«Пределы последовательностей и функций» - Желаем удачи! Последовательности. (-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус окрестности равен 0. 3. Сопутствующие учебные материалы. Например. Рабочую тетрадь по окончании изучения сдать на проверку учителю. Содержатся. Цели: Пишут: . Интервал (a-r, a+r) называют окрестностью точки a , а число r - радиусом окрестности.
«Числовые последовательности» - Урок-конференция. Арифметическая прогрессия. А?, a?, a?, … an , … an = an -1 + d аn = а? + (n – 1)·d sn = a? + a? + … + an sn = n·(a? + an) / 2 sn = n·(2a? + (n1)d) / 2 аn = (an1 + an+1) / 2. Числовые последовательности. Способы задания. «Числовые последовательности».
«Предел числовой последовательности» - Постоянный множитель можно вынести за знак предела: Возрастание и убывание числовой последовательности. Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность. Предел частного равен частному пределов: Предел произведения равен произведению пределов: Рассмотрим последовательность: Понятие числовой последовательности.
«Числовая последовательность» - © Максимовская М.А., 2011 год. А2, Числовая последовательность (числовой ряд): числа, выписанные в определённом порядке. А1, А100, Последовательности. 1. Определение. А3, …,
«Предел последовательности» - У. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии следующая: a-r. Свойства сходящихся последовательностей. Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4, радиус равен 0,03. 7. II.
«Последовательности» - Последовательность квадратов натуральных чисел: ,… - Вторым членом последовательности и т.Д. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число. 10, 2, 4, 6, 8, - N-ым членом последовательности. -1, 1, -1, 1, -1, 1,… Последовательность положительных четных чисел: 2, 4, 6, 8, …2n,…
Всего в теме 16 презентаций
Cлайд 1
Cлайд 2
В сберегательном банке по номеру лицевого счета вкладчика можно легко найти этот счет и посмотреть, какой вклад на нем лежит. Пусть на счете №1 лежит вклад рублей, на счете №2 - рублей и т.д. Получается числовая последовательность: где N – число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число.
Cлайд 3
Число называют первым членом последовательности - вторым членом последовательности и т.д. - n-ым членом последовательности
Cлайд 4
Примеры числовых последовательностей Последовательность положительных четных чисел: 2, 4, 6, 8, ?, 10, … 2n,… Последовательность квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, …..,…
Cлайд 5
Виды последовательностей: Конечные: Пример: последовательность положительных двузначных чисел: 10,11,12,….98,99. Бесконечные: Пример: положительные четные числа: 2,4,6,8,10,…
Cлайд 6
Способы задания числовых последовательностей: Перечислением ее членов: 1, 3, 5, 7, 9. – последовательность нечетных однозначных чисел. Формулой n-ого члена последовательности: 2, 4, 6, 8, …2n,… -1, 1, -1, 1, -1, 1,… 5, 5, 5, 5,… Формулой, выражающей любой член последовательности через предыдущий, зная один или несколько первых членов – реккурентный способ: 11 , 1, 11, 21, 31, 41,…
Cлайд 7
Рассмотрим последовательность: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,… Определение: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Т.е. последовательность – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие: d – разность арифметической прогрессии
Cлайд 8
Нахождение n-ого члена арифметической прогрессии: По определению арифметической прогрессии: - формула n-ого члена арифметической прогрессии
Числовые последовательности
Функцию вида называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью. О бозначают y=f(n) или y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n , … Определение числовой последовательности
Рассмотрим функцию График состоит из отдельных точек. …
Получим последовательность чисел 1, 4, 9, 16, 25, …, … Последовательность квадратов натуральных чисел – I член последовательности – I I член последовательности – III член последовательности – n - ый член последовательности
Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Последовательность задана аналитически, если указана формула е е n - го члена Пример 1: y n =n 2 последовательность 1,4,9,16,…, n 2 ,…
Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Пример 2: Найти первый, третий и шестой члены последовательности
Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Пример 3: Задать последовательность формулой n -го члена: а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …
Способы задания последовательности Словесное задание числовой последовательности. Правило составления последовательности описывается словами Пример: последовательность простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … последовательность кубов натуральных чисел 1, 8, 27, 64, 125, …
Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Указывается правило позволяющее вычислить n- й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным (от латинского recurrere – возвращаться)
Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Пример 1: y 1 = 3 , y n = y n-1 + 4 , если n = 2, 3, 4, … Каждый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему числа 4 y 1 = 3 y 2 = y 1 + 4 = 3 + 4 = 7 y 3 = y 2 + 4 = 7 + 4 = 11 y 4 = y 3 + 4 = 11 + 4 = 1 5 и т.д. Получаем последовательность 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …
Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Пример 2: y 1 =1, y 2 =1, y n = y n-2 + y n-1 Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов y 1 =1 y 2 =1 y 3 = y 1 + y 2 = 1 + 1 = 2 y 4 = y 2 + y 3 = 1 + 2 = 3 y 5 = y 3 + y 4 = 2 + 3 = 5 и т.д. Получаем последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
Способы задания последовательности Р екуррентное задание числовой последовательности. Выделяют 2 особенно важные рекуррентно заданные последовательности: 1) Арифметическая прогрессия у 1 = а, у n = у n-1 + d , а и d – числа, n = 2, 3, … 2) Геометрическая прогрессия у 1 = b , у n = у n-1 · q , b и q – числа, n = 2, 3, …
Монотонные последовательности Последовательность (у n) – возрастающая, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего, т.е. у 1 1 , то последовательность у n = а n – возрастает. Последовательность (у n) – убывающая, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у 1 > у 2 > у 3 > у 4 > … > у n > … Пример: -1, -3, -5, -7, -9, … Если 0
Монотонные последовательности Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными. П оследовательности, которые не возрастают и не убывают, являются немонотонными.
В классе № 15.3, 15.7, 15.8, 15.10 Домашнее задание № 15.4, 15.6, 15.9, 15.11
Презентация «Числовые последовательности» представляет учебный материал, обеспечивающий наглядность объяснения учителя на уроке по данной теме. С помощью презентации учитель более эффективно может решить задачи обучения. Презентация демонстрирует теоретический материал по теме «Числовые последовательности», формирует понятие о числовых последовательностях, их видах, связанных с ними формулах.
Представление учебного материала в форме презентации имеет множество преимуществ, которые дают возможность улучшить запоминание материала учениками, углубить понимание определений и понятий. Используемые в презентации анимационные эффекты помогают удерживать внимание учеников на изучаемом предмете. Также анимация улучшает подачу информации, структурирует ее, способствует лучшему пониманию. Запоминание определений и понятий улучшает их выделение при помощи цвета и других приемов.
Презентация начинается с определения числовой последовательности. Она определяется как функция вида y=f(x), xϵN, иначе называемая функцией натурального аргумента. На экране отображаются варианты обозначения последовательности y=f(n) или y 1 , y 2 ,…, y n , или (y n).
На втором слайде представлены варианты, каким способом задается числовая последовательность. В качестве примера словесного способа задания дается последовательность 2, 3, 5,…, 29,… Также описываются варианты аналитического способа задания последовательности. В качестве примеров продемонстрированы y n =n 3 . Отмечается, что сама последовательность при этом являет собой последовательность чисел 1, 8, 27, 64, …, n 3, … Аналитическое представление последовательности позволяет найти любой член последовательности. К примеру, для n=9 у 9 =9 3 =729. Также при известном члене последовательности можно определить его порядковый номер - для y n =1331 можно определить, что n 3 =1331, то есть его номер n=11. Представлен еще один пример аналитического задания последовательности y n =С. Очевидно, в данной последовательности все ее члены равны С.
Ученикам уже известны примеры числовых последовательностей, которые были изучены ранее - арифметическая и геометрические прогрессии. Для задания таких последовательностей применялся рекуррентный способ задания. Напоминается, что арифметическая прогрессия задается соотношением а 1 =а, а n+1 =a n +d, в которых aи d - некоторые числа, а d - разность прогрессии. Также напоминается рекуррентное задание геометрической прогрессии, в которой b 1 =b, b n+1 =b n q, где bи q - некоторые числа, не равные нулю, а q - знаменатель прогрессии.
На слайде 4 дается определение последовательности, что ограничена сверху. Для такой последовательности характерно, что все члены последовательности не превышают определенного числа.
Следующий слайд дает общее представление о последовательности, ограниченной сверху через выполнение неравенства y n <=M, где число М, ограничивающее последовательность иначе называется верхней границей последовательности. Определение выделено цветом для запоминания понятия. Дается пример последовательности, что ограничена сверху - -1, -8, -27, -64, …, -n 3 , … Отмечается, что верхней границей данной последовательности является число М=-1, а также больше него.
Аналогично верхней границе, рассматривается понятие нижней границы. Перед введением понятия рассматривается, что означает, когда последовательность ограничена снизу. Согласно определению, данному на слайде 7, последовательность будет ограниченной снизу, если значения членов не меньше определенного числа. Далее дается общее определение последовательности, что ограничена снизу, как последовательности, для которой существует число, значение которого всегда меньше или равно значений членов последовательности. Иначе это число называется нижней границей последовательности. Определение выделено цветом и рекомендовано к запоминанию. На слайде 9 приводится пример последовательности, ограниченной снизу. Отмечается, что последовательность 0,1,2,…, (n-1), …является ограниченной снизу, и эта граница равна 0 или меньшее число.
Слайд 10 демонстрирует определение ограниченной последовательности как числовой последовательности, ограниченной и сверху, и снизу. Примером служит последовательность -1, -1/4, -1/9, -1/16,…, -1/n 2 ,… При этом верхней границей последовательности является М=0, а нижней m=-1. Общий член последовательности выражается формулой y n =-1/n 2 . Последовательность задается аналитическим способом y n =-1/х 2 , где хϵN. На рисунке строится график такой функции, демонстрирующий множество точек, удовлетворяющих условию и представляющих собой числовую последовательность.
Далее раскрывается геометрический смысл понятия ограниченности последовательности. Отмечается, что ограниченность означает, что все числа последовательности лежат на определенном отрезке числовой оси. На рисунке приводится пример последовательности, описанной в предыдущем слайде. На числовой оси выделен отрезок, содержащий значения членов последовательности.
На слайде 12 дано определение возрастающей последовательности. Отмечается, что последовательность будет возрастающей при выполнении условия у 1 Определение убывающей последовательности описано на слайде 14. Отмечается, что условием для определения такой прогрессии является у 1 >y 2 >y 3 >…>y n >y n+1 >… В качестве примера подобной последовательности приводится 1, 1/3, 1/5, …, 1/(2n-1), … очевидно, что для нее выполняется условие 1>1/3>1/5>…>1/(2n-1)>1/2(n+1)-1>… На слайде 15 также отмечается, что убывающие и возрастающие последовательности составляют ряд монотонных последовательностей. На последнем слайде приводятся примеры последовательностей, тип которых нужно определить. Так, последовательность -1,2,-3,4,…,(-1) n n, … не возрастает и не убывает, то есть не является монотонной. Последовательность y n =3 n монотонно возрастает. При этом отмечено, что последовательности вида y n =а n возрастают при а>1. В третьем примере отмечается, что последовательность y n =(1/5) n убывающая. В общем случае последовательность y n =а n убывающая для любого 0<а<1. Презентация «Числовые последовательности» может использоваться в ходе проведения традиционного урока алгебры для повышения его эффективности. Также данный материал поможет обеспечить наглядность объяснения в ходе дистанционного обучения. Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com Числовые последовательности Названия месяцев Классы в школе Номер счёта в банке Дома на улице Последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать Дни недели Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки: 1; 4; 7; 10; 13; … В порядке возрастания положительные нечетные числа 10; 19; 37; 73; 145; … В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 6; 8; 16; 18; 36; … В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 ½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6; Увеличение на 3 раза Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза 1; 3; 5; 7; 9; … 5; 10; 15; 20; 25; … Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1 П Р О В Е Р Ь С Е Б Я Определение числовой последовательности Функцию вида у = f (х), х принадлежит N , называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f (n) или у 1 , у 2 , у 3 , …, у n , … (Значения у 1 , у 2 , у 3 ,…называют соответственно первым, вторым, третьим (и т.д.) членами последовательности. В символе у n число n называют индексом, который характеризует порядковый номер того или иного члена последовательности (у n)). Способы задания последовательностей Словесный Рекуррентный Аналитический Аналитическое задание числовой последовательности Если указана формула её n -го члена у n = f (n) Например: Х n =3* n+2 X 5 =3 *5+2=17; Х 45 =3*45+2=137 Например: у n = С С, С, С, … (стационарная) Последовательности заданы формулами: a n =(-1) n n 2 a n =n 4 a n =n+4 a n =-n- 2 a n =2 n -5 a n =3 n -1 2. Укажите, какими числами являются члены этих последовательностей Положительные и Положительные Отрицательные отрицательные Выполните следующие задания: Впишите пропущенные члены последовательности: 1; ___; 81; ___; 625; … 5; ___; ___; ___; 9; … ___; ___; 3; 11; ___; -1; 4; ___; ___; -25; … ___; -4 ; ___; ___; -7; … 2; 8; ___; ___; ___; … 16 256 6 7 8 -3 -1 27 -9 16 -3 -5 -6 26 80 242 ПРОВЕРЬ СЕБЯ Закрепление изученного материала № 15.1 и 15.2 устно. № 15.4 на доске и в тетрадях. № 15.10 и 15.11 устно. № 15.12(в, г) и 15.13 (в, г) с комментированием на месте. № 15.15 (в, г), 15.16 (в, г), 15.17(в, г), 15.38(а, в) на доске и в тетрадях. Итог урока: Домашнее задание: § 15, стр.136-139; № 15.12(а, б), 15.13(а, б), 15.15(а, б),15.38(б, г). Спасибо за внимание! Презентация. Последовательность заполнения энергетических уровней и подуровней в атомах ХЭ малых периодов
Данная презентация может быть полезна в качестве иллюстрации при изучении строения атома. В презентации показана последовательность заполнения энергетических уровней и подуровней в атомах химических э...
Подписи к слайдам:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
