Обозначение векторов. Понятие вектора. Действия с векторами. Коллинеарность векторов

Oxy

О А ОА .

, откуда ОА .

Таким образом, .

Рассмотрим пример.

Пример.

Решение.

:

Ответ:

Oxyz в пространстве.

А ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА ОА .

Таким образом, длина вектора .

Пример.

Вычислите длину вектора

Решение.

, следовательно,

Ответ:

Прямая на плоскости

Общее уравнение

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0 , где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:



1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox ;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy ;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox ;

5) x = 0 - ось Oy .

Уравнение прямой в отрезках

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)

где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox ; p - расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C , если и произвольно, если C = 0 .

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy . Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О ) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА .

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :



Ответ:

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат , то есть, находится по формуле .

Пример.

Вычислите длину вектора , где - орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

Определение

Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина, площадь , масса, температура и т.д.

Вектором называется направленный отрезок $\overline{A B}$; точка $A$ - начало, точка $B$ - конец вектора (рис. 1).

Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом: $\overline{A B}$ либо одной малой буквой: $\overline{a}$.

Определение

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым . Чаще всего нулевой вектор обозначается как $\overline{0}$.

Векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Определение

Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются сонаправленными , если их направления совпадают: $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b}$ (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются противоположно направленными , если их направления противоположны: $\overline{a} \uparrow \downarrow \overline{b}$ (рис. 3, б).

Определение

Векторы называются компланарными , если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).

Два вектора всегда компланарны.

Определение

Длиной (модулем) вектора $\overline{A B}$ называется расстояние между его началом и концом: $|\overline{A B}|$

Подробная теория про длину вектора по ссылке .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом .

Векторы называются равными , если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

  • 6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
  • 11. Выражение скалярного произведения вектора через координаты сомножителей. Теорема.
  • 12. Длина вектора, длина отрезка, угол между векторами, условие перпендикулярности векторов.
  • 13. Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь параллелограмма.
  • 14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.
  • 15. Способы задания прямой на плоскости.
  • 16. Нормальное уравнение прямой на плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.
  • 17. Уравнение прямой на плоскости в отрезках (вывод).
  • Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.
  • 18. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом (вывод).
  • 19. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки (вывод).
  • 20. Угол между прямыми на плоскости (вывод).
  • 21. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).
  • 22. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости (вывод).
  • 23. Уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.
  • 24. Уравнение плоскости в отрезках (вывод).
  • 25. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (вывод).
  • 26. Угол между плоскостями (вывод).
  • 27. Расстояние от точки до плоскости (вывод).
  • 28. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (вывод).
  • 29. Уравнения прямой в r3. Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки (вывод).
  • 30. Канонические уравнения прямой в пространстве (вывод).
  • Составление канонических уравнений прямой в пространстве.
  • Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.
  • Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.
  • Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.
  • 31. Угол между прямыми (вывод).
  • 32. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).
  • Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения.
  • Первый способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
  • Второй способ, позволяющий найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
  • Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
  • Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.
  • Первый способ нахождения расстояния от точки до прямойaв пространстве.
  • Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямойaв пространстве.
  • 33. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
  • 34. Взаимное расположение прямых в пространстве и прямой с плоскостью.
  • 35. Классическое уравнение эллипса (вывод) и его построение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид, где– положительные действительные числа, причём.Как построить эллипс?
  • 36. Классическое уравнение гиперболы (вывод) и его построение. Асимптоты.
  • 37. Каноническое уравнение параболы (вывод) и построение.
  • 38. Функция. Основные определения. Графики основных элементарных функций.
  • 39. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
  • 40. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о связи между ними, свойства.
  • 41. Теоремы о действиях над переменными величинами, имеющими конечные пределы.
  • 42. Число e.
  • Содержание
  • Способы определения
  • Свойства
  • История
  • Приближения
  • 43. Определение предела функции. Раскрытие неопределённостей.
  • 44. Замечательные пределы, их вывод. Эквивалентные бесконечно малые величины.
  • Содержание
  • Первый замечательный предел
  • Второй замечательный предел
  • 45. Односторонние пределы. Непрерывность и разрывы функции. Односторонние пределы
  • Левый и правый пределы функции
  • Точка разрыва первого рода
  • Точка разрыва второго рода
  • Точка устранимого разрыва
  • 46. Определение производной. Геометрический смысл, механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой и точке.
  • 47. Теоремы о производной обратной, сложной функций.
  • 48. Производные простейших элементарных функций.
  • 49. Дифференцирование параметрических, неявных и степенно-показательных функций.
  • 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
  • 21.1. Неявно заданная функция
  • 21.2. Функция, заданная параметрически
  • 50. Производные высших порядков. Формула Тейлора.
  • 51. Дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
  • 52. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
  • 53. Теорема о необходимом и достаточном условиях монотонности функции.
  • 54. Определение максимума, минимума функции. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования экстремума функции.
  • Теорема (необходимое условие экстремума)
  • 55. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования точек перегиба.
  • Доказательство
  • 57. Определители n-ого порядка, их свойства.
  • 58. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы.
  • Определение
  • Связанные определения
  • Свойства
  • Линейное преобразование и ранг матрицы
  • 59. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
  • 60. Системы линейных уравнений. Матричное решение систем линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.
  • Определения, понятия, обозначения.
  • Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.
  • Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).
  • Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.
  • Теорема Кронекера – Капелли.
  • Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.
  • Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.
  • Решение систем уравнений, сводящихся к слау.
  • Примеры задач, сводящихся к решению систем линейных алгебраических уравнений.
  • 1. Определение вектора. Длина вектора. Коллинеарность, компланарность векторов.

    Вектором называется направленный отрезок. Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.

    Модуль вектора a обозначается . Векторa называется единичным, если . Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

    2. Умножение вектора на число. Свойства операции.

    Умножение вектора на число, даёт противоположно направленный вектор в длиной враз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число:

    Исходя из определения получается выражение для модуля вектора, умноженного на число:

    Аналогично как и числами, операции сложение вектора с самим с собой можно записать через умножение на число:

    А вычитание векторов можно переписать через сложение и умножение:

    Исходя из того, что умножение на не меняет длины вектора, а меняет только направление и учитывая определение вектора, получаем:

    3. Сложение векторов, вычитание векторов.

    В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

    Для геометрического построения вектора суммы используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

    Правило треугольника

    Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов инекоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса, соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторовипо правилутреугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

    Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной :

    Правило многоугольника

    Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго и так далее, сумма же векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом-го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

    Правило параллелограмма

    Для сложения двух векторов ипо правилупараллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала. (Легко видеть, что эта диагональ совпадает с третьей стороной треугольника при использовании правила треугольника).

    Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых - то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

    Модуль суммы векторов

    Модуль суммы двух векторов можно вычислить, использую теорему косинусов :

    Где - косинус угла между векторамии.

    Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку - между сторонами треугольника - что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в ее прямой формулировке.

    Для суммы произвольного количества векторов применима аналогичная формула, в которой членов с косинусом больше: по одному такому члену существует для каждой пары векторов из суммируемого набора. Например, для трех векторов формула выглядит так:

    Вычитание векторов

    Два вектора и вектор их разности

    Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

    Для получения вектора разности начала векторов соединяются и началом векторабудет конец, а концом - конец. Если записать, используя точки векторов, то.

    Модуль разности векторов

    Три вектора , как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:

    где - косинус угла между векторамии

    Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется (вариант формулы модуля суммы с углом между сторонами треугольника при суммировании по правилу треугольника по виду не отличается от данной формулы для модуля разности, но надо иметь в виду, что для тут берутся разные углы: в случае суммы берётся угол, когда вектор переносится к концу вектора, когда же ищется модель разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке; выражение для модуля суммы с использованием того же угла, что в данном выражении для модуля разности, отличается знаком перед косинусом).

    "

    Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая - за конец. Если А - начало вектора и В - его конец, то вектор обозначается символом $\overrightarrow{АВ}$ (или $\overline{АВ}$). Обычно векторы обозначают одной малой латинской буквой со стрелкой (или с чертой) либо выделяют жирным шрифтом: $\overrightarrow{a}\,\,\ \overline{a}\,\,\ {\bf а}$ . Вектор изображается отрезком со стрелкой на конце (рис.1).

    Длина вектора $\overrightarrow{АВ}$ называется его абсолютной величиной или модулем и обозначается символом $|\overrightarrow{АВ}|$.

    Вектор $\overrightarrow{a}$, у которого $|\overrightarrow{a}| = 1$ , называется единичным.

    Вектор называется нулевым (обозначается $\overrightarrow{0}$ или ${\bf 0}$), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

    Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

    Два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. В этом случае пишут $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ . Все нулевые векторы считаются равными.

    Из определения равенства векторов непосредственно следует, что, каковы бы ни были вектор $\overrightarrow{a}$ и точка Р, существует, и притом единственный, вектор $\overrightarrow{PQ}$ с началом в точке Р, равный вектору $\overrightarrow{a}$ . В самом деле, существует лишь одна прямая, проходящая через точку Р и параллельная той прямой, на которой лежит вектор $\overrightarrow{a}$ . На указанной прямой существует единственная точка Q такая, что отрезок PQ имеет длину, равную длине вектора $\overrightarrow{a}$ , и направлен в ту же сторону, что и вектор $\overrightarrow{a}$ . Таким образом, вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку плоскости.

    Пример 1. Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 120).

    На основании определения равенства векторов можно записать $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС} \,и\, \overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{DC} \,но\, \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{AD}\,\, \overrightarrow{ВС} \neq \overrightarrow{DC}\,\, хотя \overrightarrow{|АВ|} = \overrightarrow{|AD|} = \overrightarrow{|ВС|} = \overrightarrow{|DC|} $ .

    Пример 2. Какой вид имеет четырехугольник ABCDy если известно, что $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС}$ ?

    Решение. Из равенства $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС}$ следует, что стороны AD и ВС в четырехугольнике равны и параллельны и, значит (теорема 2), он параллелограмм.

    Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.

    Вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{a}$, обозначается $-\overrightarrow{a}$. Для вектора $\overrightarrow{AB}$ противоположным является вектор $\overrightarrow{BA}$ .

    Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

    Определение 1

    Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

    Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

    Определение 2

    Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

    Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

    Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

    Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

    Определение 3

    Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

    Обозначение: $|\overline{a}|$

    Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

    Определение 4

    Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).

    Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

    Определение 5

    Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

    $\overline{c}={m,n}$

    Как найти длину вектора?

    Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

    Пример 1

    Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

    Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).

    Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит

    $=x$, $[ OA_2]=y$

    Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

    $|\overline{α}|^2=^2+^2$

    $|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

    $|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

    Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

    Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

    Пример задач

    Пример 2

    Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

    Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

    Поделиться