Ни одно измерение не свободно от погрешностей, или, точнее, вероятность измерения без погрешностей приближается к нулю. Род и причины погрешностей весьма разнообразны и на них влияют многие факторы (рис.1.2).
Общая характеристика влияющих факторов может быть систематизирована с различных точек зрения, например, по влиянию перечисленных факторов (рис.1.2).
По результатам измерения погрешности можно разделить на три вида: систематические, случайные и промахи.
Систематические погрешности, в свою очередь, делят на группы по причине их возникновения и характеру проявления. Они могут быть устранены различными способами, например, введением поправок.
рис. 1.2
Случайные погрешности вызываются сложной совокупностью изменяющихся факторов, обычно неизвестных и трудно поддающихся анализу. Их влияние на результат измерения можно уменьшить, например, путем многократных измерений с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методом теории вероятностей.
К промахам относятся грубые погрешности, которые возникают при внезапных изменениях условия эксперимента. Эти погрешности по своей природе тоже случайны, и после выявления должны быть исключены.
Точность измерений оценивается погрешностями измерений, которые подразделяются по природе возникновения на инструментальную и методическую и по методу вычислений на абсолютную, относительную и приведенную.
Инструментальная погрешность характеризуется классом точности измерительного прибора, который приведен в его паспорте в виде нормируемых основной и дополнительных погрешностей.
Методическая погрешность обусловлена несовершенством методов и средств измерений.
Абсолютная погрешность есть разность между измеренным G u и истинным G значениями величины, определяемая по формуле:
Δ=ΔG=G u -G
Заметим, что величина имеет размерность измеряемой величины.
Относительную погрешность находят из равенства
δ=±ΔG/G u ·100%
Приведенную погрешность рассчитывают по формуле (класс точности измерительного прибора)
δ=±ΔG/G норм ·100%
где G норм – нормирующее значение измеряемой величины. Ее принимают равной:
а) конечному значению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы;
б) сумме конечных значений шкалы без учета знаков, если нулевая отметка расположена внутри шкалы;
в) длине шкалы, если шкала неравномерная.
Класс точности прибора устанавливается при его проверке и является нормируемой погрешностью, вычисляемой по формулам
γ=±ΔG/G норм ·100%, если ΔG m =const
где ΔG m – наибольшая возможная абсолютная погрешность прибора;
G k – конечное значение предела измерения прибора; с и d – коэффициенты, учитывающие конструктивные параметры и свойства измерительного механизма прибора.
Например, для вольтметра с постоянной относительной погрешностью имеет место равенство
δ m =±c
Относительная и приведенная погрешности связаны следующими зависимостями:
а) для любого значения приведенной погрешности
δ=±γ·G норм /G u
б) для наибольшей приведенной погрешности
δ=±γ m ·G норм /G u
Из этих соотношений следует, что при измерениях, например вольтметром, в цепи при одном и том же значении напряжения относительная погрешность тем больше, чем меньше измеряемое напряжение. И если этот вольтметр выбран неправильно, то относительная погрешность может быть соизмерима со значением G н , что является недопустимым. Заметим, что в соответствии с терминологией решаемых задач, например, при измерении напряжения G = U , при измерении тока C = I , буквенные обозначения в формулах для вычисления погрешностей необходимо заменять на соответствующие символы.
Пример 1.1. Вольтметром, имеющим значения γ m = 1,0 % , U н = G норм, G k = 450 В , измеряют напряжение U u , равное 10 В. Оценим погрешности измерений.
Решение.
Ответ. Погрешность измерений составляет 45 %. При такой погрешности измеренное напряжение нельзя считать достоверным.
При ограниченных возможностях выбора прибора (вольтметра), методическая погрешность может быть учтена поправкой, вычисленной по формуле
Пример 1.2. Вычислить абсолютную погрешность вольтметра В7-26 при измерениях напряжения в цепи постоянного тока. Класс точности вольтметра задан максимально приведенной погрешностью γ m =±2,5 % . Используемый в работе предел шкалы вольтметра U норм =30 В.
Решение. Абсолютная погрешность вычисляется по известным формулам:
(так как приведенная погрешность, по определению, выражается формулой 
, то отсюда можно найти и абсолютную погрешность: 
Ответ. ΔU = ±0,75 В .
Важными этапами в процессе измерений являются обработка результатов и правила округления. Теория приближенных вычислений позволяет, зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий: отобрать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большую, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов; рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результаты.
При обработке результатов применяют правила округления.
- Правило 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше пяти, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу.
- Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то увеличение не делается.
- Правило 3. Если отбрасываемая цифра равняется пяти, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается, если она не четная.
Если за цифрой пять есть значащие цифры, то округление производится по правилу 2.
Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления. Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточно. Взаимная компенсация погрешности обеспечит наибольшую точность результата.
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.
Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная).
Когда она прямо не указана, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа, округленного по правилам 1-3, т.е., если приближенное число обозначить буквой α , то
Где Δn – предельная абсолютная погрешность; а δ n – предельная относительная погрешность.
Кроме того, при обработке результатов используются правила нахождения погрешности суммы, разности, произведения и частного.
- Правило 1. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых, но при значительном числе погрешностей слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней.
- Правило 2. Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого или вычитаемого.
Предельную относительную погрешность легко найти, вычислив предельную абсолютную погрешность.
- Правило 3. Предельная относительная погрешность суммы (но не разности) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.
Если все слагаемые имеют одну и ту же предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же предельную относительную погрешность. Иными словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых.
В противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. Потеря точности особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.
- Правило 4. Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей: δ=δ 1 +δ 2 , или, точнее, δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 где δ – относительная погрешность произведения, δ 1 δ 2 - относительные погрешности сомножителей.
Примечания :
1. Если перемножаются приближенные числа с одним и тем же количеством значащих цифр, то в произведении следует сохранить столько же значащих цифр. Последняя из сохраняемых цифр будет не вполне надежна.
2. Если некоторые сомножители имеют больше значащих цифр, чем другие, то до умножения следует первые округлить, сохранив в них столько цифр, сколько имеет наименее точный сомножитель или еще одну (в качестве запасной), дальнейшие цифры сохранять бесполезно.
3. Если требуется, чтобы произведение двух чисел имело заранее данное число вполне надежное, то в каждом из сомножителей число точных цифр (полученное измерением или вычислением) должно быть на единицу больше. Если количество сомножителей больше двух и меньше десяти, то в каждом из сомножителей число точных цифр для полной гарантии должно быть на две единицы больше, чем требуемое число точных цифр. Практически же вполне достаточно взять лишь одну лишнюю цифру.
- Правило 5. Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя. Точная величина предельной относительной погрешности всегда превышает приближенную. Процент превышения примерно равен предельно относительной погрешности делителя.
Пример 1.3. Найти предельную абсолютную погрешность частного 2,81: 0,571.
Решение. Предельная относительная погрешность делимого есть 0,005:2,81=0,2%; делителя – 0,005:0,571=0,1%; частного – 0,2% + 0,1%=0,3%. Предельная абсолютная погрешность частного приближенно составит 2,81:0,571·0,0030=0,015
Значит, в частном 2,81:0,571=4,92 уже третья значащая цифра не надежна.
Ответ. 0,015.
Пример 1.4. Вычислить относительную погрешность показаний вольтметра, включенного по схеме (рис. 1.3), которая получается, если предположить, что вольтметр имеет бесконечно большое сопротивление и не вносит искажений в измеряемую цепь. Классифицировать погрешность измерения для этой задачи.
рис. 1.3
Решение.
Обозначим показания реального вольтметра через И, а вольтметра с бесконечно большим сопротивлениемчерез И ∞ . Искомая относительная погрешность 
Заметим, что
тогда получим
Так как R И >>R и R > r, то дробь в знаменателе последнего равенства много меньше единицы. Поэтому можно воспользоваться приближенной формулой 
, справедливой при λ≤1
для любого α
. Предположив, что в этой формуле α
= -1 и λ= rR (r+R) -1 R И -1
, получим δ ≈ rR/(r+R) R И
.
Чем больше сопротивление вольтметра по сравнению с внешним сопротивлением цепи, тем меньше погрешность. Но условие R< Ответ.
Погрешность систематическая методическая. Пример 1.5.
В цепь постоянного тока (рис.1.4) включены приборы: А – амперметр типа М 330 класса точности К А = 1,5 с пределом измерения I k = 20 А; А 1 – амперметр типа М 366 класса точности К А1 = 1,0 с пределом измерения I к1 = 7,5 А. Найти наибольшую возможную относительную погрешность измерения тока I 2 и возможные пределы его действительного значения, если приборы показали, что I=8,0А. и I 1 = 6,0А. Классифицировать измерение. рис. 1.4
Решение.
Определяем ток I 2
по показаниям прибора (без учета их погрешностей): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 А.
Найдем модули абсолютных погрешностей амперметров А и А 1 Для А
имеем равенство Найдем сумму модулей абсолютных погрешностей: Следовательно, наибольшая возможная и той же величины, выраженная в долях этой величины, равна 1 . 10 3 – для одного прибора; 2·10 3 – для другого прибора. Какой из этих приборов будет наиболее точным? Решение.
Точность прибора характеризуется значением, обратным погрешности (чем точнее прибор, тем меньше погрешность), т.е. для первого прибора это составит 1/(1 . 10 3) = 1000, для второго – 1/(2 . 10 3) = 500. Заметим, что 1000 > 500. Следовательно, первый прибор точнее второго в два раза. К аналогичному выводу можно прийти, проверив соответствие погрешностей: 2 . 10 3 / 1 . 10 3 = 2. Ответ.
Первый прибор в два раза точнее второго. Пример 1.6.
Найти сумму приближенных замеров прибора. Найти количество верных знаков: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0.0714 + 0,0667 + 0.0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526. Решение.
Сложив все результаты замеров, получим 0,6187. Предельная наибольшая погрешность суммы 0,00005·9=0,00045. Значит, в последнем четвертом знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т.е. тысячных, получаем 0,619 – результат, в котором все знаки верные. Ответ.
0,619. Количество верных знаков – три знака после запятой. При практическом осуществлении процесса измерений независимо от точности средств измерений, правильности методики и тщательности Абсолютная погрешность
D - это разность между измеренным X и истинным Xи значениями измеряемой величины. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины: D = Х - Хи. Инструментальными
(приборными или аппаратурными) погрешностями называются такие, которые принадлежат данному средству измерений, могут быть определены при его испытаниях и занесены в его паспорт. Примером такой методической погрешности может служить погрешность измерения напряжения вольтметром с конечным сопротивлением (рис. 4.1). Систематическая погрешность измерений
Dс — составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины . Законы распределения случайных погрешностей.
Случайные погрешности обнаруживают при проведении ряда измерений одной и той же величины. Результаты измерений при этом, как правило, не совпадают между собой, так как из-за суммарного воздействия множества различных факторов, не поддающихся учету, каждое новое измерение дает и новое случайное значение измеряемой величины. При правильном проведении измерений, достаточном их числе и исключении систематических погрешностей и промахов можно утверждать, что истинное значение измеряемой величины не выходит за пределы значений, полученных при этих измерениях. Оно остается неизвестным до тех пор пока не определено теоретически вероятное значение случайной погрешности. После нахождения доверительных интервалов для заданной доверительной вероятности согласно выше приведенной методике делают запись результата измерения в виде ;
D =
Dн
¸
Dв; Рд
, Оценка погрешностей результатов косвенных измерений.
При косвенных измерениях искомая величина А
функционально связана с одной или несколькими непосредственно измеряемыми величинами: х,
y
,...,
t
.
Рассмотрим простейший случай определения погрешности при одной переменной, когда A
=
F
(x
).
Обозначив абсолютную погрешность измерения величины х
через ±Dx , получим A+
DA
= F(x±
Dx).
4.5. Правила суммирования случайных и систематических погрешностей Результат измерения имеет ценность лишь тогда, когда можно оценить его интервал неопределенности, т.е. степень достоверности. Поэтому результат измерений должен содержать значение измеряемой величины и характеристики точности этого значения, которыми являются систематические и случайные погрешности. Количественные показатели погрешностей, способы их выражения, а также формы представления результатов измерений регламентируются ГОСТ 8.011-72 «Показатели точности измерений и формы представления результатов измерений». Рассмотрим основные формы представления результатов измерений. Любая из форм представления результата измерения, предусмотренная ГОСТ 8.011-72, должна содержать необходимые данные, на основании которых может быть определен доверительный интервал для погрешности результата измерения. В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известны вид закона распределения погрешности и основные числовые характеристики этого закона. Измерения
называются прямыми,
если значения
величин определяются приборами
непосредственно (например, измерение
длины линейкой, определение времени
секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными
, если значение измеряемой
величины определяется посредством
прямых измерений других величин, которые
связаны с измеряемой определенной
зависимостью. Абсолютная
и относительная погрешность.
Пусть
проведеноN
измерений
одной и той же величиныx
в отсутствии систематической погрешности.
Отдельные результаты измерений имеют
вид:x
1
,x
2
,
…,x
N
.
В качестве наилучшего выбирается среднее
значение измеренной величины: Абсолютной
погрешностью
единичного измерения
называется разность вида: Среднее
значение абсолютной погрешности N
единичных измерений: называется
средней абсолютной погрешностью
. Относительной
погрешностью
называется отношение
средней абсолютной погрешности к
среднему значению измеряемой величины: Если
нет особых указаний, погрешность прибора
равна половине его цены деления (линейка,
мензурка). Погрешность
приборов, снабженных нониусом, равна
цене деления нониуса (микрометр – 0,01
мм, штангенциркуль – 0,1 мм). Погрешность
табличных величин равна половине
единицы последнего разряда (пять единиц
следующего порядка за последней значащей
цифрой). Погрешность
электроизмерительных приборов
вычисляется согласно классу точности
С
,
указанному на шкале прибора: Например:
где U
max
и I
max
– предел измерения прибора. Погрешность
приборов с цифровой индикацией равна
единице последнего разряда индикации. После оценки
случайной и приборной погрешностей в
расчет принимается та, значение которой
больше.
Большинство
измерений являются косвенными. В этом
случае искомая величина Х является
функцией нескольких переменных а,
b
,
c
…
,
значения которых можно найти прямыми
измерениями: Х = f(a
,
b
,
c
…). Среднее арифметическое
результата косвенных измерений будет
равно: X
= f(a
,b
,c
…). Одним из способов
вычисления погрешности является способ
дифференцирования натурального логарифма
функции Х = f(a
,
b
,
c
…).
Если, например, искомая величина Х
определяется соотношением Х =
Дифференциал этого
выражения имеет вид: Применительно к
вычислению приближенных значений его
можно записать для относительной
погрешности в виде: =
Абсолютная
погрешность при этом рассчитывается
по формуле: Х = Х(5) Таким
образом, расчет погрешностей и вычисление
результата при косвенных измерениях
производят в следующем порядке: 1)
Проводят измерения всех величин, входящих
в исходную формулу для вычисления
конечного результата. 2)
Вычисляют средние арифметические
значения каждой измеряемой величины и
их абсолютные погрешности. 3)
Подставляют в исходную формулу средние
значения всех измеренных величин и
вычисляют среднее значение искомой
величины: X
= f(a
,b
,c
…). 4)
Логарифмируют исходную формулу Х =
f(a
,
b
,
c
…)
и записывают выражение для относительной
погрешности в виде формулы (4). 5)
Рассчитывают относительную погрешность
=
6) Рассчитывают
абсолютную погрешность результата по
формуле (5). 7) Окончательный
результат записывают в виде: Х
= Х ср Х Абсолютные
и относительные погрешности простейших
функций приведены в таблице: Абсолютная погрешность Относительная погрешность a+
b
a+
b
3.1 Среднеарифметическая погрешность.
Как уже отмечалось раньше, измерения принципиально не могут быть абсолютно точными. Поэтому в ходе измерения возникает задача об определении интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Такой интервал указывают в виде абсолютной ошибки измерения. Если предположить, что грубые промахи в измерениях устранены, а систематические ошибки сведены к минимуму тщательной настройкой приборов и всей установки и не являются определяющими, то результаты измерений будут, в основном, содержать только случайные погрешности, которые являются знакопеременными величинами. Поэтому, если проведено несколько повторных измерений одной и той же величины, то наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднеарифметическое значение: Средней абсолютной ошибкой
называется среднеарифметическое модулей абсолютных ошибок отдельных измерений: Последнее неравенство обычно принято записывать как окончательный результат измерения следующим образом: где абсолютная погрешность a ср должна вычисляться (округляться) с точностью до одной-двух значащих цифр. Абсолютная ошибка показывает, в каком знаке числа содержатся неточности, поэтому в выражении для а ср
оставляют все верные цифры и одну сомнительную. То есть среднее значение и средняя ошибка измеряемой величины должны вычисляться до цифры одного и того же разряда. Например: g
= (9,78 ±
0,24) м/с 2 . Относительная погрешность.
Абсолютная ошибка определяет интервал наиболее вероятных значений измеряемой величины, но не характеризует степень точности произведенных измерений. Например, расстояние между населенными пунктами, измеренное с точностью до нескольких метров, можно отнести к весьма точным измерениям, в то время как измерение диаметра проволоки с точностью до 1 мм, в большинстве случаев будет являться весьма приближенным измерением. Степень точности проведенных измерений характеризует относительная погрешность. Средней относительной погрешностью
или просто относительной ошибкой измерения называется отношение средней абсолютной ошибки измерения к среднему значению измеряемой величины: Относительная ошибка является безразмерной величиной и обычно выражается в процентах. 3.2 Погрешность метода или приборная погрешность.
Среднеарифметическое значение измеряемой величины тем ближе к истинному, чем больше проведено измерений, при этом абсолютная погрешность измерения с увеличением их числа стремится к значению, которое определяется методом измерения и техническими характеристиками используемых приборов. Погрешность метода
или приборную погрешность можно рассчитать по одноразовому измерению, зная класс точности прибора или другие данные технического паспорта прибора, в котором указывается либо класс точности прибора, либо его абсолютная или относительная погрешность измерения. Класс точности
прибора выражает в процентах номинальную относительную ошибку прибора, то есть относительную ошибку измерения, когда измеряемая величина равна предельному для данного прибора значению Абсолютная погрешность прибора не зависит от значения измеряемой величины. Относительная погрешность прибора (по определению): откуда видно, что относительная приборная ошибка тем меньше, чем ближе значение измеряемой величины к пределу измерения данного прибора. Поэтому рекомендуется подбирать приборы так, чтобы измеряемая величина составляла 60 -90% от величины, на которую рассчитан прибор. При работе с многопредельными приборами тоже следует стремиться к тому, чтобы отсчет производился во второй половине шкалы. При работе с простыми приборами (линейка, мензурка и т.п.), классы точности и погрешности которых не определены техническими характеристиками, абсолютную погрешность прямых измерений принимают равной половине цены деления данного прибора. (Ценой деления называют значение измеряемой величины при показаниях прибора в одно деление). Приборную погрешность косвенных измерений
можно рассчитать, используя правила приближенных вычислений. В основе вычисления погрешности косвенных измерений лежат два условия (предположения): 1. Абсолютные ошибки измерений всегда очень малы по сравнению с измеряемыми величинами. Поэтому абсолютные ошибки (в теории) можно рассматривать как бесконечно малые приращения измеряемых величин, и они могут быть заменены соответствующими дифференциалами. 2. Если физическая величина, которую определяют косвенным путем, является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин, то абсолютная ошибка функции, обусловленная бесконечно малыми приращениями, является также бесконечно малой величиной. При указанных допущениях абсолютную и относительную погрешность можно рассчитать, используя известные выражения из теории дифференциального исчисления функций многих переменных: Абсолютные ошибки непосредственных измерений могут иметь знаки "плюс" или "минус", но какой именно - неизвестно. Поэтому при определении погрешностей рассматривается наиболее невыгодный случай, когда ошибки прямых измерений отдельных величин имеют один и тот же знак, то есть абсолютная ошибка имеет максимальное значение. Поэтому при расчете приращений функции f(x 1 ,x 2 ,…,х n)
по формулам (11) и (12) частные приращения должны складываться по абсолютной величине. Таким образом, используя приближение Dх i ≈ dx i ,
и выражения (11) и (12), для бесконечно малых приращений Dа
можно записать: Здесь: а -
косвенно измеряемая физическая величина, то есть определяемая по расчетной формуле, Dа
- абсолютная ошибка ее измерения, х 1 , х 2 ,...х n ; Dх 1, Dx 2 ,..., Dх n ,
- физические величины прямых измерений и их абсолютные ошибки соответственно. Таким образом: а) абсолютная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей произведений частных производных функции измерения и соответствующих абсолютных ошибок прямых измерений; б) относительная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей дифференциалов от логарифма натурального функции измерения, определяемой расчетной формулой. Выражения (13) и (14) позволяют рассчитать абсолютные и относительные погрешности по одноразовому измерению. Заметим, что для сокращения расчетов по указанным формулам достаточно рассчитать одну из погрешностей (абсолютную или относительную), а другую рассчитать, используя простую связь между ними: На практике чаще пользуются формулой (13), так как при логарифмировании расчетной формулы произведения различных величин преобразуются в соответствующие суммы, а степенные и показательные функции преобразуются в произведения, что намного упрощает процесс дифференцирования. Для практического руководства по расчету погрешности косвенного метода измерения можно пользоваться следующим правилом: Чтобы вычислить относительную ошибку косвенного метода измерения, нужно: 1. Определить абсолютные ошибки (приборные или средние) прямых измерений. 2. Прологарифмировать расчетную (рабочую) формулу. 3. Принимая величины прямых измерений за независимые переменные, найти полный дифференциал от полученного выражения. 4. Сложить все частные дифференциалы по абсолютной величине, заменив в них дифференциалы переменных соответствующими абсолютными ошибками прямых измерений. Например, плотность тела цилиндрической формы вычисляется по формуле: где m, D, h -
измеряемые величины. Получим формулу для расчета погрешностей. 1. Исходя из используемого оборудования, определяем абсолютные погрешности измерения массы, диаметра и высоты цилиндра (∆m, ∆D, ∆h
соответственно). 2. Логарифмируем выражение (16): 3. Дифференцируем: 4. Заменяя дифференциал независимых переменных на абсолютные ошибки и складывая модули частных приращений, получаем: 5. Используя численные значения m, D, h, D, m, h
, рассчитываем Е.
6. Вычисляем абсолютную ошибку где r
рассчитано по формуле (16). Предлагаем самим убедиться, что в случае полого цилиндра или трубки с внутренним диаметром D 1
и внешним диаметром D 2
К расчету ошибки метода измерения (прямого или косвенного) приходится прибегать в случаях, когда многократные измерения либо невозможно провести в одних и тех же условиях, либо они занимают много времени. Если определение погрешности измерения является принципиальной задачей, то обычно измерения проводят многократно и вычисляют и среднеарифметическую погрешность и погрешность метода (приборную погрешность). В окончательном результате указывают большую из них. О точности вычислений
Ошибка результата определяется не только неточностями измерений но и неточностями вычислений. Вычисления необходимо проводить так, чтобы их ошибка была на порядок меньше ошибки результата измерений. Для этого вспомним правила математического действия с приближёнными числами. Результаты измерений – приближённые числа. В приближённом числе все цифры должны быть верными. Последней верной цифрой приближённого числа считается такая цифра, ошибка в которой не превышает одной единицы её разряда. Все цифры от 1 до 9 и 0, если он стоит в середине или в конце числа, называются значащими. В числе 2330 - 4 значащих цифры, а в числе 6,1×10 2 – только две, в числе 0,0503 – три, так как нули слева от пятёрки незначащие. Запись числа 2,39 означает, что верны все знаки до второго после запятой, а запись в 1,2800 – что верно также и третий и четвёртый знаки. В числе 1,90 три значащих цифры и это значит, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые и сотые, а в числе 1,9 – только две значащих цифры и это значит, что мы учитывали целые и десятые и точность этого числа в 10 раз меньше. Правила округления чисел
При округлении оставляют лишь верные знаки, остальные отбрасываются. 1. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5. 2. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя цифра увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля. Например, различные округления числа 35,856 будут: 35,9; 36. 3. Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее чётное число, то есть, последняя сохраняемая цифра остаётся неизменной, если она чётная и увеличивается на единицу, если она нечётная. Например, 0,435 округляем до 0,44; 0,365 округляем до 0,36. Пусть некоторая случайная величина a
измеряется n
раз в одинаковых условиях. Результаты измерений дали набор n
различных чисел Абсолютная погрешность
- величина размерная. Среди n
значений абсолютных погрешностей обязательно встречаются как положительные, так и отрицательные. За наиболее вероятное значение величины а
обычно принимают среднее арифметическое
значение результатов измерений Чем больше число измерений, тем ближе среднее значение к истинному. Абсолютной погрешностью
i
Относительной погрешностью
i
-го измерения называется величина Относительная погрешность - величина безразмерная. Обычноотносительная погрешность выражается в процентах, для этого e i
домножают на 100%. Величина относительной погрешности характеризует точность измерения. Средняя абсолютная погрешность
определяется так: Подчеркнем необходимость суммирования абсолютных значений (модулей) величин Dа i .
В противном случае получится тождественный нулевой результат. Средней относительной погрешностью
называется величина При большом числе измерений . Относительную погрешность можно рассматривать как значение погрешности, приходящееся на единицу измеряемой величины. О точности измерений судят на основании сравнения погрешностей результатов измерений. Поэтому погрешности измерений выражают в такой форме, чтобы для оценки точности достаточно было сопоставить только одни погрешности результатов, не сравнивая при этом размеры измеряемых объектов или зная эти размеры весьма приближенно. Из практики известно, что абсолютная погрешность измерения угла не зависит от значения угла, а абсолютная погрешность измерения длины зависит от значения длины. Чем больше значение длины, тем при данном методе и условиях измерения абсолютная погрешность будет больше. Следовательно, по абсолютной погрешности результата о точности измерения угла судить можно, а о точности измерения длины нельзя. Выражение погрешности в относительной форме позволяет сравнивать в известных случаях точность угловых и линейных измерений. Основные понятия теории вероятности. Случайная погрешность.
Случайной погрешностью называют составляющую погрешности измерений, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.
При проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных измерений одной и той же постоянной неизменяющейся величины мы получаем результаты измерений – некоторые из них отличаются друг от друга, а некоторые совпадают. Такие расхождения в результатах измерений говорят о наличии в них случайных составляющих погрешности. Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих источников, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на результат измерения, но суммарное воздействие всех источников может оказаться достаточно сильным. Случайные ошибки являются неизбежным следствием любых измерений и обусловлены: а) неточностью отсчетов по шкале приборов и инструментов; б) не идентичностью условий повторных измерений; в) беспорядочными изменениями внешних условий (температуры, давления, силового поля и т.д.), которые невозможно контролировать; г) всеми другими воздействиями на измерения, причины которых нам неизвестны. Величину случайной погрешности можно свести к минимуму путем многократного повторения эксперимента и соответствующей математической обработки полученных результатов. Случайная ошибка может принимать различные по абсолютной величине значения, предсказать которые для данного акта измерения невозможно. Эта ошибка в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. При отсутствии систематических ошибок они служат причиной разброса повторных измерений относительно истинного значения. Допустим, что при помощи секундомера измеряют период колебаний маятника, причем измерение многократно повторяют. Погрешности пуска и остановки секундомера, ошибка в величине отсчета, небольшая неравномерность движения маятника – все это вызывает разброс результатов повторных измерений и поэтому может быть отнесено к категории случайных ошибок. Если других ошибок нет, то одни результаты окажутся несколько завышенными, а другие несколько заниженными. Но если, помимо этого, часы еще и отстают, то все результаты будут занижены. Это уже систематическая ошибка. Некоторые факторы могут вызвать одновременно и систематические и случайные ошибки. Так, включая и выключая секундомер, мы можем создать небольшой нерегулярный разброс моментов пуска и остановки часов относительно движения маятника и внести тем самым случайную ошибку. Но если к тому же мы каждый раз торопимся включить секундомер и несколько запаздываем выключить его, то это приведет к систематической ошибке. Случайные погрешности вызываются ошибкой параллакса при отсчете делений шкалы прибора, сотрясении фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха и т.п. Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений позволяем уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений. Ниже будет показано, что для этого необходимо произвести не одно, а несколько измерений, причем, чем меньшее значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно провести. В связи с тем, что возникновение случайных погрешностей неизбежно и неустранимо, основной задачей всякого процесса измерения является доведение погрешностей до минимума. В основе теории погрешностей лежат два основных предположения, подтверждаемых опытом: 1. При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т.е погрешности в сторону увеличения и уменьшения результата встречаются достаточно часто. 2. Большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые, таким образом, вероятность возникновения погрешности уменьшается с ростом ее величины. Поведение случайных величин описывают статистические закономерности, которые являются предметом теории вероятностей. Статистическим определением вероятности w i
события i
является отношение где n
- общее число опытов, n i
- число опытов, в которых событие i
произошло. При этом общее число опытов должно быть очень велико (n
®¥). При большом числе измерений случайные ошибки подчиняются нормальному распределению (распределение Гаусса), основными признаками которого являются следующие: 1. Чем больше отклонение значения измеренной величины от истинного, тем меньше вероятность такого результата. 2. Отклонения в обе стороны от истинного значения равновероятны. Из приведенных выше допущений вытекает, что для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. Пусть произведено n
измерений: x 1 , x 2 , ... x n
- одним и тем же методом и с одинаковой тщательностью. Можно ожидать, что число dn
полученных результатов, которые лежат в некотором достаточно узком интервале от x
до x + dx
, должно быть пропорционально: Величине взятого интервала dx
; Общему числу измерений n
. Вероятность dw
(x
) того, что некоторое значение x
лежит в интервале от x
до x + dx,
определяется следующим образом:
Функция f
(х
) называется функцией распределения или плотностью вероятности. В качестве постулата теории ошибок принимается, что результаты прямых измерений и их случайные погрешности при большом их количестве подчиняются закону нормального распределения. Найденная Гауссом функция распределения непрерывной случайной величины x
имеет следующий вид: Параметрmнормального распределения равен среднему значению áx
ñ случайной величины, которое при произвольной известной функции распределения определяется интегралом Таким образом, величина m является наиболее вероятным значением измеряемой величины x, т.е. ее наилучшей оценкой.
Параметр s 2 нормального распределения равен дисперсии D случайной величины, которая в общем случае определяется следующим интегралом
Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины
. Среднее отклонение (погрешность) случайной величины ásñ определяется с помощью функции распределения следующим образом Средняя погрешность измерений ásñ, вычисленная по функции распределения Гаусса, соотносится с величиной среднего квадратического отклонения s следующим образом: <
s>
= 0,8s . Параметры s и m связаны между собой следующим образом: Это выражение позволяет находить среднее квадратическое отклонение s , если имеется кривая нормального распределения. График функции Гаусса представлен на рисунках. Функция f
(x
) симметрична относительно ординаты, проведенной в точке x =
m; проходит через максимум в точке x =
m и имеет перегиб в точках m ±s. Таким образом, дисперсия характеризует ширину функции распределения, или показывает, насколько широко разбросаны значения случайной величины относительно ее истинного значения. Чем точнее измерения, тем ближе к истинному значению результаты отдельных измерений, т.е. величина s - меньше. На рисунке A изображена функция f
(x
) для трех значений s.
Площадь фигуры, ограниченной кривой f
(x
) и вертикальными прямыми, проведенными из точек x
1 и x
2 (рис.Б),
численно равна вероятности попадания результата измерения в интервал Dx = x
1 - x
2 , которая называется доверительной вероятностью. Площадь под всей кривой f
(x
) равна вероятности попадания случайной величины в интервал от 0 до ¥, т.е. так как вероятность достоверного события равна единице. Используя нормальное распределение, теория ошибок ставит и решает две основные задачи. Первая - оценка точности проведенных измерений. Вторая - оценка точности среднего арифметического значения результатов измерений.5. Доверительный интервал. Коэффициент Стъюдента. Теория вероятностей позволяет определить величину интервала, в котором с известной вероятностью w
находятся результаты отдельных измерений. Эта вероятность называется доверительной вероятностью
, а соответствующий интервал (<x
> ± Dx
) w
называется доверительным интервалом.
Доверительная вероятность также равна относительной доле результатов, оказавшихся внутри доверительного интервала. Если число измерений n
достаточно велико, то доверительная вероятность выражает долю из общего числа n
тех измерений, в которых измеренная величина оказалась в пределах доверительного интервала. Каждой доверительной вероятности w
соответствует свой доверительный интервал.w
2 80%. Чем шире доверительный интервал, тем больше вероятность получить результат внутри этого интервала. В теории вероятностей устанавливается количественная связь между величиной доверительного интервала, доверительной вероятностью и числом измерений. Если в качестве доверительного интервала выбрать интервал, соответствующий средней погрешности, то есть Da =
áDа
ñ, то при достаточно большом числе измеренийон соответствует доверительной вероятности w
60%. При уменьшении числа измерений доверительная вероятность, соответствующая такому доверительному интервалу (áа
ñ ±
áDа
ñ), уменьшается. Таким образом, для оценки доверительного интервала случайной величины можно пользоваться величиной средней погрешностиáDа
ñ.
Для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа, а именно, величину доверительного интервала и величину доверительной вероятности.
Указание одной только величины погрешности без соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла. Если известна средняя погрешность измерения ásñ, доверительный интервал, записанный в виде (<x
> ± ásñ) w
, определен с доверительной вероятностью w
= 0,57. Если известно среднее квадратическое отклонение s
распределения результатов измерений, указанный интервал имеет вид (<x
>± t w
s) w
, где t w
- коэффициент, зависящий от величины доверительной вероятности и рассчитывающийся по распределению Гаусса. Наиболее часто используемые величиныDx
приведены в таблице 1.
для амперметра 
выполнения измерений результаты измерений отличаются от истинного значения измеряемой величины, т.е. неизбежны погрешности измерений. При оценке погрешности вместо истинного значения принимают действительное; следовательно, можно дать лишь приближенную оценку погрешности измерений. Оценка достоверности результата измерений, т.е. определение погрешности измерений - одна из основных задач метрологии .
Погрешность — это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешности условно можно разделить на погрешности средств измерения и погрешности результата измерений.
Погрешности средств измерения
были рассмотрены в главе 3.
Погрешность результата измерения
— это число, указывающее возможные границы неопределенности значения измеряемой величины.
Ниже будет дана классификация и рассмотрены погрешности результата измерений.
По способу числового выражения
различают абсолютные и относительные погрешности.
В зависимости от источника возникновения
погрешности бывают инструментальные, методические, отсчитывания и установки.
По закономерностям проявления
погрешности измерений делят на систематические, прогрессирующие, случайные и грубые.
Рассмотрим указанные погрешности измерений более подробно.4.1. Абсолютные и относительные погрешности
Поскольку истинное значение измеряемой величины определить невозможно, вместо него на практике используют действительное значение измеряемой величины Хд. Действительное значение находят экспериментально, путем применения достаточно точных методов и средств измерений. Оно мало отличается от истинного значения и для решения поставленной задачи может использоваться вместо него. При поверке за действительное значение обычно принимают показания образцовых средств измерений. Таким образом, на практике абсолютную погрешность находят по формуле D » Х - Хд. Относительная погрешность
d — это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному (действительному) значению измеряемой величины (она обычно выражается в процентах) : .4.2. Погрешности инструментальные и методические,
отсчитывания и установки
Эти погрешности обусловлены конструктивными и технологическими недостатками средств измерений, а также следствием их износа, старения или неисправности. Инструментальные погрешности
, обусловленные погрешностями применяемых средств измерений, были рассмотрены в главе 3.
Однако, кроме инструментальных погрешностей, при измерениях возникают еще и такие погрешности, которые не могут быть приписаны данному прибору, не могут быть указаны в его паспорте и называются методическими,
т.е. связанными не с самим прибором, а с методом его использования.
Методические погрешности
могут возникать из-за несовершенства разработки теории явлений, положенных в основу метода измерений, неточности соотношений, используемых для нахождения оценки измеряемой величины, а также из-за несоответствия измеряемой величины и ее модели.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие методическую погрешность измерения.
Объектом исследования является источник переменного напряжения, амплитудное значение которого Um
нужно измерить. На основании предварительного изучения объекта исследования за его модель принят генератор напряжения синусоидальной формы. Используя вольтметр, предназначенный для измерений действующих значений переменных напряжений, и зная соотношение между действующим и амплитудным значениями синусоидального напряжения, получаем результат измерения в виде Um =
×
Uv,
где Uv -
показание вольтметра. Более тщательное изучение объекта могло бы выявить, что форма измеряемого напряжения отличается от синусоидальной и более правильное соотношение между значением измеряемой величины и показанием вольтметра Um =
k
×
Uv ,
где k
¹
.
Таким образом, несовершенство принятой модели объекта исследования приводит к методической погрешности измерения D
U =
×
Uv -
k
×
Uv .
Эту погрешность можно уменьшить, либо рассчитав значение k
на основе анализа формы кривой измеряемого напряжения, либо заменив средство измерений, взяв вольтметр, предназначенный для измерений амплитудных значений переменных напряжений .
Очень часто встречающейся причиной возникновения методических погрешностей является то обстоятельство, что, организуя измерения, мы вынуждены измерять (или сознательно измеряем) не ту величину, которая должна быть измерена, а некоторую другую, близкую, но не равную ей .
Вследствие шунтирования вольтмет-ром того участка цепи, на котором измеряется напряжение, оно оказывается меньшим, чем было до присоединения вольтметра. И действительно, напряжение, которое покажет вольтметр определится выражением U = I
×R
v
. Если учесть, что ток в цепи I =
E/(Ri +
Rv),
то 
< .
Поэтому для одного и того же вольтметра, присоединяемого поочередно к разным участкам исследуемой цепи, эта погрешность различна: на низкоомных участках она ничтожна, а на высокоомных может быть очень большой. Эта погрешность могла бы быть устранена, если бы вольтметр был постоянно подключен к данному участку цепи на все время работы устройства (как на щите электростанции), но это невыгодно по многим причинам.
Нередки случаи, когда вообще трудно указать способ измерения, исключающий методическую погрешность. Пусть, например, измерению подлежит температура раскаленных болванок, поступающих из печи на прокатный стан. Спрашивается, где разместить датчик температуры (например, термопару): под болванкой, сбоку или над болванкой? Где бы мы его ни поместили, мы не измерим внутренней температуры тела болванки, т.е. будем иметь существенную методическую погрешность, так как измеряем не то, что нужно, а то, что проще (не сверлить же в каждой болванке канал, чтобы поместить термопару в её центре).
Таким образом, основной отличительной особенностью методических погрешностей является то обстоятельство, что они не могут быть указаны в паспорте прибора, а должны оцениваться самим экспериментатором при организации выбранной методики измерений, поэтому он обязан четко различать фактически измеряемую
им величину от подлежащей измерению.
Погрешность отсчитывания
происходит от недостаточно точного отсчитывания показаний. Она обусловлена субъективными особенностями наблюдателя (например, погрешность интерполирования, т.е. неточного отсчета долей деления по шкале прибора) и вида отсчетного устройства (например, погрешность от параллакса). Погрешности отсчитывания отсутствуют при использовании цифровых измерительных приборов, что является одной из причин перспективности последних.
Погрешность установки
вызывается отклонением условий измерения от нормальных, т.е. условий, при которых производилась градуировка и поверка средств измерений. Сюда относится, например, погрешность от неправильной установки прибора в пространстве или его указателя на нулевую отметку, от изменения температуры, напряжения питания и других влияющих величин.
Рассмотренные виды погрешностей в равной степени пригодны для характеристики точности как отдельных результатов измерений, так и средств измерений.
4.3. Систематические, прогрессирующие, случайные и грубые погрешности
Причины возникновения систематических погрешностей обычно могут быть установлены при подготовке и проведении измерений. Эти причины весьма разнообразны: несовершенство используемых средств и методов измерений, неправильная установка средства измерений, влияние внешних факторов (влияющих величин) на параметры средств измерений и на сам объект измерения, недостатки метода измерения (методические погрешности), индивидуальные особенности оператора (субъективные погрешности) и др. . По характеру проявления систематические погрешности делятся на постоянные и переменные. К постоянным относятся, например, погрешности, обусловленные неточностью подгонки значения меры, неправильной градуировкой шкалы прибора, неправильной установкой прибора относительно направления магнитных полей и т.д. Переменные систематические погрешности обусловлены воздействием на процесс измерения влияющих величин и могут возникнуть, например, при изменении напряжения источника питания прибора, внешних магнитных полей, частоты измеряемого переменного напряжения и пр. Основная особенность систематических погрешностей состоит в том, что зависимость их от влияющих величин подчиняется определенному закону. Этот закон может быть изучен, а результат измерения - уточнен путем внесения поправок, если числовые значения этих погрешностей определены. Другим способом уменьшения влияния систематический погрешностей является применение таких методов измерения, которые дают возможность исключить влияние систематических погрешностей без определения их значений (например, метод замещения).
Результат измерений тем ближе к истинному значению измеряемой величины, чем меньше оставшиеся неисключенные систематические погрешности. Наличие исключенных систематических погрешностей определяет правильность измерений, качество, отражающее близость к нулю систематических погрешностей . Результат измерения будет настолько правильным, насколько он неискажен систематическими погрешностями и тем правильнее, чем меньше эти погрешности.
Прогрессирующими
(или дрейфовыми) называются непредсказуемые погрешности, медленно изменяющиеся во времени. Эти погрешности, как правило, вызываются процессами старения тех или иных деталей аппаратуры (разрядка источников питания, старение резисторов, конденсаторов, деформация механических деталей, усадка бумажной ленты в самопишущих приборах и т. п.). Особенностью прогрессирующих погрешностей является то, что они могут быть скорректированы путем введения поправки лишь в заданный момент времени, а далее вновь непредсказуемо возрастают. Поэтому в отличие от систематических погрешностей, которые могут быть скорректированы поправкой, найденной один раз на весь срок службы прибора, прогрессирующие погрешности требуют непрерывного повторения коррекции и тем чаще, чем меньше должно быть их остаточное значение. Другая особенность прогрессирующих погрешностей состоит в том, что их изменение во времени представляет собой нестационарный случайный процесс и поэтому в рамках хорошо разработанной теории стационарных случайных процессов они могут быть описаны лишь с оговорками.
Случайная погрешность измерения
— составляющая погрешности измерений, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Значение и знак случайных погрешностей определить невозможно, они не поддаются непосредственному учету вследствие их хаотического изменения, обусловленного одновременным воздействием на результат измерения различных независимых друг от друга факторов. Обнаруживаются случайные погрешности при многократных измерениях одной и той же величины (отдельные измерения в этом случае называются наблюдением) одними и теми же средствами измерения в одинаковых условиях одним и тем же наблюдателем, т.е. при равноточных (равнорассеянных) измерениях. Влияние случайных погрешностей на результат измерения учитывается методами математической статистики и теории вероятности.
Грубые погрешности измерений -
случайные погрешности измерений, существенно превышающие ожидаемые при данных условиях погрешности.
Грубые погрешности (промахи) обычно обусловлены неправильным отсчетом по прибору, ошибкой при записи наблюдений, наличием сильно влияющей величины, неисправностью средств измерений и другими причинами. Как правило, результаты измерений, содержащие грубые погрешности, не принимаются во внимание, поэтому грубые погрешности мало влияют на точность измерения. Обнаружить промах бывает не всегда легко, особенно при единичном измерении; часто трудно бывает отличить грубую погрешность от большой по значению случайной погрешности. Если грубые погрешности встречаются часто, мы поставим под сомнение все результаты измерений. Поэтому грубые погрешности влияют на годность измерений.
В заключение описанного деления погрешностей средств и результатов измерений на случайную, прогрессирующую и систематическую составляющие необходимо обратить внимание на то, что такое деление является весьма упрощенным приемом их анализа. Поэтому всегда следует помнить, что в реальной действительности эти составляющие погрешности проявляются совместно и образуют единый нестационарный случайный процесс. Погрешность результата измерений при этом можно представить в виде суммы случайных и систематических Dс погрешностей: D = Dс +. В погрешности измерений входит случайная составляющая, поэтому её следует считать случайной величиной.
Рассмотрение характера проявления погрешностей измерений показывает, нам, что единственно правильный путь оценки погрешностей дает нам теория вероятностей и математическая статистика.4.4. Вероятностный подход к описанию погрешностей
Пусть величину А измеряли п
раз и наблюдали при этом значения а1, a2, а3,…,аi
,...,аn. Случайная абсолютная погрешность единичного измерения определяется разностью
Di = ai - A . (4.1)
Графически результаты отдельных измерений представлены на рис. 4.2.
При достаточно большом числе п
одни и те же погрешности, если они имеют ряд дискретных значений, повторяются и поэтому можно установить относительную частоту (частость) их появления, т.е. отношение числа полученных одинаковых данных mi
к общему числу проведенных измерении п.
При продолжении измерений величины А
эта частота не изменится, поэтому ее можно считать вероятностью появления погрешности при данных измерениях: p
(Ai
) =
mi
/
n
.
Статистическая зависимость вероятности появления случайных погрешностей от их значения называется законом распределе- ния погрешностей или
законом распределения вероятности
. Этот закон определяет характер появления различных результатов отдельных измерений. Различают два вида описания законов распределения: интегральный
и дифференциальный
.
Интегральным законом
, или функцией распределения вероятностей
F(D)
случайной погрешности Di в
i-м
опыте, называют функцию, значение которой для каждого Dявляется вероятностью события Р(D)
, заключающегося в том, что случайная погрешность Diпринимает значения, меньше некоторого значения D, т.е. функцию F(D) = Р[
Di <
D].
Эта функция при изменении Dот -¥ до +¥ принимает значения от 0 до 1 и является неубывающей. Она существует для всех случайных величин как дискретных, так и непрерывных (рис 4.3 а).
Если F(D)
симметрична относительно точки А,
соответствующей вероятности 0,5 , то распределение результатов наблюдения будет симметрично относительно истинного значения А.
В этом случае целесообразно F(D)
сдвинуть по оси абсцисс на значение DA, т.е. исключить систематическую составляющую погрешность (DА =
Dс)
и получить функцию распределения случайной составляющей погрешности D =
(рис. 4.3 б). Функция распределения вероятности погрешности D
отличается от функции распределения вероятности случайной составляющей погрешности только сдвигом по оси абсцисс на значение систематической составляющей погрешности Dс
.
Дифференциальным законом
распределения вероятностей
для случайной погрешности с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения F(D)
называют функцию 
. Эта зависимость есть плотность распределения вероятностей.
График плотности распределения вероятностей может иметь различную форму в зависимости от закона распределения погрешностей. Для F(D)
, изображенной на рис. 4.3 б, кривая распределения f(D)
имеет форму, близкую к форме колокола (рис. 4.3 в).
Вероятность появления случайных погрешностей определяется площадью, ограниченной кривой f(D)
или её частью и осью абсцисс (рис. 4.3 в). В зависи мости от рассматриваемого интервала погрешности 
.
Значение f(D)
d
D
есть элемент вероятности, равный площади прямоугольника с основанием d
D и
абсциссами D1 ,
D2,
называемыми квантилями. Так как F(+
¥)=
1, то справедливо равенство 
,
т.е. площадь под кривой f(D)
согласно правилу нормирования равна единице и отражает вероятность всех возможных событий.
В практике электрических измерений одним из наиболее распространенных законов распределения случайных погрешностей является нормальный закон
(Гаусса).
Математическое выражение нормального закона имеет вид 
,
где f(D)
- плотность вероятности случайной погрешности D = а
i -
A
; s - среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение может быть выражено через случайные отклонения результатов наблюдений Di (см. формулу (4.1)):
.
Характер кривых, описанных этим уравнением для двух значений s, показан на рис. 4.4. Из этих кривых видно, что чем меньше s, тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т.е. тем точнее выполнены измерения. В практике измерений встречаются и другие законы распределения, которые могут быть установлены на основании статистической обработки 
опытных данных. Некоторые из наиболее часто встречающихся законов распределения приведены в ГОСТ 8.011-84 «Показатели точности измерений и формы представления результатов измерений».
Основными характеристи- ками законов распределения являются математическое ожидание
и дисперсия
.
Математическое ожидание случайной величины
- это такое ее значение, вокруг которого группируются результаты отдельных наблюдений. Мате-матическое ожидание дискрет-ной случайной величины М[X]
определяется как сумма произ-ведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений 
.
Для непрерывных случайных величин приходится прибегать к интегрированию, для чего необходимо знать зависимость плотности вероятности от х,
т. е. f(х),
где х=
D.
Тогда
.
Это выражение означает, что математическое ожидание равно сумме бесконечно большого числа произведений всех возможных значений случайной величины х
на бесконечно малые площади f(х)
dх,
где f(х) —
ординаты для каждого х,
a dх -
элементарные отрезки оси абсцисс.
Если наблюдается нормальное распределение случайных погрешностей, то математическое ожидание случайной погрешности равно нулю (рис. 4.4). Если же рассматривать нормальное распределение результатов, то математическое ожидание будет соответствовать истинному значению измеряемой величины, которое мы обозначаем через A.
Систематическая погрешность при этом представляет собой отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения А
измеряемой величины: Dс = М[
X] -
A
, а случайная погрешность - разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием: 
.
Дисперсия ряда наблюдений характеризует степень рассеивания (разброса) результатов отдельных наблюдений вокруг математического ожидания:
D[
X] =
Dx=
M[(ai -
mx)2].
Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных результатов, тем точнее выполнены измерения. Однако дисперсия выражается в единицах в квадрате измеряемой величины. Поэтому в качестве характеристики точности ряда наблюдений наиболее часто применяют среднее квадратическое отклонение (СКО), равное корню квадратному из дисперсии: 
.
Рассмотренное нормальное распределение случайных величин, в том числе и случайных погрешностей, является теоретическим, поэтому описанное нормальное распределение следует рассматривать как «идеальное», т. е. как теоретическую основу для изучения случайных погрешностей и их влияния на результат измерений.
Далее излагаются способы применения этого распределения на практике с той или иной степенью приближения. Рассматривается также еще одно распределение (распределение Стьюдента), применяемое при небольших количествах наблюдений.
Оценки погрешностей результатов прямых измерений.
Пусть было проведено п
прямых измерений одной и той же величины. В общем случае в каждом из актов измерений погрешность будет разной:
D
i =
ai -
A,
где Di - погрешность i-го измерения; ai -
результат i-го измерения.
Поскольку истинное значение измеряемой величины A
неизвестно, непосредственно случайную абсолютную погрешность вычислить нельзя. При практических расчетах приходится вместо A
использовать его оценку. Обычно принимают, что истинное значение равно среднему арифметическому значению ряда измерений:
. (4.2)
где а
i -
результаты отдельных измерений; п —
число измерений.
Теперь аналогично выражению (4.1) можно определить отклонение результата каждого измерения от среднего значения :
(4.3)
где v
i
- отклонение результата единичного измерения от среднего значения. Следует помнить, что сумма отклонений результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна, т. е.
и min.
Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений.
Затем вычисляют оценку значения средней квадратической погрешности
для данного ряда измерений 
. (4.4)
Согласно теории вероятностей при достаточно большом числе измерений, имеющих независимые случайные погрешности, оценка S
сходится по вероятности к s.
Таким образом,
. (4.5)
Ввиду того что среднее арифметическое значение
также является случайной величиной, имеет смысл понятие среднеквадратического отклонения среднего арифметического значения. Эту величину обозначим символом sср. Можно показать, что для независимых погрешностей
. (4.6)
Значение sср характеризует степень разброса .
Как указывалось выше,
выступает оценкой истинного значения измеряемой величины, т.е. является конечным результатом выполняемых измерений. Поэтому sср называют также средней квадратической погрешностью результата измерений.
На практике значением s, вычисляемым по формуле (4.5), пользуются в том случае, если необходимо дать характеристику точности применяемого метода измерения: если метод точен, то разброс результатов отдельных измерений мал, т.е. мало значение s.
Значение же sср ,
вычисляемое по (4.6), используется для характеристики точности результата измерений некоторой величины, т.е. результата, полученного посредством математической обработки итогов целого ряда отдельных прямых измерений.
При оценке результатов измерений иногда пользуются понятием максимальной
или предельной допустимой погрешности,
значение которой определяют в долях s или S . В настоящее время существуют разные критерии установления максимальной погрешности, т. е. границы поля допуска ±D, в которые случайные погрешности должны уложиться. Общепринятым пока является определение максимальной погрешности D = 3s (или 3S
). В последнее время на основании информационной теории измерений профессор П. В. Новицкий рекомендует пользоваться значением D = 2s.
Введем теперь важные понятия доверительной вероятности
и доверительного интервала.
Как указывалось выше, среднее арифметическое значение ,
полученное в результате некоторого ряда измерений, является оценкой истинного значения А
и, как правило, не совпадает с ним, а отличается на значение погрешности. Пусть Рд
есть вероятность того, что
отличается от А
не более чем на D, т.е. Р(-
D
<
А
<
+
D
)=Рд
. Вероятность Рд
называется доверительной вероятностью,
а интервал значений измеряемой величины от -
D до +
D - доверительным интервалом.
Приведенные выше неравенства означают, что с вероятностью Рд
доверительный интервал от -
D до +
D заключает в себе истинное значение А
. Таким образом, чтобы характеризовать случайную погрешность достаточно полно, надо располагать двумя числами — доверительной вероятностью и соответствующим ей доверительным интервалом. Если закон распределения вероятностей погрешностей известен, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал. В частности, при достаточно большом числе измерений часто бывает оправданным использование нормального закона, в то время как при небольшом числе измерений (п <
20), результаты которых принадлежат нормальному распределению, следует пользоваться распределением Стьюдента. Это распределение имеет плотность вероятностей, практически совпадающую с нормальной при больших п,
но значительно отличающуюся от нормальной при малых п.
В табл. 4.1 приведены так называемые квантили распределения Стьюдента ½t(n)
½Рд
для числа измерений п
= 2 - 20 и доверительных вероятностей Р
= 0,5 - 0,999.
Укажем, однако, что обычно таблицы распределения Стьюдента приводятся не для значений п
и Рд,
а для значений m =
n-1
иa =1 - Рд,
что следует учитывать при пользовании ими. Чтобы определить доверительный интервал, надо для данных п
и Рд
найти квантиль ½t(n)
½Рд и вычислить величины Ан
=
-
sср
×
½t(n)
½РдиАв
=
+
sср
×
½t(n)
½Рд, которые будут являться нижней и верхней границами доверительного интервала.
где
- оценка истинного значения результата измерения в единицах измеряемой величины; D - погрешность измерения; Dв = +sср
×
½t(n)
½Рд и Dн = -sср
×
½t(n)
½Рд - верхняя и нижняя границы погрешности измерения; Рд - доверительная вероятность
.Таблица 4.1
Значения квантилей распределения Стьюдента t(n) при доверительной
вероятности Рд
Разложив правую часть этого равенства в ряд Тейлора и пренебрегая членами разложения, содержащими Dх в степени выше первой, получим
A+DA » F(x) ± Dx или DA » ± Dx.
Относительная ошибка измерения функции определится из выражения
.
Если измеряемая величина А
является функцией нескольких переменных: A=
F(x,
y,...,
t),
то абсолютная погрешность результата косвенных измерений
.
Частные относительные погрешности косвенного измерения определяются по формулам 
; 
и т. д. Относительная погрешность результата измерений
.
Остановимся также на особенностях оценки результата косвенного измерения при наличии случайной погрешности.
Для оценки случайной погрешности результатов косвенных измерений величины А
будем полагать, что систематические погрешности измерений величин x, y,…, t
исключены, а случайные погрешности измерения этих же величин не зависят друг от друга.
При косвенных измерениях значение измеряемой величины находят по формуле 
,
где - средние или средние взвешенные значения величин x, y,…, t .
Для вычисления среднего квадратического отклонения значения измеряемой величины А
целесообразно использовать средние квадратические отклонения, полученные при измерениях x, y,…, t .
В общем виде для определения среднего квадратического отклонения s косвенного измерения служит следующая формула:
, (4.7)
где Dx ;
Dy ;…;
Dt —
так называемые частные погрешности косвенного измерения 
; 
; …; 
; ; ; … ; —
частные производные А
по x, y,…, t ;
sx
; s
y ,…,
st , …—
средние квадратические отклонения результатов измерений величин x, y,…, t .
Рассмотрим некоторые частные случаи применения уравнения (4.7), когда функциональная зависимость между косвенно и непосредственно измеряемыми величинами выражается формулой A =
k
×
x
a
×
y
b
×
z
g ,
где k -
числовой коэффициент (безразмерный).
В этом случае формула (4.7) примет следующий вид:
.
Если a =
b =
g = 1
и A =
k
×
x
×
y
×
z,
то формула относительной погрешности упрощается до вида 
.
Эта формула применима, например, для вычисления среднего квадратического отклонения результата измерения объема по результатам измерения высоты, ширины и глубины резервуара, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда.
Погрешность сложных измерительных приборов зависит от погрешностей отдельных его узлов (блоков). Погрешности суммируются по определенным правилам.
Пусть, например, измерительный прибор состоит из m
блоков, каждый из которых обладает независимыми друг от друга случайными погрешностями. При этом известны абсолютные значения средних квадратических sk или максимальных М
k
погрешностей каждого блока.
Арифметическое суммирование или дает максимальную погрешность прибора, которая имеет ничтожно малую вероятность и поэтому редко используется для оценки точности работы прибора в целом. Согласно теории ошибок результирующая погрешность sрез и Мрез
определяется сложением по квадратическому закону 
или 
.
Аналогично определяется и результирующая относительная погрешность измерения: 
. (4.8)
Уравнение (4.8) можно использовать для определения допустимых погрешностей отдельных блоков разрабатываемых приборов с заданной общей погрешностью измерения. При конструировании прибора обычно задаются равными погрешностями для отдельных входящих в него блоков. Если существует несколько источников погрешностей, которые на конечный результат измерения влияют неодинаково (или прибор состоит из нескольких блоков с разными погрешностями), в формулу (4.8) следует ввести весовые коэффициенты ki
:
, (4.9)
где d1, d2, … , dm — относительные погрешности отдельных узлов (блоков) измерительного прибора; k1,
k2, … ,
km
- коэффициенты, учитывающие степень влияния случайной погрешности данного блока на результат измерения.
При наличии у измерительного прибора (или его блоков) также и систематических погрешностей общая погрешность определяется их суммой:. Такой же подход справедлив и для большего числа составляющих.
При оценке влияния частных погрешностей следует учитывать, что точность измерений в основном зависит от погрешностей, больших по абсолютной величине, а некоторые наименьшие погрешности можно вообще не учитывать. Частная погрешность оценивается на основании так называемого критерия ничтожной погрешности,
который заключается в следующем. Допустим, что суммарная погрешность dрез определена по формуле (4.8) с учетом всех m
частных погрешностей, среди которых некоторая погрешность di имеет малое значение. Если суммарная погрешность d¢рез, вычисленная без учета погрешности di, отличается от dрез не более чем на 5 %, т.е. dрез-d¢рез< 0,05×dрез или 0,95×dрез4.6. Формы представления результатов измерения
Погрешность результата прямого однократного измерения зависит от многих факторов, но в первую очередь определяется погрешностью используемых средств измерений. Поэтому в первом приближении погрешность результата измерения можно принять равной
погрешности, которой в данной точке диапазона измерений характеризуется используемое средство измерений.
Погрешности средств измерений изменяются в диапазоне измерений. Поэтому в каждом случае, для каждого измерения необходимо произвести вычисления погрешности результата измерений, используя формулы (3.19) - (3.21) нормирования погрешности соответствующего средства измерений. Вычисляться должна как абсолютная, так и относительная погрешности результата измерения, так как первая из них нужна для округления результата и его правильной записи, а вторая — для однозначной сравнительной характеристики его точности.
Для разных характеристик нормирования погрешностей СИ эти вычисления производятся по-разному, поэтому рассмотрим три характерных случая.
1. Класс прибора указан в виде одного числа q,
заключенного в кружок. Тогда относительная погрешность результата (в процентах) g = q,
а абсолютная его погрешность Dх =
q
×
x/
100.
2. Класс прибора указан одним числом p
(без кружка). Тогда абсолютная погрешность результата измерения Dх =
p
×
xk /
100, где x
k
— предел измерения, на котором оно производилось, а относительная погрешность измерения (в процентах) находится по формуле 
,
т е. в этом случае при измерении, кроме отсчета измеряемой величины х
обязательно должен быть зафиксирован и предел измерений x
k ,
иначе впоследствии нельзя будет вычислить погрешность результата.
3. Класс прибора указан двумя числами в виде c/d
. В этом случае удобнее вычислить относительную погрешность d
результата по формуле (3.21), а уже затем найти абсолютную погрешность как D
x =
d
×
x/100
.
После проведения вычислений погрешности используют одну из форм представления результата измерений в следующем виде: х;
±
D
и d
, где х
- измеренное значение; D
- абсолютная погрешность измерения; d
-относительная погрешность измерения. Например, производится следующая запись: «Измерение произведено с относительной погрешностью d
= … %. Измеренное значение х = (А
±
D)
, где А
- результат измерений».
Однако более наглядно указать пределы интервала неопределенности измеряемой величины в виде: x = (A-
D)
¸(A+
D)
или (A-
D)
< х
< (A+
D)
с указанием единиц измерения.
Другая форма представления результата измерения устанавливается в следующем виде: х
; D
от Dн
доDв; Р,
где х
- результат измерения в единицах измеряемой величины; D ,
Dн,
Dв
- соответственно погрешность измерения с нижней и верхней её границами в тех же единицах; Р
- вероятность, с которой погрешность измерения находится в этих границах.
ГОСТ 8.011-72 допускает и другие формы представления результатов измерения, отличающиеся от приведенных форм тем, что в них указывают раздельно характеристики систематической и случайной составляющих погрешности измерения. При этом для систематической погрешности указывают её вероятностные характеристики. В этом случае основными характеристиками систематической погрешности являются математическое ожидание М[
Dхс
], среднеквадратическое отклонение s[Dхс
] и ее доверительный интервал. Выделение систематической и случайной составляющих погрешности целесообразно, если результат измерения будет использован при дальнейшей обработке данных, например, при определении результата косвенных измерений и оценке его точности, при суммировании погрешностей и т. п.Случайные погрешности при прямых измерениях
.
(2)
.
(3)Приборные погрешности при прямых измерениях
и
,Вычисление погрешностей при косвенных измерениях
,
то после логарифмирования получаем:lnX
= lna
+ lnb
+ ln(c
+
d
).
.
.
(4)
.
(5)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
.
.
.
.
(при числе измерений n
®¥).
, где mиs -
параметры распределения.
.
.
.
,
