Закон сохранения импульса для движущегося малого объема W жидкой частицы (с непроницаемыми стенками) есть
где в правой части стоит сумма всех сил, действующих на выделенный объем, причем для простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы отсутствует (M"=0). Ограничиваясь рассмотрением массовой силы F m (например, центробежной или силы тяжести, действующих на единицу массы, [н/кг]) и сил давления P (действующих на единицу площади, [н/м 2 ]), запишем
.
Учитывая, что 
(интеграл берется по жидкой частице, то есть по заданному количеству жидкости), и, преобразуя поверхностный интеграл давления в объемный, можно переписать уравнение в виде
. (1.15)
Это закон сохранения количества движения в интегральной форме.
Исходя из произвольного выбора объема жидкой частицы, можно перейти к дифференциальной форме:
. (1.16)
Это закон сохранения количества движения в форме Лагранжа.
Входящая в уравнение производная dV/dt – это субстанциональная производная, которая описывает изменение скорости жидкой частицы.
Используя связь субстанциональной (полной) производной по времени с частной производной скорости по времени (изменение скорости в заданной точке), полученную ранее, приходим к другой дифференциальной форме уравнения сохранения количества движения (форме Эйлера):
. (1.17)
Это уравнение Эйлера, оно получено им еще в 1755 г. Данное уравнение выражает закон сохранения количества движения (импульса).
В проекциях на оси декартовой системы это уравнение имеет вид
Запишем полученные уравнения движения в другой форме – в форме переноса импульса. Для этого выполним следующие преобразования, используя уравнение неразрывности:
, но 
,
тогда 
и, следовательно,
. (1.18)
В декартовой системе координат эти уравнения имеют вид
Эти уравнения, как и в случае уравнения неразрывности, могут быть получены еще одним способом. Выделим в потоке движущейся массы фиксированный элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него за время dt.
Выделим в потоке газа или жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. На выделенный объем действуют массовые силы (например, инерционные, гравитационные), поверхностные силы – давления и трения. Найдем проекции этих сил на ось х (рис.1.5):
а) массовые силы приложим в центре элемента объемом dw.
Ее проекция на ось х равна:
аналогично на другие оси;
б) сила давления. На левой грани элемента по оси x удельное давление равно Р, на площадку dydz действует сила Pdydz. На противоположной грани удельное давление равно , а на эту грань действует сила 
. Знак «–» указывает на то, что сила действует против направления оси х. Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме:
. (1.19)
Согласно второму закону механики равнодействующая равна произведению массы элемента ρdW на его ускорение dV x /dt:
где - локальное, 
- конвективное изменение величины V х, d/dt – субстанциальная производная:
Приравнивая уравнения (1.19) и (1.20), получим:
Аналогично запишем уравнения для проекций сил на оси y и z:
Это уравнение движения. Его часто записывают в виде
В случае стационарности процесса первые члены уравнения будут равны нулю.
Рассмотрим теперь данный закон для реальной жидкости, учитывая вязкость (внутреннее трение). Начнем с рассмотрения уравнений движения для изотермической жидкости и еще раз напомним, что уравнение непрерывности справедливо и для реальной жидкости, так как его вывод основывался только на законе сохранения вещества. Воспользуемся уравнением, записанным в форме закона для переноса импульса идеальной жидкости, и допишем в него слагаемые, отвечающие за перенос импульса в результате действия вязких сил.
Главный вектор количества движения К системы материальных частиц равен интегралу от произведений их элементарных масс dm на векторы скоростей частиц V:
.
Применим к объему W массой m теорему об изменении главного вектора количества движения. Приравняв полную производную по времени от главного вектора количеств движения главному вектору внешних массовых F и поверхностных P сил, получим
, (13)
где p n – результирующая составляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), приложенная к поверхности S объема W.
Вычислим полную производную от главного вектора, причем для простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы отсутствует (M"=0), тогда
Чтобы преобразовать поверхностный интеграл в правой части (13) в объемный, перепишем его в виде:
где p х, p y , p z – вектор напряжений, приложенный к положительным сторонам площадки, и применим формулы векторного анализа:
(1.23)
Тогда будем иметь
. (1.24)
Подставляя в (1.16) значения входящих в него величин и перенеся все члены в одну строку, получим
. (1.25)
Используя положение о произвольности объема W и приравнивая подынтегральную функцию нулю, получим
Проектируя обе части равенства на направления осей координат, получим:
(1.27)
Эти уравнения динамики сплошной среды «в напряжениях», или «уравнения импульсов».
Cила трения на единицу поверхности по закону Ньютона
(μ – коэффициент динамической вязкости, Н×с/м 2).
.
.
Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:
. (1.28)
Получим уравнения движения с учетом вязкости, используя подход, изображенный на рис.1.5. Добавим силу трения, определив ее из рассмотрения плоского ламинарного потока, в котором скорость V x изменяется лишь в направлении оси y. В этом случае сила трения s возникает лишь на боковых гранях элемента (рис.1.6).
Около левой грани скорости движения частиц меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении "y" сила трения направлена против движения и равна – sdxdz. У правой грани скорость движения больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении "y+dy" сила трения направлена в сторону движения и равна
Здесь – сила трения на единицу поверхности, по закону Ньютона.
Подставив это выражение в предыдущее уравнение и принимая μ = const, получим 
.
В общем случае, когда V x изменяется по трем направлениям, проекция силы трения на ось х определяется выражением
.
Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:
. (1.29)
Используя вновь понятие субстанциальной производной
согласно второму закону механики получим:
Аналогично запишем уравнения для проекций сил на оси y и z (учитывая, что ):
Эти уравнения движения называют уравнениями Навье-Стокса. Дифференциальное уравнение движения в форме Навье-Стокса описывает движение вязкой сжимаемой жидкости или газа и справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного движения.
В случае гипотезы “идеального газа” уравнения движения Навье - Стокса переходят в уравнения Эйлера:
(1.30)
В случае стационарности процесса первые члены уравнения будут равны нулю. Для двух- и одномерного движения уравнения Навье-Стокса и Эйлера соответствующим образом упрощаются.
Закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии не только устанавливает неизменность всей энергии для любой выделенной массы жидкости или газа, но и отражает взаимопреобразование различных форм движения материи, и в первую очередь механической энергии в тепловую. Для расчета этих преобразований служит уравнение баланса энергии, выводимое из общего термодинамического закона сохранения энергии, который для индивидуального (непроницаемого) объема движущейся среды формулируется так:
– изменение полной энергии выделенного объема жидкости или газа за единицу времени равно сумме работ приложенных к нему массовых и поверхностных внешних сил на поверхностях, ограничивающих этот объем, и подведенного извне тепла за то же время.
Этот закон выражается интегральным равенством
где 
– удельная полная энергия; U = c v T – удельная внутренняя энергия; – результирующая массовых сил, – результирующая составляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), приложенная к поверхности S выделенного объема W; q – удельное количество энергии (обычно тепла), подводимое в единицу времени к рабочему телу в выделенном объеме.
Учитывая произвольность выделенного объема W, получаем дифференциальную форму данного закона:
Необходимость введения уравнения энергии следует из того, что два уравнения – неразрывности (скалярное) и движения (векторное) – содержат три неизвестных величины: одну векторную (скорость ) и две скалярные (давление р и плотность r), поэтому для газа (W=var) число искомых величин на одну больше, чем число уравнений. Если присоединить уравнение энергии, то добавится ещё одна неизвестная величина – температура Т. Система уравнений получиться замкнутой присоединением уравнения состояния, и тогда задача аэрогазодинамики (при заданных граничных и начальных условиях) становится определенной.
Если рассматривается идеальная несжимаемая жидкость, то полагают, что в жидкости отсутствуют теплообмен и трение. В таком случае движение адиабатично в каждой жидкой частице. Следовательно, закон сохранения энергии выливается в утверждение, что энергия каждого жидкого элемента остается постоянной:
Отсюда следует, что для описания движения идеальной несжимаемой жидкости уравнение энергии не используется.
Посмотрим теперь, что получается в случае большого количества частиц, т. е. когда тело состоит из множества частичек со множеством сил, действующих между ними и извне. Разумеется, мы уже знаем, что момент силы, действующий на любую i-ю частицу (т. е. произведение силы, действующей на i-ю частицу, на ее плечо), равен скорости изменения момента количества движения этой частицы, а момент количества движения i-й частицы в свою очередь равен произведению импульса частицы на его плечо. Допустим теперь, что мы сложили моменты сил x i всех частиц и назвали это полным моментом сил τ. Эта величина должна быть равна скорости изменения суммы моментов количества движения всех частиц L i . Эту сумму можно принять за определение новой величины, которую мы назовем полным моментом количества движения L. Точно так же, как импульс тела равен сумме импульсов составляющих его частиц, момент количества движения тела тоже равен сумме моментов составляющих его частиц. Таким образом, скорость изменения полного момента количества движения L равна полному моменту сил.
С непривычки может показаться, что полный момент сил — ужасно сложная штука. Ведь нужно учитывать все внутренние и внешние силы. Однако если мы вспомним, что по закону Ньютона силы действия и противодействия не только равны, но и (что особенно важно!) действуют по одной и той же прямой в противоположных направлениях (неважно, говорил ли об этом сам Ньютон или нет, неявно он подразумевал это), то два момента внутренних сил между двумя взаимодействующими частицами должны быть равны друг другу и направлены противоположно, поскольку для любой оси плечи их будут одинаковы. Поэтому все внутренние моменты сил взаимно сокращаются и получается замечательная теорема: скорость изменения момента количества движения относительно любой оси равна моменту внешних сил относительно этой же оси!
Итак, мы получили в руки мощную теорему о движении большого коллектива частиц, которая позволяет нам изучать общие свойства движения, не зная деталей его внутреннего механизма. Эта теорема верна для любого набора частиц, независимо от того, образуют ли они твердое тело или нет.
Особенно важным частным случаем этой теоремы является закон сохранения момента количества движения, который гласит: если на систему частиц не действуют никакие внешние моменты сил, то ее момент количества движения остается постоянным.
Рассмотрим один очень важный частный случай набора частиц, когда они образуют твердое тело, т. е. объект, который всегда имеет определенную форму и геометрический размер и может только крутиться вокруг какой-то оси. Любая часть такого объекта в любой момент времени расположена одинаковым образом относительно других его частей. Попытаемся теперь найти полный момент количества движения твердого тела. Если масса i-й частицы его равна m i , а положение ее (x i , y i), то задача сводится к определению момента количества движения этой частицы, поскольку полный момент количества движения равен сумме моментов количества движения всех таких частиц, образующих тело. Для движущейся по окружности точки момент количества движения равен, конечно, произведению ее массы на скорость и на расстояние до оси вращения, а скорость в свою очередь равна угловой скорости, умноженной на расстояние до оси:
Это выражение очень похоже на формулу для импульса, который равен произведению массы на скорость. Скорость при этом заменяется на угловую скорость, а масса, как видите, заменяется на некоторую новую величину, называемую моментом инерции I. Вот что играет роль массы при вращении! Уравнения (18.21) и (18.22) говорят нам, что инерция вращения тела зависит не только от масс составляющих его частичек, но и от того, насколько далеко расположены они от оси. Так что если мы имеем два тела равной массы, но в одном из них массы расположены дальше от оси, то его инерция вращения будет больше. Это легко продемонстрировать на устройстве, изображенном на фиг. 18.4. Масса М в этом устройстве не может падать слишком быстро, потому что она должна крутить тяжелый стержень. Расположим сначала массы т около оси вращения, причем грузик М будет как-то ускоряться. Однако после того, как мы изменим момент инерции, расположив массы т гораздо дальше от оси, мы увидим, что грузик М ускоряется гораздо медленнее, чем прежде. Происходит это вследствие возрастания инертности вращения, которая составляет физический смысл момента инерции — суммы произведений всех масс на квадраты их расстояний от оси вращения.
Между массой и моментом инерции имеется существенная разница, которая проявляется удивительным образом. Дело в том, что масса объекта обычно не изменяется, тогда как момент инерции легко изменить. Представьте себе, что вы встали на стол, который может вращаться без трения, и держите в вытянутых руках гантели, а сами медленно вращаетесь. Можно легко изменить момент инерции, согнув руки; при этом наша масса останется той же самой. Когда мы проделаем все это, то закон сохранения момента количества движения будет творить чудеса, произойдет нечто удивительное. Если моменты внешних сил равны нулю, то момент количества движения равен моменту инерции I 1 , умноженному на угловую скорость ω 1 , т. е. ваш момент количества движения равен I 1 ω 1 . Согнув затем руки, вы тем самым уменьшили момент инерции до величины I 2 . Но поскольку из-за закона сохранения момента количества движения произведение /со должно остаться тем же самым, то I 1 ω 1 должно быть равно I 2 ω 2 . Так что если вы уменьшили момент инерции, то ваша угловая скорость в результате этого должна возрасти.
Посмотрим теперь, что получается в случае большого количества частиц, т. е. когда тело состоит из множества частичек со множеством сил, действующих между ними и извне. Разумеется, мы уже знаем, что момент силы, действующий на любую i -ю частицу (т. е. произведение силы, . действующей на i -ю частицу, на ее плечо), равен скорости изменения момента количества движения этой частицы, а момент количества движения i -й частицы в свою очередь равен произведению импульса частицы на его плечо. Допустим теперь, что мы сложили моменты сил τ i всех частиц и назвали это полным моментом сил τ . Эта величина должна быть равна скорости изменения суммы моментов количества движения всех частиц L i . Эту сумму можно принять за определение новой величины, которую мы назовем полным моментом количества движения L . Точно так же, как импульс тела равен сумме импульсов составляющих его частиц, момент количества движения тела тоже равен сумме моментов составляющих его частиц. Таким образом, скорость изменения полного момента количества движения L равна полному моменту сил
С непривычки может показаться, что полный момент сил - ужасно сложная штука. Ведь нужно учитывать все внутренние и внешние силы. Однако если мы вспомним, что по закон Ньютона силы действия и противодействия не только равны, но и (что особенно важно!) действуют по одной и той же прямой в противоположных направлениях (неважно, говорил ли об этом сам Ньютон или нет, неявно он подразумевал это), то два момента внутренних сил между двумя взаимодействующими частицами должны быть равны друг другу и направлены противоположно, поскольку для любой оси плечи их будут одинаковы. Поэтому все внутренние моменты сил взаимно сокращаются и получается замечательная теорема: скорость изменения момента количества движения относительно любой оси равна моменту внешних сил относительно этой же оси!
Итак, мы получили в руки мощную теорему о движении большого коллектива частиц, которая позволяет нам изучать общие свойства движения, не зная деталей его внутреннего механизма. Эта теорема верна для любого набора частиц, независимо от того, образуют ли они твердое тело или нет.
Особенно важным частным случаем этой теоремы является закон сохранения момента количества движения, который гласит: если на систему частиц не действуют никакие внешние моменты сил, то ее момент количества движения остается постоянным.
Рассмотрим один очень важный частный случай набора частиц, когда они образуют твердое тело, т. е. объект, который всегда имеет определенную форму и геометрический размер, и может только крутиться вокруг какой-то оси. Любая часть такого объекта в любой момент времени расположена
одинаковым образом относительно других его частей. Попытаемся теперь найти полный момент количества движения твердого тела. Если масса i-й частицы его равна m i , а положение ее (x i , y i), то задача сводится к определению момента количества движения этой частицы, поскольку полный момент количества движения равен сумме моментов количества движения всех таких частиц, образующих тело. Для движущейся по окружности точки момент количества движения равен, конечно, произведению ее массы на скорость и на расстояние до оси вращения, а скорость в свою очередь равна угл
овой скорости, умноженной на расстояние до оси:
Суммируя L i для всех частиц, получаем
Это выражение очень похоже на формулу для импульса, который равен произведению массы на скорость. Скорость при этом заменяется на угловую скорость, а масса, как видите, заменяется на некоторую новую величину, называемую моментом инерции I. Вот что играет роль массы при вращении! Уравнения (18.21) и (18.22) говорят нам, что инерция вращения тела зависит не только от масс составляющих его частичек, но и от того, насколько далеко расположены они от оси. Так что ёсли мы имеем два тела равной массы, но в одном из них массы расположены дальш
е от оси, то его инерция вращения будет больше. Это легко продемонстрировать на устройстве, изображенном на фиг. 18.4. Масса М в этом устройстве не может падать слишком быстро, потому что она должна крутить тяжелый стержень. Расположим сначала массы m около оси вращения, причем грузик М будет как-то уско
ряться. Однако после того, как мы изменим момент инерции, расположив массы m гораздо дальше от оси, мы увидим, что грузик М ускоряется гораздо медленнее, чем прежде. Происходит это вследствие возрастания инертности вращения, которая составляет физический смысл момента инерции- суммы произведений всех масс на квадраты их расстояний от оси вращения.
Между массой и моментом инерции имеется существенная разница, которая проявляется удивительным образом. Дело в том, что масса объекта обычно не изменяется, тогда как момент инерции легко изменить. Представьте себе, что вы встали на стол, который может вращаться без трения, и держите в вытянутых руках гантели, а сами медленно вращаетесь. Можно легко изменить момент инерции, согнув руки; при этом наша масса останется той же самой. Когда мы проделаем все это, то закон сохранения момента количества движения будет творить чудеса, произойдет нечто удивительное. Если моменты внешних сил равны нулю, то момент количества движения равен моменту инерции I
1
умноженному на угловую скорость ω 1 , т. е. ваш момент количества движения равен I
1 ω 1
. Согнув затем руки, вы тем самым уменьшили момент инерции до величины I 2
. Но поскольку из-за закона сохранения момента количества движения произведение I ω
должно остаться тем же самым, то I
1 ω 1
должно быть равно I
2 ω
2 . Так что если вы уменьшили момент инерции, то ваша угловая скорость в результате этого должна возрасти.
В классической механике существуют два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии .
Импульс тела
Впервые понятие импульса ввёл французский математик, физик, механик и философ Декарт, назвавший импульс количеством движения .
С латинского «импульс» переводится как «толкать, двигать».
Любое тело, которое движется, обладает импульсом.
Представим себе тележку, стоящую неподвижно. Её импульс равен нулю. Но как только тележка начнёт двигаться, её импульс перестанет быть нулевым. Он начнёт изменяться, так как будет изменяться скорость.
Импульс материальной точки, или количество движения, – векторная величина, равная произведению массы точки на её скорость. Направление вектора импульса точки совпадает с направлением вектора скорости.
Если говорят о твёрдом физическом теле, то импульсом такого тела называют произведение массы этого тела на скорость центра масс.
Как вычислить импульс тела? Можно представить, что тело состоит из множества материальных точек, или системы материальных точек.
Если - импульс одной материальной точки, то импульс системы материальных точек
То есть, импульс системы материальных точек – это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему. Она равна произведению масс этих точек на их скорости.
Единица измерения импульса в международной системе единиц СИ – килограмм-метр в секунду (кг · м/сек).
Импульс силы
В механике существует тесная связь между импульсом тела и силой. Эти две величины связывает величина, которая называется импульсом силы .
Если на тело действует постоянная сила F в течение промежутка времени t , то согласно второму закону Ньютона
Эта формула показывает связь между силой, которая действует на тело, временем действия этой силы и изменением скорости тела.
Величина, равная произведению силы, действующей на тело, на время, в течение которого она действует, называется импульсом силы .
Как мы видим из уравнения, импульс силы равен разности импульсов тела в начальный и конечный момент времени, или изменению импульса за какое-то время.
Второй закон Ньютона в импульсной форме формулируется следующим образом: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы. Нужно сказать, что сам Ньютон именно так и сформулировал первоначально свой закон.
Импульс силы – это также векторная величина.
Закон сохранения импульса вытекает из третьего закона Ньютона.
Нужно помнить, что этот закон действует только в замкнутой, или изолированной, физической системе. А замкнутой называют такую систему, в которой тела взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с внешними телами.
Представим замкнутую систему из двух физических тел. Силы взаимодействия тел друг с другом называют внутренними силами.
Импульс силы для первого тела равен
Согласно третьему закону Ньютона силы, которые действуют на тела при их взаимодействии, равны по величине и противоположны по направлению.
Следовательно, для второго тела импульс силы равен
Путём простых вычислений получаем математическое выражение закона сохранения импульса:
где m 1 и m 2 – массы тел,
v 1 и v 2 – скорости первого и второго тел до взаимодействия,
v 1 " и v 2 " – скорости первого и второго тел после взаимодействия.
p 1 = m 1 · v 1 - импульс первого тела до взаимодействия;
p 2 = m 2 · v 2 - импульс второго тела до взаимодействия;
p 1 "= m 1 · v 1 " - импульс первого тела после взаимодействия;
p 2 "= m 2 · v 2 " - импульс второго тела после взаимодействия;
То есть
p 1 + p 2 = p 1 " + p 2 "
В замкнутой системе тела только обмениваются импульсами. А векторная сумма импульсов этих тел до их взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.
Так, в результате выстрела из ружья импульс самого ружья и импульс пули изменятся. Но сумма импульсов ружья и находящейся в нём пули до выстрела останется равной сумме импульсов ружья и летящей пули после выстрела.
При стрельбе из пушки возникает отдача. Снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Снаряд и пушка – замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса.
Импульс каждого из тел в замкнутой системе может изменяться в результате их взаимодействия друг с другом. Но векторная сумма импульсов тел, входящих в замкнутую систему, не изменяется при взаимодействии этих тел с течением времени, то есть остаётся постоянной величиной. Это и есть закон сохранения импульса .
Более точно закон сохранения импульса формулируется следующим образом: векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы – величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют, или же их векторная сумма равна нулю.
Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.
Нужно сказать, что в природе замкнутых систем не существует. Но, если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т.п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.
Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю, (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.
Закон сохранения импульса называют также законом сохранения количества движения .
Самый яркий пример применения закона сохранения импульса – реактивное движение.
Реактивное движение
Реактивным движением называют движение тела, которое возникает при отделении от него с определённой скоростью какой-то его части. Само тело получает при этом противоположно направленный импульс.
Самый простой пример реактивного движения – полёт воздушного шарика, из которого выходит воздух. Если мы надуем шарик и отпустим его, он начнёт лететь в сторону, противоположную движению выходящего из него воздуха.
Пример реактивного движения в природе – выброс жидкости из плода бешеного огурца, когда он лопается. При этом сам огурец летит в противоположную сторону.
Медузы, каракатицы и другие обитатели морских глубин передвигаются, вбирая воду, а затем выбрасывая её.
На законе сохранения импульса основана реактивная тяга. Мы знаем, что при движении ракеты с реактивным двигателем в результате сгорания топлива из сопла выбрасывается струя жидкости или газа (реактивная струя ). В результате взаимодействия двигателя с вытекающим веществом появляется реактивная сила . Так как ракета вместе с выбрасываемым веществом является замкнутой системой, то импульс такой системы не меняется со временем.
Реактивная сила возникает в результате взаимодействия только частей системы. Внешние силы не оказывают никакого влияния на её появление.
До того, как ракета начала двигаться, сумма импульсов ракеты и горючего была равна нулю. Следовательно, по закону сохранения импульса после включения двигателей сумма этих импульсов тоже равна нулю.
где - масса ракеты
Скорость истечени газа
Изменение скорости ракеты
∆ m f - расход массы топлива
Предположим, ракета работала в течение времени t .
Разделив обе части уравнения на ∆ t , получим выражение
По второму закону Ньютона реактивная сила равна
Реактивная сила, или реактивная тяга, обеспечивает движение реактивного двигателя и объекта, связанного с ним, в сторону, противоположную направлению реактивной струи.
Реактивные двигатели применяются в современных самолётах и различных ракетах, военных, космических и др.
Его движения , т.е. величина .
Импульс — величина векторная, совпадающая по направлению с вектором скорости .
Единица измерения импульса в системе СИ: кг м/с .
Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел, входящих в систему:
Закон сохранения импульса
Если на систему взаимодействующих тел действуют дополнительно внешние силы, например, то в этом случае справедливо соотношение, которое иногда называют законом изменения импульса:
Для замкнутой системы (при отсутствии внешних сил) справедлив закон сохранения импульса:
Действием закона сохранения импульса можно объяснить явление отдачи при стрельбе из винтовки или при артиллерийской стрельбе. Также действие закона сохранения импульса лежит в основе принципа работы всех реактивных двигателей.
При решении физических задач законом сохранения импульса пользуются, когда знание всех деталей движения не требуется, а важен результат взаимодействия тел. Такими задачами, к примеру, являются задачи о соударении или столкновении тел. Законом сохранения импульса пользуются при рассмотрении движения тел переменной массы таких, как ракеты-носители. Большую часть массы такой ракеты составляет топливо. На активном участке полета это топливо выгорает, и масса ракеты на этом участке траектории быстро уменьшается. Также закон сохранения импульса необходим в случаях, когда неприменимо понятие . Трудно себе представить ситуацию, когда неподвижное тело приобретает некоторую скорость мгновенно. В обычной практике тела всегда разгоняются и набирают скорость постепенно. Однако при движении электронов и других субатомных частиц изменение их состояния происходит скачком без пребывания в промежуточных состояниях. В таких случаях классическое понятие «ускорения» применять нельзя.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если он двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда? |
| Решение | Система вагон+снаряд является замкнутой, поэтому в данном случае можно применить закон сохранения импульса.
Выполним рисунок, указав состояние тел до и после взаимодействия.
При взаимодействии снаряда и вагона имеет место неупругий удар. Закон сохранения импульса в этом случае запишется в виде: Выбирая направление оси совпадающим с направлением движения вагона, запишем проекцию этого уравнения на координатную ось: откуда скорость вагона после попадания в него снаряда:
Переводим единицы в систему СИ: т кг. Вычислим: |
| Ответ | После попадания снаряда вагон будет двигаться со скоростью 5 м/с. |
ПРИМЕР 2
| Задание | Снаряд массой m=10 кг обладал скоростью v=200 м/с в верхней точке . В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m 1 =3 кг получила скорость v 1 =400 м/с в прежнем направлении под углом к горизонту. С какой скоростью и в каком направлении полетит большая часть снаряда? |
| Решение | Траектория движения снаряда – парабола. Скорость тела всегда направлена по касательной к траектории. В верхней точке траектории скорость снаряда параллельна оси .
Запишем закон сохранения импульса: Перейдем от векторов к скалярным величинам. Для этого возведем обе части векторного равенства в квадрат и воспользуемся формулами для : Учитывая, что , а также что , находим скорость второго осколка: Подставив в полученную формулу численные значения физических величин, вычислим: Направление полета большей части снаряда определим, воспользовавшись :
Подставив в формулу численные значения, получим: |
| Ответ | Большая часть снаряда полетит со скоростью 249 м/с вниз под углом к горизонтальному направлению. |
ПРИМЕР 3
| Задание | Масса поезда 3000 т. Коэффициент трения 0,02. Какова должна быть паровоза, чтобы поезд набрал скорость 60 км/ч через 2 мин после начала движения. |
| Решение | Так как на поезд действует (внешняя сила), систему нельзя считать замкнутой, и закон сохранения импульса в данном случае не выполняется.
Воспользуемся законом изменения импульса: Так как сила трения всегда направлена в сторону, противоположную движению тела, в проекцию уравнения на ось координат (направление оси совпадает с направлением движения поезда) импульс силы трения войдет со знаком «минус»: |
