Одной из основных задач электростатики является оценка параметров поля при заданном, стационарном, распределении зарядов в пространстве. Один из способов решения подобных задач основан на принципе суперпозиции . Суть его в следующем.
Если поле создается несколькими точечными зарядами, то на пробный заряд q действует со стороны заряда qk такая сила, как если бы других зарядов не было. Результирующая сила определится выражением:
Т.к. , то – результирующая напряженность поля в точке, где расположен пробный заряд, так же подчиняется принципу суперпозиции :
 |
(1.4.1) |
Это соотношение выражает принцип наложения или суперпозиции электрических полей и представляет важное свойство электрического поля. Напряженность результирующего поля, системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, созданных в данной точке каждым из них в отдельности.
Рассмотрим применение принципа суперпозиции в случае поля, созданного электрической системой из двух зарядов с расстоянием между зарядами, равными l (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Поля, создаваемые различными зарядами, не влияют друг на друга, поэтому вектор результирующего поля нескольких зарядов может быть найден по правилу сложения векторов (правило параллелограмма)
 .
|
В данном случае
и
Следовательно,
 |
(1.4.2) |
Рассмотрим другой пример. Найдем напряженность электростатического поля Е , создаваемую двумя положительными зарядами q 1 и q 2 в точке А , находящейся на расстоянии r 1 от первого и r 2 от второго заря-дов (рис. 1.3).
Рис. 1.3
Воспользуемся теоремой косинусов:
| (1.4.3) |
Где 
.
Если поле создается не точечными зарядами , то используют обычный в таких случаях прием. Тело разбивают на бесконечно малые элементы и определяют напряженность поля создаваемого каждым элементом, затем интегрируют по всему телу:
| (1.4.4) |
Где – напряженность поля, обусловленная заряженным элементом. Интеграл может быть линейным, по площади или по объему в зависимости от формы тела. Для решения подобных задач пользуются соответствующими значениями плотности заряда:
– линейная плотность заряда, измеряется в Кл/м;
– поверхностная плотность заряда, измеряется в Кл/м2;
– объемная плотность заряда, измеряется в Кл/м3.
Если же поле создано сложными по форме заряженными телами и неравномерно заряженными, то используя принцип суперпозиции, трудно найти результирующее поле.
формуле (1.4.4) мы видим, что – векторная величина:
 |
(1.4.5) |
Так что интегрирование может оказаться непростым. Поэтому для вычисления часто пользуются другими методами, которые мы обсудим в следующих темах. Однако в некоторых, относительно простых случаях эти формулы позволяют аналитически рассчитать .
В качестве примеров можно рассмотреть линейное распределение зарядов или распределение заряда по окружности .
Определим напряженность электрического поля в точке А (рис. 1.4) на расстоянии х от бесконечно длинного, линейного, равномерно распределенного заряда. Пусть λ – заряд, приходящийся на единицу длины.
Рис. 1.4
Считаем, что х – мало по сравнению с длиной проводника. Выберем систему координат так, чтобы ось y совпадала с проводником. Элемент длины dy , несет заряд Создаваемая этим элементом напряженность электрического поля в точке А .
Электростатика
Электростатика - раздел учения об электричестве, изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов и свойства постоянного электрического поля.
1.Электрический заряд.
Электрический заряд - это внутреннее свойство тел или частиц, характеризующее их способность к электромагнитным взаимодействиям.
Единица электрического заряда - кулон (Кл) - электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 ампер за время 1 секунда.
Существует элементарный (минимальный) электрический заряд
Носитель элементарного отрицательного заряда - электрон
.
Его масса 
кг. Носитель элементарного положительного заряда - протон.
Его масса 
кг.
Фундаментальные свойства электрического заряда установленные опытным путем:
Существует в двух видах: положительный и отрицательный . Одноименные заряды отталкиваются, разноименные - притягиваются.
Электрический заряд инвариантен - его величина не зависит от системы отсчета, т.е. от того, движется он или покоится.
Электрический заряд дискретен - заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда е.
Электрический заряд аддитивен - заряд любой системы тел (частиц) равен сумме зарядов тел (частиц), входящих в систему.
Электрический заряд подчиняется закону сохранения заряда
:
Алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой
системы остается неизменной, какие бы процессы ни происходили
внутри данной системы.
Под замкнутой системой в данном случае понимают систему, которая не обменивается зарядами с внешними телами.
В электростатике используется физическая модель - точечный электрический заряд - заряженное тело, форма и размеры которого несущественны в данной задаче.
2.Закон Кулона
Закон взаимодействия точечных зарядов - закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:
Сила направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т.е. является центральной, и соответствует притяжению (F<0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F > 0) в случае одноименных зарядов. В векторной форме, сила, действующая на заряд со стороны :
На заряд q 2 со стороны заряда действует сила
- электрическая постоянная , относящаяся к числу фундаментальных физических постоянных:
или 
. Тогда 
где фарад (Ф) - единица электрической емкости (п.21).
Если взаимодействующие заряды находятся в изотропной среде, то кулоновская сила
где - диэлектрическая проницаемость среды - безразмерная величина, показывающая во сколько раз сила взаимодействия F между зарядами в данной среде меньше их силы взаимодействия в вакууме:
Диэлектрическая проницаемость вакуума . Подробнее диэлектрики и их свойства будут рассмотрены ниже (п.15).
Всякое заряженное тело можно рассматривать как совокупность точечных зарядов , аналогично тому, как в механике всякое тело можно считать совокупностью материальных точек. Поэтому электростатическая сила , с которой одно заряженное тело действует на другое, равна геометрической сумме сил , приложенных ко всем точечным зарядам второго тела со стороны каждого точечного заряда первого тела.
Часто бывает значительно удобнее считать, что заряды распределены в заряженном теле непрерывно - вдоль некоторой линии (например, в случае заряженного тонкого стержня), поверхности (например, в случае заряженной пластины) или объема . Соответственно пользуются понятиями линейной, поверхностной и объемной плотностей зарядов.
Объемная плотность электрических зарядов
где dq - заряд малого элемента заряженного тела объемом dV.
Поверхностная плотность электрических зарядов
где dq - заряд малого участка заряженной поверхности площадью dS.
Линейная плотность электрических зарядов
где dq - заряд малого участка заряженной линии длиной dl.
3.
Электростатическим полем называется поле, создаваемое неподвижными электрическими зарядами.
Электростатическое поле описывается двумя величинами: потенциалом (энергетическая скалярная характеристика поля) и напряженностью (силовая векторная характеристика поля).
Напряженность электростатического поля - векторная физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд помещенный в данную точку поля:
Единица напряженности электростатического поля - ньютон на кулон (Н/Кл):
1 Н/Кп=1 В/м, где В (вольт) - единица потенциала электростатического поля.
Напряженность поля точечного заряда в вакууме (и в диэлектрике)
где - радиус-вектор, соединяющий данную точку поля с зарядом q .
В скалярной форме: 
Направление вектора совпадает с направлением сипы , действующей на положительный заряд.
Если поле создается положительным зарядом, то вектор направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда). Если поле создается отрицательным зарядом, то вектор направлен к заряду (притяжение).
Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности - линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е (рис.{а)). Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с направлением вектора напряженности . Так как в данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются . Для однородного поля (когда вектор напряженности в любой точке постоянен по модулю и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности -радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен , и входящие в него, если заряд отрицателен (рис.(б)).
4. Поток вектора .
Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, их проводят с определенной густотой : число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора .
Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS
, равно 
где
- проекция вектора на
нормаль
к площадке dS
. (Вектор
- единичный вектор, перпендикулярный площадке dS
). Величина
называется потоком вектора напряженности через площадку dS. Здесь dS = dS - вектор, модуль которого равен dS , а направление вектора совпадает с направлением к площадке.
Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S :
Принцип суперпозиции электростатических полей.
К кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил - результирующая сила, действующая со стороны поля на пробный заряд равна векторной сумме сип, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов, создающих электростатическое поле.
Напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, также равна геометрической сумме напряженно с тей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
Эта формула выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей . Он позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, представив ее в виде совокупности точечных зарядов.
Напомним правило определения величины вектора суммы двух векторов и :
6. Теорема Гаусса.
Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя теорему Гаусса, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.
Рассмотрим поток вектора напряженности через сферическую поверхность радиуса г, охватывающую точечный заряд q , находящийся в ее центре
Этот результат справедлив для любой замкнутой поверхности произвольной формы, охватывающей заряд.
Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.
Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей п зарядов. Согласно принципу суперпозиции напряженность поля , создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей , создаваемых каждым зарядом в отдельности. Поэтому
Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на .
Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностью , то теорема Гаусса:
7. Циркуляция вектора напряженности.
Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд ,то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы на элементарном перемещении dl равна:
Работа при перемещении заряда из точки 1 в точку 2:
Работа не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек . Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным , а электростатические силы - консервативными .
Таким образом, работа перемещения заряда в электростатическом по любому замкнутому контуру L равна нулю:
Если переносимый заряд единичный , то элементарная работа сил поля на пути равна , где -проекция вектора на направление элементарного перемещения .
Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности по заданному замкнутому контуру L.
Теорема о циркуляции вектора :
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю
Силовое поле, обладающее таким свойством. называется потенциальным. Эта формула справедлива только для электрического поля неподвижных зарядов (электростатического).
8. Потенциальная энергия заряда.
В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.
Поэтому работу можно представить, как разность потенциальных энергий заряда q 0 в начальной и конечной точках поля заряда q :
Потенциальная энергия заряда , находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него равна
Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальная энергия обращается в нуль, получаем: const = 0.
Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна , для разноименных зарядов потенциальная энергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна .
Если поле создается системой п точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда д 0 , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:
9. Потенциал электростатического поля.
Отношение не зависит от пробного заряда и является, энергетической характеристикой поля, называемой потенциалом :
Потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть скалярная физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.
Например, потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q , равен
10.Разность потенциалов
Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, может быть представлена как
то есть равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.
Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2
Пользуясь определением напряженности электростатического поля, можем записать работу в виде
где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.
Если перемещать заряд из произвольной точки за пределы поля {на бесконечность), где потенциальная энергия, а значит и потенциал, равны нулю, то работа сип электростатического поля , откуда
Таким образом, еще одно определение потенциала : потенциал - физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность.
Единица потенциала - вольт (В): 1В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1ДжЛКл).
Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полей : Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов.
11. Связь между напряженностью и потенциалом.
Для потенциального поля, между потенциальной (консервативной) силой и потенциальной энергией существует связь:
где ("набла") - оператор Гамильтона
: 
Поскольку и , то
Знак минус показывает, что вектор направлен в сторону убывания потенциала.
12. Эквипотенциальные поверхности.
Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности – поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и тоже значение.
Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше. На рисунке пунктиром изображены силовые линии, сплошными линиями - сечения эквипотенциальных поверхностей для: положительного точечного заряда (а), диполя (б), двух одноименных зарядов (в), заряженного металлического проводника сложной конфигурации (г).
Для точечного заряда потенциал , поэтому эквипотенциальные поверхности - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Можно показать, что во всех случаях
1) вектор перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и
2) всегда направлен в сторону убывания потенциала.
13.Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических полей в вакууме.
1. Электростатическое поле электрического диполя в вакууме.
Электрическим диполем
(или двойным электрическим полюсом) называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+q,-q),
расстояние l
между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля (l<
Плечо диполя - вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними.
Электрический момент диполя р е - вектор, совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению модуля заряда на плечо :
Пусть r - расстояние до точки А от середины оси диполя. Тогда, учитывая что r>>l.
2) Напряженность поля в точке В на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины при r’>>l.
Поэтому
Взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле. Электрическое поле покоящихся зарядов называется электростатическим.
Электростатическое поле - поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствии электрических токов). Электрическое поле представляет собой особый вид материи, связанный с электрическими зарядами и передающий действия зарядов друг на друга. Электростатическое поле отдельного заряда можно обнаружить, если внести в это поле другой заряд, на который в соответствии с законом Кулона будет действовать определенная сила.
Напряженность поля есть векторная величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля . [E]=Н/Кл=(м*кг)/(см3*A1)=В/м. Направление вектора напряженности совпадает с направлением действия силы. Определим напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q на некотором расстоянии r от него в вакууме ; .
Если в одну и туже точку помещать разные пробные заряды q1 , q2 и т.д., то на них будут действовать различные силы, пропорциональные этим зарядам. Отношение для всех зарядов, вносимых в поле, будет одинаковым и будет зависеть лишь от q и r, определяющих электрическое поле в данной точке. Напряженность данной точки электрического поля это сила действующая на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку.
За единицу напряженности принимается напряженность в такой точке поля, в которой на единицу заряда действует единица силы.
Принцип суперпозиции полей.
Результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.
Принцип суперпозиции полей, или принцип наложения, является условностью, согласно которой некоторый сложный процесс взаимодействия между определённым числом объектов можно представить в виде суммы взаимодействий между отдельными объектами. Принцип суперпозиции применим лишь к тем системам, которые описываются линейными уравнениями. Графически принцип суперпозиции полей можно представить в виде геометрической суммы векторов силы, которые действуют на пробный заряд, помещённый в поле точечных электрических зарядов.
Если поле создано простейшей совокупностью зарядов, которая состоит из положительного и отрицательного зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, то результирующее поле в точке наблюдения находится с помощью правила параллелограмма.
Нельзя применять принцип суперпозиции к взаимодействию атомов и молекул между собой. Например, если взять два атома, у которых электроны находятся во взаимодействии, и поднести к ним третий такой же атом. Часть электронов от первых двух атомов притянется и вступит во взаимодействие с третьим атомом. Т.е. первоначальное распределение энергии в системе изменится. Изначальная сила взаимодействия между электронами и ядрами первых двух атомов уменьшится. Т.е. третий атом влияет не только на электроны, но и на ядра атомов. Также принцип суперпозиции нельзя применять для нелинейный систем.
Рассмотрим метод определения значения и направления вектора напряженности Е в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов q 1 , q 2 , ..., Q n .
Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил (см. §6), т.е. результирующая сила F , действующая со стороны поля на пробный заряд Q 0 , равна векторной сумме сил F i , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q i:
Согласно (79.1), F =Q 0 E и F i ,=Q 0 E i , где Е -напряженность результирующего поля, а Е i - напряженность поля, создаваемого зарядом Q i . Подставляя последние выражения в (80.1), получим
Формула (80.2) выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+ Q, -Q ), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l . Вектор
совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда
| Q | на плечо l , называется электрическим моментом диполя р или дипольным моментом (рис. 122).
Согласно принципу суперпозиции (80.2), напряженность Е поля диполя в произвольной точке
Е =Е + + Е - ,
где Е + и Е - - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряженность поля на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.
1. Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А (рис. 123). Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна
Е A =Е + -Е - .
Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через л, на основании формулы (79.2) для вакуума можно записать
Согласно
определению диполя, l
/2< 2.
Напряженность поля на перпендикуляре,
восставленном к оси из его середины,
в
точке В
(рис.
123). Точка В
равноудалена
от зарядов, поэтому где
r
"
-
расстояние от точки В
до
середины плеча диполя. Из подобия
равнобед- ренных
треугольников, опирающихся плечо
диполя и вектор ев,
получим Е
B
=Е
+
l
/
r
".
(80.5) Подставив в
выражение (80.5) значение (80.4), получим Вектор
Е
B
имеет направление, противоположное
электрическому моменту диполя (вектор
р
направлен от отрицательного заряда к
положительному).
