши по сечению. Предполагается, что жидкость малосжимаемая, т. е. изменение ее скорости вдоль оси мало. В сечении 1 -1 (см. Рис. 9) среднее давление обозначается через р (х, t), а в сечении 2-2 - через .
Касательное напряжение обозначается через . Тогда сила тре-шя, действующая на боковую поверхность элементарного круглого цилиндра, будет , где S 1 - смоченный периметр.
В уравнении движения «местная скорость» приближенно заменяется средней по сечению скоростью v, но это не влияет на конечный результат.
Сумма сил сопротивления и давления равна , где F - площадь поперечного сечения.
Переходя к пределу, получаем
Абсолютную величину силы инерции выразим через , где
 |
 |
Масса среды в отсеке 1-1, 2-2 трубы. Тогда в пределе. На основании принципа Д"Аламбера
Ввиду того, что скорость мало изменяется по длине трубы, вторим членом этого равенства но сравнению с первым можно пренебречь, т.е.
Сформулируем более полно условия, при которых можно пренебречь вторым членом но сравнению с первым. Первый член имеет порядок , второй (L - характерный размер, в данном случае длина трубопровода, Т - характерное время, в качестве которого может быть принято время релаксации). Вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым при условии
Параметр безразмерный. Оценим величину этого параметра для магистрального трубопровода: 1 м/сек; 100 км.
Если принять, что время релаксации порядка нескольких часов соответствует времени практического достижения стационарного
где R - гидравлический радиус.
режима, то получим . Тогда
где R гидраврический радиус
Уравнение неразрывности запишем в виде
Для изотермического движения принимается уравнение состояния
Вводя вместо среднемассовую скорость w, можно записать
Из анализа размерностей нетрудно установить, что при ламинарном режиме пропорционально средней скорости в первой степени,
а при турбулентном режиме - квадрату скорости.
Необходимо еще раз отметить, что здесь мы воспользовались принципом квазистационарности, т. е. силы сопротивления определяли по формулам для стационарного режима. Принимая , находим
где 2а - коэффициент сопротивления.
Из этих двух уравнений можно получить одно
Рассмотрим, как, используя соображения размерности, можно упростить уравнение. Переищем к безразмерным переменным:
где L, t 0 и w 0 - характерные величины.
В качестве L принималась длина трубопровода. Следовательно, в
безразмерных переменных
Из условия определяется . Окончательно
Если коэффициент при члене достаточно большой, то можно пренебречь силой инерции по сравнению с силой сопротивления .
Таким образом, перепад давления расходуется только лишь на преодоление сил сопротивления. В этом случае уравнение принимает вид
Естественно, что принятое предположение оправдывается для трубопроводов очень большой длины и при движении в них жидкости очень большой вязкости. При определении пускового давления в трубопроводах и в скважине можно пренебречь силой инерции
 |
Уровень, который может быть принят как достаточно большой, определяется на основании сопоставимых расчетов. Соображения подобия позволяют, не решая уравнения, получить некоторую информацию. Например, второй закон Ньютона для частного случая потенциального силового поля можно записать в виде
приняв 
,
можно получить
Следовательно, если уменьшить массу точки в 25 раз, то на прохождение орбиты потребуется времени в пять раз меньше.
Среди различных явлений, встречаемых в природе, выявлено много математических аналогий. За последние десятилетия в практике применяются лабораторные исследования и проекты, основанные на электрических, магнитных, электродинамических, электромагнитных, тепловых, звуковых, оптико-механических, магнитно-оптических и других аналогиях и на теории моделирования. Электромоделирование различных физических явлений широко используется в теории фильтрации, гидравлике, гидродинамике, строительстве, теплотехнике, теории упругости, механике грунтов, теории механизмов, акустике, теории автоматического регулирования, а также в других областях науки и техники.
В современном гидротехническом строительстве при строительстве больших и сложных гидротехнических объектов требуется проводить сложные исследования по фильтрации. Теоретическое исследование этих вопросов очень сложно, а иногда и неразрешимо. Эти сложные вопросы очень легко разрешаются с помощью метода ЭГДА (электрогидродинамическая аналогия), в том числе разрешаются многие задачи, относящиеся к фильтрации нефти, газа и газированных жидкостей.
Применение метода ЭГДА при исследовании фильтрации почвенных вод под гидротехнические сооружения впервые в 1918 г. было предложено и теоретически обосновано академиком Н. Н. Павловским. Метод ЭГДА также широко используется в различных областях научных исследований.
Применение центробежного моделирования дает хорошие результаты при решении следующих задач, относящихся к статике и динамике пород: определение прочности земляных строительных откосов; определение прочности валов и других строительных фундаментов; распределение напряжений в породах и на контакте строительных поверхностей с породой; оседание зданий; фильтрация воды в породе и влияние фильтрации па породы; определение в связанных породах сил трения и сцепления и т. д.
Ниже покажем два простых примера, относящихся к аналогии.
Аналогия между электрическими и механическими явлениями
В замкнутую цепь (рис. 25) включены конденсатор с емкостью С, омическое сопротивление R, катушка самоиндукции L и ключ К.
Через цепь проходит электрический ток I. Для последовательной цепи, как известно из закона Кирхгофа, разность потенциалов будет состоять из суммы разности напряжений на
омическом сопротивлении, конденсаторе и катушке. Эти три составляющие рассчитываются следующим образом:
а) в результате самоиндукции разность напряжений равняется произведению коэффициента самоиндукции на скорость изменения тока, т. е. ;
б) разность напряжений, связанных с омическим сопротивлением, равна произведению RI (закон Ома);
в) разность напряжений на конденсаторе (по определению)
Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее явление, запишем в виде
При решении этого дифференциального уравнения второго порядка для нахождения двух постоянных должны быть заданы два условия. Например, в начальный момент времени t = t 0 задаются
утопия и .
Остановимся на условиях, необходимых для решения уравнений. Если явление описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, т. е. в уравнении искомая функция зависит только от одного аргумента (п - самый высокий порядок производной, входящей в уравнение, - целое число, которое может равняться единице или более), то в результате его решения должно получиться п произвольных постоянных. Для нахождения их должны быть заданы п условий. Эти условия, зависящие от характера изучаемого явления, могут быть заданы различными способами.
1. При определенном значении аргумента задается функция и ее п - 1 производные. Например, если в заданном уравнении третьего порядка искомая функция зависит от времени, то для определенного
значения времени должны быть даны функции и ее первая и вторая производные.
Такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.
2. При определенных значениях аргументов задаются функции и их производные. Например, если иметь дифференциальное уравнение пятого порядка, то из двух значений аргументов при одном из них даются искомая функция и ее первая и вторая производные, а при другом значении - функция и ее третья производная. Здесь в зависимости от постановки задачи возможны также различные другие варианты.
Для приведенной электрической цепи граничные условия могут быть заданы так:
Рассмотрим механическую цепь, имеющую одну степень свободы. Напишем условие равновесия сил, действующих на пружину (рис. 26).
 |
На пружину действуют активные силы тяжести и упругости и пассивная сила сопротивления.
Воспользовавшись принципом Д"Аламбера, условие равновесия запишем в виде
где т - масса; h - затухание колебания; к - коэффициент жесткости; х - перемещение.
В приводимом уравнении (А) первый член по абсолютному значению представляет силу инерции, второй - силу трения, а третий - силу упругости.
Уравнение механического колебания имеет тот же вид, что и уравнение, описывающее электрическое колебание. Следовательно, в указанных уравнениях аналогичными являются параметры: х - I,
т - L: h - R .
Перейдем к безразмерным величинам следующим образом:
где t 0 - начальное значение аргумента; х 0 и I 0 - начальные значения функции. Таким образом,
Если все члены уравнения разделить на , to получим следующее уравнение с безразмерными коэффициентами:
Аналогично уравнение механических колебаний можно записать в безразмерном виде
Напишем начальные условия для уравнения колебаний в электрической цепи в безразмерном виде:
Начальные условия для уравнения механического колебание будут:
Для равенства вторых начальных условий должно быть удовлетворено следующее условие:
Теперь, пользуясь аналогией уравнений механического и элекричсского колебаний, перейдем от одного уравнения к другому.
Предположим, что для механического контура т, к С и I" 0 , из этих трех уравнений можно найти I 0 , L и R. Выбор этих параметров зависит от места и условий опыта.
После нахождения этих параметров для установления зависимости I=I(t) собирается соответствующая электрическая цепь.
Гидравлическая аналогия при решении задач теплопередачи
Аналитическое решение задач теплопередачи со сложными краевыми условиями и изменяющимися термическими коэффициентами (которые часто встречаются в практике) связано с большими трудностями. Применение же метода элементарных балансов связано с трудоемкими вычислительными операциями. В связи с этим созданы счетно-решающие приборы, основанные на аналогиях, облегчающих вычислительные операции. При использовании метода аналогии стремятся воспроизвести исследуемое данное явление на аналогичном явлении, которое описывается теми же математическими зависимостями, но более просто управляемом. При этом значительно облегчаются вычислительные работы.
Известны электрические модели нестационарных процессов теплопроводности (электроинтегратор Л. И. Гутенмахера); нашел применение и метод гидравлической аналогии, предложенный В. С. Лукьяновым.
Гидравлический интегратор В. С. Лукьянова основан на аналогии математических соотношений, описывающих распространение температуры в твердом теле и распределение напоров в воде, движущейся через гидравлические сопротивления при ламинарном режиме.
Основной принципиальной особенностью, определяющей устройство гидроинтегратора, является замена в гидравлическом поле равномерно распределенных параметров сосредоточенными, т. е. переход от поля к цепи с сосредоточенными параметрами. В связи с этим процесс воспроизведения непрорывного температурного поля с сосредоточенными параметрами представляет собой переход от решения дифференциальных уравнений к решению уравнения в конечных разностях.
Этот прибор состоит из основных элементов аналогии гидравлической цепи с сосредоточенными элементами сопротивлений и емкостей, а также специальных элементов, воспроизводящих выделение скрытой теплоты при изменении агрегатного состояния; устройства для задания граничных условий; приспособлений для измерения напора в узлах гидравлической цепи; устройства, обеспечивающего питание прибора водой.
Рассмотрим конкретный пример определения распределения температуры в многослойной стенке при одномерном тепловом потоке. Стенка задается размерами отдельных слоев и теплофи-зическими характеристиками материалов, т. е. объемными теплоемкостями ( , где с - удельная теплопроводность тела; - объемный вес тела), и коэффициентами теплопроводности (рис. 27).
Дано определенное начальное распределение температуры и произвольно выбранные воздействия температур наружных сред II тепловых потоков па поверхности стенки. Вначале составляется расчетная схема. Разбивают стенку на конечное число слоев. При этом допускается, что теплоемкость для каждого слоя сосредоточена в середине его и ограждается термическими сопротивлениями, равными половине толщины слоя.
Таким образом, расчетная схема представляет собой цепочку юплоемкостей с, разделенных между собой термическими сопротивлениями .
Теплоемкости крайних слоев отделены от наружной среды допол-пительным термическим сопротивлением теплоотдачи с поверхности. Процесс теплообмена элементарных слоев между собой и окружающей средой определяется следующей системой уравнений:
; (1-98)
Коэффициент гидравлических сопротивлений; h - уровень жидкости в сосуде; - разница уровней жидкости в сосудах.
Расход жидкости q пропорционален разности уровней в сосудах (аналог закона теплопроводности), а приращение содержания воды в сосуде за время равно произведению площади сечения сосуда на приращение высоты уровня.
Уравнения (1.98) и (1.95) аналогичны уравнениям (1.100) и (1.101). Предположим, что цепь сосудов составлена так, что в ней величины 
численно равны. Начальное распределение уровней h
в соответствующем масштабе изображает начальное распределение температуры в центре элементарных слоев, а изменение уровней в подвижных сосудах происходит так же, как изменение температуры окружающих сред. Тогда уровень в сосудах будет изменяться аналогично изменению температуры в элементарных слоях. Если и численно не равны и , а лишь пропорциональны им, то тепловой процесс также будет воспроизводиться на модели, по только в другом масштабе времени. Наличие такой возможности создает большие удобства, так как можно значительно ускорить иоспроизведение медленных и замедлить воспроизведение быстро протекающих процессов теплообмена. В этом случае перейти от гидравлической модели к исследуемому процессу можно посредством иыбора соответствующих масштабных соотношений.
Если все величины, входящие в уравнения (1.98) - (1.101), выразить в безразмерных величинах, то система (1.98) и (1.99) будет подобна систем
Многие процессы, которые встречаются в практике, бывают настолько сложными, что не могут быть непосредственно описаны дифференциальными уравнениями . В таких случаях очень ценным приёмом для выявления соотношения между переменными величинами служит анализ размерностей.
Этот метод не даёт полных сведений о соотношении между переменными, которое, в конечном счёте, должно быть выявлено экспериментально. Тем не менее, этот метод позволяет значительно сократить объём экспериментальных работ.
Таким образом, эффективное применение метода размерности возможно только при комбинировании его с экспериментом; при этом должны быть известны все факторы или переменные величины, которые оказывают влияние на исследуемый процесс.
Анализ размерности даёт логичное распределение величин по безразмерным группам. В общем виде функциональная зависимость N может быть представлена в виде формулы, которая называется формулой размерности:
Сюда входит (k + 1) величин с включением и величины N. Они могут быть переменными, постоянными, размерными и безразмерными. Однако в данном случае необходимо, чтобы для числовых величин, входящих в уравнение, которое характеризует физическое явление, была бы принята одна и та же система основных единиц измерения. При соблюдении этого условия уравнение остаётся справедливым при произвольно выбранной системе единиц измерения. Далее, эти основные единицы должны быть независимыми по своим размерностям, а число их таким, чтобы была возможность представить через них размерности всех величин, входящих в функциональную зависимость (3.73).
Такими единицами измерения могут быть любые три величины, входящие в уравнение (3.73) и являющиеся независимыми друг от друга в отношении размерности. Если принять, например, за единицы измерения длину L и скорость V, тем самым имеем заданными единицу длины L и единицу времени . Таким образом, для третьей единицы измерения нельзя принимать любую величину, размерность которой содержит только длину и время, такую как, например, ускорение, так как единица этой величины уже есть заданной в результате выбора единиц длины и скорости. Поэтому, дополнительно должна быть выбрана любая величина, в размерность которой входит масса, например, плотность, вязкость, сила и т.п.
На практике, например, при гидравлических исследованиях, оказывается целесообразным принять следующие три единицы измерения: скорость V 0 любой частицы потока, любую длину (диаметр трубопровода D или его длину L), плотность ρ выбранной частицы.
Размерность этих единиц измерения:
М/с; м; кг/м 3 .
Таким образом, уравнение для размерностей в соответствии с функциональной зависимостью (3.73) может быть представлено в следующем виде:
Значения N i и n i , взятые в системе основных единиц (метр, секунда, килограмм), можно выразить безразмерными числами:
; 
.
Поэтому, вместо уравнения (3.73) можно написать уравнение, в котором все величины выражены в относительных единицах (по отношению к V 0 , L 0 , ρ 0):
Поскольку п 1 , п 2 , п 3 представляют собой, соответственно, V 0 , L 0 , ρ 0 , то первые три члена уравнения превращаются в три единицы и функциональная зависимость принимает вид:
. (3.76)
В соответствии с π-теоремой любое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. При исследованиях эта теорема позволяет определить связь не между самими переменными, а между некоторыми безразмерными их соотношениями, составленными по определённым законам.
Таким образом, функциональная зависимость между k + 1 размерными величинами N и n i в общем случае выражается как соотношение между (k + 1- 3) величинами π и π i (i = 4,5, ..., k), каждая из которых является безразмерной степенной комбинацией величин, входящих в функциональную зависимость. Безразмерные числа π носят характер критериев подобия, как это видно из следующего примера.
Пример 3.3. Определить функциональную зависимость для силы сопротивления F (Н = кг·м/с 2), которую испытывает пластина при обтекании жидкостью в направлении её длины.
Функциональную зависимость силы сопротивления можно представить в виде функции от ряда независимых переменных и определить её в условиях сходства:
,
где 
скорость обтекания, м/с; 
площадь пластины, м 2 ; 
плотность жидкости, кг/м 3 ; 
динамический коэффициент вязкости, Па·с ([Па·с] = кг/м·с); 
ускорение свободного падения, м/с 2 ; 
давление, Па (Па = кг/м·с); отношение высоты пластины к ее длине; угол наклона пластины к направлению потока.
Таким образом, величины и безразмерные, остальные шесть – размерные. Три из них: 
, 
и приняты за основные. В соответствии с π-теоремой здесь возможны только три безразмерных соотношения. Следовательно:
для силы сопротивления:
1 = z (показатели слева и справа при кг);
2 = - x (показатели слева и справа при с);
1 = х + 2у - 3z (показатели слева и справа при м).
Решение этих уравнений даёт: x = 2; у = 1; z = 1.
Функциональная зависимость:
Аналогично получим:
Для вязкости:
имеем x 1 = 1; у 1 = 0,5; z 1 = 1.
Функциональная зависимость:
;
имеем x 2 = 2; у 2 = - 0,5; z 2 = 0.
Функциональная зависимость:
Для давления:
имеем x 3 = 2; у 3 = 0; z 3 = 1.
Функциональная зависимость:
.
Очевидно, что 
, 
, 
.
Отсюда можно сделать вывод, что после исследования данного процесса при некоторых размерах, скоростях и т.п., можно установить как он будет протекать при других размерах и скоростях в том случае, если безразмерные отношения, составленные из этих переменных, для обоих случаев будут одинаковые. Итак, выводы, полученные при экспериментах с телами данных размеров, движущихся с данной скоростью и т.д., будут, очевидно, справедливы и для любых других размеров тела, скорости и т.д. при условии равенства безразмерных отношений 
с теми, что наблюдались при экспериментах.
Пример 3.4. На основе предыдущих исследований на лабораторном устройстве определить функциональную зависимость мощности N (Вт = кг·м 2 /с 3) электродвигателя мешалки, которая необходима для перемешивания пульпы с реагентами в контактном чане.
Для подобия двух смесительных систем требуется:
Геометрическое подобие, при котором отношение величин для рассматриваемых систем должны быть равны между собой;
Кинематическое подобие, когда скорости в соответствующих точках должны быть в таком же отношении, как и скорости в других соответствующих точках, то есть пути движения пульпы должны быть подобными;
Динамическое подобие, которое требует, чтобы отношение сил в соответствующих точках было бы равным отношению сил в других соответствующих точках.
Если граничные условия фиксированные, можно одну переменную величину выразить через другие переменные, то есть функциональную зависимость мощности электродвигателя мешалки можно представить в виде функции от ряда независимых переменных величин и определить её по критериям подобия:
,
где диаметр мешалки, м; плотность пульпы, кг/м 3 ; 
скорость вращения мешалки, с -1 ; динамический коэффициент вязкости, Па·с (Па·с=кг/м·с); ускорение свободного падения, м/с 2 – угол наклона пластины к направлению потока.
Таким образом, имеем пять размерных величин, три из них: , и 
приняты за основные. В соответствии с π-теоремой здесь возможны только два безразмерных соотношения. Следовательно:
.
Учитывая равенство размерностей для числителя и знаменателя, найдём показатели степеней:
для мощности электродвигателя мешалки:
,
3 = z (показатели слева и справа при с);
1 = в (показатели слева и справа при кг);
2 = х - 3у (показатели слева и справа при м).
Решение этих уравнений даёт: x = 5; у = 1; z = 3.
Функциональная зависимость:
Аналогично получим:
Для вязкости:
имеем x 1 = 2; у 1 = 1; z 1 = 1.
Функциональная зависимость:
;
Для ускорения свободного падения:
имеем x 2 = 1; у 2 = 0; z 2 = 1.
Функциональная зависимость:
;
Очевидно, что , . Тогда искомая функциональная зависимость имеет вид:
.
Отсюда можно сделать вывод, что после нахождения функциональной зависимости мощности электродвигателя мешалки при некоторых её параметрах, можно установить какой она будет и при других размерах и скоростях и т.п. в том случае, если безразмерные отношения для обоих случаев будут одинаковы. Итак, выводы, полученные на экспериментальном устройстве, будут справедливы и для любых других при условии равенства безразмерных отношений с теми, что наблюдались при экспериментах.
Пример 3.5. Исследуется процесс обогащения в тяжелосредном сепараторе. На параметрической схеме процесса тяжелосредной сепарации (рис. 3.5) указаны входящие, исходящие и контролируемые параметры, а также возможные препятствия:
Входные и контролируемые параметры: Q вх - производительность сепаратора по исходному материалу; Q сусп - расход суспензии; V - объём ковша; Δρ - разница в плотностях суспензии и разделяемой фракции; ω - скорость вращения элеваторного колеса; п - число ковшей элеваторного колеса;
Выходные и контролируемые параметры: Q к-т - производительность сепаратора по концентрата; Q отх - производительность сепаратора по отходам;
Препятствия (неучтённые параметры, оказывающие влияние на процесс): влажность, гранулометрический и фракционный состав.
Проверяем, достаточно ли для расчёта модели количество параметров, для чего записываем размерности всех величин = кг/с; = м 3 /с; [Δ ] = кг/м 3 ; [V] = м 3 ; [ 
] = c –1 ; = кг/с; [n] = 8.
Основных размерных величин m = 3 (кг, м, с), поэтому в расчётах может быть использовано:
параметра, то есть Q отх, V , Δ , ω.
0 = 3x - 3z (показатели слева и справа при L);
1 = - у - 3z (показатели слева и справа при T);
Таким образом, x = 1; у = - 2; z = 1, то есть функциональная зависимость производительности сепаратора по отходам от объёма ковша, скорости вращения элеваторного колеса и разницы в плотности суспензии и разделяемой фракции имеет вид:
Величина коэффициента k определяется на основе предыдущих исследований при фиксированных параметрах: V = 0,25 м 3 ; Δ = 100 кг/м 3 ; = 0,035 c –1 ; n = 8, в результате которых установлено, что Q отх = 42 кг/с:
Формула 
является математической моделью исследуемого процесса.
Пример 3.6. Исследуется процесс транспортировки концентрата крупностью 0,5 - 13 мм обезвоживающим элеватором багер-зумпфа:
Входные и контролируемые параметры: ω - вместимость ковша элеватора по твёрдому; ρ - плотность питания; V - скорость движения цепи элеватора;
Выходной и контролируемый параметр: Q - производительность обезвоживающего элеватора багер-зумпфа по классу 0,5 - 13 мм;
Постоянные параметры: коэффициент заполнения ковшей 
= 0,5; влажность, гранулометрический и фракционный состав.
В рассматриваемом примере:
Проверяем, достаточно ли для расчёта модели количество параметров, для чего записываем размерности всех величин: [ω] = м 3 ; [ρ] = кг/м 3 ; [V] = м/с.
Основных размерных величин т = 3 (кг, м, с), поэтому в расчётах может быть использовано:
параметра, то есть Q, V, , ω.
Поскольку учтены не все параметры, в функциональную зависимость между выбранными параметрами добавляется коэффициент k:
,
или с использованием основных единиц измерения M, L, T:
0 = 3x + у - 3z (показатели слева и справа при L);
1 = - у (показатели слева и справа при T);
1 = z (показатели слева и справа при M).
Таким образом, x = 2/3; у = 1; z = 1, то есть функциональная зависимость производительности обезвоживающего элеватора багер-зумпфа по классу 0,5-13 мм от объёма ковша, скорости движения цепи элеватора и плотности питания имеет вид:
.
Величина коэффициента k определяется на основе предыдущих исследований при фиксированных параметрах: V = 0,25 м/с; = 1400 кг/м 3 ; = 50·10 –3 м 3 в результате которых установлено, что Q = 1,5 кг/с, кроме того, следует учесть коэффициент заполнения ковшей = 0,5 и тогда:
.
Формула 
является математической моделью процесса транспортировки концентрата крупностью 0,5-13 мм исследуемым обезвоживающим элеватором багер-зумпфа.
Следует иметь в виду, что чем меньше значение коэффициента k, тем больше значение рассматриваемых параметров.
Следует подчеркнуть, что конечная цель в рассматриваемом случае остается прежней: нахождение чисел подобия, по которым следует вести моделирование, но решается она при существенно меньшем объеме информации о характере процесса.
Для уяснения дальнейшего кратко рассмотрим некоторые основополагающие понятия. Обстоятельное изложение можно найти в книге А.Н.Лебедева «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.
Любой материальный объект обладает рядом свойств, которые допускают количественное выражение. При этом каждое из свойств характеризуется размером определенной физической величины. Единицы некоторых физических величин можно выбирать произвольно, и с их помощью представлять единицы всех остальных. Физические единицы, выбираемые произвольно, называют основными . В международной системе (применительно к механике) это - килограмм, метр и секунда. Остальные величины, выраженные через эти три, называют производными .
Основная единица может обозначаться либо символом соответствующей величины, либо специальным символом. Например, единицы длины - L , единицы массы - M , единица времени - T . Либо, единица длины - метр (м), единица массы - килограмм (кг), единица времени - секунда (с).
Под размерностью понимают символическое выражение (иногда его называют формулой) в виде степенного одночлена, связывающее производную величину с основными. Общий вид этой закономерности имеет вид
где x , y , z - показатели размерности.
Например, размерность скорости
Для безразмерной величины все показатели 
, и, следовательно, .
Два следующих утверждения достаточно ясны и не нуждаются в каких-либо специальных доказательствах.
Отношение размеров двух объектов является величиной постоянной вне зависимости от того, в каких единицах они выражаются. Так, например, если отношение площади, занимаемой окнами, к площади стен составляет 0,2, то этот результат останется неизменным, если сами площади выражать в мм2, м2или км2.
Второе положение можно сформулировать следующим образом. Любое правильное физическое соотношение должно быть размерностно однородным. Это означает, что все члены, входящие как в правую, так и в левую его части должны иметь одинаковую размерность. Это простое правило четко реализуется в житейском обиходе. Все осознают, что метры можно складывать только с метрами и никак не с килограммами или с секундами. Нужно четко представлять, что правило остается справедливым и при рассмотрении даже самых сложных уравнений.
Метод анализа размерностей базируется на так называемой -теореме (читается: пи-теорема). -теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме. Более полно теорема может сформулирована так:
Любая функциональная зависимость между размерными величинами может быть представлена в виде зависимости между N
безразмерными комплексами (числами ), составленными из этих величин. Число этих комплексов 
, где n
- число основных единиц. Как уже отмечалось выше, в гидромеханике (кг, м, с).
Пусть, например, величина А является функцией пяти размерных величин (), т.е.
(13.12)
Из -теоремы следует, что эта зависимость может быть преобразована в зависимость, содержащую два числа (
)
(13.13)
где и - безразмерные комплексы, составленные из размерных величин.
Эту теорему иногда приписывают Бэкингему и называют -теоремой Бэкингема. В действительности в её разработку внесли вклад многие крупные ученые, в том числе Фурье, Рябушинский, Рэлей.
Доказательство теоремы выходит за рамки курса. При необходимости оно может быть найдено в книге Л.И.Седова «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с. Подробное обоснование метода приводится и в книге В.А.Веникова и Г.В.Веникова «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая школа, 1984. -439 с. Особенностью этой книги является то, что помимо вопросов, связанных с подобием, в нее включены сведения о методике постановки эксперимента и обработки его результатов.
Использование анализа размерностей для решения конкретных практических задач связано с необходимостью составления функциональной зависимости вида (13.12), которая на следующем этапе обрабатывается специальными приемами, приводящими в конечном итоге к получению чисел (чисел подобия).
Основным, носящим творческий характер, является первый этап, так как получаемые результаты зависят от того, насколько правильно и полно представление исследователя о физической природе процесса. Другими словами, насколько функциональная зависимость (13.12) правильно и полно учитывает все параметры, влияющие на изучаемый процесс. Любая ошибка здесь неизбежно приводит к ошибочным выводам. В истории науки известна так называемая «ошибка Рэлея». Суть ее в том, что изучая задачу о теплообмене при турбулентном течении, Рэлей не учел влияние вязкости потока, т.е. не включил её в зависимость (13.12). В результате в конечные соотношения, полученные им, не вошло число подобия Рейнольдса, играющее исключительно важную роль в теплообмене.
Для уяснения сущности метода рассмотрим пример, иллюстрирующий как общий подход к задаче, так и способ получения чисел подобия .
Необходимо установить вид зависимости, позволяющий определить потери давления либо напора при турбулентном течении в круглых трубах.
Напомним, что эта задача уже рассматривалась в разделе 12.6. Поэтому представляет несомненный интерес установить, как она может быть разрешена с помощью анализа размерностей и дает ли это решение какую-то новую информацию.
Ясно, что падение давления вдоль трубы, обусловленное затратами энергии на преодоление сил вязкого трения обратно пропорционально её длине, поэтому с целью сокращения числа переменных целесообразно рассматривать не , а , т.е. потери давления на единицу длины трубы. Напомним, что отношение , где - потери напора, носит название гидравлического уклона.
Из представлений о физической сущности процесса можно предположить что возникающие потери должны зависеть: от средней скорости течения рабочей среды (v); от размера трубопровода, определяемого его диаметром (d ); от физических свойств транспортируемой среды, характеризуемых её плотностью () и вязкостью (); и, наконец, разумно считать, что потери должны быть как-то связаны с состоянием внутренней поверхностью трубы, т.е. с шероховатостью (k ) ее стенок. Таким образом, зависимость (13.12) в рассматриваемом случае имеет вид
(13.14)
На этом и заканчивается первый и, нужно подчеркнуть, наиболее ответственный этап анализа размерностей.
В соответствии с -теоремой, число влияющих параметров, входящих в зависимость, . Следовательно, число безразмерных комплексов , т.е. после соответствующей обработки (13.14) должна принять вид
(13.15)
Существует несколько способов нахождения чисел . Мы воспользуемся методом, предложенным Рэлеем.
Основным достоинством его является то, что он представляет собой своеобразный алгоритм, приводящий к решению задачи.
Из параметров, входящих в (13.15) необходимо выбрать три любых, но так, чтобы в них входили основные единицы, т.е. метр, килограмм и секунда. Пусть ими будут v, d , . Легко убедиться, что они удовлетворяют поставленному требованию.
Образуются числа в виде степенных одночленов из выбранных параметров, умноженных на один из оставшихся в (13.14)
; (13.16)
; (13.17)
; (13.18)
Теперь задача сводится к нахождению всех показателей степеней. При этом они должны быть подобраны так, чтобы числа были безразмерны.
Для решения этой задачи определим прежде всего размерности всех параметров:
; ; 
Вязкость 
, т.е. 
.
Параметр 
, и 
.
И, наконец, .
Таким образом, размерности чисел будут
Аналогично два других
В начале раздела 13.3 уже отмечалось, что для любой безразмерной величины показатели размерности . Поэтому, например, для числа можем записать
Приравнивая показатели степеней, получаем три уравнения с тремя неизвестными
Откуда находим ; ; .
Подставляя эти значения в (13.6), получаем
(13.19)
Действуя аналогично, легко показать, что
и .
Таким образом, зависимость (13.15) принимает вид
(13.20)
Так как есть неопределяющее число подобия (число Эйлера), то (13.20) можно записать как функциональную зависимость
(13.21)
Следует иметь в виду, что анализ размерностей не дает и принципиально не может дать каких-то числовых значений в получаемых с его помощью соотношениях. Поэтому он должен завершаться анализом результатов и при необходимости их корректировкой, исходя из общих физических представлений. Рассмотрим с этих позиций выражение (13.21). В правую его часть входит квадрат скорости, но эта запись не выражает ничего, кроме того, что скорость возводится в квадрат. Однако, если поделить эту величину на два, т.е. , то как известно из гидромеханики, она приобретает важный физический смысл: удельной кинетической энергии, а - динамическое давление, обусловленное средней скоростью. С учетом этого (13.21) целесообразно записать в виде
(13.22)
Если теперь, как в (12.26), обозначить буквой , то приходим к формуле Дарси
(13.23)
(13.24)
где - гидравлический коэффициент трения, который, как следует из (13.22), является функцией числа Рейнольдса и относительной шероховатости (k/d ). Вид этой зависимости может быть найден только экспериментальным путем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержеев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов. М.:Высшая школа, 1976. - 389с.
2. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.-307с.
3. Федяевский К.К., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. - М.: Судостроение, 1968. - 567 с.
4. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964. - 814 с.
5. Аржаников Н.С. и Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз, 1956 - 483 с.
6. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. - К.: Наукова думка, 1964. - 530 с.
7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.
8. Дейли Дж., Харлеман Д. Механика жидкости. -М.: Энергия, 1971. - 480 с.
9. А.С. Монин, А.М. Яглом «Статистическая гидромеханика» (ч.1. -М.: Наука, 1968. -639 с.)
10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.
11. Павленко В.Г. Основы механики жидкости. - Л.: Судостроение, 1988. - 240 с.
12. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1970. - 215 с.
13. А.А.Гухман «Введение в теорию подобия». - М.: Высшая школа, 1963. - 253 с.
14. С. Клайн «Подобие и приближенные методы». - М.: Мир, 1968. - 302 с.
15. А.А.Гухман «Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. Процессы переноса в движущейся среде». - М.: Высшая шкала,1967. - 302 с.
16. А.Н.Лебедев «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.
17. Л.И.Седов «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с.
18. В.А.Веников и Г.В.Веников «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая школа, 1984. -439 с.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ................................................................................................ 3
1.1. Векторы и операции над ними................................................... 4
1.2. Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля). ......................................................................................................... 5
1.3. Операции второго порядка........................................................ 6
1.4. Интегральные соотношения теории поля.................................. 7
1.4.1. Поток векторного поля.................................................. 7
1.4.2. Циркуляция вектора поля.............................................. 7
1.4.3. Формула Стокса............................................................. 7
1.4.4. Формула Гаусса-Остроградского.................................. 7
2. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ПАРАМЕТРЫ ЖИДКОСТИ. СИЛЫ И НАПРЯЖЕНИЯ........................................................................... 8
2.1. Плотность.................................................................................... 8
2.2. Вязкость....................................................................................... 9
2.3. Классификация сил.................................................................... 12
2.3.1. Массовые силы............................................................. 12
2.3.2. Поверхностные силы.................................................... 12
2.3.3. Тензор напряжения...................................................... 13
2.3.4. Уравнение движения в напряжениях........................... 16
3. ГИДРОСТАТИКА................................................................................. 18
3.1. Уравнение равновесия жидкости.............................................. 18
3.2. Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме. ......................................................................................................... 19
3.3. Эквипотенциальные поверхности и поверхности равного давления. ......................................................................................................... 20
3.4. Равновесие однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести. Закон Паскаля. Гидростатический закон распределения давления... 20
3.5. Определение силы давления жидкости на поверхности тел.... 22
3.5.1. Плоская поверхность.................................................... 24
4. КИНЕМАТИКА..................................................................................... 26
4.1. Установившееся и неустановившееся движение жидкости...... 26
4.2. Уравнение неразрывности (сплошности)................................. 27
4.3. Линии тока и траектории.......................................................... 29
4.4. Трубка тока (поверхность тока)............................................... 29
4.5. Струйная модель потока........................................................... 29
4.6. Уравнение неразрывности для струйки................................... 30
4.7. Ускорение жидкой частицы...................................................... 31
4.8. Анализ движения жидкой частицы........................................... 32
4.8.1. Угловые деформации................................................... 32
4.8.2. Линейные деформации................................................. 36
5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ.............................................. 38
5.1. Кинематика вихревого движения............................................. 38
5.2. Интенсивность вихря................................................................ 39
5.3. Циркуляция скорости............................................................... 41
5.4. Теорема Стокса......................................................................... 42
6. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ................................ 44
6.1. Потенциал скорости.................................................................. 44
6.2. Уравнение Лапласа................................................................... 46
6.3. Циркуляция скорости в потенциальном поле.......................... 47
6.4. Функция тока плоского течения............................................... 47
6.5. Гидромеханический смысл функции тока................................ 49
6.6. Связь потенциала скорости и функции тока............................ 49
6.7. Методы расчета потенциальных потоков................................ 50
6.8. Наложение потенциальных потоков......................................... 54
6.9. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра................ 58
6.10. Применение теории функций комплексного переменного к изучению плоских потоков идеальной жидкости............................................ 60
6.11. Конформные отображения..................................................... 62
7. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ............................. 65
7.1. Уравнения движения идеальной жидкости.............................. 65
7.2. Преобразование Громеки-Лэмба............................................. 66
7.3. Уравнение движения в форме Громеки-Лэмба........................ 67
7.4. Интегрирование уравнения движения для установившегося течения......................................................................................................... 68
7.5. Упрощенный вывод уравнения Бернулли............................... 69
7.6. Энергетический смысл уравнения Бернулли........................... 70
7.7. Уравнение Бернулли в форме напоров.................................... 71
8. ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ..................................... 72
8.1. Модель вязкой жидкости.......................................................... 72
8.1.1. Гипотеза линейности................................................... 72
8.1.2. Гипотеза однородности................................................ 74
8.1.3. Гипотеза изотропности................................................. 74
8.2 Уравнение движения вязкой жидкости. (уравнение Навье-Стокса) ......................................................................................................... 74
9. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (основы гидравлики)........................................................................................................... 77
9.1. Расход потока и средняя скорость........................................... 77
9.2. Слабодеформированные потоки и их свойства....................... 78
9.3. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости................. 79
9.4. Физический смысл коэффициента Кориолиса......................... 82
10. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ.............................................................................................. 84
11. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА ТЕЧЕНИЯ В КРУГЛЫХ ТРУБАХ..................................................................................................... 86
12. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ. .................................................................................................................. 90
12.1. Общие сведения....................................................................... 90
12.2. Уравнения Рейнольдса............................................................ 92
12.3. Полуэмпирические теории турбулентности.......................... 93
12.4. Турбулентное течение в трубах............................................. 95
12.5. Степенные законы распределения скоростей....................... 100
12.6. Потери давления (напора) при турбулентном течении в трубах. ......................................................................................................... 100
13. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ............... 102
13.1. Инспекционный анализ дифференциальных уравнений..... 106
13.2. Понятие об автомодельности................................................ 110
13.3. Анализ размерностей............................................................ 111
Литература …………………………………………………………………..118
В физике... нет места для путаных мыслей…
Действительно понимающие природу
Того или иного явления должны получать основные
Законы из соображений размерности. Э. Ферми
Описание той или иной проблемы, обсуждение теоретических и экспериментальных вопросов начинается с качественного описания и оценки того эффекта, который дает данная работа.
При описании какой-то проблемы нужно, прежде всего, оценить порядок величины ожидаемого эффекта, простые предельные случаи и характер функциональной связи величин, описывающих данное явление. Эти вопросы называются качественным описанием физической ситуации.
Одним из наиболее эффективных методов такого анализа является метод размерностей.
Вот некоторые достоинства и приложения метода размерностей:
- быстрая оценка масштабов исследуемых явлений;
- получение качественных и функциональных зависимостей;
- восстановление забытых формул на экзаменах;
- выполнение некоторых заданий ЕГЭ;
- осуществление проверки правильности решения задач.
Анализ размерностей применяется в физике еще со времен Ньютона. Именно Ньютон сформулировал тесно связанный с методом размерностей принцип подобия (аналогии).
Учащиеся впервые встречаются с методом размерностей при изучении теплового излучения в курсе физики 11 класса:
Спектральной характеристикой теплового излучения тела является спектральная плотность энергетической светимости r v – энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в единичном интервале частот.
Единица спектральной плотности энергетической светимости – джоуль на квадратный метр (1 Дж/м 2). Энергия теплового излучения черного тела зависит от температуры и длины волны. Единственной комбинацией этих величин с размерностью Дж/м 2 является kT/ 2 ( = c/v). Точный расчет, проделанный Рэлеем и Джинсом в 1900 г., в рамках классической волновой теории дал следующий результат:
где k – постоянная Больцмана.
Как показал опыт, данное выражение согласуется с экспериментальными данными лишь в области достаточно малых частот. Для больших частот особенно в ультрафиолетовой области спектра формула Рэлея-Джинса неверна: она резко расходится с экспериментом. Методы классической физики оказались недостаточными для объяснения характеристик излучения абсолютно черного тела. Поэтому расхождение результатов классической волновой теории с экспериментом в конце XIX в. получило название “ультрафиолетовой катастрофы”.
Покажем применение метода размерностей на простом и хорошо понятном примере.
Рисунок 1
Тепловое излучение абсолютно черного тела: ультрафиолетовая катастрофа – расхождение классической теории теплового излучения с опытом.
Представим себе, что тело массой m перемещается прямолинейно под действием постоянной силы F. Если начальная скорость тела равна нулю, а скорость в конце пройденного участка пути длиной s равна v, то можно записать теорему о кинетической энергии: .Между величинами F, m, v и s существует функциональная связь.
Предположим, что теорема о кинетической энергии забыта, а понимаем, что функциональная зависимость между v, F, m, и s существует и имеет степенной характер.
Здесь x, y, z – некоторые числа. Определим их. Знак ~ означает, что левая часть формулы пропорциональна правой, то есть , где k – числовой коэффициент, не имеет единиц измерения и с помощью метода размерностей не определяется.
Левая и правая части соотношения (1) имеют одинаковые размерности. Размерности величин v, F, m и s таковы: [v] = м/c = мc -1 , [F] = H = кгмс -2 , [m] = кг, [s] = м. (Символ [A] обозначает размерность величины A.) Запишем равенство размерностей в левой и правой частях соотношения (1):
м c -1 = кг x м x c -2x кг y м Z = кг x+y м x+z c -2x .
В левой части равенства вообще нет килограммов, поэтому и справа их быть не должно.
Это значит, что
Справа метры входят в степени x+z, а слева - в степени 1, поэтому
Аналогично, из сравнения показателей степени при секундах следует
Из полученных уравнений находим числа x, y, z:
x = 1/2, y = -1/2, z = 1/2.
Окончательная формула имеет вид
Возведя в квадрат левую и правую части этого соотношения, получаем, что
Последняя формула есть математическая запись теоремы о кинетической энергии, правда без числового коэффициента.
Принцип подобия, сформулированный Ньютоном, заключается в том, что отношение v 2 /s прямо пропорционально отношению F/m. Например, два тела с разными массами m 1 и m 2 ; будем действовать на них разными силами F 1 и F 2 , но таким образом, что отношения F 1 / m 1 и F 2 / m 2 будут одинаковыми. Под действием этих сил тела начнут двигаться. Если начальные скорости равны нулю, то скорости, приобретаемые телами на отрезке пути длины s, будут равны. Это и есть закон подобия, к которому мы пришли с помощью идеи о равенстве размерностей правой и левой частей формулы, описывающей степенную связь значения конечной скорости со значениями силы, массы и длины пути.
Метод размерностей был введен при построении основ классической механики, однако его эффективное применение для решения физических задач, началось в конце прошлого – в начале нашего века. Большая заслуга в пропаганде этого метода и решения с его помощью интересных и важных задач принадлежит выдающемуся физику лорду Рэлею. В 1915 году Рэлей писал: “ Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия, даже со стороны весьма крупных ученых. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как вновь открытые “законы”, которые, тем не менее, можно было получить априорно в течение нескольких минут”.
В наши дни физиков уже нельзя упрекнуть в пренебрежительном отношении или в недостаточном внимании к принципу подобия и к методу размерностей. Рассмотрим одну из классических задач Рэлея.
Задача Рэлея о колебаниях шарика на струне.
Пусть между точками A и B натянута струна. Сила натяжения струны F. На середине этой струны в точке C находится тяжелый шарик. Длина отрезка AC (и соответственно CB) равна 1. Масса М шарика намного больше массы самой струны. Струну оттягивают и отпускают. Довольно ясно, что шарик будет совершать колебания. Если амплитуда эти x колебаний много меньше длины струны, то процесс будет гармоническим.
Определим частоту колебаний шарика на струне. Пусть величины , F, M и 1 связанны степенной зависимостью:
Показатели степени x, y, z – числа, которые нам нужно определить.
Выпишем размерности интересующих нас величин в системе СИ:
C -1 , [F] = кгм с -2 , [M] = кг, = м.
Если формула (2) выражает реальную физическую закономерность, то размерности правой и левой частей этой формулы должны совпадать, то есть должно выполняться равенство
с -1 = кг x м x c -2x кг y м z = кг x + y м x + z c -2x
В левую часть этого равенства вообще не входят метры и килограммы, а секунды входят в степени – 1. Это означает, что для x, y и z выполняются уравнения:
x+y=0, x+z=0, -2x= -1
Решая эту систему, находим:
x=1/2, y= -1/2, z= -1/2
Следовательно,
~F 1/2 M -1/2 1 -1/2
Точная формула для частоты отличается от найденной всего в раз ( 2 = 2F/(M1)).
Таким образом, получена не только качественная, но и количественная оценка зависимости для от величин F, M и 1. По порядку величины найденная степенная комбинация дает правильное значение частоты. Оценка всегда интересует по порядку величины. В простых задачах часто коэффициенты, неопределяемые методом размерностей, можно считать числами порядка единицы. Это не есть строгое правило.
При изучении волн рассматриваю качественное прогнозирование скорости звука методом анализа размерностей. Скорость звука ищем как скорость распространения волны сжатия и разрежения в газе. У учащихся не возникает сомнений в зависимости скорости звука в газе от плотности газа и его давления p.
Ответ ищем в виде:
где С – безразмерный множитель, числовое значение которого из анализа размерности найти нельзя. Переходя в (1) к равенству размерностей.
м/c = (кг/м 3) x Па y ,
м/с = (кг/м 3) x (кг м/(с 2 м 2)) y ,
м 1 с -1 = кг x м -3x кг y м y c -2y м -2y ,
м 1 с -1 = кг x+y м -3x + y-2y c -2y ,
м 1 с -1 = кг x+y м -3x-y c -2y .
Равенство размерностей в левой и правой части равенства дает:
x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,
x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,
x = -1/2 , y = 1/2 .
Таким образом, скорость звука в газе
Формулу (2) при С=1 впервые получил И. Ньютон. Но количественные выводы этой формулы были весьма сложны.
Экспериментальное определение скорости звука в воздухе было выполнено в коллективной работе членов Парижской Академии наук в 1738 г., в которой измерялось время прохождения звуком пушечного выстрела расстояния 30 км.
Повторяя данный материал в 11-м классе, внимание учащихся обращается на то, что результат (2) можно получить для модели изотермического процесса распространения звука с использованием уравнения Менделеева - Клапейрона и понятия плотности:
– скорость распространения звука.
Познакомив учащихся с методом размерностей, даю им этим методом вывести основное уравнение МКТ для идеального газа.
Учащиеся понимают, что давление идеального газа зависит от массы отдельных молекул идеального газа, числа молекул в единице объема – n (концентрации молекул газа) и скорости движения молекул – .
Зная размерности величин, входящих в данное уравнение имеем:
,
,
,
Сравнивая размерности левой и правой части данного равенства, имеем:
Поэтому основное уравнение МКТ имеет такой вид:
- отсюда следует
Из заштрихованного треугольника видно, что
Ответ: В).
Это мы воспользовались методом размерности.
Метод размерностей кроме осуществления традиционной проверки правильности решения задач, выполнения некоторых заданий ЕГЭ, помогает находить функциональные зависимости между различными физическими величинами, но только для тех ситуаций, когда эти зависимости степенные. Таких зависимостей в природе много, и метод размерностей - хороший помощник при решении подобных задач.
