Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси. Мысленно разобьем это тело на бесконечно малые кусочки с бесконечно малыми размерами и массами m v т., т 3 , ..., находящиеся на расстояниях R v R 0 , R 3 ,... от оси. Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его малых частей:
- момент инерции твердого тела относительно данной оси 00,. Из сопоставления формул кинетической энергии поступательного и вращательного движений очевидно, что момент инерции во вращательном движении является аналогом массы в поступательном движении. Формула (4.14) удобна для расчета момента инерции систем, состоящих из отдельных материальных точек. Для расчета момента инерции сплошных тел, воспользовавшись определением интеграла, можно преобразовать ее к виду
Несложно заметить, что момент инерции зависит от выбора оси и меняется при ее параллельном переносе и повороте. Найдем значения моментов инерции для некоторых однородных тел.
Из формулы (4.14) очевидно, что момент инерции материальной точки равен
где т - масса точки; R - расстояние до оси вращения.
Несложно вычислить момент инерции и для полого тонкостенного цилиндра (или частного случая цилиндра с малой высотой - тонкого кольца) радиуса R относительно оси симметрии. Расстояние до оси вращения всех точек для такого тела одинаково, равно радиусу и может быть вынесено из- под знака суммы (4.14):
Рис. 4.5
Сплошной цилиндр (или частный случай цилиндра с малой высотой - диск) радиуса R для расчета момента инерции относительно оси симметрии требует вычисления интеграла (4.15). Заранее можно понять, что масса в этом случае в среднем сосредоточена несколько ближе к оси, чем в случае полого цилиндра, и формула будет похожа на (4.17), но в ней появится коэффициент, меньший единицы. Найдем этот коэффициент. Пусть сплошной цилиндр имеет плотность р и высоту А. Разобьем его на полые цилиндры (тонкие цилиндрические поверхности) толщиной dr (рис. 4.5 показывает проекцию, перпендикулярную оси симметрии). Объем такого полого цилиндра радиуса г равен площади поверхности, умноженной на толщину: dV = 2nrhdr, масса: dm = 2nphrdr, а момент инерции в соответствии с формулой (4.17): dj =
= r 2 dm = 2лр/?г Wr. Полный момент инерции сплошного цилиндра получается интегрированием (суммированием) моментов инерции полых цилиндров:
Аналогично ищется момент инерции тонкого стержня длины L и массы т, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину. Разобьем такой
С учетом того что масса сплошного цилиндра связана с плотностью формулой т = nR 2 hp, имеем окончательно момент инерции сплошного цилиндра:
Рис. 4.6
стержень в соответствии с рис. 4.6 на кусочки толщиной dl. Масса такого кусочка равна dm = mdl/L, а момент инерции в соответствии с формулой (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L. Полный момент инерции тонкого стержня получается интегрированием (суммированием) моментов инерции кусочков:
Взятие элементарного интеграла дает момент инерции тонкого стержня длины L и массы т
Рис. 4.7
Несколько сложней берется интеграл при поиске момента инерции однородного шара радиуса R и массы /77 относительно оси симметрии. Пусть сплошной шар имеет плотность р. Разобьем его в соответствии с рис. 4.7 на полые тонкие цилиндры толщиной dr, ось симметрии которых совпадает с осью вращения шара. Объем такого полого цилиндра радиуса г равен площади поверхности, умноженной на толщину:
где высота цилиндра h найдена с использованием теоремы Пифагора:
Тогда несложно найти массу полого цилиндра:
а также момент инерции в соответствии с формулой (4.15):
Полный момент инерции сплошного шара получается интегрированием (суммированием) моментов инерции полых цилиндров:
С учетом того что масса сплошного шара связана с плотностью форму- 4 .
лой т = -npR A y имеем окончательно момент инерции относительно оси
симметрии однородного шара радиуса R массы т:
> Вращательная кинетическая энергия: работа, энергия и мощность
Изучите кинетическую энергию вращательного движения – формулы. Читайте о моменте инерции, механической работе, поступательном и вращательном движении.
Обуславливается вращением тела.
Задача обучения
- Выразить вращательную кинетическую энергию, основываясь на угловой скорости и моменте инерции, а также связать ее с полной кинетической энергией.
Основные пункты
- Вращательная кинетическая энергия выражается как E вращения = 0.5 Iω 2 (где ω – момент инерции вокруг оси вращения).
- Механическая работа – W = τθ.
- Мгновенная мощность углового ускоряющего тела – P = τω.
- Просматривается тесная связь между результатом для вращательной энергии и удерживаемой линейным движением.
Термины
- Инертность – свойство тела сопротивляться любому изменению своего равномерного движения.
- Вращательный момент – вращательный эффект силы, измеряемый в ньютонах на метр.
- Угловая скорость – векторная величина, характеризующая тело в круговом движении. Величина приравнивается к скорости частички, а направление расположено перпендикулярно плоскости.
Вращательная кинетическая энергия – кинетическая энергия, созданная вращением тела и выступающая частью полной кинетической энергии. Если мы захотим разобрать конкретный случай, то понадобится формула E вращения = 0.5 Iω 2 (I – момент инерции вокруг оси вращения, ω – угловая скорость).
Во время вращения применяется механическая работа, отображающая момент (τ), умноженный на угол поворота (θ): W = τθ.
Мгновенная мощность углового ускоряющегося объекта: P = τω.
Просматривается тесная связь между результатом для вращательной энергии и удерживаемой линейным (поступательным) движением: E поступательное = 0.5 mv 2 .
Во вращающейся системе момент инерции напоминает массу, а угловая скорость выступает линейной.
Давайте посмотрим на кинетическую энергию нашей планеты. Земля совершает один осевой оборот за 23.93 часов при угловой скорости 7.29 х 10 -5 . Момент инерции – 8.04 х 10 37 кг · м 2 . Поэтому вращательная кинетическая энергия – 2.148 × 10 29 Дж.
Вращение Земли выступает ярчайшим примером вращательной кинетической энергии
Кинетическую энергию вращательного движения также можно вычислить при помощи приливной силы. Дополнительное трение от двух масштабных приливных волн создает энергию, замедляющую угловую скорость планеты. Угловой момент сохраняется, поэтому процесс передает момент импульса орбитальному лунному перемещению, увеличивая удаленность от Земли и орбитальный период.
| Количество вращательной кинематики | |||||
| Угловое ускорение | |||||
| Вращательная кинематика | |||||
| Динамика | |||||
| Вращательная кинетическая энергия | |||||
| Сохранение углового момента | |||||
| Векторная природа вращательной кинематики | |||||
| Решение проблем | |||||
| Линейные и вращательные величины | |||||
| Сохранение энергии | |||||
Рассмотрим вначале твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси OZ с угловой скоростью ω (рис.5.6). Разобьем тело на элементарные массы . Линейная скорость элементарной массы равна , где - ее расстояние от оси вращения. Кинетическая энергия i -той элементарной массы будет равна
.
Кинетическая энергия всего тела слагается из кинетических энергий его частей, поэтому
.
Учитывая то, что сумма в правой части этого соотношения представляет момент инерции тела относительно оси вращения, получим окончательно
. (5.30)
Формулы кинетической энергии вращающегося тела (5.30) подобны соответствующим формулам для кинетической энергии поступательного движения тела. Они получаются из последних формальной заменой 
.
В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы движений – поступательного со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. В этом случае выражение для кинетической энергии тела принимает вид
.
Найдем теперь работу, совершаемую моментом внешних сил, при вращении твердого тела. Элементарная работа внешних сил за время dt будет равна изменению кинетической энергии тела
Взяв дифференциал от кинетической энергии вращательного движения, найдем ее приращение
.
В соответствии с основным уравнением динамики для вращательного движения
С учетом данных соотношений, приведем выражение элементарной работы к виду
где - проекция результирующего момента внешних сил на направление оси вращения OZ, - угол поворота тела за рассматриваемый промежуток времени.
Интегрируя (5.31), получим формулу для работы внешних сил, действующих на вращающееся тело
В случае, если , то формула упрощается
Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела относительно неподвижной оси определяется действием проекции момента этих сил на данную ось.
Гироскоп
Гироскопом называется быстро вращающееся симметричное тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, гироскоп помещают в так называемом кардановом подвесе (рис.5.13). Маховик гироскопа вращается во внутренней кольцевой обойме вокруг оси С 1 С 2 , проходящей через его центр тяжести. Внутренняя обойма в свою очередь может вращаться во внешней обойме вокруг оси В 1 В 2 , перпендикулярной к С 1 С 2 . Наконец, наружная обойма может свободно вращаться в подшипниках стойки вокруг оси А 1 А 2 , перпендикулярной к осям С 1 С 2 и В 1 В 2 . Все три оси пересекаются в некоторой неподвижной точке О, называемой центром подвеса или точкой опоры гироскопа. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы и, следовательно, может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Если центр подвеса гироскопа совпадает с его центром тяжести, то результирующий момент сил тяжести всех частей гироскопа относительно центра подвеса равен нулю. Такой гироскоп называют уравновешенным.
Рассмотрим теперь наиболее важные свойства гироскопа, которые и нашли ему широкое применение в различных областях.
1) Устойчивость.
При любых поворотах стойки уравновешенного гироскопа его ось вращения сохраняет неизменное направление по отношению к лабораторной системе отсчета. Это связано с тем, что момент всех внешних сил, равный моменту сил трения, очень мал и практически не вызывает изменения момента импульса гироскопа, т.е.
Поскольку момент импульса направлен вдоль оси вращения гироскопа, то ее ориентация должна сохраняться неизменной.
Если внешняя сила действует в течение короткого времени, то интеграл, определяющий приращение момента импульса, будет мал
. (5.34)
Значит, при кратковременных воздействиях даже больших сил движение уравновешенного гироскопа изменяется мало. Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление его момента импульса. С этим и связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гироскопа после приведения его в быстрое вращение. Это свойство гироскопа широко используется для автоматического управления движением самолетов, судов, ракет и прочих аппаратов.
Если же действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил, то ось гироскопа устанавливается, в конце концов, по направлению момента внешних сил. Данное явление используется в гирокомпасе. Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Вследствие суточного вращения Земли и действия момента центробежных сил ось гироскопа поворачивается так, чтобы угол между и стал минимальным (рис.5.14). Это соответствует положению оси гироскопа в плоскости меридиана.
2). Гироскопический эффект.
Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил и , стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной оси вращения, то он станет поворачиваться вокруг третьей оси, перпендикулярной к первым двум (рис.5.15). Такое необычное поведение гироскопа получило название гироскопического эффекта. Оно объясняется тем, что момент пары сил направлен вдоль оси О 1 О 1 и изменение за время вектора на величину будет иметь тоже направление. В результате новый вектор повернется относительно оси О 2 О 2 . Таким образом, противоестественное на первый взгляд поведение гироскопа полностью соответствует законам динамики вращательного движения
3). Прецессия гироскопа.
Прецессией гироскопа называется конусообразное движение его оси. Оно происходит в том случае, когда момент внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время прямой угол. Для демонстрации прецессии может служить велосипедное колесо с наращенной осью, приведенное в быстрое вращение (рис.5.16).
Если колесо подвесить за наращенный конец оси, то его ось начнет прецессировать вокруг вертикальной оси под действием собственного веса. Демонстрацией прецессии может служить и быстро вращающийся волчок.
Выясним причины прецессии гироскопа. Рассмотрим неуравновешенный гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться вокруг некоторой точки О (рис.5.16). Момент сил тяжести, приложенный к гироскопу, равен по величине
где - масса гироскопа, - расстояние от точки О до цента масс гироскопа, - угол, образованный осью гироскопа с вертикалью. Вектор направлен перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа.
Под действием этого момента момент импульса гироскопа (его начало помещено в точку О) получит за время приращение , а вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернется на угол . Вектор все время перпендикулярен к , следовательно, не изменяясь по величине, вектор изменяется только по направлению. При этом спустя время взаимное расположение векторов и будет таким же, как и в начальный момент. В итоге ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться вокруг вертикали, описывая конус. Такое движение называется прецессией.
Определим угловую скорость прецессии. Согласно рис.5.16 угол поворота плоскости, проходящей через ось конуса и ось гироскопа, равен
где - момент импульса гироскопа, а - его приращение за время .
Разделив на , с учетом отмеченных соотношений и преобразований, получим угловую скорость прецессии
. (5.35)
Для гироскопов, применяющихся в технике, угловая скорость прецессии бывает в миллионы раз меньше скорости вращения гироскопа .
В заключении отметим, что явление прецессии наблюдается и у атомов вследствие орбитального движения электронов.
Примеры применения законов динамики
При вращательном движении
1. Рассмотрим некоторые примеры на закон сохранения момента импульса, которые можно осуществить с помощью скамьи Жуковского. В простейшем случае скамья Жуковского представляет собой платформу в форме диска (кресло), который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках (рис.5.17). Демонстратор садится или становится на скамью, после чего ее приводят во вращательное движение. Вследствие того, что силы трения благодаря применению подшипников очень малы, момент импульса системы, состоящей из скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система предоставлена самой себе. Если демонстратор держит в руках тяжелые гантели и разводит руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы, а потому должна уменьшится угловая скорость вращения, чтобы остался неизменным момент импульса.
По закону сохранения момента импульса составим уравнение для данного случая
где - момент инерции человека и скамьи, и - момент инерции гантелей в первом и втором положениях, и - угловые скорости системы.
Угловая скорость вращения системы при разведении гантелей в сторону будет равна
.
Работу, совершенную человеком при перемещении гантелей, можно определить через изменение кинетической энергии системы
2. Приведем еще один опыт со скамьей Жуковского. Демонстратор садится или становится на скамью и ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью (рис.5.18). Затем демонстратор поворачивает колесо на 180 0 . При этом изменение момента импульса колеса целиком передается скамье и демонстратору. В результате скамья вместе с демонстратором приходит во вращение с угловой скоростью, определяемой на основании закона сохранения момента импульса.
Момент импульса системы в начальном состоянии определяется только моментом импульса колеса и равен
где - момент инерции колеса, - угловая скорость его вращения.
После поворота колеса на угол 180 0 момент импульса системы будет уже определяться суммой момента импульса скамьи с человеком и момента импульса колеса. С учетом того, что вектор момента импульса колеса изменил свое направление на противоположное, а его проекция на вертикальную ось стала отрицательной, получим
,
где - момент инерции системы «человек-платформа», - угловая скорость вращения скамьи с человеком.
По закону сохранения момента импульса
и 
.
В итоге, находим скорость вращения скамьи
3. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью ω=10 с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.
В данной задаче за счет того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменяется. В соответствии с законом сохранения момента импульса изолированной системы, имеем
Здесь - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину стержня; 
- момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и найденный по теореме Штейнера.
Подставляя данные выражения в закон сохранения момента импульса, получим
,
.
4. Стержень длиной L =1,5 м и массой m 1 =10 кг подвешен шарнирно за верхний конец. В середину стержня ударяет пуля массой m 2 =10 г, летящая горизонтально со скоростью =500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?
Представим на рис. 5.19. систему взаимодействующих тел «стержень-пуля». Моменты внешних сил (сила тяжести, реакция оси) в момент удара равны нулю, поэтому можем воспользоваться законом сохранения момента импульса
Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули относительно точки подвеса
Момент импульса системы после неупругого удара определится по формуле
,
где - момент инерции стержня относительно точки подвеса, - момент инерции пули, - угловая скорость стержня с пулей непосредственно после удара.
Решая после подстановки полученное уравнение, найдем
.
Воспользуемся теперь законом сохранения механической энергии. Приравняем кинетическую энергию стержня после попадания в него пули его потенциальной энергии в наивысшей точке подъема:
,
где - высота поднятия центра масс данной системы.
Проведя необходимые преобразования, получим
Угол отклонения стержня связан с величиной соотношением
.
Проведя вычисления, получим =0,1p=18 0 .
5. Определить ускорения тел и натяжения нити на машине Атвуда, предполагая, что (рис.5.20). Момент инерции блока относительно оси вращения равен I , радиус блока r . Массой нити пренебречь.
Расставим все силы, действующие на грузы и блок, и составим для них уравнения динамики
Если нет проскальзывания нити по блоку, то линейное и угловое ускорение связаны между собой соотношением
Решая эти уравнения, получим
После чего находим T 1 и T 2 .
6. К шкиву креста Обербека (рис.5.21) прикреплена нить, к которой подвешен груз массой M
= 0,5 кг. Определить за какое время груз опускается с высоты h
=1 м до нижнего положения. Радиус шкива r
=3 см. На кресте укреплены четыре груза массой m
=250 г каждый на расстоянии R
= 30 см от его оси. Моментом инерции самого креста и шкива пренебречь по сравнению с моментом инерции грузов.
«Физика - 10 класс»
Почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения.
Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта?
Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону.
Момент импульса.
Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9).
Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, - момент импульса.
Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10):
Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, тогда
Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек.
Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения:
Момент импульса - векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость.
Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.
Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: Подставим это выражение в основное уравнение динамики вращательного движения 
отсюда I(ω 2 - ω 1) = MΔt, или IΔω = MΔt.
Таким образом,
ΔL = MΔt. (6.4)
Изменение момента импульса равно произведению суммарного момента сил, действующих на тело или систему, на время действия этих сил.
Закон сохранения момента импульса:
Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т. е. момент импульса системы остаётся постоянным.
ΔL = 0, L = const .
Изменение импульса системы равно суммарному импульсу сил, действующих на систему.
Вращающийся фигурист разводит в стороны руки, тем самым увеличивает момент инерции, чтобы уменьшить угловую скорость вращения.
Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать с помощью следующего опыта, называемого «опыт со скамьёй Жуковского». На скамью, имеющую вертикальную ось вращения, проходящую через её центр, встаёт человек. Человек держит в руках гантели. Если скамью заставить вращаться, то человек может изменять скорость вращения, прижимая гантели к груди или опуская руки, а затем разводя их. Разводя руки, он увеличивает момент инерции, и угловая скорость вращения уменьшается (рис. 6.11, а), опуская руки, он уменьшает момент инерции, и угловая скорость вращения скамьи увеличивается (рис. 6.11, б).
Человек может также заставить вращаться скамью если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю.
На законе сохранения момента импульса основан принцип действия приборов, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа - это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит:
Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно,
Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид
В общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна
В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела.
Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий всех частиц тела:
Масса какой-либо частицы, ее линейная (окружная) скорость, пропорциональная расстоянию данной частицы от оси вращения. Подставляя в это выражение и вынося за знак суммы общую для всех частиц угловую скорость о, находим:
Эту формулу для кинетической энергии вращающегося тела можно привести к виду, аналогичному выражению кинетической энергии поступательного движения, если ввести величину так называемого момента инерции тела. Моментом инерции материальной точки называют произведение массы точки на квадрат расстояния ее от оси вращения. Момент инерции тела есть сумма моментов инерции всех материальных точек тела:
Итак, кинетическая энергия вращающегося тела определяется такой формулой:
Формула (2) отличается от формулы, определяющей кинетическую энергию тела при поступательном движении, тем, что вместо массы тела здесь входит момент инерции I и вместо скорости групповая скорость
Большой кинетической энергией вращающегося маховика пользуются в технике, чтобы сохранить равномерность хода машины при внезапно меняющейся нагрузке. Вначале, чтобы привести маховик с большим моментом инерции во вращение, от машины требуется затрата значительной работы, но зато при внезапном включении большой нагрузки машина не останавливается и производит работу за счет запаса кинетической энергии маховика.
Особенно массивные маховые колеса применяют в прокатных станах, приводимых в действие электромотором. Вот описание одного из таких колес: «Колесо имеет в диаметре 3,5 м и весит При нормальной скорости 600 об/мин запас кинетической энергии колеса таков, что в момент проката колесо дает стану мощность в 20 000 л. с. Трение в подшипниках сведено до минимума сказкой под давлением, и во избежание вредного действия центробежных сил инерции колесо уравновешено так, что груз в помещенный на окружности колеса, выводит его из состояния покоя».
Приведем (без выполнения вычислений) значения моментов инерции некоторых тел (предполагается, что каждое из этих тел имеет одинаковую во всех своих участках плотность).
Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к его плоскости (рис. 55):
Момент инерции круглого диска (или цилиндра) относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к его плоскости (полярный момент инерции диска; рис. 56):
Момент инерции тонкого круглого диска относительно оси, совпадающей с его диаметром (экваториальный момент инерции диска; рис. 57):
Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара:
Момент инерции тонкого сферического слоя радиуса относительно оси, проходящей через центр:
Момент инерции толстого сферического слоя (полого шара, имеющего радиус внешней поверхности и радиус полости ) относительно оси, проходящей через центр:
Вычисление моментов инерции тел производится при помощи интегрального исчисления. Чтобы дать представление о ходе подобных расчетов, найдем момент инерции стержня относительно перпендикулярной к нему оси (рис. 58). Пусть есть сечение стержня, плотность. Выделим элементарно малую часть стержня, имеющую длину и находящуюся на расстоянии х от оси вращения. Тогда ее масса Так как она находится на расстоянии х от оси вращения, то ее момент инерции Интегрируем в пределах от нуля до I:
Момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрии (рис. 59)
Момент инерции кольцевого тора (рис. 60)
Рассмотрим, как связана энергия вращения катящегося (без скольжения) по плоскости тела с энергией поступательного движения этого тела,
Энергия поступательного движения катящегося тела равна , где масса тела и скорость поступательного движения. Пусть означает угловую скорость вращения катящегося тела и радиус тела. Легко сообразить, что скорость поступательного движения тела, катящегося без скольжения, равна окружной скорости тела в точках соприкосновения тела с плоскостью (за время когда тело совершает один оборот, центр тяжести тела перемещается на расстояние следовательно,
Таким образом,
Энергия вращения
следовательно,
Подставляя сюда указанные выше значения моментов инерции, находим, что:
а) энергия вращательного движения катящегося обруча равна энергии его поступательного движения;
б) энергия вращения катящегося однородного диска равна половине энергии поступательного движения;
в) энергия вращения катящегося однородного шара составляет энергии поступательного движения.
Зависимость момента инерции от положения оси вращения. Пусть стержень (рис. 61) с центром тяжести в точке С вращается с угловой скоростью (о вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа. Положим, что в течение некоторого промежутка времени он переместился из положения А В в причем центр тяжести описал дугу Это перемещение стержня можно рассматривать так, как если бы стержень сначала поступательно (т. е. оставаясь себе параллельным) переместился в положение и затем повернулся вокруг С в положение Обозначим (расстояние центра тяжести от оси вращения) через а, а угол через При движении стержня из положения А В в положение перемещение каждой его частицы одинаково с перемещением центра тяжести, т. е. оно равно или Чтобы получить действительное движение стержня, мы можем предположить, что оба указанных движения совершаются одновременно. В соответствии с этим кинетическую энергию стержня, вращающегося с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через О, можно разложить на две части.
