Сила ампера взаимодействие параллельных проводников с током. Сила Ампера. Взаимодействие параллельных токов. Единицы силы тока. Ферромагнетики и их свойства

Отсюда нетрудно получить выражение для индукции магнитного поля каждого из прямолинейных проводников. Магнитное поле прямолинейного проводника с током должно обладать осевой симметрией и, следовательно, замкнутые линии магнитной индукции могут быть только концентрическими окружностями, располагающимися в плоскостях, перпендикулярных проводнику. Это означает, что векторы B1 и B2 магнитной индукции параллельных токов I 1 и I 2 лежат в плоскости, перпендикулярной обоим токам. Поэтому при вычислении сил Ампера, действующих на проводники с током, в законе Ампера нужно положить sin α = 1. Из закона магнитного взаимодействия параллельных токов следует, что модуль индукции B магнитного поля прямолинейного проводника с током I на расстоянии R от него выражается соотношением

Для того, чтобы при магнитном взаимодействии параллельные токи притягивались, а антипараллельные отталкивались, линии магнитной индукции поля прямолинейного проводника должны быть направлены по часовой стрелке, если смотреть вдоль проводника по направлению тока. Для определения направления вектора B магнитного поля прямолинейного проводника также можно пользоваться правилом буравчика: направление вращения рукоятки буравчика совпадает с направлением вектора B если при вращении буравчик перемещается в направлении тока Магнитное взаимодействие параллельных проводников с током используется в Международной системе единиц (СИ) для определения единицы силы тока – ампера:

Вектор магнитной индукции - это основная силовая характеристика магнитного поля (обозначается В).

Сила Лоренца - сила, действующая на одну заряженную частицу, равна

F Л = q υ B sin α.

Под действием силы Лоренца электрические заряды в магнитном поле движутся по криволинейным траекториям. Рассмотрим наиболее характерные случаи движения заряженных частиц в однородном магнитном поле.
а) Если заряженная частица попадает в магнитное поле под углом α = 0°, т.е.летит вдоль линий индукций поля, то F л = qvBsma = 0. Такая частица будет продолжать свое движение так, как если бы магнитного поля не было. Траектория частицы будет представлять собой прямую линию.
б)Частица с зарядом q попадает в магнитное поле так, что направление ее скорости v перпендикулярно индукции ^ В магнитного поля (рисунок - 3.34). В таком случае сила Лоренца обеспечивает центростремительное ускорение a = v 2 /R и частица движется по окружности радиусом R в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля.под действием силы Лоренца: F n = qvB sinα, учитывая, что α = 90°, запишем уравнение движения такой частицы: т v 2 /R= qvB. Здесь m - масса частицы, R – радиус окружности по которой движется частица. Откуда можно найти отношение e/m - называют удельным зарядом, который показывает заряд единицы массы частицы.
с) Если заряженная частица влетает со скоростью v 0 в магнитное поле под любым углом α , то данное движение можно представить ее как сложное и разложить ее на две составляющие по. Траектория движения представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с направлением В . Направление, в котором закручивается траектория, зависит от знака заряда частицы. Если заряд положителен, траектория закручивается против часовой стрелки. Траектория, по которой движется отрицательно заряженная частица, закручивается по часовой стрелке (предполагается, что мы смотрим на траекторию вдоль направления В ; частица при этом летит от нас.

Сила взаимодействия между элементами токов, пропорциональная токам и длине элементов, обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними и, зависящая от их взаимного расположения

Анимация

Описание

В 1820 г. Ампер открыл взаимодействие токов - притяжение или отталкивание параллельных токов. Это позволило поставить задачу исследования: свести все магнитные взаимодействия к взаимодействию элементов тока и найти закон их взаимодействия как фундаментальный закон, играющий в магнетизме роль, аналогичную закону Кулона в электричестве. Используемая в настоящее время формула для взаимодействия элементов тока была получена в 1844 г. Грассманом (1809-1877 гг.) и имеет вид:

, (в "СИ") (1)

, (в гауссовой системе)

где d F 12 - сила, с которой элемент тока I 1 d I 1 действует на элемент тока I 2 d I 2 ;

r 12 - радиус-вектор, проведенный от элемента I 1 d I 1 к элементу тока I 2 d I 2 ;

c =3Ч 108 м/с - скорость света.

Взаимодействие элементов тока

Рис. 1

Сила d F 12 , с которой элемент тока I 2 d I 2 действует на элемент тока I 1 d I 1 , имеет вид:

. (в "СИ") (2)

Силы d F 12 и d F 21 , вообще говоря, не коллинеарны друг другу, следовательно, взаимодействие элементов тока не удовлетворяет третьему закону Ньютона:

d F 12 +d F 21 № 0.

Закон (1) имеет вспомогательный смысл, приводя к правильным, подтвержденным на опыте значениям силы только после интегрирования (1) по замкнутым контурам L 1 и L 2 .

Сила, с которой ток I 1 , текущий по замкнутому контуру L 1 , действует на замкнутый контур L 2 с током I 2 , равна:

. (в "СИ") (3)

Аналогичный вид имеет сила d F 21 .

Для сил взаимодействия замкнутых контуров с током третий закон Ньютона выполняется:

d F 12 +d F 21 =0

В полной аналогии с электростатикой взаимодействие элементов тока представляется так: элемент тока I 1 d I 1 в точке нахождения элемента тока I 2 d I 2 создает магнитное поле, взаимодействие с которым элемента тока I 2 d I 2 приводит к возникновению силы d F 12 .

, (4)

. (5)

Соотношение (5), описывающее порождение магнитного поля током, называется законом Био-Савара.

Сила взаимодействия параллельных токов.

Индукция магнитного поля, создаваемого прямолинейным током I 1 , текущим по бесконечно длинному проводнику, в точке нахождения элемента тока I 2 dx 2 (см. рис. 2) выражается формулой:

. (в "СИ") (6)

Взаимодействие двух параллельных токов

Рис. 2

Формула Ампера, определяющая силу, действующую на элемент тока I 2 dx 2 , находящийся в магнитном поле В 12 , имеет вид:

, (в "СИ") (7)

. (в гауссовой системе)

Эта сила направлена перпендикулярно проводнику с током I 2 и является силой притяжения. Аналогичная сила направлена перпендикулярно проводнику с током I 1 и является силой притяжения. Если токи в параллельных проводниках текут в противоположные стороны, то такие проводники отталкиваются.

Андре Мари Ампер (1775-1836) - французский физик.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -15 до -12);

Время существования (log tc от 13 до 15);

Время деградации (log td от -15 до -12);

Время оптимального проявления (log tk от -12 до 3).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Схема установки для "взвешивания" токов измерения

Реализация единицы 1А с помощью силы, действующей на катушку с током.

Внутри большой фиксированной катушки помещается «измерительная катушка», на которую действует подлежащая измерению сила. Измерительная катушка подвешена к коромыслу чувствительных аналитических весов (рис. 3).

Схема установки для «взвешивания» токов измерения

Рис. 3

Применение эффекта

Закон Ампера взаимодействия токов, или, что - то же самое, магнитных полей, порождаемых этими токами, используют для устройства весьма распространенного типа электроизмерительных приборов - магнитоэлектрических приборов. Они имеют легкую рамку с проволокой, укрепленную на упругом подвесе той или иной конструкции, способную поворачиваться в магнитном поле. Родоначальником всех магнитоэлектрических приборов является электродинамометр Вебера (рис. 4).

Электродинамометр Вебера

Рис. 4

Именно этот прибор позволил провести классические исследования закона Ампера. Внутри неподвижной катушки У висит на бифилярном подвесе поддерживаемая вилкой ll ў подвижная катушка C , ось которой перпендикулярна оси неподвижной катушки. При последовательном прохождении тока по катушкам, подвижная катушка стремится стать параллельно неподвижной и поворачивается, закручивая бифилярный подвес. Углы поворота отсчитываются при помощи прикрепленного к раме ll ў зеркала f.

Литература

1. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм.- М.: Высшая школа, 1983.

2. Тамм И.Е. Основы теории электричества.- М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.

3. Калашников С.Г. Электричество.- М.: Наука, 1977.

4. Сивухин Д.В. Общий курс физики.- М.: Наука, 1977.- Т.3. Электричество.

5. Камке Д., Кремер К. Физические основы единиц измерения.- М.: Мир, 1980.

Ключевые слова

• сила Ампера
• магнитное поле
• закон Био-Савара
• индукция магнитного поля
• взаимодействие элементов тока
• взаимодействие параллельных токов

Разделы естественных наук:

Одним из проявлений магнитного поля является его силовое воздей­ствие на проводник с током, помещенный в магнитное поле. Ампером было установлено, что на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, индукция которого , действует сила, пропорциональная силе тока и индукции магнитного поля:

F = IBℓsinα (15.22)

[α - угол между направлением тока в проводнике и индукцией магнитного поля].

Эта формула оказывается справедливой для прямолинейного про­водника и однородного поля.

Если проводник имеет произвольную форму и поле неоднородно то выражение (3.125) принимает вид

dF = IBdℓsinα (15.23)

или в векторной форме

(15.24)

Произведение Idℓ называют элементом тока. Соотношения (15.23), (15.24) выражают за­кон Ампера.

Для определения направления силы, действующей на проводник с током, помещенный в магнитное поле, применяется правило левой руки : если левую руку расположить так, чтобы линии магнитной индук­ции входили в ладонь, а вытянутые четыре пальца совпадали с на­правлением тока в проводнике, то отогнутый большой палец укажет направление силы, действующей на проводник с током, помещен­ный в магнитное поле (рис. 15.10).

Эта сила всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат про­водник и вектор . Зная направление и модуль силы, действующей на любой участок dℓ проводника, можно вычислить силу, действующую на весь проводник. Для этого нужно найти сумму сил, действующих на все

участки проводника:

Используя закон Ампера, рассмотрим взаи­модействие параллельных проводников с током (рис. 15.11). Предположим, что в однородной изо­тропной среде, относительная магнитная прони­цаемость которой μ, на расстоянии d друг от дру­га расположены два проводника. Пусть по одному из них течет ток I 1 а по другому - I 2 водном направлении.

Выделим на проводнике 2 элемент dℓ 2 . На этот элемент будет действовать сила Ампера

dF i = В 1 I 2 ·dℓ i

[ - индукция магнитного поля, создаваемого первым проводником в месте нахождения второго проводника].

Вектор направлен перпендикулярно направлению току I, поэтому sinα=1. Учитывая это, находим

(15.25)

Применяя правило левой руки, определяем направление этой силы. Чтобы определить силу F 12 , т. е. силу, действующую со стороны провод­ника 1 на проводник 2, нужно просуммировать все элементарные силы dF i

Сила, с которой с которой взаимодействуют два проводника пропорцио­нальна произведению токов, текущих по проводникам, и обратно про­порциональна расстоянию между ними.

Если по проводникам текут токи в одинаковых направлениях, то проводники притягиваются, а в противоположных – отталкиваются.

Закон Ампера является основным в учении о магнетизме и играет такую же роль, как и закон Кулона в электростатике.

15.5 Контур с током в магнитном поле. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

Контур с током, имеющий стороны а и ℓ, помещен в магнитное поле

(рис. 15.12). На каждую сторону кон­тура действует сила Ампера. На гори­зонтальные стороны ℓ контура дейст­вуют силы, которые растягивают или сжимают) контур, не поворачивая его.

На каждую из вертикальных сторон а действует сила F = IВа. Эти силы соз­дают пару сил, момент которой

М = Fℓcosφ (15. 27)

[φ- угол между вектором и сторо­ной контура ℓ.

Момент сил стремится повернуть контур так, чтобы поток Ф, прони­зывающий контур, был максимальным. Подставляя в формулу (15.27) выражение для силы, имеем

М = IBaℓcosφ= ISBcosφ= p m Bcos(π/2-α)= = p m B sinα (15.28)

Величину IS называют магнитным моментом контура p m .. Вектор p m совпадает с направлением положительной нормали к плоскости контура.

Механический момент М, действующий на контур с током в одно­родном магнитном поле, пропорционален магнитному моменту р m кон­тура, индукции В магнитного поля и синусу угла между направлением векторов p m (нормалью к контуру) и .

В векторной форме соотношение (15.28) имеет вид

М = (15.29)

Рассмотрим проводник длиной ℓ с током I, помещённый в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура и который может свободно перемещаться в этом поле под действием силы Ампера (рис. 15.13).

Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок из положения 1 в положение 2. работа, совершаемая магнитным полем, равна

dA=Fdx=IBℓdx=IBdS=IdФ, (15.30)

так как ℓdx = dS – площадь пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле, ВdS = dФ – поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

dA= IdФ, (15.31)

т.е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересечённый движущимся проводником.

Работа по перемещения проводника с током I из точки 1 в точку 2 определяется по формуле:

(15.32)

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле также определяется по формуле. Формула остаётся справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле.

§ 15.5. Сила Лоренца. Движение частицы в магнитном поле. Эффект Холла

Движущиеся электрические заряды создают вокруг себя магнитное поле, которое распространяется в вакууме со скоростью света. При дви­жении заряда во внешнем магнитном поле возникает силовое взаимодей­ствие магнитных полей, определяемое по закону Ампера. Процесс взаи­модействия магнитных полей исследовался Лоренцем, который вывел формулу для расчета силы, действующей со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частицу. Лоренц является создателем класси­ческой электронной теории. Широко известны его работы в области электродинамики, термодинамики, статической механики, оптики, теории излучения, атомной физики. За исследования влияния магнетизма на процессы излучения в 1902 г. был удостоен Нобелевской премии.

Сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся за­ряд называется силой Лоренца и , равна

F л = qυВsinα (15.33)

где q – заряд частица; - скорость частицы; В – индукция магнитного поля, α- угол между направлением скорости частицы и вектором магнитной индукции.

Эта сила перпендикулярна векторам и .

Направление силы Ло­ренца, определяется по правилу левой руки : если расположить левую ладонь так, чтобы четыре вытянутых пальца указывали направление движения положительного заряда, а вектор магнитного поля входил в ладонь, то отставленный большой палец покажет направление силы Лоренца, действующей на данный заряд.

С изменением знака заряда направление силы изменяется на противоположное.

Анализируя выражение (3.146), можно сделать выводы:

1. Если скорость заряда =0; F л =0. Магнитное поле не действу­ет на неподвижную частицу.

2. Если частица влетает в магнитное поле параллельно его силовым линиям . α=0°, sin0°=0; F л =0. Магнитное поле не действу­ет на неподвижную заряженную частицу; Частица будет продолжать двигаться равномерно и прямолинейно с той же скоростью, которая у неё была.

3. Если частица влетает перпендикулярно силовым линиям магнитного поля ┴ . α=90°, sin90°=1; F л =qυВ. Сила Ло­ренца искривляет траекторию движения, выполняя роль центростреми­тельной силы.

Очень важным является использование этого явления при исследо­вании космических частиц для определения знака заряда. Попадание ле­тящей частицы в магнитное поле вызывает изменение ее траектории в зависимости от знака заряда (рис. 3.59). На рис. 3.59 вектор индукции магнитного поля направлен перпендикулярно плоскости чертежа (от нас). Частица будет двигаться по окружности, радиус R которой можно опре­делить из равенства центростремительной силы и силы Лоренца:

Чем больше скорость частицы, тем больше радиус окружности, по которой она движется, период же обращения ни от скорости, ни от радиуса окружности не зависит.

(15.36)

4. Если частица движется под углом β к линиям , то траектория дви­жения частицы будет винтовой линией (спиралью), охватывающей силовые линии магнитного поля (рис. 3.60).

Шаг h спирали определяется υ т -тангенциальной составляющей скорости υ частицы. Радиус спирали зависит от υ n -нормальной состав­ляющей скорости υ.

В 1892 г. Лоренц получает формулу силы, с которой электромагнитное поле действует на любую находящуюся в нём заряженную частицу:

(15.37)

Эта сила называется электромагнитной силой Лоренца , а данное выражение является одним из основных законов классической электродинамики.

Когда электрический заряд движется одновременно в электрическом и магнитном полях, то результирующая сила, действующая на частицу, равна

F = qυВsinα+ qE (15.38)

В этом случае сила имеет две составляющие: от воздействия магнит­ного и электрического полей. Между этими составляющими имеется принципиальная разница. Электрическое поле изменяет величину скоро­сти, а следовательно, и кинетическую энергию частицы, однородное маг­нитное поле изменяет только направление ее движения.

Эффект Холла

Американский ученый Э. Холл обнаружил, что в проводнике, поме­щенном в магнитное поле, возникает разность потенциалов (поперечная) в направлении, перпендикулярном вектору магнитной индукции В и току I, вследствие действия силы Лоренца на заряды, движущиеся в этом про­воднике (рис. 3.62).

Опыт показывает, что поперечная разность потенциалов пропорцио­нальна плотности тока j, магнитной индукции и расстоянию d между электродами:

Допустим, что электроны движутся с упорядоченной средней скоро­стью υ и на каждый электрон действует сила Лоренца, равная еВυ. Под ее действием электроны смещаются так, что одна из граней образца заря­дится отрицательно, другая - положительно и внутри образца возникнет электрическое поле, т. е. е υ В = еЕ.

Следовательно, поперечная разность потенциалов равна

Среднюю скорость υ электронов можно выразить через плотность тока j, так как j=neυ , поэтому

Приравнивая это выражение формуле (15.39), получаем .

Постоян­ная Холла зависит от концентрации электронов.

По измеренному значению постоянной Холла можно: 1) определить концентрацию носителей тока в проводнике (при известных характере проводимости и заряде носителей); 2) судить о природе проводимости полупроводников, так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда носителей тока. Применяется для умножения постоянных токов в аналоговых вычислительных машинах, в измерительной технике (датчик Холла

Примеры решения задач

Пример. Прямоугольная рамка со сторонами а= 5см и b=10см, состоящая из N=20 витков, помещена во внешнее однородное магнитное поле с индукцией В=0,2 Тл. Нормаль к рамке составляет с направлением магнитного поля угол . Определите вращающий момент сил, действующий на рамку, если по ней течёт ток I=2А.

Дано : а= 5см=0,05м; b=10см=0,1м; N=20; В=0,2 Тл; . ; I=2А.

Найти : М.

Решение. Механический момент, действующий на рамку с током, помещённую в однородное магнитное поле,

,

- магнитный момент рамки с током. Модуль M=p m Bsinα.

Поскольку рамка состоит N из витков, то M=Np m Bsinα (1)

где магнитный момент рамки с током

p m =IS=Ia b. (2)

Подставив формулу (2) в выражение (1), найдём искомый вращающий момент

M=NIBa bsinα.

Ответ: М=0,02 Н∙м

Пример. По тонкому проволочному кольцу течёт ток. Определите, во сколько раз изменится индукция в центре контура, если проводнику придать форму квадрата, не изменяя силы тока в проводнике.

Решение. Вектор в центре кругового тока направлен при выбранном направлении тока (см.рисунок), согласно правилу правого винта, перпендикулярно чертежу к нам (на рисунке это обозначено точкой в кружочке). Его модуль

где I– сила тока; R- радиус кольца; μ 0 - магнитная постоянная; μ - магнитная проницаемость среды.

Сторона квадрата, вписанная в кольцо, равна (длина окружности кольца 2πR). Вектор в центре квадрата направлен также перпендикулярно чертежу к нам. Магнитная индукция в центре квадрата равна сумме магнитных индукций, создаваемых каждой стороной квадрата. Тогда модуль , согласно закону Био-Савара-Лапласа,

Из формул (1) и (2) получим отношение

Ответ :

Пример. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, находящимся в вакууме на расстоянии R=30см, текут одинаковые токи одного направления. Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого токами в точке А, лежащей на прямой, соединяющей проводники и лежащей на расстоянии r=20см правее правого провода (см.рисунок). Сила тока в проводниках равна 20А.

Дано :μ=1; R=30см=0,3м; r=20см=0,2м; I 1 = I 2 =I=20 А.

Найти : B.

Решение. Пусть токи направлены перпендикулярно плоскости чертежа от нам, что обозначено на рисунке крестиками. Линии магнитной индукции замкнуты и охватывают проводники с токами. Их направление задаётся правилом правого винта. Вектор в каждой точке направлен по касательной к линии магнитной индукции (см. рисунок).

Согласно принципу суперпозиции, магнитная индукция результирующего поля в точке А

где и - магнитная индукция полей в этой точке, создаваемые первым и вторым проводниками. Векторы и и сонаправлены, поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей

В=В 1 +В 2 . (1)

Магнитная индукция полей, создаваемых бесконечно длинными прямыми проводниками с током I 1 и I 2 ,

, (2)

где μ 0 – магнитная постоянная; μ- магнитная проницаемость среды.

Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что I 1 =I 2 =I и μ=1 (для вакуума), получим искомое выражение для магнитной индукции в точке А:

Ответ: В=28 мкТл.

Пример. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам находящимся в вакууме, расстояние между которыми d=15см, текут токи I 1 =70A и I 2 =50A в одном направлении. Определите магнитную индукцию В поля, в точке А, лежащей удалённой на r 1 =10см от первого и r 1 =20см от второго проводников.

Дано :μ=1; d=15см=0,15 м; I 1 =70A; I 2 =50A; r 1 =10см=0,1м; r 2 =20см=0,2м.

Найти : B.

Решение. Пусть токи направлены перпендикулярно плоскости чертежа к нам. Векторы магнитной индукции направлены по касательной к линиям магнитной индукции.

Согласно принципу суперпозиции, магнитная индукция в точке А (см.рисунок)

где и - соответственно магнитные индукции полей, создаваемые проводниками с током I 1 и I 2 (направления векторов и и токов I 1 и I 2 показаны на рисунке). Модуль вектора по теореме косинусов,

.

Подставив эти выражения в формулу (1), найдём искомое В:

.

Ответ: В=178 мкТл.

Пример. В одной плоскости с бесконечно прямым проводником с током

I=10 A расположена прямоугольная проволочная рамка (сторона а=25см, b=10см), по которой протекает ток I 1 =2А. Длинные стороны рамки параллельны прямому току, причём ближайшая из них находится от прямого тока на расстоянии с=10см и ток в ней сонаправлен току I. Определите силы, действующие на каждую из сторон рамки.

Дано :I=10A; а=25см=0.25м; b=10 см=0.10 м;; I 1 =2 A; с=10см=0,1м.

Найти : F 1 ; F 2 ; F 3 ; F 4 ;

Решение. Прямоугольная рамка находится в неоднородном поле прямого тока с индукцией

(рассматриваем случай вакуумa), где r – расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки.

Сила, с которой действует поле прямого тока, может быть найдена суммированием элементарных сил, определяемых законом Ампера,

Вектор в пределах рамки направлен перпендикулярно её плоскости за чертёж, и в пределах каждой стороны угол . Это означает, что в пределах одной стороны элементарные силы параллельны друг другу и сложение векторов

Можно заменить сложением их модулей:

(2)

где интегрирование ведётся по соответствующей стороне рамки

Короткие стороны рамки расположены одинаково относительно провода, а потому действующие на них силы численно равны, но направлены противоположно. Их направление, впрочем как и направление других сил (см.рисунок), определяется по правилу левой руки. Вдоль каждой из коротких сторон прямоугольника магнитная индукция изменяется [см. формулу (1)]. Тогда, произведя интегрирование [с учётом (2)],

.

Длинные стороны рамки параллельны прямому току, находясь от него соответственно на расстояниях с и с+b. Тогда

;

,

где и .

Ответ: F 1 =10 мкН; F 2 =2,77 мкН; F 3 =5 мкН; F 4 =2,77 мкН.

Пример. Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U=1 кВ, влетает в однородное магнитное поле с индукцией В=3мТл перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите: 1) силу, действующую на электрон; 2) радиус окружности, по которой электрон движется; 3) период обращения электрона.

Дано : m=9,11∙10 -31 кг; е=1,6∙10 -19 Кл; U=1кВ=1∙10 3 В; В=3мТл=3∙10 -3 Тл; α=90º.

Найти : 1)F; 2) R; 3) T.

Решение. При движении электрона в магнитном поле со скоростью υ на него действует сила Лоренца

F л =eυBsinα,

где α – угол между векторами и (в нашем случае α=90º). Тогда

При прохождении ускоряющей разности потенциалов работа сил электростатического поля идёт на сообщение электрону кинетической энергии ,

Подставив выражение (2) в формулу (1), найдём искомую силу, действующую на электрон,

Из механики известно, что постоянная сила, перпендикулярна скорости, а ею и является сила Лоренца (1), вызывает движение по окружности. Она сообщает электрону нормальное ускорение , где R – радиус окружности. По второму закону Ньютона F=ma, где F=eυB. Тогда

откуда искомый радиус окружности с учётом (2)

Период обращения электрона

Подставив выражение (3) и (2) в формулу (4), найдём искомый период обращения электрона

Ответ: 1)F=9∙10 -15 Н; 2) R=3,56 см; 3) T=11,9 нс.

Пример. Протон, обладая скоростью υ=10 4 м/с, влетает в однородное магнитное поле с индукцией В=10мТл под углом α=60º к направлению линий магнитной индукции. Определите радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться протон..

Дано : υ=10 4 м/с; е=1,6∙10 -19 Кл; m=1,67∙10 -27 кг; В=10мТл=10∙10 -3 Тл; α=60º.

Найти :R; h.

Решение. Движение протона в однородном магнитном поле со скоростью , направленной под углом α к вектору , происходит по винтовой линии (см. рисунок). Для доказательства этого разложим вектор скорости на составляющие, параллельную (υ х =υcosα) и перпендикулярную (υ у =υsinα) вектору индукции.

Движение в направлении поля происходит с равномерной скоростью υ х, а в направлении, перпендикулярном вектору , под действием силы Лоренца – по окружности ( =const, υ х =const). В результате сложения двух движений траектория результирующего движения протона – винтовая линия (спираль).

Сила Лоренца сообщает протону нормальное ускорение (R- радиус окружности). По второму закону Ньютона, F=ma n , где F л =eυ y B– сила Лоренца. Тогда

Откуда искомый радиус винтовой линии, по которой будет двигаться протон,

Шаг винтовой линии равен расстоянию, пройденному протоном вдоль оси ох за время одного полного оборота, т.е.

h=υ x T= υTcosα, (1)

где период вращения

(2)

Подставив формулу (2) в выражение (1), найдём искомый шаг винтовой линии

Ответ: R=9.04мм; h=3,28 см.

Пример. Между пластинами плоского конденсатора, находящегося в вакууме, создано однородное магнитное поле напряжённостью Н=2кА/м. Электрон движется в конденсаторе параллельно пластинам конденсатора и перпендикулярно направлению магнитного поля со скоростью υ=2 Мм/с. Определите напряжение U, приложенное к конденсатору, если расстояние d между его пластинами составляет 1,99 см..

Дано : μ=1; Н=2кА/м=2∙10 3 А/м; υ=2Мм/с=2∙10 6 м/с; d=1,99 см=1.99∙10 -2 м).

Найти :U.

Решение. Предположим, что магнитное поле направлено перпендикулярно чертежу от нас. Что указано на рисунке крестиками. Электрон может двигаться перпендикулярно направлению магнитного поля и параллельно пластинам конденсатора (при выбранных направлении магнитного поля и зарядах на пластинах) только так, как указано на рисунке. При этом кулоновская сила (У- напряжённость электрического поля) уравновешивается силой Лоренца F л =eυB (её направление определяется по правилу левой руки). Тогда

Формула, выражающая связь между магнитной индукцией и напряжённость магнитного поля

Для случая вакуума (μ=1) имеет вид В=μ 0 Н, Подставив эту формулу в выражение (1), найдём искомое напряжение на пластинах конденсатора

Ответ: U=100 B.

Пример. Через сечение медной пластинки (плотность меди ρ=8,93 г/см 3) толщиной d=0,1 мм пропускается ток I =5 А. Пластинка с током помещается в однородное магнитное поле с индукцией В=0,5 Тл, перпендикулярное направлению тока и ребру пластинки. Определите возникающую в пластинке поперечную (холловскую) разность потенциалов, если концентрация n свободных электронов равна концентрации n" атомов проводника.

Дано : ρ=8,93 г/см 3 =8,93∙10 3 кг/м 3 ; d=0,1мм=1∙10 -4 м; I=5A; В=0,5 Тл; n = n" ; М=63,5∙10 -3 кг/моль.

Найти :Δφ..

Решение. На рисунке показана металлическая пластинка с током плотностью в магнитном поле , перпендикулярном (как в условии задачи). При данном направлении скорость носителей тока в металлах – электронов – направлена справа налево. Электроны испытывают действие силы Лоренца, которая в данном случае направлена вверх. У верхнего края пластинки возникает повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего – их недостаток (зарядится положительно). Поэтому между краями пластинки возникает дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх.

В случае стационарного распределения зарядов в поперечном направлении (напряженность Е В поперечного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды уравновесит силу Лоренца)

или Δφ=υВα (1)

где а – ширина пластинки; Δφ - поперечная (холловская) разность потенциалов.

Сила тока

I=jS=neυS=neυa d, (2)

где S –площадь поперечного сечения пластинки толщиной d; n- концентрация электронов; υ - средняя скорость упорядоченного движения электронов.

Подставив (2) в (1), получим

Согласно условию задачи, концентрация свободных электронов равна концентрации атомов проводника. Следовательно,

, (4)

где N A =6,02∙10 23 моль -1 – постоянная Авогадро; V m - молярный объём меди; М – молярная масса меди; ρ- её плотность.

Подставив формулу (4) в выражение (3), найдём искомую

Пример. Магнитная индукция В на оси тороида без сердечника (внешний диаметр тороида d 1 =60 см, внутренний – d 2 =40см), содержащего N=200 витков, составляет 0,16 мТл. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора , определите силу тока в обмотке тороида..

Дано : d 1 =60 см =0,6 м; d 2 =40 см =0,4 м; N=200; B=0,16 мТл=0,16∙10 -3 Тл.

Найти : I.

Решение. Циркуляция вектора

, (1)

т.е. равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция, умноженной на магнитную постоянную. В качестве контура выберем окружность, расположенную так же, как и линия магнитной индукции, т.е. окружность некоторым радиусом r, центр которой лежит на оси

тороида. Из условия симметрии следует, что модуль вектора во всех точках линии магнитной индукции одинаков, а поэтому выражение (1) можно записать в виде

(2)

(учли, что сила тока во всех витках одинакова, а контур охватывает число токов, равное числу витков тороида). Для средней линии тороида). Для средней линии тороида . Подставив r в (2), получим искомую силу тока:

.

Ответ : I=1 A

Пример. В одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом, по которому течёт ток I=10А, расположена квадратная рамка со стороной а=15 см. Определите магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, если две стороны рамки параллельны проводу, а расстояние d от провода до ближайшей стороны рамки составляет 2 см.

Дано : I=10А ; а=15 см =0,15 м; d=2 см=0,02м.

Найти : Ф.

Решение. Магнитный поток Ф сквозь поверхность площадью вычисляется по формуле:

Квадратная рамка находится в неоднородном поле прямого тока с индукцией

(рассматриваем случай вакуума), где х – расстояние от провода до рассматриваемой точки.

Магнитное поле создаётся прямым током (направление показано на рисунке), и вектор перпендикулярен плоскости рамки (направлен перпендикулярно чертежу от нас, что на рисунке изображено крестиками), поэтому для всех точек рамки В n =В.

Площадь рамки разобьём на узкие элементарные площадки шириной dx и площадью a dx (см. рисунок), в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной. Тогда поток сквозь элементарную площадку

. (1)

Проинтегрировав выражение (1) в пределах от до, найдём искомый магнитный поток

.

Ответ : Ф=0,25 мкВб

Пример. Круговой проводящий контур радиусом r=6см и током I=2А установился в магнитном поле так, что плоскость контура перпендикулярна направлению однородного магнитного поля с индукцией В=10мТл. Определите работу, которую следует совершить, чтобы медленно повернуть контур на угол относительно ос, совпадающий с диаметром контура..

Дано : r=6 см =0,06 м; I=2 А ; B=10 мТл=10∙10 -3 Тл; .

Найти : А вн.

Решение. Работа сил поля по перемещению замкнутого проводника с током I

A=I(Ф 2 -Ф 1), (1)

где Ф 1 и Ф 2 - потоки магнитной индукции, пронизывающие контуры в начальном и конечном положениях. Ток в контуре считаем постоянным, так как при медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь.

Поток магнитной индукции сквозь плоский контур площадью S в однородном магнитном поле с индукцией В

где α– угол между вектором нормали к поверхности контура и вектором магнитной индукции .

В начальном положении, рис. a , контура (контур установился свободно) поток магнитной индукции максимален (α=0; cosα=1) и Ф 1 =BS (S- площадь контура), а в конечном положении, рис. б ( ; cosα=0), Ф 2 =0.

Тогда, подставив эти выражения в формулу (1), найдём, что

(учли, что площадь кругового контура S=πr 2).

Работа внешних сил направлена против сил поля (равна ей по модулю, но противоположна по знаку), поэтому искомая работа

A вн =πIBr 2 .

Ответ: А вн =226 мкДж.

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током. Ампер установил, что сила dF , с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнитном поле, равна где dl -вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током, В - вектор магнитной индукции.

Направление вектора dF может быть найдено, согласно (111.1), по общим правилам векторного произведения, откуда следуетправило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В , а четыре вытянутых пальца рас­положить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера (см. (111.1)) вычисляется по формуле

где a -угол между векторами dl и В .

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I 1 и I 2 ; (направления токов указаны на рис. 167), расстояние между которыми равно R. Каждый из провод­ников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I 1 на элемент dl второго проводника с током I 2 . Ток I 1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора B 1 определяется правилом правого винта, его модуль по формуле (110.5) равен

Направление силы dF 1 , с которой поле B 1 действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно (111.2), с учетом того, что угол a между элементами тока I 2 и вектором B 1 прямой, равен

подставляя значение для В 1 , получим Рассуждая аналогично, можно показать, что сапа dF 2 с которой магнитное поле тока I 2 действует на элемент dl первого проводника с током I 1 , направлена в проти­воположную сторону и по модулю равна

Сравнение выражений (111.3) и (111.4) показывает, что

т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

(111.5)

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой (111.5).

Закон Био-Савара-Лапласа.

Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся в нем электрические заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Опыт показы­вает, что характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока. Следовательно, чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмотреть его действие на определенный ток. Закон Био - Савара - Лапласа для проводника с током I , элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB , записывается в виде где dl - вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r -радиус-вектор, проведанный из элемента dl проводника в точку А поля, r - модуль радиуса-вектора r . Направление dB перпендикулярно dl и r , т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dB , если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется выражением (110.2)где a - угол между векторами dl и r .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н ) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную сим­метрию, то применение закона Био - Савара - Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока - тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к вам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами dl и r ), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r , и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

(110.4)

Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

(110.5)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления - вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina =1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

На магнитную стрелку, расположенную вблизи проводника с током, действуют силы, которые стремятся повернуть стрелку. Французский физик А. Ампер наблюдал силовое взаимодействие двух проводников с токами и установил закон взаимодействия токов. Магнитное поле, в отличие от электрического, оказывает силовое действие только на движущиеся заряды (токи). Характеристика, для описания магнитного поля - вектор магнитной индукции . Вектор магнитной индукции определяет силы, действующие на токи или движущиеся заряды в магнитном поле. За положительное направление вектора принимается направление от южного полюса S к северному полюсу N магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле. Таким образом, исследуя магнитное поле, создаваемое током или постоянным магнитом, с помощью маленькой магнитной стрелки, можно в каждой точке пространства определить направление вектора . Взаимодействие токов вызывается их магнитными полями: магнитное поле одного тока действует силой Ампера на другой ток и наоборот. Как показали опыты Ампера, сила, действующая на участок проводника, пропорциональна силе тока I, длине Δl этого участка и синусу угла α между направлениями тока и вектора магнитной индукции: F ~ IΔl sin α

Эта сила называется силой Ампера . Она достигает максимального по модулю значения F max , когда проводник с током ориентирован перпендикулярно линиям магнитной индукции. Модуль вектора определяется следующим образом: модуль вектора магнитной индукции равен отношению максимального значения силы Ампера, действующей на прямой проводник с током, к силе тока I в проводнике и его длине Δl:

В общем случае сила Ампера выражается соотношением: F = IBΔl sin α

Это соотношение принято называть законом Ампера. В системе единиц СИ за единицу магнитной индукции принята индукция такого магнитного поля, в котором на каждый метр длины проводника при силе тока 1 А действует максимальная сила Ампера 1 Н. Эта единица называется тесла (Тл).

Тесла – очень крупная единица. Магнитное поле Земли приблизительно равно 0,5·10 –4 Тл. Большой лабораторный электромагнит может создать поле не более 5 Тл. Сила Ампера направлена перпендикулярно вектору магнитной индукции и направлению тока, текущего по проводнику. Для определения направления силы Ампера обычно используют правило левой руки. Магнитное взаимодействие параллельных проводников с током используется в системе СИ для определения единицы силы тока – ампера: Ампер – сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу магнитного взаимодействия, равную 2·10 –7 H на каждый метр длины. Формула, выражающая закон магнитного взаимодействия параллельных токов, имеет вид:

14. Закон Био-Савара-Лапласа. Вектор магнитной индукции. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Закон Био Савара Лапласа определяет величину модуля вектора магнитной индукции в точке выбранной произвольно находящейся в магнитном поле. Поле при этом создано постоянным током на некотором участке.

Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока:

Элемент тока длины dl создает поле с магнитной индукцией: или в векторной форме:

Здесь I – ток; – вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный в ту сторону, куда течет ток; – радиус-вектор, проведенный от элемента тока в точку, в которой мы определяем ; r – модуль радиус-вектора; k

Вектор магнитной индукции - это основная силовая характеристика магнитного поля (обозначается ). Вектор магнитной индукции направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и точку, в которой вычисляется поле.

Направление связано с направлением « правилом буравчика »: направление вращения головки винта дает направление , поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Таким образом, закон Био–Савара–Лапласа устанавливает величину и направление вектора в произвольной точке магнитного поля, созданного проводником с током I.

Модуль вектора определяется соотношением:

где α – угол между и ; k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы единиц.

В международной системе единиц СИ закон Био–Савара–Лапласа для вакуума можно записать так: где – магнитная постоянная.

Теорема о циркуляции вектора : циркуляция вектора магнитной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную. ,