Обобщенное однородное уравнение. Однородные дифференциальные уравнения I порядка Обобщенное однородное уравнение

.
Дифференциальные уравнения.

§ 1. Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка для функции y аргументаx называется соотношение вида

где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные
(функции, образованные как результат дифференцирования); термин – «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x , искомую функцию
и любые ее производные, но старшая производная
обязана входить в уравнение n - го порядка. Например

а)
– уравнение первого порядка;

б)
– уравнение третьего порядка.

При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:

в)
– уравнение второго порядка;

г)
– уравнение первого порядка,

образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения:
.

Функция
называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество.

Например, уравнение 3-го порядка

Имеет решение
.

Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно y (x ) : В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1).

Например, общим решением дифференциального уравнения
является следующее выражение: , причем второе слагаемое может быть записано и как
, так как произвольная постоянная , делённая на 2, может быть заменена новой произвольной постоянной .

Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при (1.2)

В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.

Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.

§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n =1) имеет вид:
или, если его удается разрешить относительно производной:
. Общее решение y = y (x ,С) или общий интеграл
уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка
позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Теорема 2.1. Если в уравнении функция
и ее частная производная
непрерывны в некоторой области D плоскостиXOY , и в этой области задана точка
, то существует и притом единственное решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию
.

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY , не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C . Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке:
. Другими словами, уравнение задается в плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым. Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению
приводится уравнение и так называемое уравнение в симметрической форме
.

§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
(3.1)

или уравнение вида (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:

;

Теперь надо решить уравнение g (y )= 0 . Если оно имеет вещественное решениеy = a , то y = a тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение
:

, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2):
. (3.3)

Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями
, если такие решения существуют.

Решить уравнение: .

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем

Далее из уравнений
и
находим x =1, y =-1. Эти решения – частные решения.

§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых
справедливо соотношение
, называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция
- однородная нулевого измерения.

Решение.

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция
- однородна и, наоборот, любая однородная функция
нулевого измерения приводится к виду
.

Доказательство.

Первое утверждение теоремы очевидно, т.к.
. Докажем второе утверждение. Положим
, тогда для однородной функции
, что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение (4.1)

в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным.

Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду
(4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y = zx , гдеz (x ) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим:
или
или
.

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z (x )
, который после повторной замены
дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения
, то функции
- решения однородного заданного уравнения. Если же
, то уравнение (4.2) принимает вид

и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые:
.

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x = zy .

§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

Рассмотрим уравнение вида
. (5.1)

Если
, то это уравнение с помощью подстановки , где и - новые переменные, а и - некоторые постоянные числа, определяемые из системы

Приводится к однородному уравнению

Если
, то уравнение (5.1) принимает вид

Полагая z = ax + by , приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Проинтегрировать уравнение

и выделить интегральную кривую, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;-1).

Решение.

Положим y = zx . Тогда dy = xdz + zdx и

Сократим на и соберем члены при dx иdz :

Разделим переменные:

.

Интегрируя, получим ;

или
,
.

Заменив здесь z на , получим общий интеграл заданного уравнения в виде (5.2)
или

.

Это семейство окружностей
, центры которых лежат на прямой y = x и которые в начале координат касаются прямой y + x = 0. Эта прямая y = - x в свою очередь частное решение уравнения.

Теперь режим задачи Коши:

А) полагая в общем интеграле x =2, y =2, находим С=2, поэтому искомым решением будет
.

Б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку (1;-1). Зато полупрямая y = - x ,
проходит через точку и дает искомое решение.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение.

Уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель
в данном примере
, поэтому надо решить следующую систему

Решая, получим, что
. Выполняя в заданном уравнении подстановку
, получаем однородное уравнение . Интегрируя его при помощи подстановки
, находим
.

Возвращаясь к старым переменным x иy по формулам
, имеем .

§ 6. Обобщенное однородное уравнение.

Уравнение M (x , y ) dx + N (x , y ) dy =0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k , что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x , y , dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k -1) -го измерений. Например, таким будет уравнение
. (6.1)

Действительно при сделанном предположении относительно измерений

x , y , dx и dy члены левой части
и dy будут иметь соответственно измерения -2, 2k иk -1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k : -2 = 2k =k -1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
, где z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то
, после чего получаем уравнение .

Интегрируя его, находим
, откуда
. Это общее решение уравнения (6.1).

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:

, (7.1)

где P (x ) и Q (x ) – заданные непрерывные функции от x . Если функция
, то уравнение (7.1) имеет вид:
(7.2)

и называется линейным однородным уравнением, в противном случае
оно называется линейным неоднородным уравнением.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

(7.3)

Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P (x ) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x ) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:

или
.

Откуда
, где - произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет (7.4)

Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при
. Этот важный вывод выделим в виде теоремы.

Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
, то все остальные решения имеют вид
, где
- общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде
. Тогда
. Подставим найденную производную в исходное уравнение:
.

Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u (x ) за скобку:
(7.5)

Потребуем обращения в нуль круглой скобки:
.

Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю:
. С найденной функцией v (x ) вернемся в уравнение (7.5):
.

Решая его, получим:
.

Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид:

§ 8. Уравнение Бернулли.

Определение.

Дифференциальное уравнение вида
, где
, называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что
, разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим:
(8.1)

Введем новую функцию
. Тогда
. Домножим уравнение (8.1) на
и перейдем в нем к функции z (x ) :
, т.е. для функции z (x ) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z (x ) выражение
, получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y . При
добавляется решение y (x )=0 . Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки
, а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в § 7 . Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

Пример. Найти общее решение уравнения:
(8.2)

Решение.

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:
, y (x )=0.

§ 9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Если в уравнении M (x , y ) dx + N (x , y ) dy =0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U (x , y ) , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du (x , y )=0 , следовательно, его общий интеграл есть u (x , y )= c .

Например, уравнение xdy + ydx =0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d (xy )=0. Общим интегралом будет xy = c - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по u
§ 10. Интегрирующий множитель.

Если уравнение M (x , y ) dx + N (x , y ) dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x , y ) , такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение

µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy) du , то функция µ(x , y ) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1 .

Если найден интегрирующий множитель µ , то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y , то
.

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка:

(10.1).

Если заранее известно, что µ= µ(ω) , где ω – заданная функция от x и y , то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω :

(10.2),

где
, т. е. дробь является функцией только от ω .

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель

, с = 1.

В частности уравнение M (x , y ) dx + N (x , y ) dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x ) или только от y (ω = y ), если выполнены соответственно следующие условия:

,
.

Показано как распознать обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Рассмотрен способ решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка. Дан пример подробного решения такого уравнения.

Содержание

Определение

Обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение вида:
, где α ≠ 0 , α ≠ 1 , f - функция.

Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену:
y → t α · y , x → t·x .
Если удастся выбрать такое значение α , при котором постоянная t сократится, то это - обобщенное однородное дифференциальное уравнение . Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.

Делаем замену y → t α · y , x → t·x , y′ → t α-1 y′ :
;
.
Разделим на t α+5 :
;
.
Уравнение не будет содержать t , если
4 α - 6 = 0 , α = 3/2 .
Поскольку при α = 3/2 , t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение .

Метод решения

Рассмотрим обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки:
t = x α .
Действительно,
.
Отсюда
; .
(1) :
;
.

Это - однородное уравнение . Оно решается подстановкой:
y = z · t ,
где z - функция от t .
При решении задач, проще сразу применять подстановку:
y = z x α ,
где z - функция от x .

Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить дифференциальное уравнение
(П.1) .

Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t α · y , x → t·x , y′ → t α-1 y′ .
.
Разделим на t α :
.
t сократится, если положить α = -1 . Значит - это обобщенное однородное уравнение.

Делаем подстановку:
y = z x α = z x -1 ,
где z - функция от x .
.
Подставляем в исходное уравнение (П.1) :
(П.1) ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные - умножим на dx и разделим на x z 2 . При z ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов :
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С :
.

Возвращаемся к переменной y . Подставляем z = xy :
.
Делим на x :
(П.2) .

Когда мы делили на z 2 , мы предполагали, что z ≠ 0 . Теперь рассмотрим решение z = xy = 0 , или y = 0 .
Поскольку при y = 0 , левая часть выражения (П.2) не определена, то к полученному общему интегралу, добавим решение y = 0 .

;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Уравнение M (x , y ) dx + N (x , y ) dy =0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k , что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x , y , dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k ‑ го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k -1) -го измерений. Например, таким будет уравнение . (6.1)

Действительно при сделанном предположении относительно измерений

x , y , dx и dy члены левой части
иdy будут иметь соответственно измерения -2, 2k и k -1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k : -2 = 2k = k -1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
, гдеz – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то
, после чего получаем уравнение.

Интегрируя его, находим
, откуда
. Это общее решение уравнения (6.1).

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

, (7.1)

где P (x ) и Q (x ) – заданные непрерывные функции от x . Если функция
, то уравнение (7.1) имеет вид:
(7.2)

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

(7.3)

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:

или
.

Откуда
, где- произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет(7.4)

Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u (x ) за скобку:
(7.5)

Потребуем обращения в нуль круглой скобки:
.

Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю:
. С найденной функциейv (x ) вернемся в уравнение (7.5):
.

Решая его, получим:
.

Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид.

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Подобные документы

Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

лекция , добавлен 18.08.2012

Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Признак уравнения в полных дифференциалах, построение общего интеграла. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя. Случай множителя, зависящего только от Х и только от Y.

курсовая работа , добавлен 24.12.2014

Особенности дифференциальных уравнений как соотношения между функциями и их производными. Доказательство теоремы существования и единственности решения. Примеры и алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель в примерах.

курсовая работа , добавлен 11.02.2014

Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.

курсовая работа , добавлен 26.01.2015

Уравнение с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения. Геометрические свойства интегральных кривых. Полный дифференциал функции двух переменных. Определение интеграла методами Бернулли и вариации произвольной постоянной.

реферат , добавлен 24.08.2015

Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.

дипломная работа , добавлен 10.06.2010

Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

контрольная работа , добавлен 02.11.2011