Пересечение любого конечного семейства открытых множеств есть открытое множество. Свойства открытых и замкнутых множеств К изучению метрических пространств

§6. Теоремы об открытых и замкнутых множествах

Теорема 1. Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.

Пусть G k – открытые множества.

Докажем, что– открытое множество.

Возьмем любую точку х о  G . По определению объединения множеств точка х о будет принадлежать хотя бы одному из множеств G k . Т.к. G k – открытые множества, то существует  - окрестность точки х о , которая полностью принадлежит множеству G k :

Получили, что любая точка х о  G – внутренняя, а это означает, что G – открытое множество. 

Теорема 2 . Пересечение конечного числа открытых непустых множеств – множество открытое.

Пусть G k ( k = 1,2, …,n ) – открытые множества.

Докажем, что
– открытое множество.

Возьмем любую точку х о  G . По определению пересечения множеств х о принадлежать каждому из множеств G k . Т.к. множества G k открытые, то в любом множестве G k существует  k - окрестность точки х о : U ( x o ,  k )  G k . Множество чисел { 1 ,  2 ,…,  n } конечное, поэтому   = min { 1 ,  2 ,…,  n }. Тогда  - окрестность точки х о принадлежит каждой  k - окрестности точки х о :

Получили, что х о – внутренняя точка множества G , а это значит, что G – открытое множество. 

Замечание 1. Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть аоткрытым множеством.

Пример 1 . Пусть в пространстве R где k = 1,2,…,n , ….

Теорема 3 . Пересечение бесконечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.

Пусть F k – замкнутые множества.

Докажем, что множества
замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.

Теорема 4. Объединение конечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.

Пусть множества F k – замкнутые.

Докажем, что множество
замкнутое, т.е., если х о F , то х о  F .

Замечание 2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.

Пример 2 . В пространстве R : F k =

Теорема 5 . Если множество Е замкнутое, то его дополнение до множества Х: С х Е=СЕ – открытое множество.

Пример .3 . Е= , C R E =

Теорема 6 . Если множество Е открытое, то его дополнение до множества Х: С х Е=СЕ – замкнутое множества.

Пример 4 . Е= (2,5), C R E =

§7. Последовательности точек метрического пространства

Определение 1 . Последовательностью точек метрического пространства (Х,  ) называется отображение f множества натуральных чисел N в множество Х : f : N X .

Значение этого отображения в точке n  N называется n -м членом последовательности точек метрического пространства и обозначается x n = f (n ). Последовательность будем обозначать (x n ) или (х 1 ,х 2 ,…, х n … ).

Пример 1. В пространстве R 2 : х n = (1 n , n + 1/ n ));

Пример 2 . В пространстве С : (х n = (1/ nx + n 2 x )) где a ,b не содержит 0.

Определение 2 . Пусть (x n Х,  ), (k 1 , k 2 ,…, k n ,… ) – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность (x kn ) называется подпоследовательностю последовательности (x n ).

Пример 3. Последовательность (1/ n 2 ) – подпоследовательность последовательности (1/ n ).

Определение 3 . Пусть (x n ) Х,  ), Последовательность (x n ) называется ограниченной , если существует замкнутый шар с центром а и конечным радиусом R, который содержит все члены последовательности, т.е.

.

Замечание 1 . Панятие монотонной последовательности можно ввести не во всех метрических пространствах.

Определение 4. Пусть (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х,  ). Точка а  Х называетсяпределом последовательности (x n ) если:

  (   N  n   ( , n  N   x n , a   

или, что тоже самое, числовая последовательность ( x n , a )) - бесконечно малая (стремится к 0), при n  ,т.е.

и абазначаецца

по метрике  или
, при n  .

Если последовательность (x n ) имеет конечный предел, то она называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Если (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х,  ) сходится к точке а  Х , то а – предельная точка последовательности (x n ).

Обратное не всегда имеет место.

Замечание 2 . Одна и та же последовательность в разных метрических пространствах может как сходиться, так и расходиться

Пример 4. Последовательность (1/ n ) сходится в пространстве R, но расходится в пространстве (Х , ), где
 (x , y )= х  у , т.к. 0
.

Для сходящихся последовательностей справедливы теоремы.

Теорема 1. Если (x n ) – сходящаяся последовательность метрического пространства (Х,  ), то её предел единственный.

 x n ,a  0 и
  x n ,b  0.

По аксиомам метрики 0   a , b     x n , a  +  x n , b . Переходим к пределу, при n  , Получим  a , b  = 0  a = b . 

Теорема 2 . Если (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х,  ) – сходящаяся, то она ограниченная.

Пусть
.

Теорема 3 . Если (x n ) – последовательность точек метрического пространства (Х,  ) сходится к точке а  Х , то любая её подпоследовательность сходится к а .

Пусть
– любая подпоследовательность последовательности (x n ). По условию . Это означает, что:      n      x n ,а    .

Т.к. k n  n , то для всех n > N верно k n > N и поэтому 
.

Таким образом мы доказали, что    n    , это означает, что
.

§8. Свойства сходящихся последовательностей в некоторых

метрических пространствах

Теорема 1 (о покоординатной сходимости последовательности в м. пр. R m ). Для того, чтобы последовательность точек метрического пространства R m

(х n = (х 1 ( n ) ,х 2 ( n ) ,…, х m ( n ) ) сходилась к точке а = (а 1 ,а 2 ,…, а m ) этого пространства необходимо и достаточно чтобы числовые последовательности (х 1 ( n ) ), (х 2 ( n ) ),…, (х m ( n ) ) (соответствующих координат) стремились соответственно к числам а 1 ,а 2 ,…, а m , т.е.

,
,...,
(1)

Если выполняются равенства (1), то говорят, что последовательность (х n ) сходится к точке а покоординатно.

1. Пусть в м.пр. R m . (2)

Докажем, что выполняются равенства (1).

В силу равенства (2) (по определению предела последовательности) в м.пр. R m будем иметь:

 n     x n ,а  ,

где  - метрика метрического пространства R m :

x,y  R m .

2. Пусть выполняются равенства (1).

Докажем, что (2) в метрическом пространствеR m .

Пусть  - любое положительное число рассмотрим число
. Тогда

Пример 1 . Найти предел a = (a 1 , a 2 ) последовательности

в пространстве R 2 .

Таким образом, = (1/4;3).

Теорема 2 (Больцана-Вейерштрасса в м.пр. R m ). Из всякой ограниченной последовательности пространства R m можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Чвстный случай этой теоремы для пространства R 1 был доказан на первом курсе.

Теорема 3 . Для того, чтобы последовательность (x n ) точек м.пр. С [ a , b ] с чебышёвской метрикой сходилась к элементу х этого м.пр., необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность (x n ) равномерно сходилась к х на [a , b ].

Докажем с помощью критерия равномерной сходимости.

Известно, что фукциональная последовательность (x n ) равномерно сходится да предельной фукции х тогда и только тогда, когда

С учётом определения метрики в м.пр. С [a , b ] получаем равенство

(см. опр. 4 §7)
по метрике  в м.пр. С [a , b ]. 

Пример 2. x n (t ) = t n  t  ;  n  N . известно, что на ;/2 фукциональная последовательность x n (t ) = t n равномерно сходится да предельной фукции x (t ) = 0. Таким образом  t  ; последовательность (x n ) сходится к функции х = 0 в м.пр. С .

Теорема 4. Если а – предельная точка множества Е метрического пространства (X ,  ), то существует последовательность (x n ), члены которой принадлежат Е и не равны а , причём (x n ), сходится к а в этом метрическом пространстве.

Доказатьельство аналагично доказатьельству в пространстве R .

Замечание 1. Поскольку любая норма задает метрику,

 о (x , y ) =

то в нормированном пространстве А также можно определить предел последовательности элементов нормированного пространства.

Замечание 2. Поскольку предгильбертовое пространство является нормированным пространством с нормой
, то в предгильбертовом пространстве также можно определить предел последовательности элементов предгильбертового пространства.

§9. Полные метрические пространства

Определение 1 . Последовательность (x n ) метрического пространства (Х,  ) называется фундаментальной, если

Примером фундаментальной последовательности является любая сходящаяся последовательность точек метрического пространства.

В пространствеR любая фундаментальная последовательность – сходящаяся. Но для любого м.пр. не всякая фундаментальная последовательность метрического пространства (Х,  ) сходится в этом пространстве.

Пример 1 . В м.пр. Х = (Q ;  = х  у ) последовательность – фундаментальная, но с 1 курса известно, что но е  X (е  I ).

Определение 2 . Метрическое пространство называется полным метрическим пространством , если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем.

Пример 2 . Метрическое пространство R – полное метрическое пространство, т.к. любая фундаментальная последовательность сходится к числу, из пространства R . Это следует из критерия Коши (см. 1 курс).

Пример 3 . Докажем, что пространство R m - полное метрическое пространство.

Пусть последовательность(x n = x 1 (n ) , x 2 (n ) ,…, x m (n )) (1)

любая фундаментальная последовательность пространстваR m . Покажем, что эта последовательность сходящаяся и её предел принадлежит пространству R m .

Па определению фундаментальной последовательности и определению метрики в пространствеR m

0  N( ) N  p,n >N   (x p ,x n ) 

Согласно доказатьельству теоремы 1 §8 Таким образом, была доказана фундаментальност числовых последовательностей (x 1 ( n ) ), (x 2 ( n ) ),…, (x m ( n ) ), а значит и их сходимость (по критерию Коши).

Пусть

Рассмотрим точку а = (а 1 , а 2 , …, а m ). Т.к. а 1 , а 2 , …, а m  R , то а  R m . По теореме 1 §8 получаем, что в м.пр. R m последовательность (x n ) сходится к а  R m . Это означает, что пространствоR m полное метрическое пространство. 

Пример 4 . Докажем, что метрическое пространство С [a , b ] является полным.

Пусть (x n ) – любая фундаментальная последовательность в м.пр. С [a , b ] , её члены – непрерывные на [a , b ] фукции.

Докажем, что последовательность (x n ) сходится в метрическом пространстве С [ a , b ] . Сначала покажем, что она сходится к предельной фукции х на отрезке [a , b ].

По определению фундаментальной последовательности

Это означает, что  t  [a , b ] (фиксируем t ) фундаментальной является числовая последовательность (x n (t ) ). Значит она имеет предел, который обозначим через
для каждого фиксированного t  [a , b ].

Покажем, что предельная фукция x (t ) непрерывная на [a , b ]. Для этого в неравенстве (2) §прейдём к пределу при m  . Получим

 x (t ) x n (t )   n>N  t  [a,b ].

Таким образом, мы доказали, что

0N N m,n > N  x (t ) x n (t )   t  [a,b ].

А это значит, что последовательность (x n ) равномерно сходится к фукции х на [a , b ]. Т.к. все члены последовательности (x n ) непрерывные на [a , b ] фукции, то предельная фукция также непрерывная на этом отрезке, т.е является элементом метрического пространства С [ a , b ]. По теореме 2 §8 в этом пространстве последовательность (x n ) сходится к х . Значит пространствоС [ a , b ] – полное метрическое пространство. 

Определение 3. Полное нормированное пространство называется Банохав ым пространство м .

Банохавыми пространствоми, являются пространства:

R п с нормами
,
;

l 2 с нормой векторов x = (x n ) = (x 1 , x 2 , … )

C [a , b ] с нормой функций x (t )
.

А пространство C 1 [a , b ] с нормой не является баноховым.

Определение 2 . Полное предгильбертовое пространство относительно нормы (2) §3 называется гильбертовым пространством .

Примерами гильбертовых пространств являются перечисленные пространства из примеров §4. Предгильбертовое пространство из примера 3 §4 не является полным относительно нормы (2) и поэтому не является гильбертовым.

Информатики, 4 курс, 1-2 модуль) Определение метрического пространства (м.п.). Примеры . Открытые и замкнутые множества в м.п. Сходимость... линейные отображения нормированных пространств . Примеры . Нормированное пространство линейных отображений. Теорема...

Лекция № 3 Метрические пространства Открытые и замкнутые множества

Лекция

... пространств . Определение 4. Метрическое пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого пространства! ). Примеры . 9) В пространстве ...

К ИЗУЧЕНИЮ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Документ

Что получаем эквивалентное определение метрического пространства . 4. Докажите, что для произвольного метрического пространства áX, rñ эквивалентны утверждения... непрерывные отображения метрических пространств непрерывны. Покажите на примере , что...

Одна из основных задач теории точечных множеств - изучение свойств различных типов точечных множеств. Мы познакомим читателя с этой теорией на двух примерах. Именно, мы изучим здесь свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельпой точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым, если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал - открытое множество. Несобственные полуинтервалы

замкнуты, а несобственные интервалы открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состоящее из точек

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку которая принадлежит множеству.

Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.

3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

Пусть Е - произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества Е и обозначим через множество всех точек на прямой, не принадлежащих множеству Е. Ясно, что если х есть внешняя точка для Е, то она является внутренней точкой для множества и обратно.

4. Если множество F замкнуто, то его дополнение открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть F - замкнутое множество. Интервал обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству а точки а и принадлежат называется смежным интервалом множества . К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или если точка а или точка принадлежит множеству а сами интервалы с F не пересекаются. Покажем, что если точка х не принадлежит замкнутому множеству то она принадлежит одному из его смежных интервалов.

Обозначим через часть множества расположенную правее точки х. Так как сама точка х не принадлежит множеству то можно представить в форме пересечения

Каждое из множеств F замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал принадлежит множеству Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале то оно ограничено снизу. Обозначим через его нижнюю грань. Согласно предложению а значит . Далее, так как есть нижняя грань множества , то полуинтервал лежащий левее точки не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества Итак, мы построили полуинтервал не содержащий точек множества причем либо либо точка принадлежит множеству Аналогично строится полуинтервал не содержащий точек множества причем либо либо а Теперь ясно, что интервал содержит точку х и является смежным интервалом множества Легко видеть, что если - два смежных интервала множества то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой - счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов более чем счетно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Канторово совершенное множество. Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим из прямой несобственные интервалы и . После этой операции у нас останется отрезок . Далее, удалим из этого отрезка интервал составляющий его среднюю треть.

Из каждого из оставшихся двух отрезков удалим его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой Р.

Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество Р замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого множества непересекающихся интервалов. Множество Р не пустот во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Замкнутое множество F называется совершенным, если оно не содержит изолированных точек, т. е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество Р совершенно. Действительно, если бы некоторая точка х была изолированной точкой множества Р, то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества Р не имеют общих концов.

Множество Р не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал целиком принадлежит множеству Р. Тогда он целиком принадлежит одному из отрезков, получающихся на шаге построения множества Р. Но это невозможно, так как при длины этих отрезков стремятся к пулю.

Можно показать, что множество Р имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.

Приведем несколько примеров появления точечных мпожеств в классических разделах анализа. Пусть - непрерывная функция, заданная на отрезке Зафиксируем число а и рассмотрим множество тех точек х, для которых Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке Точно так же множество точек х, для которых может быть каким угодно открытым множеством Если есть последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке то множество тех точек х, где эта последовательность сходится, не может быть произвольным, а принадлежит к вполне определенному типу.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением строения точечных множеств, называется дескриптивной теорией множеств. Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам - Н. Н. Лузину и его ученикам П. С. Александрову, М. Я. Суслину, А. Н. Колмогорову, М. А. Лаврентьеву, П. С. Новикову, Л. В. Келдыш, А. А. Ляпунову и др.

Исследования Н. Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.

Открытые и замкнутые множества

Приложение 1 . Открытые и замкнутые множества

Множество M на прямой называется открытым , если каждая его точка сожержится в этом множестве вместе с некоторым интервалом. Замкнутым называется множество, содержащее все свои предельные точки (т. е. такие, что любой интервал, содержащий эту точку, пересекается со множеством еще хотя бы по одной точке). Например, отрезок является замкнутым множеством, но не является открытым, а интервал, наоборот, является открытым множеством, но не является замкнутым. Бывают множества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми (например, полуинтервал). Существуют два множества, которые одновременно и замкнутые, и открытые – это пустое и все Z (докажите, что других нет). Легко видеть, что если M открыто, то [` M ] (или Z \ M – дополнение к множеству M до Z ) замкнуто. Действительно, если [` M ] не замкнуто, то оно не содержит какую-то свою предельную точку m . Но тогда m О M , причем каждый интервал, содержащий m , пересекается с множеством [` M ], т. е. имеет точку, не лежащую в M , а это противоречит тому, что M – открытое. Аналогично, тоже прямо из определения, доказывается, что если M замкнуто, то [` M ] открыто (проверьте!).

Теперь докажем следующую важную теорему.

Теорема. Любое открытое множество M можно представить в виде объединения интервалов с рациональными концами (т. е. с концами в рациональных точках).

Доказательство . Рассмотрим объединение U всех интервалов с рациональными концами, являющихся подмножествами нашего множества. Докажем, что это объединение совпадает со всем множеством. Действительно, если m – какая-то точка из M , то существует интервал (m 1 , m 2) М M , содержащий m (это следует из того, что M – открытое). На любом интервале можно найти рациональную точку. Пусть на (m 1 , m ) – это m 3 , на (m , m 2) – это m 4 . Тогда точка m покрыта объединением U , а именно, интервалом (m 3 , m 4). Таким образом, мы доказали, что каждая точка m из M покрыта объединением U . Кроме того, как очевидно следует из построения U , никакая точка, не содержащаяся в M , не покрыта U . Значит, U и M совпадают.

Важным следствием из этой теоремы является тот факт, что любое открытое множество есть счетное объединение интервалов.

Нигде не~плотные множества и~множества меры~ноль. Канторово множество>

Приложение 2 . Нигде не плотные множества и множества меры ноль. Канторово множество

Множество A называется нигде не плотным , если для любых различных точек a и b найдется отрезок [c , d ] М [a , b ], не пересекающийся с A . Например, множество точек последовательности a n = [ 1/(n )] является нигде не плотным, а множество рациональных чисел – нет.

Теорема Бэра. Отрезок нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство . Предположим, что существует последовательность A k нигде не плотных множеств, таких что И i A i = [a , b ]. Построим следующую последовательность отрезков. Пусть I 1 – какой-нибудь отрезок, вложенный в [a , b ] и не пересекающийся с A 1 . По определению нигде не плотного множества на отрезке I 1 найдется отрезок, не пересекающийся с множеством A 2 . Назовем его I 2 . Далее, на отрезке I 2 возьмем аналогичным образом отрезок I 3 , не пересекающийся с A 3 , и т. д. У последовательности I k вложенных отрезков есть общая точка (это одно из основных свойств действительных чисел). Эта точка по построению не лежит ни в одном из множеств A k , значит, эти множества не покрывают весь отрезок [a , b ].

Назовем множество M имеющим меру ноль , если для любого положительного e найдется последовательность I k интервалов с суммарной длиной меньше e , покрывающая M . Очевидно, что любое счетное множество имеет меру ноль. Однако бывают и несчетные множества, имеющие меру ноль. Построим одно такое, очень известное, называемое канторовым.

Рис. 11

Возьмем отрезок . Поделим его на три равные части. Средний отрезок выкинем (рис. 11, а ). Останется два отрезка суммарной длины [ 2/3]. С каждым из них проделаем точно такую же операцию (рис. 11, б ). Останется четыре отрезка суммарной длины [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Продолжая так далее (рис. 11, в –е ) до бесконечности, получаем множество, которое имеет меру меньше любой наперед заданной положительной, т. е. меру ноль. Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками этого множества и бесконечными последовательностями нулей и единиц. Если при первом "выкидывании" наша точка попала в правый отрезок, поставим в начале последовательности 1, если в левый – 0 (рис. 11, а ). Далее, после первого "выкидывания", получаем маленькую копию большого отрезка, с которой поступаем точно так же: если наша точка после выкидывания попала в правый отрезок, поставим 1, если в левый – 0, и т. д. (проверьте взаимную однозначность), рис. 11, б , в . Поскольку множество последовательностей нулей и единиц имеет мощность континуум, канторово множество также имеет мощность континуум. Кроме того, несложно доказать, что оно нигде не плотно. Однако неверно, что оно имеет строгую меру ноль (см. определение строгой меры). Идея доказательства этого факта в следующем: возьмем последовательность a n , очень быстро стремящуюся к нулю. Для этого подойдет, например, последовательность a n = [ 1/(2 2 n )]. После чего докажем, что этой последовательностью нельзя покрыть канторово множество (проделайте это!).

Приложение 3 . Задачи

Операции над множествами

Множества A и B называются равными , если каждый элемент множества A принадлежит множеству B , и наоборот. Обозначение: A = B .

Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент множества A принадлежит множеству B . Обозначение: A М B .

1. Для каждых двух из следующих множеств указать, является ли одно из них подмножеством другого:

{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. Докажите, что множество A тогда и только тогда является подмножеством множества B , когда каждый элемент, не принадлежащий B , не принадлежит A .

3. Докажите, что для произвольных множеств A , B и C

а) A М A ; б) если A М B и B М C , то A М C ;

в) A = B , если и только если A М B и B М A .

Множество называется пустым , если оно не содержит ни одного элемента. Обозначение: Ж .

4. Сколько элементов у каждого из следующих множеств:

Ж , {1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {Ж }, {{2,1}}?

5. Сколько подмножеств у множества из трех элементов?

6. Может ли у множества быть ровно а) 0; б*) 7; в) 16 подмножеств?

Объединением множеств A и B x , что x О A или x О B . Обозначение: A И B .

Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из таких x , что x О A и x О B . Обозначение: A З B .

Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из таких x , что x О A и x П B . Обозначение: A \ B .

7. Даны множества A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D = {0,7,23,1998}. Найдите множества:

а) A И B ;	б) A З B ;	в) (A З B )И D ;
г) C З (D З B );	д) (A И B )З (C И D );	е) (A И (B З C ))З D ;
ж) (C З A )И ((A И (C З D ))З B );	з) (A И B ) \ (C З D );	и) A \ (B \ (C \ D ));
к) ((A \ (B И D )) \ C )И B .

8. Пусть A – множество четных чисел, а B – множество чисел, делящихся на 3. Найдите A З B .

9. Докажите, что для любых множеств A , B , C

а) A И B = B И A , A З B = B З A ;

б) A И (B И C ) = (A И B )И C , A З (B З C ) = (A З B )З C ;

в) A З (B И C ) = (A З B )И (A З C ), A И (B З C ) = (A И B )З (A И C );

г) A \ (B И C ) = (A \ B )З (A \ C ), A \ (B З C ) = (A \ B )И (A \ C ).

10. Верно ли, что для любых множеств A , B , C

а) A З Ж = Ж , A И Ж = A ;	б) A И A = A , A З A = A ;	в) A З B = A Ы A М B ;
г) (A \ B )И B = A ; 7 д) A \ (A \ B ) = A З B ;	е) A \ (B \ C ) = (A \ B )И (A З C );
ж) (A \ B )И (B \ A ) = A И B ?

Отображения множеств

Если каждому элементу x множества X поставлен в соотвествие ровно один элемент f (x ) множества Y , то говорят, что задано отображение f из множества X в множество Y . При этом, если f (x ) = y , то элемент y называется образом элемента x при отображении f , а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f . Обозначение: f : X ® Y .

11. Нарисуйте всевозможные отображения из множества {7,8,9} в множество {0,1}.

Пусть f : X ® Y , y О Y , A М X , B М Y . Полным прообразом элемента y при отображении f называется множество {x О X | f (x ) = y }. Обозначение: f - 1 (y ). Образом множества A М X при отображении f называется множество {f (x ) | x О A }. Обозначение: f (A ). Прообразом множества B М Y называется множество {x О X | f (x ) О B }. Обозначение: f - 1 (B ).

12. Для отображения f : {0,1,3,4} ® {2,5,7,18}, заданного картинкой, найдите f ({0,3}), f ({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

а) б) в)

13. Пусть f : X ® Y , A 1 , A 2 М X , B 1 , B 2 М Y . Всегда ли верно, что

а) f (X ) = Y ;

б) f - 1 (Y ) = X ;

в) f (A 1 И A 2) = f (A 1)И f (A 2);

г) f (A 1 З A 2) = f (A 1)З f (A 2);

д) f - 1 (B 1 И B 2) = f - 1 (B 1)И f - 1 (B 2);

е) f - 1 (B 1 З B 2) = f - 1 (B 1)З f - 1 (B 2);

ж) если f (A 1) М f (A 2), то A 1 М A 2 ;

з) если f - 1 (B 1) М f - 1 (B 2), то B 1 М B 2 ?

Композицией отображений f : X ® Y и g : Y ® Z называется отображение, сопоставляющее элементу x множества X элемент g (f (x )) множества Z . Обозначение: g ° f .

14. Докажите, что для произвольных отображений f : X ® Y , g : Y ® Z и h : Z ® W выполняется следующее: h ° (g ° f ) = (h ° g )° f .

15. Пусть f : {1,2,3,5} ® {0,1,2}, g : {0,1,2} ® {3,7,37,137}, h : {3,7,37,137} ® {1,2,3,5}– отображения, показанные на рисунке:

f : g : h :

Нарисуйте картинки для следующих отображений:

а) g ° f ; б) h ° g ; в) f ° h ° g ; г) g ° h ° f .

Отображение f : X ® Y называется биективным , если для каждого y О Y найдется ровно один x О X такой, что f (x ) = y .

16. Пусть f : X ® Y , g : Y ® Z . Верно ли, что если f и g биективны, то и g ° f биективно?

17. Пусть f : {1,2,3} ® {1,2,3}, g : {1,2,3} ® {1,2,3}, – отображения, изображенные на рисунке:

18. Про каждые два из следующих множеств выясните, существует ли биекция из первого во второе (надлежит считать, что ноль – натуральное число):

а) множество натуральных чисел;

б) множество четных натуральных чисел;

в) множество натуральных чисел без числа 3.

Метрическим пространством называется множетсво X с заданной метрикой r : X ×X ® Z

1) " x ,y О X r (x ,y ) і 0, причем r (x ,y ) = 0, если и только если x = y (неотрицательность ); 2) " x ,y О X r (x ,y ) = r (y ,x ) (симметричность ); 3) " x ,y ,z О X r (x ,y ) + r (y ,z ) і r (x ,z ) (неравенство треугольника ). 19 19. X

а) X = Z , r (x ,y ) = | x - y | ;

б) X = Z 2 , r 2 ((x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц {(x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

в) X = C [a ,b a ,b ] функций,

где D

Открытым (соответственно, замкнутым ) шаром радиуса r в пространстве X с центром в точке x называется множество U r (x ) = {y О x : r (x ,y ) < r } (соответственно, B r (x ) = {y О X : r (x ,y ) Ј r }).

Внутренней точкой множества U М X U

открытым окрестностью этой точки.

Предельной точкой множества F М X F .

замкнутым

20. Докажите, что

21. Докажите, что

б) объединение множества A замыкание A

Отображение f : X ® Y называется непрерывным

22.

23. Докажите, что

F (x ) = inf y О F r (x ,y

F .

24. Пусть f : X ® Y – . Верно ли, что обратное к нему непрерывно?

Непрерывное взаимно однозначное отображение f : X ® Y гомеоморфизмом . Пространства X , Y гомеоморфными .

25.

26. Для каких пар X , Y f : X ® Y , которое не склеивает точки (т. е. f (x ) № f (y ) при x № y вложениями )?

27*. локальным гомеоморфизмом (т. е. у каждой точки x плоскости и f (x ) тора существуют такие окрестности U и V , что f гомеоморфно отображает U на V ).

Метрические пространства и непрерывные отображения

Метрическим пространством называется множетсво X с заданной метрикой r : X ×X ® Z , удовлетворяющее следующим аксиомам:

а) X = Z , r (x ,y ) = | x - y | ;

б) X = Z 2 , r 2 ((x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц {(x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

в) X = C [a ,b ] – множество непрерывных на [a ,b ] функций,

где D – круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Внутренней точкой множества U М X называется такая точка, которая содержится в U вместе с некоторым шаром ненулевого радиуса.

Множество, все точки которого внутренние, называется открытым . Открытое множество, содержащее данную точку, называется окрестностью этой точки.

Предельной точкой множества F М X называется такая точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много точек множества F .

Множество, которое содержит все свои предельные точки, называется замкнутым (сравните это определение с тем, которое было дано в приложении 1).

29. Докажите, что

а) множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто;

б) конечное объединение и счетное пересечение замкнутых множеств замкнуто;

в) счетное объединение и конечное пересечение открытых множеств открыто.

30. Докажите, что

а) множество предельных точек любого множества является замкнутым множеством;

б) объединение множества A и множества его предельных точек ( замыкание A ) является замкнутым множеством.

Отображение f : X ® Y называется непрерывным , если прообраз каждого открытого множества открыт.

31. Докажите, что это определение согласуется с определением непрерывности функций на прямой.

32. Докажите, что

а) расстояние до множества r F (x ) = inf y О F r (x ,y ) является непрерывной функцией;

б) множество нулей функции пункта а) совпадает с замыканием F .

33. Пусть f : X ® Y

Непрерывное взаимно однозначное отображение f : X ® Y , обратное к которому также непрерывно, называется гомеоморфизмом . Пространства X , Y , для которых такое отображение существует, называются гомеоморфными .

34. Для каждой пары из следующих множеств установите, гомеоморфны ли они:

35. Для каких пар X , Y пространств из предыдущей задачи существует непрерывное отображение f : X ® Y , которое не склеивает точки (т. е. f (x ) № f (y ) при x № y – такие отображения называют вложениями )?

36*. Придумайте непрерывное отображение плоскости на тор, которое было бы локальным гомеоморфизмом (т. е. у каждой точки x плоскости и f (x ) тора существуют такие окрестности U и V , что f гомеоморфно отображает U на V ).

Полнота. Теорема Бэра

Пусть X – метрическое пространство. Последовательность x n его элементов называется фундаментальной , если

" e > 0 $ n " k ,m > n r (x k ,x m ) < e .

37. Докажите, что сходящаяся последовательность фундаментальна. Верно ли обратное утверждение?

Метрическое пространство называется полным , если всякая фундаментальная последовательность в нем сходится.

38. Верно ли, что пространство, гомеоморфное полному, полно?

39. Докажите, что замкнутое подпространство полного пространства само полно; полное подпространство произвольного пространства замкнуто в нем.

40. Докажите, что в полном метрическом пространстве последовательность вложенных замкнутых шаров с радиусами, стремящимися к нулю, имеет общий элемент.

41. Можно ли в предыдущей задаче убрать условие полноты пространства или стремления к нулю радиусов шаров?

Отображение f метрического пространства X в себя называется сжимающим , если

$ c (0 Ј c < 1): " x ,y О X r (f (x ),f (y )) < c r (x ,y ).

42. Докажите, что сжимающее отображение непрерывно.

43. а) Докажите, что сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет ровно одну неподвижную точку.

б) На карту России масштаба 1:5 000 000 положили карту России масштаба 1:20 000 000. Докажите, что найдется точка, изображения которой на обеих картах совпадут.

44*. Существует ли неполное метрическое пространство, в котором верно утверждение задачи , а?

Подмножество метрического пространства называется всюду плотным , если его замыкание совпадает со всем пространством; нигде не плотным – если его замыкание не имеет непустых открытых подмножеств (сравните это определение с тем, которое было дано в приложениие 2).

45. а) Пусть a , b , a , b О Z и a < a < b < b . Докажите, что множество непрерывных функций на [a ,b ], монотонных на , нигде не плотно в пространстве всех непрерывных функций на [a ,b ] c равномерной метрикой.

б) Пусть a , b , c , e О Z и a < b , c > 0, e > 0. Тогда множество непрерывных функций на [a ,b ], таких что

$ x О [a ,b ]: " y (0 < | x - y | < e ) Ю

| f (x ) - f (y )| | x - y |

Ј c ,

нигде не плотно в пространстве всех непрерывных функций на [a ,b ] c равномерной метрикой.

46. (Обобщенная теорема Бэра .) Докажите, что полное метрическое пространство нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.

47. Докажите, что множество непрерывных, не монотонных ни на каком непустом интервале и нигде не дифференцируемых функций, определенных на отрезке , всюду плотно в пространстве всех непрерывных функций на с равномерной метрикой.

48*. Пусть f – дифференцируемая функция на отрезке . Докажите, что ее производная непрерывна на всюду плотном множестве точек. Это определение лебеговой меры ноль. Если счетное число интервалов заменить на конечное, то получится определение жордановой меры ноль.

Доказательства теорем:

1) Теорема Кантора

Формулировка: Множество действительных чисел несчетно

Доказательство : Если бы множество всех действительных чисел было счетным, то т.к. любое бесконечное подмножество счетного множества счётно, то и любое его подмножество, в частности, любой отрезок, что противоречит тому, что любой отрезок множества действительных чисел состоит из несчетного множества точек.

2) Теорема о предельной точке

Формулировка: Если (.) p – это предельная точка X , то любая окрестность (.) p содержит бесконечно много точек множества X

Доказательство: предположим, что существует такая окрестность (.)p, которая содержит конечное число точек множества X.

q 1, q 2, …,q n – это точки множества NÇX

q i ¹p, i=1,2,…,n

Рассмотрим расстояние от (.)p до всех точек q i и выберем минимальное.

r=min r(p,q i)>0

Построим окрестность радиуса r с центром в точке p. Nr(p)=B(p,r). Построим окрестность (.)p радиуса q. Эта окрестность не содержит ни одной точки из X.

По определению, (.)p не может быть предельной точкой X. Противоречие.

3) Теорема об открытом множестве

Формулировка: Множество X открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто

Доказательство:

Необходимость: - замкнуто

Выберем (.)xÎX. Тогда, по определению, xÏ и x не является предельной точкой множества X. Значит, существует такая окрестность N (.)x, что NÇ=, NX, а значит, x-внутренняя точка множества X. Значит, множество X – открыто.

Достаточность: Пусть множество X – открыто и x – предельная точка , тогда каждая окрестность (.)x содержит некоторую точку из , которая не совпадает с самой точкой x. Это означает, что x не является внутренней точкой множества X и следовательно множество замкнуто.

4) Теорема об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств

Формулировка:

4-1. Для любого семейства { G a } открытых множеств G множество, которое является объединением всех G a будет открытым

4-2. Для любого семейства { F a } замкнутых множеств R , множество Ç всех F a будет замкнутым

4-3. Для любого конечного семейства { G 1, G 2 ,…, G n } Ç всех этих открытых множеств будет открытым

4-4. Для любого конечного семейства множеств { F 1, F 2,…, F n } объединение всех этих множеств будет замкнутым

Доказательство:

4-1. Обозначим G= и пусть (.) xÎ G. Это означает, что xÎG a для какого-то индекса a. Поскольку множество G a - открытое, значит (.)x –внутренняя точка множества G a . (.)x будет внутренней точкой множества G и значит, G – открыто.

По предыдущему доказательству, множества - открытые

Значит, - открыто

4-3. Пусть H=. Для любой (.)x из множества H существует окрестность N i радиуса r i такая, что эта окрестность Î некоторому множеству G i xÎH N i G i

Выберем из всех этих r i минимальный min r i =r и пусть окрестность N – окрестность (.)x радиуса r. Тогда NÎG i . А раз NG i , то NH

4.4. ()=

5) Принцип Архимеда

Формулировка: Каково бы ни было действительное число a , существует такое натуральное число n , что n > a

Доказательство: если бы утверждение теоремы не имело места, то нашлось бы такое число a, что для всех натуральных чисел n выполнялось бы неравенство n<=a, т.е. множество натуральных чисел N было бы ограничено сверху. Тогда, согласно тому, что всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, у множества N существовала бы конечная верхняя грань:

b=sup N <+ (1)

Поскольку b-1b-1, т.е.

n+1>b, но n+1 – также натуральное число: n+1ÎN, поэтому неравенство (n+1>b) противоречит условию (1)

6) Теорема Коши-Кантора

Формулировка: Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам системы, причем x = sup { a n }= inf { b n }

Доказательство: если точки xÎ, Î, n=1,2,…,

то ясно, что для всех номеров n выполняются неравенства

|-x|<=b n -a n , а следовательно, в силу условия (1) для любого e>0 справедливо неравенство

Поскольку e>0 – произвольное число, то возможно только тогда, когда e=. Это означает, что существует единственное число x, принадлежащее всем отрезкам

a n <=x<=b n , n=1,2,….

Из этих неравенств видно, что число x ограничивает сверху числа a n и снизу числа b n , поэтому, если a=sup{a n }, b=inf{b n }, то в силу определения верхней и нижней граней будут выполняться неравенства

a n <=a<=x<=b<=b n , n=1,2,…

Таким образом, числа a,b и x принадлежат всем отрезкам , а следовательно, они равны, и будет выполняться условие x=sup{a n }=inf{b n }

7) Теорема о сходящихся последовательностях

Формулировка: Пусть { p n } – последовательность в метрическом пространстве X

7.1. { p n } p , когда каждая окрестность (.) p содержит все члены последовательности p n за исключением конечного числа членов последовательности

7.2. Если p Î X , p ` Î X ` и последовательность p n p , p n p `, то p = p `

7.3. Если последовательность p n сходится, то она ограничена

Типы множеств вещественной прямой

Положение точки относительно множества A

Односторонние окрестности

Топология вещественной прямой

Числовые множества

Основные множества чисел это отрезок и интервал (a; b).

Числовое множество A называется ограниченным сверху , если существует такое число M, что a £ M для любого a Î A. Число M в этом случае называется верхней гранью или мажорантой множества.

Супремумом множества A, sup A называется …

… наименьшая из его мажорант;

… число M такое, что a £ M для любого a Î A и в любой окрестности M есть элемент множества A;

Аналогично вводятся понятия «ограниченное снизу », «миноранта » (нижняя грань), и «инфимум » (точная нижняя грань).

Полнота вещественной прямой (равносильные формулировки)

1. Свойство вложенных отрезков. Пусть заданы отрезки É É … É É … Они имеют хотя бы одну общую точку. Если длины отрезков можно выбрать сколь угодно малыми, то такая точка единственна.

Следствие: метод дихотомии для теорем существования . Пусть задан отрезок . Делим его пополам и выбираем одну из половин (так, чтобы она обладала нужным свойством). Эту половину обозначим через . Продолжаем этот процесс неограниченно. Получим систему вложенных отрезков, длины которых приближаются к 0. Значит, они имеют ровно одну общую точку. Осталось доказать, что она и будет искомой.

2. Для любого непустого ограниченного сверху множества существует супремум.

3. Для любых двух непустых множеств, одно из которых лежит левее другого, существует разделяющая их точка (существование сечений).

Окрестности:

U(x) = (a, b), a < x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;

U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;

U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).

Проколотые окрестности:

Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ {x}; Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ {x}

Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = }