Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины , подчиненной нормальному закону с параметрами , на участок от до . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой

где - функция распределения величины .

Найдем функцию распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами . Плотность распределения величины равна:

. (6.3.2)

Отсюда находим функцию распределения

. (6.3.3)

Сделаем в интеграле (6.3.3) замену переменной

и приведем его к виду:

(6.3.4)

Интеграл (6.3.4) не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или (так называемый интеграл вероятностей), для которого составлены таблицы. Существует много разновидностей таких функций, например:

;

и т.д. Какой из этих функций пользоваться – вопрос вкуса. Мы выберем в качестве такой функции

. (6.3.5)

Нетрудно видеть, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами .

Условимся называть функцию нормальной функцией распределения. В приложении (табл. 1) приведены таблицы значений функции .

Выразим функцию распределения (6.3.3) величины с параметрами и через нормальную функцию распределения . Очевидно,

. (6.3.6)

Теперь найдем вероятность попадания случайной величины на участок от до . Согласно формуле (6.3.1)

Таким образом, мы выразили вероятность попадания на участок случайной величины , распределенной по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения , соответствующую простейшему нормальному закону с параметрами 0,1. Заметим, что аргументы функции в формуле (6.3.7) имеют очень простой смысл: есть расстояние от правого конца участка до центра рассеивания, выраженное в средних квадратических отклонениях; - такое же расстояние для левого конца участка, причем это расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеивания, и отрицательным, если слева.

Как и всякая функция распределения, функция обладает свойствами:

3. - неубывающая функция.

Кроме того, из симметричности нормального распределения с параметрами относительно начала координат следует, что

Пользуясь этим свойством, собственно говоря, можно было бы ограничить таблицы функции только положительными значениями аргумента, но, чтобы избежать лишней операции (вычитание из единицы), в таблице 1 приложения приводятся значения как для положительных, так и для отрицательных аргументов.

На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длины (рис. 6.3.1). Вычислим вероятность попадания на этот участок по формуле (6.3.7):

Учитывая свойство (6.3.8) функции и придавая левой части формулы (6.3.9) более компактный вид, получим формулу для вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок, симметричный относительно центра рассеивания:

. (6.3.10)

Решим следующую задачу. Отложим от центра рассеивания последовательные отрезки длиной (рис. 6.3.2) и вычислим вероятность попадания случайной величины в каждый из них. Так как кривая нормального закона симметрична, достаточно отложить такие отрезки только в одну сторону.

По формуле (6.3.7) находим:

(6.3.11)

Как видно из этих данных, вероятности попадания на каждый из следующих отрезков (пятый, шестой и т.д.) с точностью до 0,001 равны нулю.

Округляя вероятности попадания в отрезки до 0,01 (до 1%), получим три числа, которые легко запомнить:

0,34; 0,14; 0,02.

Сумма этих трех значений равна 0,5. Это значит, что для нормально распределенной случайной величины все рассеивания (с точностью до долей процента) укладывается на участке .

Это позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал её практически возможных значений. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием «правило трех сигма». Из правила трех сигма вытекает также ориентировочный способ определения среднего квадратического отклонения случайной величины: берут максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на три. Разумеется, этот грубый прием может быть рекомендован, только если нет других, более точных способов определения .

Пример 1. Случайная величина , распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1,2 (м); среднее квадратическое отклонения ошибки измерения равно 0,8 (м). Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6 (м).

Решение. Ошибка измерения есть случайная величина , подчиненная нормальному закону с параметрами и . Нужно найти вероятность попадания этой величины на участок от до . По формуле (6.3.7) имеем:

Пользуясь таблицами функции (приложение, табл. 1), найдем:

; ,

Пример 2. Найти ту же вероятность, что и в предыдущем примере, но при условии, что систематической ошибки нет.

Решение. По формуле (6.3.10), полагая , найдем:

.

Пример 3. По цели, имеющей вид полосы (автострада), ширина которой равна 20 м, ведется стрельба в направлении, перпендикулярном автостраде. Прицеливание ведется по средней линии автострады. Среднее квадратическое отклонение в направлении стрельбы равно м. Имеется систематическая ошибка в направлении стрельбы: недолет 3 м. Найти вероятность попадания в автостраду при одном выстреле.

Рассмотрим дискретные распределения, которые часто используются при моделировании систем сервиса.

Распределение Бернулли. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода - «успех» и «неудача» с вероятностями р и q = 1 - р. Пусть случайная переменная X может принимать два значения с соответствующими вероятностями:

Функция распределения Бернулли имеет вид

Ее график показан на рис. 11.1.

Случайная величина с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли.

Производящая функция, согласно (11.1) и (11.15), вычисляется как

Рис. 11.1.

По формуле (11.6) найдем математическое ожидание распределения:

Вычислим вторую производную производящей функции по (11.17)

По (11.7) получим дисперсию распределения

Распределение Бернулли играет большую роль в теории массового сервиса, являясь моделью любого случайного эксперимента, исходы которого принадлежат двум взаимно исключающим классам.

Геометрическое распределение. Предположим, что события происходят в дискретные моменты времени независимо друг от друга. Вероятность того, что событие произойдет, равна р, а вероятность того, что оно не произойдет, q = 1-р, например пришедший клиент делает заказ.

Обозначим через р к вероятность того, что событие произойдет 1-й раз в момент к, т.е. к -й клиент сделал заказ, а предыдущие к- 1 клиентов нет. Тогда вероятность этого сложного события можно определить по теореме умножения вероятностей независимых событий

Вероятности событий при геометрическом распределении показаны на рис. 11.2.

Сумма вероятностей всех возможных событий

представляет собой геометрическую прогрессию, поэтому распределение и называется геометрическим. Так как (1 - р)

Случайная величина Хс геометрическим распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли.

Рис. 11.2.

Определим вероятность того, что событие произойдет для Х>к

и функцию геометрического распределения

Вычислим производящую функцию геометрического распределения по (11.1) и (11.20)

математическое ожидание геометрического распределения по (11.6)

а дисперсию по (11.7)

Геометрическое распределение считается дискретной версией непрерывного экспоненциального распределения и также обладает рядом свойств, полезных для моделирования систем сервиса. В частности, как экспоненциальное распределение, геометрическое не имеет памяти:

т.е. если проведено / неуспешных опытов, тогда вероятность того, что для первого успеха необходимо провести еще j новых опытов, такая же, как вероятность того, что при новой серии испытаний для первого успеха необходимо провести./"опытов. Другими словами, предыдущие опыты не оказывают эффекта на будущие опыты и опыты являются независимыми. Часто это соответствует действительности. Например, клиенты независимы и заказы делают случайным образом.

Рассмотрим пример системы, параметры функционирования которой подчиняются геометрическому распределению.

В распоряжении мастера имеется п однотипных запасных деталей. Каждая деталь с вероятностью q имеет дефект. При ремонте деталь устанавливается в устройство, которое проверяется на работоспособность. Если устройство не работает, то деталь заменяется на другую. Рассматривается случайная величина X - число деталей, которые будут проверены.

Вероятности числа проверенных деталей будут иметь значения, показанные в таблице:

					ря"~ х

Здесь q = 1 - р.

Математическое ожидание числа проверенных деталей определяется как

Биномиальное распределение. Рассмотрим случайную величину

где Xj подчиняется распределению Бернулли с параметром р и случайные величины Xj независимы.

Значение случайной величины X будет равно числу появления единиц при п испытаниях, т.е. случайная величина с биномиальным распределением имеет смысл числа успехов в п независимых испытаниях.

Согласно (11.9), производящая функция суммы взаимно независимых случайных величин, каждая из которых имеет распределение Бернулли, равна произведению их производящих функций (11.17):

Раскладывая производящую функцию (11.26) в ряд, получим

В соответствии с определением производящей функции (11.1) вероятность того, что случайная величина X примет значение к:

где - биномиальные коэффициенты.

11оскольку & единиц на п местах можно расположить С* способами, то число выборок, содержащих к единиц, будет, очевидно, таким же.

Функция распределения для биномиального закона вычисляется по формуле

Распределение называется биномиальным в связи с тем, что вероятности по форме представляют собой члены разложения бинома:

Ясно, что суммарная вероятность всех возможных исходов равна 1:

Из (11.29) можно получить ряд полезных свойств биномиальных коэффициентов. Например, при р =1, q =1 получим

Если положить р =1, q = - 1 , то

При любом 1к справедливы следующие соотношения:

Вероятности того, что в п испытаниях событие наступит: 1) менее &раз; 2) более к раз; 3) не менее &раз; 4) не более &раз, находят соответственно по формулам:

Используя (11.6), определим математическое ожидание биномиального распределения

а по (11.7) - дисперсию:

Рассмотрим несколько примеров систем, параметры функционирования которых описываются биномиальным распределением.

1. Партия из 10 продуктов содержит один нестандартный. Найдем вероятность того, что при случайной выборке 5 продуктов все они будут стандартными (событие А).

Число всех случайных выборок п - С , э 0 , а число выборок, благоприятствующих событию, есть п = С 9 5 . Таким образом, искомая вероятность равна

2. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 2к новых электрических ламп. Каждая электрическая лампа в течение года перегорает с вероятностью р. Найдем вероятность того, что в течение года не менее половины первоначально включенных ламп придется заменить новыми (событие А):

3. Человек, принадлежащий к определенной группе потребителей, с вероятностью 0,2 предпочитает продукт 1, с вероятностью 0,3 - продукт 2, с вероятностью 0,4 - продукт 3, с вероятностью 0,1 - продукт 4. Выбрана наугад группа из 6 потребителей. Найдем вероятности следующих событий: А - в составе группы находятся не менее 4 потребителей, предпочитающих продукт 3; В- в составе группы находится хотя бы один потребитель, предпочитающий продукт 4.

Эти вероятности равны:

При больших/? вычисления вероятностей становятся громоздкими, поэтому используют предельные теоремы.

Локальная теорема Лапласа , согласно которой вероятность Р п (к) определяется формулой

где - функция Гаусса;

Интегральная теорема Лапласа используется для вычисления вероятности того, что в п независимых испытаниях событие наступит не менее к { раз и не более к 2 раз:

Рассмотрим примеры использования данных теорем.

1. Швейная мастерская производит пошив одежды по индивидуальному заказу, среди которой 90 % высшего качества. Найдем вероятность того, что среди 200 изделий будет высшего качества не меньше 160 и не больше 170.

Решение:

2. У страховой компании имеется 12 тыс. клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 10 тыс. руб. Вероятность несчастного случая р - 0,006, а выплата пострадавшему 1 млн руб. Найдем прибыль страховой компании, обеспечиваемую с вероятностью 0,995; иными словами, на какую прибыль может рассчитывать страховая компания при уровне риска 0,005.

Решение: Суммарный взнос всех клиентов 12 000-10 000 = 120 млн руб. Прибыль Якомпании зависит от числа к несчастных случаев и определяется равенством Я = 120 000-1000/: тыс. руб.

Следовательно, надо найти такое число Л/, чтобы вероятность события Р(к > М) не превосходила 0,005. Тогда с вероятностью 0,995 будет обеспечена прибыль Я =120000-10004/ тыс. руб.

Неравенство Р(к > М) Р(к0,995. Так как к > 0, то Р(0 0,995. Для оценки этой вероятности воспользуемся интегральной теоремой Лапласа при п- 12 000 и/?=0,006, #=0,994:

Так как*! F(x ]) = -0,5.

Таким образом, необходимо найти Л/, при котором

Находим (М - 72)/8,5 > 2,58. Следовательно, М>12 + 22 = 94.

Итак, с вероятностью 0,995 компания гарантирует прибыль

Часто требуется определить наивероятнейшее число к 0 . Вероятность наступления события с числом успехов к 0 превышает или по крайней мере не меньше вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число к 0 определяют из двойного неравенства

3. Пусть имеется 25 образцов средств потребления. Вероятность того, что каждый из образцов будет приемлем для клиента, равна 0,7. Необходимо определить наиболее вероятное число образцов, которые окажутся приемлемыми для клиентов. По (11.39)

Отсюда к 0 - 18.

Распределение Пуассона. Распределение Пуассона определяет вероятность того, что при очень большом числе испытаний п, в каждом из которых вероятность события р очень мала, событие наступит ровно к щз.

Пусть произведение пр = к; это означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний, т.е. при различных п, остается неизменным. В этом случае распределение Пуассона может использоваться для аппроксимации биномиального распределения:

Так как для больших п

Производящая функция распределения Пуассона вычисляется по (11.1) как

где по формуле Маклорена

В соответствии со свойством коэффициентов производящей функции вероятность появления к успехов при среднем числе успехов X вычисляется как (11.40).

На рис. 11.3 показана плотность вероятности распределения Пуассона.

Производящую функцию распределения Пуассона можно также получить, воспользовавшись разложением в ряд производящей функции биномиального распределения для пр = Х при п -» оо и формулой Маклорена (11.42):

Рис. 11.3.

Определим математическое ожидание по (11.6)

а дисперсию по (11.7)

Рассмотрим пример системы с пуассоновским распределением параметров.

Предприятие отправило в магазин 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: ровно 3 (событие Я); менее 3 (событие В) более 3 (событие Q; хотя бы одно (событие D).

Число п = 500 велико, вероятность р = 0,002 мала, рассматриваемые события (повреждение изделий) независимы, поэтому можно использовать формулу Пуассона (11.40).

При X = пр = 500 0,002=1 получим:

Распределение Пуассона обладает рядом полезных для моделирования систем сервиса свойств.

1. Сумма случайных переменных Х= Х { + Х 2 с пуассоновским распределением также распределена по закону Пуассона.

Если случайные переменные имеют производящие функции:

то, согласно (11.9), производящая функция суммы независимых случайных переменных с пуассоновским распределением будет иметь вид:

Параметр результирующего распределения равен Х х + Х 2 .

2. Если число элементов./V множества подчиняется пуассоновскому распределению с параметром X и каждый элемент выбирается независимо с вероятностью р, тогда элементы выборки размером Y распределены по закону Пуассона с параметром рХ.

Пусть , где отвечает распределению Бернулли, а N - распределению Пуассона. Соответствующие производящие функции, согласно (11.17), (11.41):

Производящая функция случайной переменной Y вычисляется в соответствии с (11.14)

т.е. производящая функция соответствует распределению Пуассона с параметром рХ.

3. Как следствие свойства 2 справедливо следующее свойство. Если число элементов ^множества распределено по закону Пуассона с параметром X и множество случайным образом распределяется с вероятностями /?, и р 2 = 1 - Р на две группы, тогда размеры множеств 7V, и N 2 независимы и распределены по Пуассону с параметрами р{к и р{к.

Для удобства использования представим полученные результаты относительно дискретных распределений в виде табл. 11.1 и 11.2.

Таблица 11.1. Основные характеристики дискретных распределений

Распределение	Плотность	Диапазон	Параметры	tn |		С Х --2
Бернулли	Р{Х = } = р Р {X = 0} = Р + Я = 1	п - 0,1
Геометрическое	р(-р) к - 1	к = 1,2,...			^ 1 1 |тз	1 -р
Биномиальное	с к р к (- Р г к	* = 1,2,...,#»			пр{ - р)	1 -р пр
Пуассона	Е -х к !	к = 1,2,...

Табл и ца 11. 2. Производящие функции дискретных распределений

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

• 1. Какие распределения вероятностей относят к дискретным?
• 2. Что такое производящая функция и для чего оно используется?
• 3. Как вычислить моменты случайных величин с использованием производящей функции?
• 4. Чему равна производящая функция суммы независимых случайных величин?
• 5. Что называется составным распределением и как вычисляются производящие функции составных распределений?
• 6. Дайте основные характеристики распределения Бернулли, приведите пример использования в задачах сервиса.
• 7. Дайте основные характеристики геометрического распределения, приведите пример использования в задачах сервиса.
• 8. Дайте основные характеристики биномиального распределения, приведите пример использования в задачах сервиса.
• 9. Дайте основные характеристики распределения Пуассона, приведите пример использования в задачах сервиса.

Правило трёх сигм.

Подставим значение? в формулу (*), получим:

Итак, с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно утверждать, что модуль отклонения нормально распределенной случайной величины от её математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Центральная предельная теорема.

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

Если случайная величина Х представляет собой сумму большого числа взаимно? независимых случайных величин, то есть, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то случайная величинаХ имеет распределение, неограниченно приближающееся к нормальному распределению.

Начальные и центральные моменты непрерывной случайной величины, асимметрия и эксцесс. Мода и медиана.

В прикладных задачах, например в математической ста­тистике, при теоретическом изучении эмпирических распре­делений, отличающихся от нормального распределения, воз­никает необходимость количественных оценок этих различий. Для этой цели введены специальные безразмерные характеристики.

Определение. Мода непрерывной случайной величины (Мо (X )) – это её наиболее вероятное значение, для которого вероятность p i или плотность вероятности f(x) достигает максимума.

Определение. Медиана непрерывной случайной величины X (Me (X )) – это такое её значение, для которого выполняется равенство:

Геометрически вертикальная прямая x = Me (X) делит площадь фигуры под кривой на две равные части.

В точке X = Me (X), функция распределения F (Me (X)) =

Найти моду Mo, медиану Me и математическое ожидание M случайной величины X с плотностью вероятности f(x) = 3x 2 , при x I [ 0; 1 ].

Плотность вероятности f (x) максимальна при x = 1, т.е. f (1) = 3, следовательно, Mo (X) = 1 на интервале [ 0; 1 ].

Для нахождения медианы обозначим Me (X) = b.

Так как Me (X) удовлетворяет условию P (X 3 = .

b 3 = ; b = » 0,79

M (X) = =+=

Отметим получившиеся 3 значения Mo (x), Me (X), M (X) на оси Ox:

Определение. Асимметрией теоретического распределения называется отношение центрального момента третьего поряд­ка к кубу среднего квадратического отклонения:

Определение. Эксцессом теоретического распределения на­зывается величина, определяемая равенством:

где ? центральный момент четвертого порядка.

Для нормального распределения . При отклоне­нии от нормального распределения асимметрия положительна, если «длинная» и более пологая часть кривой распределения расположена справа от точки на оси абсцисс, соответствую­щей моде; если эта часть кривой расположена слева от моды, то асимметрия отрицательна (рис. 1, а, б).

Эксцесс характеризует «крутизну» подъема кривой распре­деления по сравнению с нормальной кривой: если эксцесс поло­жителен, то кривая имеет более высокую и острую вершину; в случае отрицательного эксцесса сравниваемая кривая имеет более низкую и пологую вершину.

Следует иметь в виду, что при использовании указанных характеристик сравнения опорными являются предположения об одинаковых величинах математического ожидания и дис­персии для нормального и теоретического распределений.

Пример. Пусть дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти: асимметрию и эксцесс теоретического распределения.

Найдем сначала математическое ожидание слу­чайной величины:

Затем вычисляем начальные и центральные моменты 2, 3 и 4-го порядков и :

Теперь по формулам находим искомые вели­чины:

В данном случае «длинная» часть кривой распределения рас­положена справа от моды, причем сама кривая является не­сколько более островершинной, чем нормальная кривая с теми же величинами математического ожидания и дисперсии.

Теорема. Для произвольной случайной величины Х и любого числа

?>0 справедливы неравенства:

Вероятность противоположного неравенства.

Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя неравенство Чебышева.

Пусть X –расход воды на животноводческой ферме (л).

Дисперсия D (X ) = . Так как границы интервала 0X 2000 симметричны относительно математического ожиданияМ (Х ) = 1000, то для оценки вероятности искомого события можно применить неравенство Чебышева:

То есть не менее, чем 0,96.

Для биномиального распределения неравенство Чебышева примет вид:

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН — раздел Математика, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Наиболее Часто Встречаются Законы Равномерного, Нормального И Показательного.

Наиболее часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, если на интервале (а,b), которому принадлежат все возможные значения Х, плотность распределения сохраняет постоянное значение (6.1)

Функция распределения имеет вид:

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (?; ?):

где — функция Лапласа, причем,

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения будет меньше положительного числа?:

В частности, при а = 0, . (6.7)

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью:

где? – постоянная положительная величина.

Функция распределения показательного закона:

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (а, в), распределенной по показательному закону:

1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-2;N). Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины Х; б) интегральную функцию; в) вероятность попадания случайной величины в интервал (-1;); г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равномерно распределенной в интервале: а) (5; 11); б) (-3; 5). Начертить графики этих функций.

3. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (2; 6), причем Д(х) = 12. Найти функции распределения случайной величины Х. Начертить графики функций.

4. Случайная величина Х распределена по закону прямоугольного треугольника (рис. 1) в интервале (0; а). Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины Х; б) интегральную функцию; в) вероят-

ность попадания случайной величины

в интервал (); г) математическое

ожидание, дисперсию и среднее квад-

ратическое отклонение случайной

5. Случайная величина Х распределена по закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») (Рис. 2) на интервале (-а; а). Найти: а) дифференциальную функцию распределения вероятностей случайной величины Х;

б) интегральную функцию и построить ее график; в) вероятность попадания случайной величины в интервал (-); г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

6. Для исследования продуктивности определенной породы домашней птицы измеряют диаметр яиц. Наибольший поперечный диаметр яиц представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 5 см и средним квадратическим отклонением 0,3 см. Найти вероятность того, что: а) диаметр взятого наудачу яйца будет заключен в границах от 4,7 до 6,2 см; б) отклонение диаметра от среднего не превзойдет по абсолютной величине 0,6 см.

7. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 150 г и математическим ожиданием а = 1000 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет: а) от 900 до 1300 г; б) не более 1500 г; в) не менее 800 г; г) отличаться от среднего веса по модулю не более чем на 200 г; д) начертить график дифференциальной функции случайной величины Х.

8. Урожайность озимой пшеницы по совокупности участков распределяется по нормальному закону с параметрами: а = 50 ц/га, = 10 ц/га. Определить: а) какой процент участков будет иметь урожайность свыше 40 ц/га; б) процент участков с урожайность от 45 до 60 ц/га.

9. Выборочным методом измеряется засоренность зерна, случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 0,2 г и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из четырех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 0,3 г.

10. Количество зерна, собранного с каждой делянки опытного поля, есть нормально распределенная случайная величина Х, имеющая математическое ожидание а = 60 кг и среднее квадратическое отклонение равно 1,5 кг. Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9906 будет заключена величина Х. Написать дифференциальную функцию этой случайной величины.

11. С вероятностью 0,9973 было установлено, что абсолютное отклонение живого веса случайно взятой головы крупного рогатого скота от среднего веса животного по всему стаду не превосходит 30 кг. Найти среднее квадратическое отклонение живого веса скота, считая, что распределение скота по живому весу подчиняется нормальному закону.

12. Урожайность овощей по участкам является нормально-распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 300 ц/га и средним квадратическим отклонением 30 ц/га. С вероятностью 0,9545 определить границы, в которых будет находиться средняя урожайность овощей на участках.

13. Нормально-распределенная случайная величина Х задана дифференциальной функцией:

Определить: а) вероятность попадания случайной величины в интервал

(3; 9); б) моду и медиану случайной величины Х.

14. Торговая фирма продает однотипные изделия двух производителей. Срок службы изделий подчиняется нормальному закону. Средний срок службы изделий первого производителя составляет 5,5 тыс. часов, а второго 6 тыс. часов. Первый производитель утверждает, что с вероятностью 0,95 срок службы первого производителя находится в границах от 5 до 6 тыс. часов, а второй, с вероятностью 0,9, в границах от 5 до 7 тыс. часов. Какой производитель имеет большую колеблемость срока службы изделий.

15. Месячная заработная плата работников предприятия распределяется по нормальному закону с математическим ожиданием а = 10 тыс. руб. Известно, что 50 % работников предприятия получает заработную плату от 8 до 12 тыс. руб. Определить, какой процент работников предприятия имеет месячную заработную плату от 9 до 18 тыс. руб.

16. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если: а) параметр; б) ; в) . Начертить графики функций.

17. Случайная величина Х распределена по показательному закону, причем. Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал: а) (0; 1); б) (2; 4). М(Х), Д(Х), (Х).

18. Найти М(Х), Д(Х), (Х) показательного закона распределения случайной величины Х заданной функцией:

19. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность безотказной работы первого имеет показательнее распределение, второго. Найти вероятность того, что за время длительностью 20 часов: а) оба элемента будут работать; б) откажет только один элемент; в) откажет хотя бы один элемент; г) оба элемента откажут.

20. Вероятность того, что оба независимых элемента будут работать в течении 10 суток равна 0,64. Определить функцию надежности для каждого элемента, если функции одинаковы.

21. Среднее число ошибок, которые делает оператор в течение часа работы равно 2. Найти вероятность того, что за 3 часа работы оператор сделает: а) 4 ошибки; б) не менее двух ошибок; в) хотя бы одну ошибку.

22. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) 4 вызова; б) не менее трех вызовов.

23. Случайная величина Х распределена по закону Коши

Непрерывные случайные величины

6. Непрерывные случайные величины

6.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Функцией распределения называют функцию F (x) ? определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше х, т.е.

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е.

2. F (x)- неубывающая функция, т.е. если , то .

· Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале , равна:

· Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию — первую производную от функции распределения .

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал:

Нахождения функции распределения по известной плотности распределения:

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения неотрицательная функция:

2. Условие нормировки:

Среднее квадратическое отклонение

6.2. Равномерное распределение

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Плотность вероятности равномерно распределенной случайной величины

Среднее квадратическое отклонение

6.3. Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей случайной величины, которое описывается плотностью распределения

а- математическое ожидание

среднее квадратическое отклонение

дисперсия

Вероятность попадания в интервал

Где — функция Лапласа. Данная функция табулирована, т.е. интеграл нет необходимости вычислять, необходимо пользоваться таблицей.

Вероятность отклонения случайной величины х от математического ожидания

Правило трех сигм

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичческого отклонения.

Если быть точным, то вероятность выхода за пределы указанного интервала равна 0,27%

Вероятность нормального распределения онлайн калькулятор

6.4. Показательное распределение

Случайная величина Х распределена по показательному закону, если плотность распределения имеет вид

Среднее квадратическое отклонение

Отличительной особенностью данного распределения является то, что математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

Теория вероятностей. Случайные события (стр. 6)

12. Случайные величины Х , если , , , .

13. Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,0002. Вычислить вероятность того, что контролер, проверяющий качество 5000 изделий, обнаружит среди них 4 бракованных.

Х Х примет значение, принадлежащее интервалу . Построить графики функций и .

15. Вероятность безотказной работы элемента распределена по показательному закону (). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 50 часов.

16. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется меньше двух.

17. По цели (на рис.4.1 м, м) сделано три независимых выстрела без систематической ошибки () с ожидаемым разбросом попадания м. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель.

1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5?

2. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно выбрать в течение 3 дней по 6 участников так, чтобы каждый день были различные составы хора?

3. Сколькими способами можно разделить колоду из 52 тасованных карт пополам так, чтобы в одной половине оказалось три туза?

4. Из ящика, содержащего жетоны с номерами от 1 до 40, участники жеребьевки вытягивают жетоны. Определить вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 2.

5. На испытательном стенде в определенных условиях испытываются 250 приборов. Найти вероятность того, что в течение часа откажет хотя бы один из испытываемых приборов, если известно, что вероятность отказа в течение часа одного из этих приборов равна 0,04 и одинакова для всех приборов.

6. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовок без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Найти вероятность того, что стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом.

7. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t для каждого узла равна . Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время t : а) откажет хотя бы один узел; б) откажут ровно два узла; в) откажет ровно один узел; г) откажут не менее двух узлов.

8. Испытывается каждый из 16 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытания, равна 0,8. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

9. Найти вероятность того, что событие А (переключение передач) наступит 70 раз на 243-километровой трассе, если вероятность переключения на каждом километре этой трассы равна 0,25.

10. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 75 раз и не более 90 раз.

Х .

12. Случайные величины Х и независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , если , , , .

13. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 100 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит ровно 2 опечатки.

14. Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно с постоянной плотностью вероятностей , где Найти 1) параметр и записать закон распределения; 2) Найти , ; 3) Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу .

15. Длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение (). Найти вероятность того, что за t = 24 ч элемент не откажет.

16. Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону . Найти , . Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале .

17. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Найти закон распределения составляющих Х и ; их математические ожидания и ; дисперсии и ; коэффициент корреляции .

1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2, 3, 4, 5, если каждую из этих цифр использовать не более одного раза?

2. Дано n точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести, соединяя точки попарно?

Сколько можно сделать костей домино, используя числа от 0 до 9?

3. Какова вероятность того, что наудачу вырванный листок из нового календаря соответствует первому числу месяца? (Год считается не високосным).

4. В цехе имеется 3 телефона, работающих независимо друг от друга.

5. Вероятности занятости каждого из них соответственно следующие: ; ; . Найти вероятность того, что хотя бы один телефон свободен.

6. Имеются три одинаковые по виду урны. В первой урне 20 белых шаров, во второй — 10 белых и 10 черных шаров, в третьей — 20 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.

7. В некоторых районах летом в среднем 20% дней бывают дождливыми. Какова вероятность того, что в течение одной недели: а) будет хотя бы один дождливый день; б) будет ровно один дождливый день; в) число дождливых дней будет не более четырех; г) дождливых дней не будет.

8. Вероятность нарушения точности в сборке прибора составляет 0,32. Определить наиболее вероятное число точных приборов в партии на 9 штук.

9. Определить вероятность того, что при 150 выстрелах из винтовки мишень будет поражена 70 раз, если вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,4.

10. Определить вероятность того, что из 1000 родившихся детей число мальчиков будет не менее 455 и не более 555, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.

11. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х :

Найти: 1) значение вероятности , соответствующее значению ; 2) , , ; 3) функцию распределения ; построить ее график. Построить многоугольник распределения случайной величины Х .

12. Случайные величины Х и независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , если , , , .

13. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

14. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения Найти: 1) функцию плотности ; 2) , , ; 3) вероятность того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу . Построить графики функций и .км, км. Определить вероятность двух попаданий в цель.

1. На собрании должны выступать ораторы А , В , С , D . Сколькими способами их можно разместить в списке выступающих так, чтобы В выступал после оратора А ?

2. Сколькими способами можно разложить 14 одинаковых шаров по 8-ми ящикам?

3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр от 1 по 9?

4. Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 из 32-х вопросов программы. Экзаменатор задал ему 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответил на все вопросы.

5. К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, среди которых 50 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность того, что оба арбуза спелые?

6. В группе спортсменов 20 бегунов, 6 прыгунов и 4 метателя молота. Вероятность того, что будет выполнена норма мастера спорта бегуном, равна 0,9; прыгуном — 0,8 и метателем — 0,75. Определить вероятность того, что наудачу вызванный спортсмен выполнит норму мастера спорта.

7. Вероятность того, что вещь, взятая напрокат, будет возвращена исправной, равна 0,8. Определить вероятность того, что из пяти взятых вещей: а) три будут возвращены исправными; б) все пять вещей будут возвращены исправными; в) будут возвращены исправными не менее двух вещей.

8. Вероятность появления брака в партии из 500 деталей равна 0,035. Определить наивероятнейшее число бракованных деталей в этой партии.

9. При производстве электрических лампочек вероятность изготовления лампы первого сорта принимается равной 0,64. Определить вероятность того, что из 100 взятых наудачу электроламп, 70 будут первого сорта.

10. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе одинакова и равна 0,8. Найти вероятность того, что число проб с промышленным содержанием металла будет заключено между 290 и 340.

11. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х, если Х Х и ; 4) выяснить, являются ли эти величины зависимыми.

1. Сколькими способами можно рассадить 8 гостей за круглым столом так, чтобы два известных гостя сидели рядом?

2. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «комбинаторика»?

3. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений: 4, 5, 6, 7 см?

4. В конверте лежат буквы разрезной азбуки: О , П , Р , С , Т . Буквы тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что, вынимая эти буквы и укладывая их рядом, получится слово «СПОРТ ‘.

5. С первого автомата на сборку поступает 20%, со второго 30%, с третьего — 50% деталей. Первый автомат дает в среднем — 0,2% брака, второй — 0,3%, третий — 1 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

6. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5, для третьего — 0,8. Найти вероятность того, что выстрел произведён вторым стрелком.

7. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включен хотя бы один мотор; в) включены все моторы.

8. В телевизоре стоят 12 ламп. Каждая из них с вероятностью 0,4 может выйти из строя в течение гарантийного срока. Найти наивероятнейшее число ламп, вышедших из строя в течение гарантийного срока.

9. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 200 родившихся детей мальчиков и девочек будет поровну.

10. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, будет . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

11. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х :

• Основные законы распределения случайной величины Учреждение образования «Белорусская государственная Кафедра высшей математики по изучению темы «Основные законы распределения случайной величины» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО) Основные законы распределения случайной […]
• Штрафы гибдд лениногорск Поздно государство предпримет меры по Штрафы гибдд лениногорск взысканию вашей если Вы не обжаловали Штрафы гибдд лениногорск нужно Условные обозначения. Без регистрационных документов и без полиса ОСАГО обойдется в 500 места гиперссылки на данную статью. Должностных Штрафы гибдд лениногорск […]
• Выходное пособие чернобыльцу: (3 + 1) или только 3? Для граждан, пострадавших вследствие Чернобыльской катастрофы (далее - чернобыльцы), Законом № 796* установлены определенные льготы и гарантии. Так, чернобыльцам, отнесенным к категории 1, среди прочего указанным Законом определено преимущественное право остаться на […]
• Налог на дачу. Это надо знать. Думаем с мужем о да че, куда можно было бы приехать, покапаться немного в грядках, а вечером сесть в кресло-качалку у костра и ни о чём не думать. Просто отдыхать. Не понаслышке знаем, что садоводство и огородничество обходится недешево (навоз, удобрения, рассада), налоги… Какие налоги […]
• Совет 1: Как определить закон распределения Как определить закон распределения Как построить диаграмму Парето Как найти математическое ожидание, если известна дисперсия - математический справочник; - простой карандаш; - тетрадь; - ручка. Нормальный закон распределения в 2018 Совет 2: Как […]
• 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Случайной величиной Называется величина, которая в результате испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, принимает различные, вообще говоря, значения, зависящие от не учитываемых случайных факторов. Примеры случайных величин: число выпавших очков на […]
• Ликвидация проход Sобщ-общая площадь объекта, км 2 ; N пор -число пораженных элементов объекта (зданий, цехов, сооружений, систем); Nобщ -общее число элементов объекта. Для определения числа жертв можно использовать следующее выражение: где Sпор - число жертв при внезапном взрыве; Lс -численность работающих данной […]
• Законы излучения стефана больцмана Для реальных тел закон Стефана-Больцмана выполняется лишь качественно, то есть с ростом температуры энергетические светимости всех тел увеличиваются. Однако, для реальных тел зависимость энергетической светимости от температуры уже не описывается простым соотношением (16.7), а […]

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайные величины, их классификация и способы описания.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, но какое именно заранее не известно. Для случайной величины, таким образом, можно указать только значения, одно из которых она обязательно примет в результате опыта. Эти значения в дальнейшем будем называть возможными значениями случайной величины. Так как случайная величина количественно характеризует случайный результат опыта, она может рассматриваться как количественная характеристика случайного события.

Случайные величины обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например, X..Y..Z, а их возможные значения- соответствующими малыми буквами.

Различают три типа случайных величин:

Дискретные; Непрерывные; Смешанные.

Дискретной называется такая случайная величина, число возможных значений которой образует счетное множество. В свою очередь, счетным называется множество, элементы которого можно пронумеровать. Слово «дискретный» происходит от латинского discretus , что означает «прерывистый, состоящий из отдельных частей» .

Пример 1. Дискретной случайной величиной является число бракованных деталей Х в партии из nтук. Действительно, возможными значениями этой случайной величины является ряд целых чисел от 0 до n.

Пример 2. Дискретной случайной величиной является число выстрелов до первого попадания в цель. Здесь, как и в примере 1, возможные значения можно пронумеровать, хотя в предельном случае возможное значение является бесконечно большим числом.

Непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал числовой оси, называемый иногда интервалом существования этой случайной величины. Таким образом, на любом конечном интервале существования число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно велико.

Пример 3. Непрерывной случайной величиной является расход электроэнергии на предприятии за месяц.

Пример 4. Непрерывной случайной величиной является ошибка измерения высоты с помощью высотомера. Пусть из принципа работы высотомера известно, что ошибка лежит в пределах от 0 до 2 м. Поэтому интервалом существования данной случайной величины является интервал от 0 до 2 м.

Закон распределения случайных величин.

Случайная величина считается полностью заданной, если на числовой оси указаны ее возможные значения и установлен закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она распределена по данному закону, или подчинена данному закону распределения. В качестве законов распределения используются ряд вероятностей, функция распределения, плотность вероятности, характеристическая функция.

Закон распределения дает полное вероятное описание случайной величины. По закону распределения можно судить до опыта о том какие возможные значения случайной величины будут появляться чаще, а какие – реже.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. 1

События Х 1 , Х 2 ,..., Х n , состоящие в том, что в результате испытания случайная величина X примет соответственно значения х 1 , x 2 ,...х n являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины

(Эта единица как-то распределена между значениями случайной величины, отсюда и термин «распределение»).

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей (рис. 1).

Пример В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение . Возможные значения случайной величины X - чистого выигрыша на один билет - равны 0-7 = -7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получим.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение (или распределение по закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:
,
где параметры а – любое действительное число и σ >0.
График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Нормальная кривая (рис. 2.12) симметрична относительно прямой х =а , имеет максимальную ординату , а в точках х = а ± σ – перегиб.

Рис. 2.12
Доказано, что параметр а является математическим ожиданием (также модой и медианой), а σ – средним квадратическим отклонением. Коэффициенты асимметрии и эксцесса для нормального распределения равны нулю:As = Ex = 0.
Установим теперь, как влияет изменение параметров а и σ на вид нормальной кривой. При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а ) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо (рис. 2.13).
При изменении параметра σ изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох , должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра σ кривая приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением σ кривая стягивается к прямой х = а (рис. 2.14).

Рис. 2.13 Рис. 2.14
Функция плотности нормального распределения φ(х ) с параметрами а = 0, σ = 1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины , а ее график – стандартной кривой Гаусса.
Функция плотности нормальной стандартной величины определяется формулой , а ее график изображен на рис. 2.15.
Из свойств математического ожидания и дисперсии следует, что для величины , D(U )=1, M (U ) = 0. Поэтому стандартную нор мальную кривую можно рассматривать как кривую распределения случайной величины , где Х – случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами а и σ.
Нормальный закон распределения случайной величины в интегральной форме имеет вид
(2.10)
Полагая в интеграле (3.10) , получим
,
где . Первое слагаемое равно 1/2 (половине площади криволинейной трапеции, изображенной на рис. 3.15). Второе слагаемое
(2.11)
называется функцией Лапласа , а также интегралом вероятности.
Поскольку интеграл в формуле (2.11) не выражается через элементарные функции, для удобства расчетов составлена для z ≥ 0 таблица функции Лапласа. Чтобы вычислить функцию Лапласа для отрицательных значений z , необходимо воспользоваться нечетностью функции Лапласа: Ф(–z ) = – Ф(z ). Окончательно получаем расчетную формулу

Отсюда получаем, что для случайной величины Х , подчиняющейся нормальному закону, вероятность ее попадания на отрезок [ α, β] есть
(2.12)
С помощью формулы (2.12) найдем вероятность того, что модуль отклонения нормального распределения величины Х от ее центра распределения а меньше 3σ. Имеем
Р(|x – a | < 3 s) =P(а –3 s< X < а +3 s)= Ф(3) – Ф(–3) = 2Ф(3) »0,9973.
Значение Ф(3) получено по таблице функции Лапласа.
Принято считать событие практически достоверным , если его вероятность близка к единице, и практически невозможным, если его вероятность близка к нулю.
Мы получили так называемое правило трех сигм : для нормального распределения событие (|x –a | < 3σ) практически достоверно.
Правило трех сигм можно сформулировать иначе: хотя нормальная случайная величина распределена на всей оси х , интервал ее практически возможных значений есть (a –3σ, a +3σ) .
Нормальное распределение имеет ряд свойств, делающих его одним из самых употребительных в статистике распределений.
Если предоставляется возможность рассматривать некоторую случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой независимости). Также ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других, т.е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно большую по сравнению с другими величинами дисперсию.
Этим и объясняется широкая распространенность нормального распределения. Оно возникает во всех явлениях, процессах, где рассеяния случайной изучаемой величины вызывается большим количеством случайных причин, влияние каждой из которых в отдельности на рассеяние ничтожно мало.
Большинство встречающихся на практике случайных величин (таких, например, как количества продаж некоторого товара, ошибка измерения; отклонение снарядов от цели по дальности или по направлению; отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров и т.д.) может быть представлено как сумма большого числа независимых случайных величин, оказывающих равномерно малое влияние на рассеяние суммы. Такие случайные величины принято считать нормально распределенными. Гипотеза о нормальности подобных величин находит свое теоретическое обоснование в центральной предельной теореме и получила многочисленные практические подтверждения.
Представим себе, что некоторый товар реализуется в нескольких торговых точках. Из–за случайного влияния различных факторов количества продаж товара в каждой точке будут несколько различаться, но среднее всех значений будет приближаться к истинному среднему числу продаж.
Отклонения числа продаж в каждой торговой точке от среднего образуют симметричную кривую распределения, близкую к кривой нормального распределения. Любое систематическое влияние какого-либо фактора проявится в асимметрии распределения.
Задача . Случайная величина распределена нормально с параметрами а = 8, σ = 3.Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенной в интервале (12,5; 14).
Решение . Воспользуемся формулой (2.12). Имеем

Задача . Число проданного за неделю товара определенного вида Х можно считать распределенной нормально. Математическое ожидание числа продаж тыс. шт. Среднее квадратическое отклонение этой случайной величины σ = 0,8 тыс. шт. Найти вероятность того, что за неделю будет продано от 15 до 17 тыс. шт. товара.
Решение. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а = М(Х ) = 15,7; σ = 0,8. Требуется вычислить вероятность неравенства 15 ≤ X ≤ 17. По формуле (2.12) получаем