Типы треугольников
Рассмотрим три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки (рис. 1).
Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков (три точки, не лежащие на одной прямой) – вершинами треугольника.
В таблице 1 перечислены все возможные типы треугольников в зависимости от величины их углов .
Таблица 1 – Типы треугольников в зависимости от величины углов
| Рисунок | Тип треугольника | Определение |
 | Остроугольный треугольник | Треугольник, у которого все углы острые , называют остроугольным |
 | Прямоугольный треугольник | Треугольник, у которого один из углов прямой , называют прямоугольным |
 | Тупоугольный треугольник | Треугольник, у которого один из углов тупой , называют тупоугольным |
| Остроугольный треугольник |
Определение: Треугольник, у которого все углы острые , называют остроугольным |
| Прямоугольный треугольник |
Определение: Треугольник, у которого один из углов прямой , называют прямоугольным |
| Тупоугольный треугольник |
Определение: Треугольник, у которого один из углов тупой , называют тупоугольным |
В зависимости от длин сторон выделяют два важных типа треугольников.
Таблица 2 – Равнобедренный и равносторонний треугольники
| Рисунок | Тип треугольника | Определение |
 | Равнобедренный треугольник | боковыми сторонами , а третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника |
 | Равносторонний (правильный) треугольник | Треугольник, у которого все три стороны равны, называют равносторонним или правильным треугольником |
| Равнобедренный треугольник |
Определение: Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным треугольником. В этом случае две равные стороны называют боковыми сторонами , а третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника |
| Равносторонний (правильный) треугольник |
Определение: Треугольник, у которого все три стороны равны, называют равносторонним или правильным треугольником |
Признаки равенства треугольников
Треугольники называют равными , если их можно совместить наложением .
В таблице 3 приведены признаки равенства треугольников .
Таблица 3 – Признаки равенства треугольников
| Рисунок | Название признака | Формулировка признака |
 | по двум сторонам и углу между ними | |
 | Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам | |
 | Признак равенства треугольников по трём сторонам |
| Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними |
|
| Формулировка признака
. Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу между ними, то такие треугольники равны |
| Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам |
|
| Формулировка признака
. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны |
| Признак равенства треугольников по трём сторонам |
|
| Формулировка признака
. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны |
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Для сторон прямоугольных треугольников принято использовать следующие названия.
Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла (рис. 2), две другие стороны называют катетами .
Таблица 4 – Признаки равенства прямоугольных треугольников
| Рисунок | Название признака | Формулировка признака |
 | по двум катетам | Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны |
 | Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу | Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны |
 | Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу | Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны |
 | Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу | Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны |
 | Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе | Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны |
| Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам |
Билет № 14
Многоугольник. Элементы многоугольника. Виды многоугольников. Сумма углов выпуклого многоугольника.
Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, CD, ..., EF, FA так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., FA и АВ) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется многоугольником. Точки А, В, С, ..., Е, F называются вершинами, а отрезки АВ, ВС, CD, ..., EF, FA- сторонами многоугольника.
Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.
Многоугольник с п вершинами называется п -угольником.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. (Многоугольник ABCD – выпуклый, остальные не выпуклые)
Сумма углов выпуклого п -угольника равна (п -2) 180°.
Следствия: 1)Сумма углов любого треугольника равна 180 0
2) Сумма углов любого четырехугольника равна 360 0
Билет № 15
Доказать одно из свойств параллелограмма.
1°. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2°. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Теорема Пифагора.
Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Справедлива теорема, обратная теореме Пифагора
Теорема : Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
С помощью этой теоремы, зная стороны треугольника, можно определять, является ли он прямоугольным
2. Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса 30 0 , 45 0 , 60 0 .
Определение : Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Определение : Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Определение : Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
| 30 0 | 45 0 | 60 0 | |
| Sin A | |||
| Cos A | |||
| Tg A |
Билет № 17
Билет № 18
теорема: Если 3 стороны одного треугольника пропорциональны 3 сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Билет № 14
Признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказательство одного из них.
Существует четыре признака равенства прямоугольных треугольников:
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. (АС=А 1 С 1 , ВС=В 1 С 1)
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. (например, АС=А 1 С 1 , ÐА=ÐА 1)
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. (например, АВ= A 1 B 1 , ÐА=ÐА 1)
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. (например, АВ= A 1 B 1 , АС=А 1 С 1)
Докажем признак по гипотенузе и острому углу.
Вспомним из материала предыдущего урока, прямоугольный треугольником называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (т. е. равен 90 о).
Рассмотрим первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Проиллюстрируем данный случай:
Рис. 1. Равные прямоугольные треугольники
Доказательство :
Вспомним о первом равенстве произвольных треугольников.
Рис. 2
Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:
Аналогичное доказательство следует и для прямоугольных треугольников:
.
Треугольники равны по первому признаку.
Рассмотрим второй признак равенства прямоугольных треугольников. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 3
Доказательство :
Рис. 4
Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников:
Аналогичное доказательство и для прямоугольных треугольников:
Треугольники равны по второму признаку.
Рассмотрим третий признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство :
Рис. 5
Вспомним второй признак равенства треугольников:
Рис. 6
Данные треугольники равны, если:
Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (∠А = ∠А 1), то равенство другой пары углов (∠B = ∠B 1) доказывается следующим образом:
Поскольку АВ = А 1 В 1 (по условию), ∠В = ∠В 1 , ∠А = ∠А 1 . Поэтому треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по второму признаку.
Рассмотрим следующий признак равенства треугольников:
Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, такие прямоугольные треугольники равны.
Рис. 7
Доказательство :
Совместим наложением треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 . Предположим, что вершины А и А 1 , а также С и С 1 совместились наложением, а вершина В и точка В 1 не совпадают. Именно этот случай указан на следующем рисунке:
Рис. 8
В данном случае мы можем заметить равнобедренный треугольник АВВ 1 (по определению - по условию АВ = АВ 1). Поэтому по свойству, ∠АВ 1 В = ∠АВВ 1 . Рассмотрим определение внешнего угла. Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, несмежных с ним. На рисунке указано данное соотношение:
Рис. 9
Угол 5 является внешним углом треугольника и равен ∠5 = ∠1 + ∠2. Отсюда следует, что внешний угол больше каждого из углов, несмежных с ним.
Таким образом, ∠АВВ 1 является внешним углом для треугольника АВС и равен сумме ∠АВВ 1 = ∠САВ + ∠АСВ = ∠АВС = ∠САВ + 90 о. Таким образом, ∠АВ 1 В (что является острым углом в прямоугольном треугольнике АВВ 1) не может быть равен углу ∠АВВ 1 , ведь данный угол - тупой по доказанному.
Значит наше предположение касательно расположения точек В и В 1 оказалось неверным, следовательно данные точки совпадают. А значит треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 совместились наложением. Поэтому они равны (по определению).
Таким образом, данные признаки вводятся не зря, ведь их можно использовать при решении некоторых задач.
- Омский государственный университет ().
- Справочный портал calc.ru ().
- Учительский портал ().
1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть.
3. Исходя из данных, указанных на рисунке, укажите равные треугольники, если они есть. Учитывайте, что АС = АF.
4. В прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведены медиана и высота. Угол между ними равен 20 о. Определите величину каждого из острых углов данного прямоугольного треугольника.
На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье . Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:
А что же угол? Есть ли катет, который находится напротив угла, то есть противолежащий (для угла) катет? Конечно, есть! Это катет!
А как же угол? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу? Конечно же, катет. Значит, для угла катет - прилежащий, и
А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:
Видишь, как здорово:
Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.
Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу? Противолежащим, конечно - он «лежит» напротив угла. А катет? Прилегает к углу. Значит, что у нас получилось?
Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?
И теперь снова углы и совершили обмен:
Резюме
Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.
 |
Теорема Пифагора: |
Главная теорема о прямоугольном треугольнике - теорема Пифагора.
Теорема Пифагора
Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок - освежай знания
Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной.
Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и!
А теперь соединим отмеченные точки
Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.
Чему же равна площадь большего квадрата?
Правильно, .
А площадь меньшего?
Конечно, .
Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами.
Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна.
Давай теперь соберем всё вместе.
Преобразуем:
Вот и побывали мы Пифагором - доказали его теорему древним способом.
Прямоугольный треугольник и тригонометрия
Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:
Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.
И ещё раз всё это в виде таблички:
Это очень удобно!
Признаки равенства прямоугольных треугольников
I. По двум катетам
II. По катету и гипотенузе
III. По гипотенузе и острому углу
IV. По катету и острому углу
a)
b)
Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:
То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ , несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.
Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих - противолежащим .
Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников?
Загляни в тему « и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны.
А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?
Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
I. По острому углу
II. По двум катетам
III. По катету и гипотенузе
Медиана в прямоугольном треугольнике
Почему это так?
Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.
Проведём диагональ и рассмотрим точку - точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?
И что из этого следует?
Вот и получилось, что
- - медиана:
Запомни этот факт! Очень помогает!
А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.
Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку
Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это - ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?
Вот давай мы начнём с этого «кроме того...».
Посмотрим на и.
Но у подобных треугольников все углы равны!
То же самое можно сказать и про и
А теперь нарисуем это вместе:
Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.
Ну, например - две формулы для высоты прямоугольного треугольника.
Запишем отношения соответствующих сторон:
Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :
Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!
Итак, применим подобие: .
Что теперь получится?
Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу :
Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее.
Запишем их ещё раз
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- по двум катетам:
- по катету и гипотенузе: или
- по катету и прилежащему острому углу: или
- по катету и противолежащему острому углу: или
- по гипотенузе и остром углу: или.
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
- одному острому углу: или
- из пропорциональности двух катетов:
- из пропорциональности катета и гипотенузы: или.
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
- Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
- Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
- Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
- Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .
Высота прямоугольного треугольника: или.
В прямоугольном треугольнике медиана , проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: .
Площадь прямоугольного треугольника:
- через катеты:
Разделы: Математика
Тема: “Признаки равенства прямоугольных треугольников”
Цель: закрепление знаний (свойства прямоугольных треугольников), знакомство с некоторыми признаками равенства прямоугольных треугольников.
Ход урока:
I. Оргмомент.II. Устно.
1. Ответить на вопросы:
- Назвать элементы прямоугольного треугольника.
- Какими свойствами обладают элементы прямоугольного треугольника?
- Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.
- Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол лежащий против этого катета равен 30 0 .
- Найти x. Ответ выбрать из треугольника. Буквы какого-то слова находятся в секторах треугольника. Обсуждение в парах (3 мин).
Рисунок 1.
Составили слово “признак”.
III. Изучение нового материалаИзучая треугольники, мы говорим, что он обладает некоторыми свойствами и признаками. А какие признаки равенства треугольников вам известны? Мы сформулировали и доказали свойства прямоугольных треугольников, а сегодня рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников, будем решать задачи с их применением.
Доказывая равенство треугольников, сколько пар соответственно равных элементов отыскивали? А возможно ли доказать равенство прямоугольных треугольников по двум катетам?
Перед вами два прямоугольных треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 , у них соответственно равны катеты. Докажите, если это возможно, их равенство.
№1. (По двум катетам)
Рисунок 2.
Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , АВ = А 1 В 1 , ВС = В 1 С 1
Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1
Как прозвучит признак? (Затем задача №1)
№2. (По катету и прилежащему к нему острому углу)
Рисунок 3.
Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , ВС = В 1 С 1, С= С 1
Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1
Как прозвучит признак? (Затем задача №2)
№3. (По гипотенузе и острому углу)
Рисунок 4.
Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 , В=В 1 =90 0 , АС = А 1 С 1, А= А 1
Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1
Как прозвучит признак? (Затем задача №3)
Задачи. Найти равные треугольники и доказать их равенство.
Рисунок 5.
IV. Закрепление изученного на уроке.Решить следующую задачу.
Рисунок 6.
Дано: АВС, А 1 В 1 С 1 , DAB=CBA=90 0 , АD = BD
Доказать: CAB=DBA.
Обсуждение в четверках (3 мин).
Зачем задача из учебника №261 с записью.
Рисунок 7.
Дано: АВС – равнобедренный, AD и CE – высота АВС
Доказать: AD = CE
Доказательство:
V. Задание на дом.
П.35 (три признака), №261 (доказать, что АОС - равнобедренный), №268 (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу).
На следующем уроке геометрии мы продолжим знакомство с признаками равенства прямоугольных треугольников. Отметки выставлю также в следующий раз по результатам за 2 урока.
Дополнительно. Найти равные треугольники.
